2020年中考复习 几何代数综合题 的解法(2)

2020重庆中考复习数学几何最值常见求解方法一、利用垂线段最短求最值例1、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）A．4B．42C．421D．842解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝8，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝8﹣8∵∠DAE＝45°＝∠BAC，∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF，∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为828842 2例2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是．解：如图，在AC上取一点G，使CG＝CD，连接EG，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2?cos45°＝2，∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等腰直角△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∵CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2﹣2，∴EG ＝AG?sin45°＝（2﹣2）×＝2﹣，∴DF ＝2﹣．例3、如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，E 是AC 的中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，AF 的最小值是．BDAFH CEG P解法一：如图，连接BE ，延长EC 到N ，使EN ＝BE ，连接FN ，过点A 作AG ⊥BC 于G ，过点A 作AH ⊥FN 于H ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝12，E 是AC 中点，AG ⊥BC ，∴AC ＝AB ＝12，AE ＝EC ＝6，BE ⊥AC ，∠GAC ＝∠EBC ＝30°，BE ＝2＝EN ，∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，∴DE ＝EF ，∠DEF ＝90°，∵∠BEC ＝∠DEF ＝90°，∴∠BED ＝∠FEN ，且DE ＝EF ，BE ＝EN ，∴△BED ≌△NEF （SAS ），∴∠EBC ＝∠ENF ＝30°，∴∠GAC ＝∠ENF ，∴AG ∥NF ，∴点F 在过点N 且平行于AG 的直线上，∴当AF ⊥FN 时，AF 的值最小，∵AH ⊥FN ，∠ENF ＝30°，∴AH ＝AN ＝（2+2）＝1+，∴线段AF 的最小值为1+，解法二：如图所示，过E 作EG ⊥BC 于G ，过A 作AP ⊥EG 于P ，过F 作FH ⊥EG 于H ，则∠DGE ＝∠EHF ＝90°，∵∠DEF ＝90°，∴∠EDG +∠DEG ＝90°＝∠HEF +∠DEG ，∴∠EDG ＝∠FEH ，又∵EF ＝DE ，∴△DEG ≌△EFH （AAS ），∴HF ＝EG ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝4，AE =AC=2，CE ＝2，∠AEH ＝∠CEG ＝30°，∴CG ＝CE =1，AP ＝AE ＝1，∴EG ＝CG ＝，∴HF ＝EG ＝，∴当点D 运动时，点F 与直线GH 的距离始终为个单位，∴当AF ⊥EG 时，AF 的最小值为AP +HF ＝1+，二、利用二次函数求最值例4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝15，BC ＝9，点P 是线段AC 上的一个动点，连接BP ，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6，∴AE+DE＝6，设AE＝x，DE=6﹣x，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝x 2+（6﹣x）2=2（x﹣3）2+18，当x＝3时，AD有最小值为3，例5、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为 .MN解：如图，过点E作EM⊥CD于M，过点E作EN⊥CB于N．设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，22222BE EN NB x x x，(8)2(4))32x时，BE的值最小，最小值为4．∴当4AB AC BC，D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作正例6、如图,在△ABC中，5,45方形CDEF，连接BE，则BDE面积的最大值为.解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．三、利用三角形三边的关系求最值例7、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH ⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．图1 图2解法一：如图1，取BC中点G，连接HG，AG，∵CH⊥DB，点G是BC中点，∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，在Rt△ACG中，AG＝＝2，在△AHG中，AH≥AG﹣HG，即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，解法二：如图2，∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝BC＝2．当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝2﹣2．四、利用两点之间线段最短求最值例8、如图，菱形ABCD 的边长为6，对角线AC ＝6，点E ，F 在AC 上，且EF ＝2，则DE +BF 的最小值为．解：如图，作DM ∥AC ，使得DM ＝EF ＝2，连接BM 交AC 于F ，∵DM ＝EF ，DM ∥EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE ＝FM ，∴DE +BF ＝FM +FB ＝BM ，根据两点之间线段最短可知，此时DE +FB 最短，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝3，在Rt △ADO 中，OD ＝＝3，∴BD ＝6，∵DM ∥AC ，∴∠MDB ＝∠BOC ＝90°，∴BM ＝＝＝2．∴DE +BF 的最小值为2．五、利用将军饮马求最值例9、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，点E ，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），且EF ＝1，则四边形ABFE 周长的最小值为．FADBCNME解：在AB 上截取AM ＝EF ，作点M 关于直线DC 的对称点N ，连接BN 交CD 于F ，此时四边形AEFB的周长最小．四边形AEFB的周长的最小值＝AB +EF +AE +BF ＝AB +EF +MF +BF ＝AB +EF +NF +BF ＝AB +EF +NB ＝4+1+223+4＝10，六、利用胡不归求最值例10、（2019?南通）如图，ABCD Y 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB+PD的最小值等于．解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD ∴∠EDP ＝∠DAB ＝60°，∴sin ∠EDP ＝∴EP ＝PD ∴PB +PD ＝PB+PE ，∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ，∵sin ∠A ＝＝∴BE ＝3七、利用阿氏圆求最值例11、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN 沿BN 翻折得到BM N .连接AM 、.CM 则223CMAM的最小值为.解：在BM 上截取BQ=23，2,3BQ BM QBM M BA BMBA Q，.BQM BM A :1,3QM BQM A BM 1,3QMM A 2122()2()33CMAM CM AM CMQM 当Q M C 、、三点共线时，=CM QM QC 有最小值为：22222237=()4.33QC BQBC223CMAM 的最小值为4373.。

