【2021模块复习】第四章 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式+参考答案

第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。

能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。

tan(α±β)＝错误!。

2。

二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

tan 2α＝错误!。

3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。

tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。

2。

cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。

3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。

诊断自测1。

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。

（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。

第四章 第三节 两角和与差的正弦、余弦、正切1. 2cos10sin 20sin70-的值是 ( )A.12B.32C. 3D. 2解析：原式＝2cos(3020)sin 20sin70--＝2(cos 30cos 20sin 30sin 20)sin 20sin70⋅+⋅-＝20cos 20＝ 3.答案：C2.tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)的值是 ( )A. 3B.33C.2 3D.233解析：∵tan π3＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)]＝tan()tan()661tan()tan()66ππθθππθθ-++--+∴3－3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)即tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.答案：A 3.若sin cos sin cos a aa a+-＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .解析：∵sin cos sin cos a a a a +-＝tan 1tan 1a a +-＝3，故tan α＝2.又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2. ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan()tan 1tan()tan βααβαα--+-⋅＝43.答案：434.sin (π4－x )＝35，则sin2x 的值为 ( )A.725B.1425C.1625D.1925 解析：∵sin(π4－x )＝35，∴22cos x －22sin x ＝22(cos x －sin x )＝35. ∴cos x －sin x ＝325.∴(cos x －sin x )2＝1－sin2x ＝1825， ∴sin2x ＝725.答案：A5.已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为 ( )A.22＋36B.22－36C.－22＋36D.－22＋36解析：∵α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，∴cos(α＋π12)＝－223，∴cos(α＋5π12)＝cos[(α＋π12)＋π3]＝cos(α＋π12)cos π3－sin(α＋π12)sin π3＝(－223)·12－13·32＝－22＋36.答案：C6.(2008·天津高考)已知cos 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解：(1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝＝7210.sin x ＝sin[4x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350.7.已知A 、B ( ) A.5π4 B.7π4C.5π4或7π4D.9π4 解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4.答案：B8.在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于 ( ) A.30° B.150° C.30°或150° D.60°或120° 解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝12，∴C ＝30°或150°.当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B ＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A ＋4cos B ＝6相矛盾，∴C ＝30°. 答案：A9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角 α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点.已知A 、B 的 横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β＝255. 因α为锐角，故sin α＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.10.已知向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A.－34B.－14C.34 D.14解析：a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：B11.已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为 .解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sin α＋12cos α)＝－45.答案：－4512.(文)已知点M (1＋cos2x,1)，N (1，3sin2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝OM ·ON(O 为坐标原点). (1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求f (x )在[0，π2]上的最小值.解：(1)依题意得： OM＝(1＋cos2x,1)， ON＝(1，3sin2x ＋a )，∴y ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a .∴f (x )的最小正周期为π.(2)若x ∈[0，π2]，则(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，此时y max ＝2＋1＋a ＝4，∴a ＝1， y min ＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12).(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值.解：(1)∵a·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝22， ① a·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14， ② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得1cos cos ,21sin sin ,2βαβα⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩③2＋④2得cos α－sin α＝12，① ②∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.。

