立体几何大二轮深刻复习的策略

高中立体几何策略
高中立体几何是数学学习中一个重要的部分，对于这部分内容的学习和解题，可以采用以下策略：
1.掌握基础知识：
熟悉并理解立体几何的基本元素：点、线、面、体及其相互关系。

学习空间直角坐标系，能熟练运用坐标法解决立体几何问题。

掌握平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系及判定定理。

2.构建图形直观：
利用模型、实物或者想象来构造立体几何图形，形成空间观念。

经常进行画图训练，通过作图理解和解决问题。

3.熟悉基本定理：
如：两直线平行、垂直的判定与性质；线面平行、垂直的判定与性质；面面平行、垂直的判定与性质等。

球体积公式、圆柱体积公式、圆锥体积公式、长方体、正方体、棱柱、棱锥等常见几何体的表面积和体积计算。

4.逻辑推理能力培养：
通过分析条件、证明结论，锻炼严谨的逻辑思维和推理能力。

学会利用公理、定理和定义进行逐步推导，写出清晰明了的证明过程。

5.解题策略：
遇到立体几何问题时，首先明确题目所求，然后分析图形特征，找出隐藏在条件中的几何关系。

根据题目的类型选择合适的方法，如向量法、综合法、解析法（坐标法）等进行解答。

对于复杂的立体几何题，尝试分解为若干个简单的几何问题，逐个击破。

6.多做练习，总结归纳：
大量做题以巩固理论知识，并通过实践提高解题速度和准确率。

做完题目后要善于总结解题思路和方法，积累经验，形成自己的解题技巧库。

7.及时复习与反思：
定期对学过的知识点进行复习，确保对立体几何的概念和定理有深刻的理解和记忆。

反思错题，找出错误的原因，避免同样的错误再次发生。

立体几何高三数学二轮复习口诀
立体几何高三数学二轮复习口诀
关于高三数学二轮复习口诀：立体几何高中数学，高三数学二轮复习时需要大家对所有知识点进行一遍总结，立体几何是重要知识点，对于这部分知识点的学习，大家应该记住相关口诀，小编为大家提供高三数学二轮复习口诀：立体几何，供大家参考。

《立体几何》
点线面三位一体，柱锥台球为代表。

距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。

线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。

计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。

射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。

公理性质三垂线，解决问题一大片。

上面的高三数学二轮复习口诀：立体几何，对于大家的复习非常有帮助，希望大家好好利用。

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【立体几何高三数学二轮复习口诀】。

立体几何的解题思路四川省成都第七中学 张世永 巢中俊 周建波《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。