中考数学代数综合题解题方法探究一、问题解析和示例探究在中考数学中，常常会出现代数综合题，要求学生利用代数知识解决实际问题。

解决这类问题通常需要学生将实际问题转化为代数表达式，并通过代数运算来求解。

本文将探究解决代数综合题的方法，并通过具体示例来进行说明。

假设有一个代数综合题：甲、乙两人共有80个苹果，已知甲比乙多10个苹果，那么甲和乙各有多少个苹果？我们可以通过以下步骤来解决这个问题：步骤一：设甲拥有苹果的个数为x，乙拥有苹果的个数为y。

步骤二：根据题目中的条件，可以得到一个等式：x + y = 80，另一个等式：x - y = 10。

步骤三：将这两个等式联立，解方程组。

我们可以通过消元法来解这个方程组：将第一个等式乘以-1，得到-x - y = -80。

将第二个等式与之相加，得到2x = -70。

解这个方程可以得到x = -35。

将x = -35代入第一个等式，可以得到-35 + y = 80，解得y = 115。

所以，甲拥有的苹果个数为-35个，乙拥有的苹果个数为115个。

通过这个示例，我们可以看到解决代数综合题的方法是：先设出未知数，再根据题目条件得到一个或多个等式，最后通过运算解方程得到未知数的值。

二、进一步讨论和补充说明在解决代数综合题时，还有一些常见的解题方法。

1. 代入法：当题目中给出一个等式，而另一个等式较为复杂时，我们可以利用已知等式将其中一个未知量表示出来，再代入另一个等式求解。

这种方法一般适用于两个未知量的情况。

2. 几何解法：在某些代数综合题中，可以利用几何图形的性质来解决问题。

这种方法一般适用于几何问题和图形问题。

3. 变量代换法：有时候，我们可以引入一个新的变量来进行代换，以简化问题。

这种方法可以减少运算步骤，使问题更易于解决。

除了以上方法，解决代数综合题还需要学生具备一些基本的代数知识和解题技巧。

首先，学生要熟练掌握代数表达式的运算规律，包括基本的四则运算、指数运算和分数运算等。

专题20 几何与代数综合性及易错问题题型一：几何与代数综合性问题尺规作图、利用代数方法解决图形存在性（最值、性质）问题等题型二：易错题型基于分类讨论的题型.【例1】(2019·洛阳二模)如图，直线y =-x +4与 x 轴、y 轴的交点为A ，B ．按以下步骤作图：43①以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB ，x 轴于点 C ，D ；②分别以点 C ，D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧在∠OAB 内交于点M ；③作射线AM ，交 y 12轴于点E ．则点 E 的坐标为【答案】（0，）.32【解析】解：过点E 作EF ⊥AB 于F ，如图所示，在y =-x +4中，当x =0时，y =4；当y =0时，x =3，43即A (3,0)，B （0,4），在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB =5，由题意的尺规作图方法可知，AM 为∠BOA 的平分线，∴EO =EF ，∴△OAE ≌△FAE ，∴OA =AF =3，∴BF =AB －AF =2，设OE =x ，则EF =x ，BE =4－x ，在Rt △BEF 中，由勾股定理得：（4－x ）2=x 2+22，解得：x =，即OE =，3232∴答案为：（0，）.32【变式1-1】(2019·偃师一模)如图，点A (0，2)，在 x 轴上取一点 B ，连接 AB ，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，AB 于点 M ，N ，再以 M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于12点D ，连接 AD 并延长交 x 轴于点 P ．若△OPA 与△OAB 相似，则点 P 的坐标为【答案】0）.23【解析】解：由题意知，AP 为∠OAB 的平分线，∴∠OAP =∠BAP ，∵△OPA 与△OAB 相似，∴∠OPA =∠OAB =2∠OAP ，∴∠OAP =30°，∵OA =2，∴OP =OA ·tan即P 0）.【变式1-2】（2018·河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =kx （k >0）分别交反比例函数和在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交的图1y x =9y x =1y x =象于点C ，连接AC ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是__________．.3715【解析】解：联立y =kx ，，得：1y x=x ，y ，即A )，k kk 同理，得点B 的坐标为，k k ∵BD ⊥x 轴，∴C ），kk ∴BC ，BC ，k k 3kk k ∴A不在BC 的垂直平分线上，即AB ≠AC，（1）当AB =BC 时，即AB 2=BC 2，，(222⎛+= ⎝解得：k k =（舍）；（2）当AC=BC 时，即AC 2=BC 2,，222⎛+=- ⎝解得：k 或k =（舍）；.