●高考明方向1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 .★备考知考情1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点．2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识1相结合命题．3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题 .一、知识梳理《名师一号》 P52知识点1、（补充）两角差的余弦公式的推导利用向量的数量积推导 ---- 必修 4 课本 P125 2、（补充）公式之间的关系及导出过程23、和、差、倍角公式《名师一号》P52注意：《名师一号》 P53问题探究问题1两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？其适用条件是什么？在公式 T(α＋β)与 T(α－β)中，α，β，α±β 都π不等于 kπ＋2 (k ∈Z) ，即保证 tan α， tan β，tan ( α＋β ) 都有意义；3π若α，β中有一角是 kπ＋2 (k ∈Z) ，可利用诱导公式化简．小结：一、公式的逆用与变形运用《名师一号》 P53知识点二 2(1)tan α± tan β＝ tan( α±β )(1 ?tan αtan β) ；(2)cos 2α＝1＋cos2α，sin 2α＝1－cos2α；2 22,α(3)1 ＋sin2 α＝ (sin α＋ cosα) 1－sin22＝(sin α－ cosα)；π(4)sin α± cosα＝ 2sin α±4 .二、三角恒等变换须关注以下三方面《名师一号》 P53 问题探究问题 2( 补充)1、角：4角的变换：注意拆角、拼角技巧如α＝ ( α＋β ) －β＝ ( α－β ) ＋β，( α＋β)＋( α－β ) ＝2α，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β ，75°＝ 45°＋ 30°等注意倍角的相对性：3如α是2的二倍角等； 3 α是2的二倍角等；2、函数名：异名化同名 --- 正余互化，切化弦，弦化切正余互化（利用诱导公式、平方关系）切化弦，弦化切（利用tan sin 、costan 1 cos sin ）等；sin 1 cos3、式子结构：2（1）1的变换（注意 tan 45 1， sin 2 cos2 1 ）、（2）幂的变换（升幂角减半51cos 2 2cos 2 ,1 cos2 2sin 2 ；降幂角加倍cos2 1cos 2,sin 21 cos2）、2 2（3）合一变换（ a sin b cos a 2 b2 sin( ) ）-----《名师一号》 P53 知识点三要时时关注角的范围的讨论！二、例题分析：（一）公式的直接应用例 1．（1）《名师一号》 P53 对点自测 1、2、3、4cos33°cos87°＋ sin33 °cos177°的值为()1 1 3 3A. 2 B ．－2 C. 2 D ．－26解析 cos33°cos87°＋ sin33 °cos177°＝cos33°sin3 °－ sin33 °cos3°＝sin(3 °－ 33°)1＝－ sin30 °＝－2.42．若 cosα＝－5，α 是第三象限的角，则πsin α＋ 4＝( )7 2 7 2 2 2A．－10 B. 10 C ．－10 D. 10解析由于α是第三象限角且cosα＝－4 5，3∴s in α＝－5.7πππ∴sin α＋4 ＝sin αcos 4＋cosαsin 42 3 4 7 2＝2－5－5＝－10 .α33. 若 sin 2＝3，则 cosα＝ ( )2 1 1 2 A．－3 B．－3 C.3 D.3α3解析因为 sin 2＝3 ，2α 3 2 1 所以 cosα＝ 1－2sin 2＝1－2× 3 ＝3.1 14．化简：1＋tanα－1－tanα＝________.8－2tan α解析原式＝＋－2tan α＝－1－tan 2α＝－tan2α.例 1．（2）( 补充 )计算 cos15 sin15cos15 sin15答案: 33例 2．《名师一号》 P53高频考点例1（2）（2）(2014 ·新课标全国卷Ⅰ ) 设α∈9π0，2，π1＋sin ββ∈0，2 ，且tan α＝cosβ，则( )ππA．3α－β＝2 B ．3α＋β＝2ππC．2α－β＝2 D ．2α＋β＝2sin α1＋sin β解析： (2) 由已知，得cosα＝cosβ，∴s in αcosβ＝ cosα＋ cosαsin β，∴s in αcosβ－ cosαsin β＝ cosα.∴s in( α－β ) ＝cosα.∴sin( α－β ) ＝ sin π－α . 2ππ∵α∈ 0，2，β∈ 0，2 .10π π π π∴－ 2 <α－β<2 ，0< 2 －α<2 .π π∴α－β＝ 2 －α，∴ 2α－β＝ 2 . 故选 C.3－sin70 °练习 1：2－cos 210°＝( )1 2 3 A. 2B. 2C ．