全国联赛代数问题选1. 已 知 实 数 a, b, c 满 足 a b c 1，111 1 ， 则b cb cac a baabc____．【答】 0.由题意知111 1，所以2c 1 2a1 2b1(1 2a)(12b) (1 2b)(1 2c) (1 2a)(1 2c) (1 2a)(1 2b)(12c)整理得 22(a b c) 8abc ，所以 abc0.2． 使得不等式9 n k8对唯一的整数 k 成立的最大正整数n为．17 n 15【答 】 144.由 条 件 得7 k8 ， 由 k 的 唯 一 性 ， 得 k 17 且 k 1 8 ， 所 以8 n 9 n8 n 92 k 1 k18 7 1 144 .nnn9 8 ，所以 n7 2当 n144 时，由7k8 可得 126 k 128 ， k 可取唯一整数值127.8n 9故满足条件的正整数n 的最大值为 144.3． 已知 x, y 为整数，且满足 (11)( 1212 )2(1414 ) ，则 xy 的可能的值x y xy3 xy有 _________ 个【答】 由已知等式得xy x 2 y 22 x 4 y 4 ，显然 x, y 均不为 0，所以 xy ＝ 0xyx 2 y 2 3 x 4 y 4或 3xy2( x y) .若， 则又 x, y 为整数，可求得 x ，3xy 2( x y)( 3x2 ) (y32 ). 4y2,x，y 1或 xy1.所以 xy 1.因此， xy 的可能的值有 3 个 .4．已知非负实数 x, y, z 满足 x y z 1，则 t2xyyz 2zx 的最大值为 _________【答】471( y t 2 xy yz 2zx 2x( y z) yz 2x( y z)z)242x(1 x)1 (1 x) 27 x 23 x 17(x 3) 2 4 ，442 44 7 7易知：当 x32 时， t2xyyz 2zx 取得最大值 4， yz.777 5. 张不同的卡片上分别写有数字2， 2， 4， 4， 6， 6，从中取出 3 张，则这 3 张卡片上 所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】【答】25若取出的 3 张卡片上的数字互不相同，有2× 2×2＝ 8 种取法；若取出的 3 张卡片上的数字有相同的，有 3× 4＝ 12 种取法 . 所以，从 6 张不同的卡片中取出3 张，共有 8＋12＝ 20种取法 .要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（ 2，4，4），（ 4，4， 6），（ 2， 6，6），（ 4， 6， 6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝ 8 种 .82因此，所求概率为.2056． 设 [t ] 表示不超过实数t 的最大整数，令 {t } t [ t] . 已知实数 x 满足 x 3118 ，3{ 1}x则 { x} _________x【答】 1设 x1 a ，则 x31(x1)( x21 1) ( x1)[( x 1 ) 2 3] a( a 2 3) ，xx 3xx 2x x所以 a( a 2 3) 18，因式分解得 ( a3)(a 2 3a6) 0 ，所以 a3.由 x1 3解得 x1(35) ，显然 0{ x} 1,0 {1} 1，所以 { x} { 1} 1.x2xx7．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售 4 元，圆珠笔每支售 7 元．开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是 2013 元．则他至少卖出了支圆珠笔．【答案】 207【解答】 设 x ， y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则4x 7 y 2013，x y 350，所以 x2013 7 y(503 2 y)y 14 4，于是y1是整数．又 20134( xy) 3 y4 350 3y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值为 207，此时 x 141 ．8. 实数 a ， b ， c ， d 满足：一元二次方程x 2 cx d0 的两根为 a ， b ，一元二次方程x 2 ax b 0 的 两 根 为 c ， d ， 则 所 有 满 足 条 件 的 数 组 ( a ，b ，，c d )为．【答案】 (1， 2，1，2) ， (t，0， t，0) （t为任意实数）a b c，【解答】由韦达定理得ab d，c d a，cd b．由上式，可知 b a c d ．若 b d0 ，则a d1，cb1，进而 b d a c 2 ．