【例2】（2019·偃师一模）当-2≤x ≤1时，二次函数 y =-(x -m )2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为或2.【解析】解：①当-2≤m ≤1时，x =m 时，y =4，即m 2+1=4，解得：m （舍）或m =，②当m <－2时，x =－2时，y =4，即-(-2-m )2+m 2+1=4，解得：m =（舍）；74-③当m >1时，x =1时，y =4，即-(1-m )2+m 2+1=4，解得：m =2，综上所述，m 2.3【变式2-1】 (2019·洛阳二模)四张背面相同的扑克牌，分别为红桃 1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为 a ，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为 b ，则点(a ，b )在直线 y =x +1 上方的概率是【答案】.14【解析】解：抽到的点数有序数对为：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），共12中可能，只有（1,2），（2,3），（3,4）三个点在直线y =x +1上，即点(a ，b )在直线 y =x +1 上方的概率是，31=124故答案为：.14【变式2-2】（2018·信阳一模）如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为P 1，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P 2，则（ ）A ．P 1＞P 2B ．P 1＜P 2C ．P 1=P 2D ．以上都有可能【答案】A .【解析】解：由图甲可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，∴在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P 1=，63168=由图乙可知，黑色方砖3块，共有9块方砖，∴在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P 2=，3193=∴P 1＞P 2；故答案为：A ．1.（2018·焦作一模）如图，在直角坐标系中，正方形ABCO 的点B 坐标（3，3），点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，对角线AC 上一动点E ，连接BE ，过E 作DE ⊥BE 交OC 于点D ．若点D 坐标为（2，0），则点E 坐标为 ．【答案】（1，2）.【解析】解：过点E 作EH ⊥OC 于H ，延长HE 交AB 于F ，连接OE ，∵四边形ABCO 是正方形，∴AB ∥OC ，∠OAB =∠AOC =90°，∠OAC =∠BAC =∠OCA =45°，OA ∥BC ，∴FH ∥OA ，∴∠HEC =∠OAC =∠OCA = 45°，∠BFH =∠OAB =90°，∠DHE =∠AOC =90°，∴EH =CH =BF ，∠EBF =∠DEH ，∴△BEF ≌△EDH ，∴BE =DE ，∵点D 坐标为（2，0），即OD =2，由正方形性质得：OE =BE =DE ，∵FH ⊥OC ，∴OH =DH =OD =1，12∴EF =DH =1，∵FH =OA =3，∴EH =2，∴点E 的坐标为（1，2），∴答案为：（1，2）．2.（2018·焦作一模）如图1，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接BE ，CD ，点M 、N 、P 分别是BE 、CD 、BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN 的形状是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN 的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =1，AB =3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．