2D.2分析：观察角可以发现 70°与 20°互余， 20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式 ( 或降幂 )化简210°－3－cos20° 3－解析：原式＝ 2－cos 210°＝ 2－cos 210° ＝2.练习 2：已知 α 是第二象限的角， tan( π＋ 2α)114＝－3，则 tan α＝ ________.分析：用诱导公式可将条件化为 tan2 α的函数值，用二倍角公式解方程可求得 tan α.4解析：由 tan( π＋ 2α) ＝－3得 tan2 α＝－42tan α 43，由 tan2 α＝1－tan2α＝－3，解得 tan α＝－12或 tan α＝ 2，又α是第二象限的角，所以 tan α1＝－2.θθ练习3：设5π<θ<6π， cos 2 ＝a，则sin 4 等于()121＋a1－aA. B.2 21＋a1－aC．－D．－2 25π θ 3πθ解析：∵5π<θ<6π，∴4 < 4 < 2，∴sin 4<0，∵a＝cos θ＝1－2sin 2θ，∴ sinθ＝－2441－a2 .点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解．（二）公式的变形应用例 1．（1） ( 补充 ) 计算 :tan20 °+tan40 °＋ 313tan20 °tan 40°=答案: 3例 1．(2) ( 补充 ) 化简： tan(18 °－ x)tan(12 °＋x)＋3[tan(18 °－ x) ＋tan(1 2°＋ x)] ＝________.答案: 1解析：∵ tan[(18 °－ x) ＋(12 °＋ x)]tan ＝18°－ x18°－ x＋tan·tan12°＋ x12°＋ x＝14tan30 °＝3 3∴t an(18 °－ x) ＋tan(12 °＋ x)3＝3 [1 －tan(18 °－ x) ·tan(12 °＋ x)]于是原式＝ tan(18 °－ x)tan(12 °＋ x)3＋3·3 [1 －tan(18 °－x)·tan(12 °＋ x)] ＝1.变式 :计算 (1+ tan1 °) (1+tan2 °) (1+tan3 °) ⋯(1+tan44 °) (1+tan45 °)答案 :223注意 : 公式的逆用与变形运用15练习：计算答案 :41 3sin10sin 80例 2．（1）《名师一号》 P54 高频考点 例 2sin110 °sin20 °(2)cos 2155°－ sin 2155°的值为 ( )1 1 33A ．－ 2 B. 2 C.2D ．－2sin110 °sin20 °sin70 °sin20 ° cos 2155°－ sin 2155°＝cos310°1cos20°sin20 °2sin40°1＝cos50°＝sin40 °＝2.16例 2．（2）( 补充 )化简 :cos cos2 cos4cos2n 1n N *温故知新 P50知识(5)1cos20 cos40 cos60cos8016答案 : sin 2n n N *2n sin注意 : 公式的逆用与变形运用例 3．《名师一号》 P53对点自测5、6π 45. 如果α∈ 2 ，π ，且sinα＝5，那么ππsin α＋4＋cos α＋4＝()174 2 4 2 3 2A. 5 B ．－5 C. 5 D ．－3 25解析因为sin 4 πα＝5，2<α<π，所以cosα3＝－ 5.ππ而 sin α＋4＋cos α＋4π 3 2 ＝2sin α＋2＝ 2cosα＝－5 .若6．已知函数f(x) ≥1，则 xf(x) ＝ 3sinx的取值范围为π(－cosx，x∈R，)A．{x|k π＋3≤x≤kπ＋π， k∈Z}18πB．{x|2k π＋3≤x≤2kπ＋π， k∈Z}π5πC．{x|k π＋6≤x≤kπ＋ 6 ，k∈Z}π5πD．{x|2k π＋6≤x≤2kπ＋ 6 ，k∈Z}π解析根据题意，得f(x) ＝2sin x－6 ，f(x) ≥1，ππ 1 所以 2sin x－ 6 ≥1，即sin x－ 6 ≥2.ππ5π由图象可知满足 6 ＋2kπ≤ x－6 ≤ 6 ＋2kπ(k ∈ Z) ，π解得3＋2kπ≤ x≤π＋ 2kπ(k ∈ Z) ．19注意 : 公式的逆用与变形运用合一变换asin α＋ bcosα＝a2＋b2sin( α＋φ ) ，a b其中 cosφ＝a2＋b2，sinφ＝a2＋b2，tanφ＝b.aφ的终边所在象限由a，b 的符号来确定．拓展：温故 P59第 7 题（三）角的代换π 1例 1．（1）( 补充 ) 若 sin( 6－α ) ＝3，2π则 cos( 3 ＋2α) 的值为 ( )1 1 7 7A. 3 B ．－3 C. 9 D ．－920[答案]D2π2π[解析] cos(3 ＋2α) ＝ 2cos ( 3 ＋α ) －12π π＝2cos [2 －( 6 －α )] － 12π 1 2 7＝2sin (－α ) －1＝2×( ) －1＝－ .639变式 :已知sin()1，则 cos(22 )。