理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。

另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。

一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变.例1．（1）已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、b 所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条解：经过点P 作直线m n m ,o 60ο120n m ,n m ,o 60n m ,ο30n m ,o 60o 60问题的推广：已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、b 所成角均为θ，这样的直线l 有四条，则角θ应满足什么条件有两条呢有一条呢有零条呢 答案：有四条时，o o 9060<<θ；有两条时，o o 6030<<θ；有一条时，oo 90,30=θ;有零条时，οο300<<θ.变式：（1）已知直线a 与平面α所成角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与直线a 和平面α所成角均为o 45，则这样的直线l 有几条（2）已知平面α与平面β所成锐二面角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与平面α和平面β所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条(3)正三棱锥P —ABC 中，CM=2PM ，CN=2NB ，对于以下结论： ①二面角B —PA —C 大小的取值范围是（3π，π）；②若MN ⊥AM ，则PC 与平面PAB 所成角的大小为2π；③过点M 与异面直线PA 和BC 都成4π的直线有3条；④若二面角B —PA —C 大小为32π，则过点N 与平面PAC 和平面PAB 都成6π的直线有3条． 正确的序号是 ．解：(1) 经过点P 作平面α的法向量n ，则问题转化为 “已知直线n a ,所成角为ο30或ο150，经过点P 作直线l ，使直线l 与n a ,所成角均为ο45，则这样的直线l 有几条”由例1容易得到这样的直线l 有两条.(2) 经过点P 作平面α的法向量m ，平面β的法向量n ，则问题转化为 “已知直线n m ,所成角为ο60或ο120，经过点P 作直线l ，使直线l 与n m ,所成角均为ο30，则这样的直线l 有几条”由例1容易得到这样的直线l 有一条.(3)仿照（1）（2）可以得到答案① ② ④二.高考中有较大部分题都可以转化为以正方体为背景的问题，为此新编以正方体为背景的系列题：相同条件为“正方体1111D C B A ABCD -棱长为1”. 1. 正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，E,F 是BD 上的动点，且BD EF 21=. （1）当E 在BD 中点时，F 恰在B 点，求二面角11C EF B --大小； （2）当EF 在BD 上运动时，该二面角是否发生变化解：（1）取11D B 中点O,易知11EFB O C 面⊥,设二面角11C EF B --大小为θ.∴==∴，36cos 1EFC EFO S S ∆∆θ二面角11C EF B --大小为36arccos（2）由（1）中求二面角的方法可知，无论EF 在BD 上的什么位置，∴==∴，36cos 1EFC EFO S S ∆∆θ二面角11C EF B --的大小不变.2. 正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，P 为11B A 的四等分点， Q 为11C D 中点，O 为平面B B AA 11的中心. （1）求证：OC 与PQ 共面；（2）求:平面OPQC 与平面B B AA 11的夹角. （1）证明：取11B A 中点H ，连结BH,HQ.易证CQ BH //,又HB A OP 1∆为中位线，CQ OP BH OP //,//∴∴OC 与PQ 共面.（2） 连结OQ,过O 作PQ OM ⊥,连结MHMHPQ OMH PQ PQ OM PQOH PHQ OH ⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥,,,面又面ΘOMH ∠为面OPQC 与面B B AA 11的夹角..217arctan .217tan ,1717,21,1,41=∠∴=∠∴====OMH OMH MH OH HQ PH三.高考中有一部分题都是以三棱柱为背景的问题，为此新编以三棱柱为背景的系列题.例3．斜三棱柱111C B A ABC -的底面是等腰三角形，AB=AC ，上底面的顶点1A 在下地面的射影是ABC ∆的外心，,3,1π=∠=AB A a BC 棱柱的侧面积为232a（1） 证明：侧面B B AA 11和C C AA 11为菱形，11BCC B 是矩形； （2） 求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小； （3） 求棱柱的体积（1）证明：BC O A ABC O A ⊥∴⊥11,面Θ, 又ΘABC ∆的外心为O,AB=AC,BC AO =∴∴⊥⊥,,11BB BC AA BC Θ四边形11BCC B 是矩形.B A AA OB A Rt OA A Rt OB OA 1111,,=∴≅∴=∆∆Θ,又AB A AB A 11,60∆∴=∠ο为正三角形.∴四边形B B AA 11为菱形，同理,可证四边形C C AA 11为菱形.（2）,0)3)(23(,3260sin 2,22=+-=+===a x a x a ax x S x AC AB 即侧οa x 332=∴过B 作BD 1AA ⊥，则D 为1AA 中点，1AA CD ⊥∴ 又ΘBCD BB CC AA AA BC ∆∴⊥,////,1111的三内角即为所求BCD BC CD a BD a AD ∆∴====,,33Θ为正三角形，∴三个二面角均为ο60 31126131,1312,131232,1213213a O A S V a O A a AO a S ABC ABC =⋅=∴===∆∆）（ 或32161332433131a a a AA S V BCD =⨯⨯=⋅=∆ 四.