图1 图2【答案】（1）等边三角形；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠ABC =∠ACB =60°，∵AD =AE ，∴BD =CE ，∵点M 、N 、P 分别是BE 、CD 、BC 的中点，∴PM ∥CE ，PM = CE ，PN ∥AD ，PN = BD ，1212∴PM =PN ，∠BPM =∠BCA =60°，∠CPN =∠CBA =60°，∴∠MPN =60°，∴△PMN 为等边三角形；答案为等边三角形；（2）△PMN 的形状不发生改变，理由如下：连接CE 、BD ，∵AB =AC ，AE =AD ，∠BAC =∠DAE =60°，由旋转性质得：BD =CE ，∠ABD =∠ACE ，∵点M 、N 、P 分别是BE 、CD 、BC 的中点，∴PM ∥CE ，PM =CE ，PN ∥AD ，PN =BD ，1212∴PM =PN ，∠BPM =∠BCE ，∠CPN =∠CBD ，∴∠BPM +∠CPN =∠BCE +∠CBD=∠BCA +∠ACE +∠CBD=∠BCA +∠ABD +∠CBD=∠BCA +∠ABC=120°，∴∠MPN =60°，∴△PMN 为等边三角形．（3）∵PN =BD ，12∴当BD 的值最大时，PN 的值最大，当A 、B 、D 共线时且A 在B 、D 之间时，BD 取最大值，此时BD =1+3=4，∴PN 的最大值为2，即△PMN 的周长的最大值为6．3.（2019·三门峡二模）如图，正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与x 轴交于E ，F ，连接BE ，DF ，若正方形ABCD 的顶点B ，D 在双曲线y ＝上，实数a 满足＝1，则四边形a x 1a a -DEBF 的面积是（）A ．B ．C ．1D ．21232【答案】D .【解析】解：∵实数a 满足＝1，1a a -∴a ＝±1，又∵a ＞0，∴a ＝1，∵正方形ABCD 的顶点B ，D 在y ＝上，a x ∴S 矩形BGOF ＝1，∵正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，∴S 平行四边形DEBF ＝S 矩形ABFEF ＝2S 矩形BGOF ＝2×1＝2，故答案为：D ．4.（2019·省实验一模）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，以大于BC 12的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．如果CD ＝AC ，∠ACB ＝105°，那么∠B 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】B ．【解析】解：由尺规作图可得：MN 垂直平分BC ，∴DC ＝BD ，∴∠DCB ＝∠DBC ，∵DC ＝AC ，∴∠A ＝∠CDA ，设∠B 为x ，则∠BCD ＝x ，∠A ＝∠CDA ＝2x ，∴x +2x +105°＝180°，解得：x ＝25，即∠B ＝25°，故答案为：B ．5.（2019·省实验一模）如图，点A （m ，5），B （n ，2）是抛物线C 1：y ＝x 2﹣2x +3上的两点，将抛12物线C 1向左平移，得到抛物线C 2，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C 2的解析式是（ ）A ．y ＝（x ﹣5）2+1B ．y ＝（x ﹣2）2+41212C ．y ＝（x +1）2+1D ．y ＝（x +2）2﹣21212【答案】C ．【解析】解：∵y ＝x 2﹣2x +312＝（x ﹣2）2+1，12∵阴影部分的面积为9，A （m ，5），B （n ，2），∴3BB ′＝9，∴BB ′＝3，即将C 1沿x 轴向左平移3个单位长度得到C 2的图象，∴C 2的函数表达式是y ＝（x +1）2+1．12答案为：C ．6.（2019·省实验一模）如图，网格线的交点称为格点．双曲线y ＝与直线y ＝k 2x 在第二象限交于1k x格点A ．（1）填空：k 1＝ ，k 2＝ ；（2）双曲线与直线的另一个交点B 的坐标为 ；（3）在图中仅用直尺、2B 铅笔画△ABC ，使其面积为2|k 1|，其中点C 为格点．【答案】（1）﹣2；﹣2；（2）（1，﹣2）；（3）见解析．【解析】解：（1）由图可得：A （﹣1，2），将点A （﹣1，2）分别代入双曲线y ＝和直线y ＝k 2x ，1k x 可得：k 1＝﹣2，k 2＝﹣2，（2）由对称性可知，两函数图象的另一个交点与A （﹣1，2）关于坐标原点对称，∴B （1，﹣2）；（3）∵k 1＝﹣2，∴2|k1|＝4，∴满足条件的点C有四个，如图所示．7.（2019·叶县一模）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．（1）如图1，试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数；（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．图1 图2 图3【答案】见解析.【解析】解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由：延长FM交BD于点N，由题意得：△BAD≌△MAF．∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．