b d若 b d0 ，则c a ，有(a，b，，c d )(t，0， t，0) （t为任意实数）．经检验，数组(1， 2，1，2) 与 (t，0， t，0) （t为任意实数）满足条件9. 已知正整数a， b ， c满足 a b2 2 c 2 0， 3a28b c0，则 abc 的最大值为．【答案】 2013【解答】由已知 a b22c 2 0 ， 3a28b c0 消去c，并整理得b826a2a66．由a 为正整数及6a2a≤，可得≤ ≤ ．661 a 3若 a 1 ，则 b8259，无正整数解；若 a 2 ，则 b8240，无正整数解；若 a 3 ，则 b829 ，于是可解得 b11 ， b5．（ i）若b11 ，则 c61 ，从而可得 abc311612013 ；（ ii ）若b 5，则c13 ，从而可得 abc3513195．综上知 abc 的最大值为2013．10.对于任意实数 x，y， z，定义运算“ * ”为：x y 3x3 y3x2 y2xy345，x3y36011且 x y z x y z ，则201320123 2 的值为（）．【答案】5463967【解答】设 20132012 4 m ，则20132012 4 3m33m333m29m2745，m33m23m164960于是2013 20123 2 92 3 932 3 92 22 92345 5463 ．103 33 6096711. 设非零实数 a ， b ， c 满足a 2b 3c 0， 则 ab bc ca 的值为（）．2a 3b 4c 0， a 2 b 2 c 2【答案】12【解答】 由已知得 a b c (2 a 3b 4c)( a2b 3c) 0 ，故 ( a b c) 2 0 ．于是 ab bcca1 (a2 b2c 2) ，所以abbc ca 1 ．2a 2b 2c 2212. 如果关于 的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是 _________个答案： 2解： 由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又 2≥，所以，当时，解得；当时，解得．13. 设 a n =（ n 为正整数），则 a 1+a 2+, +a 2012 的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜” ）【答案】 ＜解： 由 a n == ， 得a 1+a 2+, +a 2012==＜ 1.14. 红、黑、白三种颜色的球各10 个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等， 那么共有法．种放【答案】25解： 设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即， （ 2）于是．因此中必有一个取 5．不妨设，代入（ 1）式，得到．此时， y 可取 1，2， , ， 8，9（相应地 z 取 9，8， , ， 2，1），共 9 种放法．同理可得y=5，或者 z=5 时，也各有 9 种放法．但时，两种放法重复．因此共有9× 3－ 2 = 25 种放法．15.5 32)( x 3) 的值为 ( ).设 x，则代数式 x( x 1)( x2【答】﹣ 1解： 由已知得 x 23x 1 0，于是x( x 1)(x 2)( x 3) ( x 2 3x)( x 2 3x2)( x 2 3x 1)211.16. 已知 x ， y ，z 为实数，且满足 x 2y5z 3 ， x 2 y z 5，则 x 2y 2z 2 的最小值为 _____________【答】5411，x 3z，x 2 y 5z 31解： 由x2 y 可得 y z 2.，z 5于是x 2 y 2 z 2 11z 2 2z5 ．因此，当 z1 时， x 2y2z 2的最小值为54．111117. 若 x 1 ， y0 ，且满足 xyx y ， xx 3 y ，则 x y 的值为 ().y【答】92解：由题设可知 yx y 1，于是x yx 3 yx4y 11 1 ．，所以 4 y故 y1 4．于是 x y9 ，从而 x2 ．218.设S1 111 4S 的整数部分等于 ().32 333 ，则132011【答】 4解： 当 k2，3， ，2011 ，因为111 1 1 ，k 3k k 2 1 2 k 1 k k k 1 所以 1 S11 1 1 11 1 152333201132 22011 2012．4于是有 4 4S 5 ，故 4S 的整数部分等于4．19. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1， 3， 4，5， 6， 8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7 的概率是 .