高考中有一部分题都是以三棱锥为背景的问题，为此新编以三棱锥为背景的系列题. 例4．已知三棱锥P-ABC ，PAC ∆与PBC ∆ 都是边长为2的等腰三角形，AB=2,D 为AB 中点.（1） 求证PDC AB 面⊥;（2）求三棱锥P-ABC 体积. （1）证明：,2====PB PA CB AC Θ又D 为AB 中点，AB=2..AB D,DC PD ,,1PDC AB PD AB DC 平面又⊥∴=⊥=∴I（2）,2==CB AC ΘD 为AB 中点，AB=2，.1,=⊥∴DC AB DC 同理，,,90,2,2,12PD PC PDC PC PC PD ⊥=∠∴=∴==即又ο.31=+=∴---PDC B PDC A ABC P V V V五.高考中的补形问题1.将正四面体补形成正方体解析：选A2.把三条棱相互垂直的三棱锥补成长（正）方体 例2 在球面上有四点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===，那么这个 球的表面积是解析：如图，把三棱锥P ABC -补形为一个棱长为 a 的正方体，则正方体的对角线即为球的直径，因为23R a =，所以2243S R a ππ==球表面积3.把对棱相等的四面体补成长方体例3 已知四面体SABC 的三组对棱相等，依次为25,13,5，求四面体的体积.解析：如图，把四面体S ABC -补形为长方体ADBE GSHC -，设长方体的长，宽，高分别为,,a b c ，则有222222222(25),(13),5a b b c c a +=+=+=，联立以上三式并解之得：4,2,3a b c ===，故111448323S ABC S ABD V V V abc abc abc --=-=-⨯⨯==长方体4.把三棱锥补成四棱锥（或三棱柱或平行六面体） 例4 在四面体ABCD 中，设1,3AB CD ==，直线AB与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体的体积等于解法1 如图，将四面体ABCD 补成四棱锥A BDCE -，且//,BE CD BE CD =，则2,333ABE BE ππ∠==或， //CD ABE 平面，所以CD 与AB 的距离即为CD 到平面ABE的距离，亦即C 到平面ABE 的距离也就是三棱锥C ABE -的高2h =所以11112sin 33232A BCD A BEC C ABE ABE V V V h S AB BE π---∆===⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=解法2 如图，把四面体ABCD 补成三棱柱ABE FCD -，则面//ABE面,//CDF AB CF ，且1CF =，则AB 与CD 的距离就是平面ABE 与 平面FCD 的距离，即三棱柱的高2h =，且233DCF ππ∠=或. 所以13sin2232FCD V S h CD CF π∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=柱，故四面体的体积为1132V =柱解法3 如图6，把四面体ABCD 补成平行六面体， 则四面体的体积是平行六面体体积的13. 1313sin 2232V S h π=⋅=⨯⨯⨯⨯=平行六面体底,故四面体的体积为12.结论:在四面体ABCD 中，设,AB a CD b ==， 直线AB 与CD 的距离为h ，夹角为θ，则 四面体的体积为1sin 6V abh θ=5.把首尾相连两两垂直的三棱锥补成长（正）方体 例5 如图，,90PA ABC ACB ⊥∠=o平面，且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为解析：把四面体P ABC -补成正方体，//AC DB ∴设异面直线PB 与AC 所成角为θ，要求异面直线PB 与AC 所成角正切值， 即求PB 与DB 所成角的正切值，2tan 2PD aDB θ===6.把四棱锥补成长（正）方体例6 如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面,3ABCD SB =.(1)求证：BC SC ⊥；(2)求面ASD 与面BSC 所成二面角大小.证与解：因为1AB BC ==，所以1SD =，故可把原四棱锥补成长方体111ABCD A B C S - （1）因为1BC SDCC ⊥面，所以BC SC ⊥ （2）连1A B ，则面ASD 与面BSC 所成的二面角， 即为面1ADSA 与1BCSA 所成的二面角.因为11,A S SD A S SC ⊥⊥，所以CSD ∠为所求二面角 的平面角，45CSD ∠=o，故所求二面角为45o.例7 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱,PA ABCD ⊥底面3,AB =1,BC =2PA =，求直线AC 与PB 所成角的余弦值.解析：如图9所示，把四棱锥P ABCD -补成长方体111PB C D ABCD -，连结11,//,PC PC AC 所以1BPC ∠为AC 与PB 所成的角，连结1,BC 在1PBC ∆中， 由余弦定理可得：157cos BPC ∠=故直线AC 与PB 所成角的余弦值为57147.把相互垂直的两长（正）方形补成长（正）方体 例8 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的 平面互相垂直，2,1,AB AF M ==是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）求二面角A DF B --的大小.