∵∠DMN ＝∠AMF ，∴∠ADB +∠DMN ＝∠AFM +∠AMF ＝90°，∴∠DNM ＝90°，∴BD ⊥MF ．（2）由题意知，∠KAF <90°，①当AF =AK 时，∠AKF =∠F =30°，此时∠KAF =120°，不符题意，此种情况不存在；②当AK ＝FK 时，∠KAF ＝∠F ＝30°，则∠BAB 1＝180°﹣∠B 1AD 1﹣∠KAF ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，即β＝60°；③当AF ＝FK 时，∠FAK ＝75°，∴∠BAB 1＝90°﹣∠FAK ＝15°，即β＝15°；综上所述，β的度数为60°或15°；（3）由题意得四边形PNA 2A 是矩形，设A 2A ＝PN ＝x ，在Rt △A 2M 2F 2中， F 2M 2＝FM ＝16，∠F ＝∠ADB ＝30°，∴A 2M 2＝8，A 2F 2＝，3∴AF 2＝x ．3同理，AP ＝8﹣x ，3∴PD ＝AD ﹣AP ＝﹣8+x．∵NP ∥AB ，∴，PN DP AB AD=∴，8x =解得x8.（2019·濮阳二模）若函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x +m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为32（ ）A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣3【答案】C ．【解析】解：（1）当m ＝1时，函数解析式为：y ＝﹣6x +，是一次函数，图象与x 轴有且只有一个32交点，（2）当m ≠1时，函数为二次函数，∴62﹣4×（m ﹣1）×m ＝0，32解得：m ＝﹣2或3，故答案为：C ．9.（2019·濮阳二模）如图，点A 在双曲线y =（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，分别k x 以点O 和点A 为圆心，大于OA 的长为半径作弧，两弧相交于D ，E 两点，作直线DE 交x 轴于点C ，交y 12轴于点F （0，2），连接AC ．若AC ＝1，则k 的值为（ ）A ．2B ．CD 3225【答案】B ．【解析】解：设OA 交CF 于K ．由作图方法可知，CF 垂直平分线段OA ，∴OC ＝CA ＝1，OK ＝AK ，在Rt △OFC 中，由勾股定理得：CF ，由三角形的面积知：AK ＝OK∴OA 由△FOC ∽△OBA ，可得：，OF OC CF OB AB AO ==∴，21OB AB ==∴OB ＝，AB ＝，8545即A （，），8545∴k ＝．3225∴答案为：B ．10.（2019·商丘二模）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形OA ′B ′C ′，A ′B ′与BC 交于点M ，延长BC 交B ′C ′于N ，若A ，0），C （0，1），则点N 的坐标为3（ ）A ．1）B ．（2，1）C ．－2，1）D ．（1，1）【答案】B .【解析】解：连接ON ，取∠ONE ＝∠NOC ，由旋转性质得：C 'O ＝CO ，∠COC '＝30°∵CO ＝C 'O ，NO ＝NO∴Rt △CON ≌Rt △C 'ON （HL ）∴∠NOC ＝∠NOC '＝15°∴∠ONE ＝∠NOC ＝15°∴∠NEC ＝30°，NE ＝EO∵NC ⊥OC ，∠NEO ＝30°∴NC ＝NE ，CE NC 123∵CE +OE ＝1∴2NC NC ＝13∴NC 3即点N ，1）3所以答案为：B ．11.（2019·开封模拟）如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为 ．【答案】12.【解析】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠GDF ，∠BAF ＝∠DGF ，∴△ABF ∽△GDF ，∴＝2，AF AB GF DG∴AF ＝2GF ＝4，∴AG ＝6．由题意得：CG 为△EAB 的中位线，∴AE ＝2AG ＝12．所以答案为：12．12.(2019·新乡一模) 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：①分别以点A 、D 为圆心，以大于AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ；②连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；③连接12DE 、DF ．若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D .