第1页共24页2024年高考数学一轮复习第4章第3讲：两角和与差的正弦余弦和正切公式学生版考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(√)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β))②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β))③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β))④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β))⑤tan(α－β)＝(T (α－β))tan α－tan β1＋tan αtan β⑥tan(α＋β)＝(T (α＋β))tan α＋tan β1－tan αtan β(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．二倍角公式(1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，③tan 2α＝.2tan α1－tan 2α(2)公式变形①cos 2α＝，sin 2α＝；1＋cos 2α21－cos 2α2②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin .2)4(πα±3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)(3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意tan α＋tan β1－tan αtan β角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)(6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√)(7)若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)π4(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×)(9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√)(10)y ＝的x 无意义．(×)1－2cos 2x考点一　三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1]　(1)求值：－sin 10°；1＋cos 20°2sin 20°)5tan 5tan 1(00-解：原式＝－sin 10°2cos 210°2×2sin 10°cos 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000-＝－sin 10°·＝－sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°cos 10°2sin 10°cos 10°12sin 10°＝－2cos 10°＝cos 10°2sin 10°cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝＝＝.cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°3sin 10°2sin 10°32(2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β.12解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1)12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)12＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－＝1－＝.121212法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－cos 2α·cos12122β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β12＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝－cos 2β·1＋cos 2β2[sin 2α＋12(1－2sin 2α)]＝－cos 2β＝.1＋cos 2β21212法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β1－cos 2α21－cos 2β21＋cos 2α21＋cos 2β212＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β141412＝.12[方法引航]　给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋tan 10°)．3解：sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)3＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·＝＝＝＝1.cos (60°－10°)cos 60°cos 10°2sin 50°cos 50°cos 10°sin 100°cos 10°cos 10°cos 10°2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为A 2C 23A 2C2________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝，＝，tan ＝，2π3A ＋C 2π3A ＋C23所以tan ＋tan ＋tan tanA 2C 23A 2C2＝tan ＋tan tan22(C A +2tan 2tan 1(CA -3A 2C 2＝＋tan tan ＝.3)2tan 2tan1(CA -3A 2C 23考点二　三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值3.已知三角函数式的值，求三角函数值[例2]　(1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )13A ．－ B ．－C. D.45151545解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝＝.故选D.1－tan 2θ1＋tan 2θ45法二：由tan θ＝－，可得sin θ＝±，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝.1311045答案：D(2)已知tan ＝，且－＜α＜0，则等于( ))4(πα+12π2)4cos(2sin sin 22πααα-+A ．－B ．－C ．－D.255351031010255解析：由tan ＝＝，得tan α＝－.)4(πα+tan α＋11－tan α1213又－＜α＜0，所以sin α＝－.π21010故＝＝2sin α＝－.)4cos(2sin sin 22πααα-+2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)2255答案：A(3)已知α∈，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则＝________.)2,0(π12cos 2sin )4sin(+++ααπα解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，由于α∈，sin α＋cos α≠0，)2,0(π则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝，213∴＝＝.12cos 2sin )4sin(+++ααπα22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)268答案：268[方法引航]　三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan 的值．)6(θπ+解：tan ＝＝＝.)6(θπ+tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ33－131＋33×1353－6132．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值．解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝＝＝－.2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋12×(－13)2＋13－3(－13)2＋11153．