解析：如图，将原几何体补成长方体11ABCD FB ED - （1）设AC 与BD 的交点为O ，连结OE ，则易知 //OE AM ，故//AM 平面BDE（2）由长方体的性质知，1BA ADD F ⊥面，过A 作AG DF ⊥，连BG ，则BG DF ⊥，所以AGB ∠为所求二面角的平面角，在Rt AGB ∆中，易求60AGB ∠=o8.把三棱柱补成四棱柱例9 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3,4,AC BC ==15,4AB AA ==，求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值.解：由条件知AC CB ⊥，如图，把直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABCD A B C D -，连结1B D ，则11//B D AC ， 且11B D AC =，所以1DB C ∠为1AC 与1B C 所成角（或其补角）， 连结CD ，在1B CD ∆中，115,5,42CD B D BC ===， 由余弦定理得122cos 5DB C ∠=六．考试模式例1.（理科）已知正四棱锥S ABCD -所有棱长为4，E 是侧棱SC 上一点，且1SE =，过点E 垂直于SC 的平面截该正四棱锥，则该平面与这个正四棱锥的截面面积为（ ）（A ）82 （B ）2 （C ）52 （D ）42答案 C（文科）已知正三棱锥S ABC -所有棱长为4，E 是侧棱SC 上一点，且1SE =，过点E 垂直于SC 的平面截该正三棱锥，则该平面与这个正三棱锥的截面面积为（ ） （A ）22 （B ）322（C ）2 （D ）2 答案 C例 2..某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A 25+B 5C 45+D 225+ 答案 D例3. 具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角βα轴－y -等于︒60，已知β内的曲线C '的方程是24y x '=，曲线C '在α内的射影在平面α内的曲线方程为22y px =,则p =_____________答案 4例4.如图，直角三角形ABC 中，60,BAC ∠=o点F 在斜边AB 上，且4,,AB AF D E =是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面,ABC BE ⊥平面,ABC 3, 4.AD AC BE ===⑴ 求证：平面CDF ⊥平面;CEF⑵（理科） 点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度.⑵ （文科）点M 在线段BC 上，异面直线CF 与EM 所成角的余弦值为1,4求CM 的长．证明：（Ⅰ）∵直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，AC=4， ∴AB=8，AF=AB=2，由余弦定理得CF=2且CF ⊥AB ．∵AD ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CF ，又AD∩AB=A ，∴CF ⊥平面DABE ， ∴CF ⊥DF ，CF ⊥EF ．∴∠DFE 为二面角D ﹣CF ﹣E 的平面角． 又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，故Rt △ADF ∽Rt △BFE ．∴∠ADF=∠BFE ，∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠DFE=90°，D ﹣CF ﹣E 为直二面角．∴平面CDF ⊥平面CEF ． （建系求解，只要答案正确，也给分）解：（2）（理科）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ，设CM x =(0,0,0),(0,,0),(4,0,3),(3,3,0)C M x D F ∴(4,,3);(1,3,3)DM x DF =--=--u u u u r u u u r则面DMF 的法向量：43(3,3,)3x m x -=-u r同理可知：面CDM 的法向量(3,0,4)n =-r由2|cos ,|5m n <>=u r r ，则139343x = 或3x =经检验，3x =时二面角F DM C --的余弦值为25-不合题意 所以139343CM =（2）（文科）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ， 则C （0，0，0），B （0，4，0），E （0，4，4），F （3，，0），M （0，a ，0），（0≤a≤4） ∴=（3，，0），=（0，a ﹣4，﹣4），∵异面直线CF 与EM 所成角的余弦值为，∴cos ,CF EM =u u u r u u u u r=，解得83163()a a ==或舍 故83.3CM =例5.（理科）如图，矩形ABEF 所在的平面与等边ABC ∆所在的平面垂直，22AB AF ==，O 为AB 的中点．（1）求证：OE FC ⊥；（2）求二面角F CE B --的余弦值.（I ）证：连接OC ,OF ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥. …1分 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，故OC ⊥平面ABEF . …………………2分 因为OE ⊂面ABEF ，于是OC OE ⊥. ……………………3分又矩形ABEF ，22AB AF ==，所以OF OE ⊥. ……………4分 又因为OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ………………5分所以OE FC ⊥. ………………6分（Ⅱ）由（I ）得，22AB AF ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系。