【解析】解：由作图方法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线，∴AE ＝DE ，AF ＝DF ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴∠EDA ＝∠CAD ，∴DE ∥AC ，同理，DF ∥AE ，∴四边形AEDF 是菱形，∴AE ＝DE ＝DF ＝AF ，∵AF ＝4，∴AE ＝DE ＝DF ＝AF ＝4，由DE ∥AC ，得：，BD BE CD AE=∵BD ＝6，AE ＝4，CD ＝3，∴BE ＝8，故答案为：D ．13.（2017·西华县一模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，且BC =2，则AB = ．1．5+【解析】解：作∠ABC 的平分线交AC 于D ，∵AB =AC ，∠A =36°，∴∠ABC =∠C =72°，∴∠ABD =∠CBD =36°，∴DA =DB ，∴∠BDC =∠A +∠ABD =72°，∴BD =BC =2，∴AD =BC =2，∵∠CBD =∠A ，∠BCD =∠ACB ，∴△BCD ∽△ABC ，∴BC ：AC =CD ：BC ，∴BC 2=AC •CD ，即：，()222AC AC =⋅-解得：AC AC =1（舍）即AB .14.（2019·省实验一模）如图，点A （m ，5），B （n ，2）是抛物线C 1：y ＝x 2﹣2x +3上的两点，将12抛物线C 1向左平移，得到抛物线C 2，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C 2的解析式是（ ）A ．y ＝（x ﹣5）2+1B ．y ＝（x ﹣2）2+41212C ．y ＝（x +1）2+1D ．y ＝（x +2）2﹣21212【答案】C ．【解析】解：y ＝x 2﹣2x +312＝（x ﹣2）2+1，12∵曲线段AB 扫过的面积为9，A （m ，5），（n ，2）∴四边形ABB ’A ’为平行四边形，且BB ’边上的高为3，即3BB ′＝9，∴BB ′＝3，新函数图象是将函数y ＝（x ﹣2）2+1的图象沿x 轴向左平移3个单位长度得到，12∴新图象的函数表达式是y ＝（x +1）2+1．12故答案为：C ．15.（2019·郑州联考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点C 为圆心，以大于AC 的12长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若∠B ＝34°，则∠BDC 的度数是（ ）A．68°B．112°C．124°D．146°【答案】B．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，∴∠A＝56°，由作图方法可知：DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DCA＝∠A＝56°，∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，故答案为：B．16.（2019·郑州联考）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF 与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为cm2．【答案】41．【解析】解：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴S△EFC＝S△BCF，S△EFQ＝S△BCQ，S △EFD ＝S △ADF ，S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，∴S 四边形EPFQ ＝41cm 2，故答案为：41．17.（2019·安阳二模）如图，在△ABC 中，∠C ＝50°，∠B ＝35°，分别以点A ，B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．则∠DAC 的度数为（ ）A ．85°B ．70°C ．60°D ．25°【答案】C ．【解析】解：在△ABC 中，∠B ＝35°，∠C ＝50°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝95°，由作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴DA ＝DB ，∴∠DAB ＝∠B ＝35°，∴∠CAD ＝∠BAC ﹣∠DAB ＝60°，故答案为：C ．18.（2019·枫杨外国语三模）如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O (0，0)，A (0，3)， B (4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 OC ，OB 于点 D ，E ；②分别以点 D ，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点F ；③作射线OF ，交边BC 于点12G ，则点G 的坐标为()A ．