【答】 1．6解： 在 36 对可能出现的结果中，有6 对：（1， 6）， （ 2， 5）， （ 2，5）， （3， 4），（3， 4），（4， 3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为 7 的概率是6 1 .36 620. 若 y1 xx 1 的最大值为 a ，最小值为 b ，则 a 2b 2 的值为.2【答】 3．21≥ 0，得 1≤ x ≤ 1．解：由 1 x ≥ 0，且 x22y 21 2 x 2 3 x 1 1 2 ( x3 )2 1 ．22 2 2 4 16由于1<3<1 ，所以当 x = 3 时， y 2 取到最大值 1，故 a = 1．2 4 4当 x = 1 或 1 时， y 2取到最小值1，故 b =2 ．所以， a 2 b 23 ．222221. 若方程 x 2 3x 1 0 的两根也是方程 x 4 ax 2 bx c 0 的根，则 a b 2c 的值为___________答案：﹣ 1122.对于自然数n ，将其各位数字之和记为 a n，如 a2009200911，a2010 2 0 1 0 3 ，则 a1a2a3a2009 a2010_________【答案】 28068.23.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放___ 个球 .【答案】 1524.已知 t 是实数，若a, b是关于 x 的一元二次方程x22x t 10的两个非负实根，则( a21)(b2 1)的最小值是___________.【答案】﹣ 325.如果实数 a, b 满足条件 a2b21，|12a b |2a 1b2a2，则 a b ______.【答案】﹣ 126.已知 a, b 是正整数，且满足2(1515 ) 是整数，则这样的有序数对(a, b) 共有_____ a b对.【答案】 7 对27.设n是大于 1909 的正整数，使得n 1909为完全平方数的n的个数是 ______个2009n【答案】 4 个28.设 a7 1，则3a312 a26a 12__________【答案】 2429.用 [ x] 表示不大于x的最大整数，则方程x22[ x]30 的解为_________【答案】﹣ 3,1，或根号 530.已知实数 x， y 满足423， y4y23，则4y4的值为________x4x2x4【答】 7解：因为 x20 ，y2≥0，由已知条件得1 2 4 4 4 3 1 13 ，y21 1 4 3 1 13，x28422所以4y42 3 3 y22y2 6 7．x4x2x2(22 (222另解：由已知得：2 )x 2)302，以2为根的一元x ，显然x 2 y x 2 , y( y 2 ) y 23 0二次方程为 t 2t 30 ，所以( 2 ) y 21,( 2 )y 23x 2x 24422 2 2 (2 222(3)7故 x4y ＝ [( x 2)y ]x 2 ) y( 1)31. 将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有_______种【答】5种解：设 a 1， a 2，a 3，a 4，a 5 是 1，2， 3， 4， 5 的一个满足要求的排列．首先，对于 a 1，a 2，a 3，a 4 ，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果 a （ 1≤ i ≤ 3）是偶数， a i 1 是奇数，则 a2是奇数，这说明一个偶数后面一定ii要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以 a 1， a 2， a 3，a 4，a 5 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5 种情形满足条件：2， 1， 3，4， 5；2， 3，5， 4， 1；2， 5， 1， 4， 3；4， 3， 1， 2， 5； 4， 5，3， 2， 1．32. 对于实数 u v* ”为： u v uvv ．若关于 x的方程 x (a x)， ，定义一种运算 “14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】 a 0 ，或 a 1 ．解：由 x ( a x)1，得 ( a 1)x 2(a 1)x1 0 ，44a 1，依题意有( a2(a 1)，1) 0解得， a 0 ，或 a 1 ．33. 关于 x ， y 的方程 x 2y 2 208( xy) 的所有正整数解为．x 48， x 160， 【答】y 32， y32.解：因为 208 是 4 的倍数，偶数的平方数除以4 所得的余数为 0，奇数的平方数除以4所得的余数为 1，所以 x ， y 都是偶数．