高三数学二轮专题复习教案――立体几何一、本章知识结构：二、重点知识回顾1、空间几何体的结构特征（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．（2）圆柱、圆锥、圆台、球分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．2、空间几何体的侧面积、表面积（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积S ch=侧．若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积2() S ab bc ca=++表．（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为l，底面半径为r，那么圆柱的侧面积2πS rl=侧，此时圆柱底面面积2πS r=底.所以圆柱的表面积222π2π2π()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r，母线长为l，则侧面积πS rl=侧，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为2πππ()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（4）正棱锥的侧面展开图是n个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c，斜高为h'，则它的侧面积12S ch'=侧．（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是c c'，，斜高是h'，那么它的侧面积是12S ch'=侧．（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为r r'，，母线长为l，那么它的侧面积是π()S r r l'=+侧．圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和，即2222π()πππ() S S S S r r l r r r r r l rl''''=++=+++=+++侧上底下底．（7）球的表面积24πS R =，即球的表面积等于其大圆面积的四倍．3、空间几何体的体积（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh=柱体．其中底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2πV r h=圆柱．（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是13V Sh=锥体．其中底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是21π3V r h=圆锥，就是说，锥体的体积是与其同底等高柱体体积的13．（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是S S '，，高是h，那么它的体积是1()3V S S h=+台体．其中上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是221π()3V r Rr R h=++圆台．（4）球的体积公式：334R V π=.4、中心投影和平行投影（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。