已知cos ＋sin ＝，则cos ＝________.)2(απ-)32(απ-23532(πα+解析：由cos ＋sin ＝，得)2(απ-)32(απ-235sin α＋sin cos α－cos πsin α＝∴sin α＋cos α＝，2π3232353232235即sin ＝，∴sin ＝，3)6(πα+2356(πα+25因此cos ＝1－2sin 2＝1－2×＝.)32(πα+6(πα+2)52(1725答案：1725考点三　已知三角函数式的值求角命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角[例3]　(1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，则β＝________.171314π2解析：∵cos α＝，0＜α＜.∴sin α＝.17π2437又cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜.∴0＜α－β＜，则sin(α－β)＝.1314π2π23314则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝＝，由于0＜β＜，所以β＝.1713144373314497×1412π2π3答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．1217解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan 2α＝＝＝＞0，12－171＋12×1713π22tan α1－tan 2α2)31(1312-⨯34∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.π2tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β34＋171－34×17∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－π.17π234答案：－π34[方法引航]　1.解决给值求角问题应遵循的原则(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是，选正、余弦皆可；②)2,0(π若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是，选正弦较好．)2,2(ππ-2．解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )5531010A. B.C. D.或3π45π47π45π47π4解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.－255101022又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.)2,23(ππ7π42．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．1355),2(ππ)2,0(π解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.55)2,0(π255∴tan(α＋β)＝＝＝1.tan α＋tan β1－tan αtan β－13＋21＋23∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，∴α＋β＝.),2(ππ)2,0(ππ23π25π4[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例]　某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解]　(Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.121434(Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.34证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＋sin 2α－sin α·cos α－sin 2α＝sin 2α＋34321432123434cos 2α＝.34法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.34证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 1－cos 2α21＋cos (60°－2α)230°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin 2α＝－cos 2α1212121232121212＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.121434341414141434[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos ＝，则sin 2α＝( ))4(απ-35A. B. C ．－D ．－7251515725解析：选D.因为cos ＝cos cos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝)4(απ-π4π42235，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.32518257252．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝，则cos 2α＋2sin 2α＝( )34A.B.C ．1D.642548251625解析：选A.法一：由tan α＝＝，cos 2α＋sin 2α＝1，得Error!或Error!，则sin 2α＝2sin αcossin αcos α34α＝，则cos 2α＋2sin 2α＝＋＝.2425162548256425法二：cos 2α＋2sin 2α＝＝＝＝.cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α1＋4tan α1＋tan 2α1＋31＋91664253．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－ B.C ．－ D.32321212解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.124．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则( ))2,0(π)2,0(π1＋sin βcos βA ．3α－β＝ B ．2α－β＝C ．3α＋β＝ D ．2α＋β＝π2π2π2π2解析：选B.由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin sin αcos α1＋sin βcos β，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.)2(απ-π2π2π2π2π2π25．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α2tan α－1tan 2α＋1＝＝－1.－4－14＋1答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2－sin 2＝________.π8π8解析：由二倍角公式，得cos 2－sin 2＝cos ＝.π8π8)82(π⨯22答案：22课时规范训练A 组　基础演练1．tan 15°＋＝( )1tan 15°A ．2　B ．2＋C ．4D.3433解析：选C.法一：tan 15°＋＝＋1tan 15°sin 15°cos 15°cos 15°sin 15°＝＝＝4.1cos 15°sin 15°2sin 30°法二：tan 15°＋＝＋1tan 15°1－cos 30°sin 30°1sin 30°1＋cos 30°＝＋＝＝4.1－cos 30°sin 30°1＋cos 30°sin 30°2sin 30°2.的值是( )2cos 10°－sin 20°sin 70°A. B.C.D.123232解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°33．已知θ∈(0，π)，且sin ＝，则tan 2θ＝( ))4(πθ-210A. B. C ．－D.4334247247解析：选C.由sin ＝，得(sin θ－cos θ)＝，所以sin θ－cos θ＝.)4(πθ-2102221015解方程组Error!，得Error!或Error!.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以Error!不合题意，舍去，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝432tan θ1－tan 2θ＝－，故选C.2×431－(43)22474．