设 x2a, y 2b ，则a 2b 2 104( a b) ，同上可知， a ， b 都是偶数．设 a2c, b 2d ，则c 2d 2 52( c d ) ，所以， c ， d 都是偶数．设 c2s, d2t ，则s 2 t 226( s t) ，于是( s 13)2 (t 13)2 ＝ 2 132 ，其中 s ， t 都是偶数．所以(s 13)2 2 132 (t 13)2 ≤ 2 132 152 112 ．所以 s13 可能为 1，3，5， 7， 9，进而 (t 13)2 为 337， 329，313，289， 257，故只s ，s，能是 (t13)2＝289，从而 s13 ＝ 7．于是620t；t，44x ，x，因此48 160y ， y 32.3222 1) b(b 2a)40 ， a(b 1) b8 ，求 1 1的值．34．设实数 a,b 满足 a (ba2b 2解 由已知条件可得 a 2b 2 (a b)240， ab ( a b)8 .设 ab x ， aby ，则有 x 2y 2 40 ， x y 8 ，,,,, 5 分 联立解得 ( x, y) (2,6) 或 ( x, y)(6,2) .,,,10 分若 ( x, y)(2,6) ，即 ab2 ， ab 6 ，则 a, b 是一元二次方程 t 22t 6 0的两根，但这个方程的判别式( 2)224200，没有实数根；,,,, ,15 分若 ( x, y) (6,2) ，即 ab 6 ，ab 2 ，则 a, b 是一元二次方程 t 2 6t2 0 的两根，这个方程的判别式( 6)2 8 28 0 ，它有实数根 . 所以11a2b2( a b) 22ab 62 2 28 .,,,20 分a2b2a2b2a2 b22235. 已知 c≤ b≤ a，且，求的最小值．解：已知，又，且，所以 b， c 是关于 x 的一元二次方程的两个根 .故≥0，≥ 0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥ 10，从而≥≥ 10，故≥ 30，当时，等号成立．36.求关于 a， b， c，d 的方程组的所有正整数解.解：将 abc=d 代入 10ab+10bc+10ca=9d 得10ab+10bc+10ca=9 abc.因为 abc≠ 0，所以，.不妨设 a≤ b≤ c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而， a=2，或 3.若 a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤ 5.从而， b=3 ， 4，5. 相应地，可得c=15，(舍去 )， 5.当a=2， b=3， c=15 时， d=90 ；当a=2， b=5， c=5 时， d=50.若 a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而， b=2（舍去）， 3.当 b=3 时， c=(舍去 ).因此，所有正整数解为(a， b， c，d)=(2 ，3， 15， 90)， (2， 15，3， 90)， (3， 2，15， 90)，(3， 15， 2， 90)， (15， 2， 3， 90)， (15，3， 2， 90)，(2， 5， 5，50)， (5， 2，5， 50)， (5， 5，2， 50).37. 已知关于x 的一元二次方程x2cx a 0 的两个整数根恰好比方程x2ax b0 的两个根都大 1，求a b c 的值.解：设方程 x2ax b 0 的两个根为，，其中，为整数，且≤ ，则方程 x2cx a0 的两根为1， 1 ，由题意得a，1 1 a ，,,,,,,,,,,,, 5 分两式相加，得221 0，即 (2)(2)3，2 ，2 ，所以，1或 3,,,,,,,,,,,,10 分2 ；21.3解得 ， 或，15； 3.1又因为 a （），b ， c （[ 1）（ 1）]，所以 a 0， b 1， c2 ；或者 a8， b 15， c 6 ，故 a b c 3 ，或 29.,,,,,,,,,,,,,,,,,,20 分38. 设整数 a,b, c （ a b c ）为三角形的三边长，满足a 2b 2c 2 abac bc 13 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数 .解 由已知等式可得(a b)2 (b c)2(a c)226①令 a b m, b cn ，则 a c m n ，其中 m,n 均为自然数 .于是，等式①变为m 2 n 2 (m n)226，即m 2 n 2 mn 13②由于 m, n 均为自然数， 判断易知，使得等式②成立的 m, n 只有两组：m 3, m 1,n和n3.1（ 1）当 m 3, n 1 时， b c 1， ab 3c 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以 b c a ， 即 (c 1) c c 4， 解 得 c 3.