关于立体几何复习的几点建议一、知识网络。

两条直线位置关系直线与平面平面与平面两条异面直线所成的角基本概念角直线和平面所成的角二面角和它的平面角两异面直线间的距离距离直线与平面间的距离两平面间的距离平面的性质——三个公理及其三个推论两直线平行的判定与性质平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质两平面平行的判定与性质直线与平面两直线垂直的判断与性质公理与定理垂直的判断与性质直线和平面垂直的判断与性质两平面垂直的判断与性质与平行、垂直有关的存在唯一性定理其他斜棱柱棱柱多面体直棱柱——正棱柱面积、体积公式简单几何体棱柱——正棱锥表面积公式球体体积公式二重点难点本章重点是平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面及平面与平面之间的关系。

使学生建立正确的空间概念，在对图形的认识方面实现由平面到立体的过渡是学习立体几何的难点，要实现由平面向空间的过渡必须（1）有序建立图形、文字、符号三种数学语言的联系。

（2）联系平面图形的知识，利用对比、引伸、联想的方法找出平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，先将立体图形转化为平面图形。

三 命题研究本章高考命题形式比较稳定，主要考查线线、线面、面面的平行与垂直，及空间角和距离的计算，及面积、体积的计算，着重考查学生的空间想象能力，近年来在传统题型的基础上，进行了一些改革，出现了开放题型及探索性题型，考查了学生综合运用知识的能力。

四 复习建议（一）、立足课本，重点突出在复习中，首先要夯实概念，弄清概念的内含和外延，其次定理的内容是什么及怎样运用这些定理，再把这些知识网络化，把知识转化为能力。

在高考试题中，常出现考查学生对概念及定理的理解和运用。

例1（05全国Ⅰ）在正方形''''D C B A ABCD 中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 ①③④ 。

高考数学冲刺复习立体几何考点攻略高考数学中，立体几何一直是重要的考点之一，也是许多同学感到棘手的部分。

在冲刺复习阶段，掌握立体几何的核心考点和解题方法，对于提高成绩至关重要。

接下来，就让我们一起深入探讨立体几何的考点攻略。

一、空间几何体的结构特征首先，要清晰地理解常见空间几何体的结构特征，如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球。