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于( )]2,4[ππ378A. B. C.D.35457434解析：选D.由sin 2θ＝和sin 2θ＋cos 2θ＝1得387(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝，3782)473(+又θ∈，∴sin θ＋cos θ＝.]2,4[ππ3＋74同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝.3－74345．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则的值为( )tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)A.B.C.D.n －1n ＋1nn ＋1nn －1n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，故选D.n ＋1n －16．若sin ＝，则cos 2θ＝________.)2(θπ+35解析：∵sin ＝cos θ＝，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×－1＝－.)2(θπ+352)53(725答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．),2(ππ解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈，sin α≠0，∴cos α＝－.又∵α∈，∴α＝π，),2(ππ12),2(ππ23∴tan 2α＝tan π＝tan ＝tan ＝.43)3(ππ+π33答案：39．化简：(0＜θ＜π)．(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cosθ2)2＋2cos θ解：由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0，θ2π2θ2∴＝＝2cos .2＋2cos θ4cos 2θ2θ2又(1＋sin θ＋cos θ)＝)2cos 2(sinθθ-2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ-＝－2cos cos θ.故原式＝＝－cos θ.θ2－2cos θ2cos θ2cosθ210．已知α∈，且sin ＋cos ＝.),2(ππα2α262(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35),2(ππ解：(1)因为sin ＋cos ＝，两边同时平方，得sin α＝.α2α26212又＜α＜π，所以cos α＝－.π232(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.π2π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.3545cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512)53(-43＋310B 组　能力突破1．已知sin α＋cos α＝，则1－2sin 2＝( )22)4(απ-A. B.C ．－D ．－12321232解析：选C.由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝－.221212因此1－2sin 2＝cos2＝sin 2α＝－.)4(απ-)4(απ-122．已知f (x )＝2tan x －，则f 的值为( )2sin 2x2－1sin x 2cos x 2)12(πA ．4B.C ．4D ．83833解析：选D.∵f (x )＝2＝2×＝，)sin cos cos sin (2sin cos (tan xxx x x x x +⨯=+1cos x ·sin x 4sin 2x∴f ＝＝8.)12(π4sin π63．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )551010A. B. C. D.5π12π3π4π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－＜α－β＜.π2π2又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.101031010又sin α＝，∴cos α＝，55255∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255)1010(-22∴β＝.π44．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a 的值为________．1a π4解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg ＝lg 10＝1，1a∵α＋β＝，所以tan ＝tan(α＋β)＝＝，π4π4tan α＋tan β1－tan αtan β11－tan αtan β∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg ＝0.1a 所以10a ＝1或＝1，即a ＝或1.1a 110答案：或11105．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.13ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.∵tan(α＋β)＝1313ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-＝＝＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝＝＝＝.sin α＋2cos α5cos α－sin αtan α＋25－tan α－13＋25－(－13)516(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α516＋131－516×133143。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1) $cos(\alpha-\beta): cos(\alpha-\beta)=cos\alphacos\beta+sin\alpha sin\beta$2) $cos(\alpha+\beta): cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$3) $sin(\alpha+\beta): sin(\alpha+\beta)=sin\alphacos\beta+cos\alpha sin\beta$4) $sin(\alpha-\beta): sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta$5) $tan(\alpha+\beta):tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}$6) $tan(\alpha-\beta): tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1) $sin2\alpha: sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$2) $cos2\alpha: cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$3) $tan2\alpha: tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$3.常用的公式变形1) $tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}$2) $cos2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}$，$sin2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}$3) $1+sin2\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^2$，$1-sin2\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)^2$，$\sin\alpha+\cos\alpha=2\sin\frac{\alpha+\beta}{4}$基础题必做1.若$tan\alpha=3$，则$\frac{sin2\alpha}{2sin\alphacos\alpha}$的值等于$2tan\alpha=2\times3=6$。