又因为三角形的周长不超过 30，即a b c( c4) ( c 1)c25 3 c25 ，所以 c 可以取值 4， 5，30，解得 c.因此 336， 7， 8，对应可得到5 个符合条件的三角形 .（ 2）当 m 1,n 3 时， b c 3 ， ab 1c 4. 又 a,b, c 为三角形的三边长，所以 b c a ， 即 (c 3) c c 4， 解 得 c 1.又因为三角形的周长不超过 30，即a b c( c4) ( c 3)c23 1 c23 ，所以 c 可以取值 2， 3，30，解得 c.因此 334， 5， 6， 7，对应可得到 6 个符合条件的三角形 .综合可知：符合条件且周长不超过30 的三角形的个数为 5＋ 6＝ 11.39. 已知 a, b, c 为正数，满足如下两个条件：a b c 32① b c a c a ba b c1②bccaab4是否存在以 a, b, c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法 1将①②两式相乘，得 (bc a c a ba bc)( a b c)8 ，bccaab即(b c)2a 2(c a)2 b 2( a b) 2 c 28 ，bccaab即 (b c)2a 24 (c a) 2 b 24 (a b)2c 2 0，bccaab即 (b c)2a 2(c a)2 b 2 (a b) 2 c 20 ，bccaab即 (bc a)(b c a)(c a b)(c ab) ( a b c)( a b c)0 ，bccaab即 (bca) [ a(b c a)b(c a b) c( a bc)]0 ，abc即 (b c a)[2 ab a2b2c 2] 0 ，即(b ca) [ c 2( a b)2 ] 0 ，abcabc即 (bc a) (c a b)(c a b) 0 ，abc所以 b c a 0 或 c a b 0 或 c ab 0 ，即 b ac 或 ca b 或 c b a .因此，以a ,b ,c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°. 解法 2结合①式，由②式可得32 2a32 2b32 2c1bccaab，4变形，得 10242(a2b2c 2)1abc③4又由①式得 (ab c) 2 1024 ，即 a 2 b 2c 2 1024 2(ab bcca) ，代入③式，得 10242[1024 2( ab bcca)]1abc ，4即 abc 16( ab bc ca) 4096 .(a 16)(b 16)(c 16) abc16(ab bc ca) 256(ab c) 1634096256 32 163 0 ，所以 a16 或 b 16 或 c 16 .结合①式可得 b a c 或 c a b 或 c b a .因此，以a ,b ,c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.40. 已知 a,b 为正整数，关于x 的方程 x 2 2ax b 0 的两个实数根为 x 1，x 2 ，关 于 y的 方 程 y 22ay b 0的 两 个 实 数 根 为 y 1，y 2，且满足x 1 y 1 x 2 y 2 2008.求 b 的最小值 .解：由韦达定理，得x 1 x 2 2a,x 1 x 2b ； y 1 y 22a,y 1 y 2b即y 1 y 2 2a (x 1x 2)( x 1) ( x 2),y 1 y 2 b ( x 1 ) ( x 2 )解得：y 1 x1或y1x 2y 2x 2y 2x 1把y 1 , y 2的值分别代 入x 1 y 1 x 2 y 2 2008得x 1 ( x 1 ) x 2 ( x 2 )2008或 x 1 ( x 2 ) x 2 ( x 1 ) 2008 （不成立）即x 2 2 x 12 2008 ， ( x 2 x 1 )( x 2 x 1 ) 2008因为x 1x 2 2a 0, x 1 x 2b 0所以 x 1 0, x 2 0于是有 2a 4a 2 4b2008即 a a 2b502 1 5022 251因为a,b都是正整数， 所以a 1或a 505或a 22或a 251a 2b2a 2a 2ba 2b 4502 b 1251a 1a 502 a 2 a 251分别解得：b 1 2 或 b 2 或 b 2 2 或24502 502 1 251 b 251经检验只有： a 502 ， a 251 符合题意 .b 5022 b 2512 41所以 b 的最小值为：b 最小值2512 4＝62997。