了解它们的定义、性质以及图形特点。

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。

棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分。

圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。

圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所形成的曲面所围成的几何体。

圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分。

球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。

对于这些几何体，要能够通过直观图和三视图准确判断其结构特征，并且能够计算它们的表面积和体积。

二、空间点、线、面的位置关系这是立体几何的基础，包括线线、线面、面面的位置关系。

线线位置关系：平行、相交、异面。

线面位置关系：线在面内、线面平行、线面相交。

面面位置关系：平行、相交。

要熟练掌握这些位置关系的判定定理和性质定理，例如线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理等。

同时，要能够运用这些定理进行推理和证明。

三、直线与平面平行、垂直的判定与性质直线与平面平行的判定方法：（1）利用定义：直线与平面没有公共点。

（2）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（3）平面与平面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。

直线与平面平行的性质：（1）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

浅谈立体几何教学的复习策略探究
立体几何是数学中的一个重要分支，它是指研究立体几何形体
的属性和关系，并通过数学语言来表示和计算。

在立体几何教学中，复习角度有很多，可以从以下几个方面入手。

一、基础概念回顾
立体几何的基本概念包括立体图形的构成要素、几何体的公式
和性质、空间平面的性质等。

在复习时，可以通过做练习题的方式
来回顾这些知识点，并注意理解其中的关系和联系。

二、立体几何证明方法和技巧
在立体几何的证明过程中，往往需要运用相关的证明方法和技巧，如勾股定理、相似三角形的性质、平行直线截立体的性质等。

复习时可以针对这些内容进行系统、全面的梳理，同时结合实际例
题进行讲解和分析。

三、应用题练习
在课程中，应用题占据了很大的比重。

因此，复习时需要重点
关注应用题。

对于不熟悉的应用题，建议先分析题目，找到解题方法，并且在熟悉之后要多做类似题目进行练习。

四、思维拓展
从立体几何的角度出发，可以帮助学生开拓思维，具体包括建模、推导和综合运用等。

在复习时，可以针对这些内容进行较为深
入的思考，探究如何运用立体几何的知识去解决实际问题。

总之，立体几何的复习策略应该是多维度、多方面的。

只有全
面系统、深入地理解了相关知识点，才能更好地解决应用问题。

浅谈立体几何教学的复习策略探究立体几何是理科教育中的重要学科，其中包含了直线、平面、抛物面及其他形状的属性和定义，有助于学生们进一步掌握数学知识。

在学习立体几何的过程中，复习立体几何的策略至关重要，因此本文将对复习立体几何的策略进行讨论，以便为学生提供更有效的帮助。

首先，学生复习立体几何时要注意要点。

学生需要仔细阅读立体几何的定义及其相关内容，特别要注意其中的特定概念、公式及含义，以便深入理解立体几何的相关内容，从而加深对立体几何的认识。

其次，复习立体几何时，学生要根据所学知识建立思维导图。

通过建立思维导图，学生们能够更好地理解立体几何各种概念及其之间的关系，同时也能够清楚地把握立体几何的主要内容，以便更好地掌握和运用。

第三，学生在复习立体几何时要及时完成老师布置的练习，主动提问，使用学习资料和网络资源，在学习过程中得到有效的引导，并查看答案，及时检查自己的错误，以便能够更好地理解立体几何的相关内容。

最后，学生应通过复习总结，定期总结学习内容，补充已经学习过的知识点，把握还未掌握的知识点，以此来检查自己的学习情况，提高学习效果。

总的来说，复习立体几何的策略主要有以上几点，包括：牢记概念和公式、建立思维导图、完成老师布置的练习、复习总结等。

希望根据这些复习策略，学生们能够更好地掌握立体几何的相关知识，从而更好地学习理科知识。

在学习立体几何的过程中，平时视频课程也是一个重要的复习途径。

如果学生们能够找到质量良好的立体几何视频课程，就能更好地理解这门学科的相关知识。

事实上，现在网络上有大量免费的立体几何视频课程，这些视频课程都由资深的教师精心录制，可以帮助学生们深入浅出地学习立体几何知识。

此外，对于学生们来说，订购教材是另一种复习立体几何的有效方法，因为教材中记录了大量关于立体几何学习过程中重要内容，而且有很多教材配有彩色配图，可以帮助学生们更好地理解和掌握相关内容。

最后，记单词也是复习立体几何的一个重要方法，学生可以根据学习过程中所获得的重要概念，使用字典查询详细义书，并把这些概念总结成单词，通过记忆单词及其有关概念来加深理解。

高考立体几何命题分析和复习建议一、考纲中对立体几何与空间向量的要求(1)空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；②知道平行投影与中心投影的概念，了解空间图形的不同表示形式；③能画出简单空间图形(长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)(2)点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面的位置关系的定义，并了解如下的公理和定理：定理1、2、3、4及定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；②理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

理解以下判定定理和性质定理：(判定定理和性质定理各4个，略)③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

④能根据定义解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的简单计算问题。

(3)空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直；(4)空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量的概念；②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)④能用向量方法解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

近年来高考试题中立体几何部分在题型、题量、分值、难度等方面，均保持相对稳定。

自2009年新课改高考由原来的两道小题一道大题改成的一道小题一道大题。

分值为16分，约占总分值（150分）的10％。

立体几何二轮复习建议一、高考地位与考查要求：立体几何主要承载着对高中数学基本能力之一——空间想象能力的考查，因而成为每年数学高考的必考内容．经统计，2008年全国各地高考的19套试题中（每套试题含文理卷各1份，江苏文理合卷），立体几何的小题有32道，解答题有19道；江苏卷只考查了1道解答题（另外在理科附加题中也考查了1道解答题）．由此可见立体几何在高考中占有相当重要的地位．但是，立体几何在高考中的占分比重，已随新课程内容的变化有所下降，考查难度也随之减弱．不难发现，与以往相比，新高考文理合卷部分对空间中夹角与距离的计算要求大大减弱，空间中线面之间平行、垂直的位置关系受到重视．分析09年对立体几何的考查，填空题可能会以考查基础知识为主，空间几何体的结构、线面位置关系的判断、表面积与体积的计算等知识是重点考查内容，特别是三视图为新课程增加的内容，考查的可能性较大；解答题一般会考查综合能力，与08年高考一样，应当还是考查线面之间的位置关系为主．但08年的考题属于容易题，满分14分，全省均分却高达12.4分左右，所以09年在难度上可能会有所增加，也可能会增加一些较简单的计算等．另外，在理科附加题中运用空间向量证明平行与垂直、计算夹角与距离无疑也是主要考查内容．二、基本题型与基本策略：基本题型一：空间几何体及其表面积与体积的计算（填空题）例1．已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是53，则这个正四棱柱的侧面积是 ．说明：本题主要考查正四棱柱的结构特征、空间几何体侧面积的计算方法，属容易题．例2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 ．说明：三视图是新课程的新增内容，近两年其它课改地区的高考试题中经常出现相关试题，通常将之与表面积、体积的计算结合在一起进行考查，应给予重视．基本策略：涉及到柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要根据其结构特征和公式来计算，另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用；三视图为新增内容，考查不无可能，关键要培养学生的空间想象能力，会“识图”、“复图”．基本题型二：空间中点线面位置关系的判断（填空题）例3．设α、β为互不重合的平面，m 、n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ；②若m ⊂α，n ⊂α，m //β，n //β，则α//β；③若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β； ④若m ⊥α，α⊥β，m //n ，则n //β．其中所有正确命题的序号是 ．说明：本类题为高考常考题型，其本质实为多项选择题．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选多选．例4．α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件中：①a //α，b ⊂β；②a ⊥α，b //β；③a ⊥α，b ⊥β；④a //α，b //β且a 与α的距离等于b 与β的距离．其中是a ⊥b 的充分条件的有 ．说明：与例3一样，本题主要考查空间中线面之间的位置关系，特别是考查证明线线垂直的常用方法．基本策略：要求学生能够熟练运用4条公理、3条推论和9条定理来判断有关空间位置关系的命题真假，能对一些真命题进行证明或对假命题举出反例．培养学生善于利用身边的工具与情境（如纸笔、桌面、墙角等）构造具体模型，将抽象问题具体化处理，提高他们的空间想象能力．基本题型三：空间中点线面位置关系的证明（解答题）例5．如图，已知在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是主视图 俯视图左视图AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ；（2）求证：PC 1∥面MNQ ．说明：本类题主要以空间几何体为载体，考查空间中线面位置关系（平行与垂直）的判定与性质，是每年高考不可避免的考查内容．此类题既可考查几何体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，还有可能结合一些简单的运算，可以比较全面地考查学生的能力．例6．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ； （2）求三棱锥D －AEC 的体积；（3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE ． 说明：江苏卷08年的考题与例5相似，仅仅简单考查了位置关系的证明，综合性不强．09年立体几何考题可能会增加适当的计算量，如本题中体积的计算等；或是添设“探究性”、“存在性”的小问，如本题中第3小问，应予以重视．例7．已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA 1＝3，俯视图中C 、C 1分别是所在边的中点，设D 为AA 1的中点． （1）作出该几何体的直观图并求其体积； （2）求证：平面BB 1C 1C ⊥平面BDC 1；（3）BC 边上是否存在点P ，使AP //平面BDC 1？若不存在，说明理由；若存在，请证明你的结论．说明：本题综合考查了作图、计算、证明、探究等能力，这种类型的试题也应引起重视．三视图内容也很可能在大题中采用本题的方式进行考查，关键要求学生先能够准确“复图”，再进行其他常规解答．基本策略：证明或探究空间中线线、线面与面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求学生注意表述规范，推理严谨，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论．此外，要特别注重培养学生的空间想象能力，会分析一些非常规放置的空间几何体（如例6、例7中侧面水平放置的棱锥、棱柱等），会画空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形．A 1 ABC PMN QB 1C 1 11 A1 11基本题型四：运用空间向量证明与计算（理科附加解答题）例8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AB ＝a ，E 是PB 的中点．（1）在平面P AD 内求一点F ，使得EF ⊥平面PBC ；（2）求二面角F -PC -E 的余弦值大小．说明：本题主要考查对空间几何体合理建立空间直角坐标系的能力，运用空间向量探究空间中垂直的位置关系、计算二面角大小的常见问题．向量法是一种独特的方法，因为它不但是传统几何方法的有力补充，而且还可以解决一些较难的立几问题，如二面角的求解等．例9．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1．（1）求二面角A —DF —B 的大小； （2）在线段AC 上找一点P ，使PF 与AD 所成的角为600，试确定点P 的位置．说明：本类题主要考查通过向量解决空间中的夹角问题（包括线线角、线面角与二面角），是向量作为一门工具解决立几问题的典型体现．基本策略：空间向量的基础知识要引导学生类比于《必修4》中平面向量的相关知识进行整理与记忆；要注意培养学生对空间几何体合理建系的意识，并能准确用向量来刻画直线和平面的“方向”，即方向向量与法向量；要求学生理解用向量判定空间位置关系、求解夹角与距离的原理，并掌握一般求解步骤．其中，线线角、线面角与二面角是本类题型中的重点考查对象，应加强训练．此外，在计算平面的法向量、探究点的位置（如例8（1）、例9（2））等问题中，要引导学生善于运用“待定系数法”合理设出坐标，寻找满足条件的方程（组）来解决问题的方法．三、二轮专题与课时建议：P ABCD E B E A F D C。

高考数学复习方法之立体几何高考已经进入第二轮的复习，的编辑为大家总结了一些高考数学复习方法之立体几何，各位考生可以参考。

一、逐渐提高逻辑论证能力论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。

符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。

切忌条件不全就下结论。

其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(推出法)形式写出。

二、立足课本，夯实基础直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。

例如：三垂线定理。

定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。

但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。

掌握好定理有以下三点好处：(1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

(2)培养空间想象力。

(3)得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。

对后面的学习也打下了很好的基础。

三、转化思想的应用我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用转化这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。

例如：(1)两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。

斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

(2)异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。

而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

(3)面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。

而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。