(4，)B ．(，4)C ．(，4)D ．(4，)43435353【答案】A ．【解析】解：由作图方法知，OG 是∠BOC 的平分线，过G 作GH 垂直AC 于H ，∴GH =BG ，由题意知：∠CBO =90°，BC =3，OB =4，由勾股定理知：OC =5，∵OG =OG ，GH =BG ，∴Rt △OGH ≌Rt △OGB ，∴OB =OH =4，∴CH =1，设G （4，m ），则BG =m ，CG =3－m ，CH =1，∴(3－m )2=m 2+1，解得：m =，43即G (4, )，答案为：A .4319.（2019·中原名校大联考）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步作图：①分别以点A ，D 为圆心，以大于AD 的长为半径在AD 两侧作弧，两弧交于两点M ，N ；②作直线MN 分别交AB ，AC 于点12E ，F ；③连接DE ，DF ，若BD ＝6，AE ＝4，CD ＝3，则CF 的长是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C ．【解析】解：由作图方法知：EF 垂直平分AD ，设AD 、EF 交于O ，∴AE ＝DE ，AF ＝DF ，EF ⊥AD ，∵AD 平分∠BAC ，得：△AEO ≌△AFO ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ＝4，∴四边形AEDF 为菱形，∴DF ∥AB ，∴，CF CD AF BD∴CF ＝2．故答案为 ：C ．20.（2019·许昌月考）任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH 、HF 、FG ，GE ，则下列结论中，不一定正确的是（ ）A ．△EGH 为等腰三角形B ．△EGF 为等边三角形C ．四边形EGFH 为菱形D ．△EHF 为等腰三角形【答案】B ．【解析】解：由作图方法知，GH 是线段EF 的垂直平分线，∵EG =EH ，∴△EGH 是等腰三角形．即A 正确；∵EG =GF ，∴△EFG 是等腰三角形，由图知，EF 不一定等于EG ，即B 错误．∵EG =EH =HF =FG ，∴四边形EHFG 是菱形．即C 正确．∵EH =FH ，∴△EFH 是等腰三角形．即D 正确．故答案为：B．。

≥0的解集． 9.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣
）×（ + + ）． 令 + + =t，则 原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t =t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2 = 问题： （1）计算 （1﹣
﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣
的代数式表示 ）； （2）设该格点多边形外的格点数为 ，则 =
二、应用题 3.定义运算max{a， b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a， b}=b．如max{﹣3，2}=2． （1）max{ ， 3}= 3 ； （2）已知y1= 和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{ ，k2x+b}= ，结合图象，直接写出x的取值范围； （3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．
归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等 式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式； 拓展应用 (3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中 点，BE⊥EG，AD＝ ，AB＝3．求AF的长．
5.阅读理解 材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行 的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯 形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有 以下性质： 梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半． 如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC ∵E、F是AB、CD的中点 ∴EF∥AD∥BC EF=

中考代数综合题方法总结
哇塞，同学们！今天咱就来好好唠唠中考代数综合题的方法总结！就比如说这道题啊，“若 x+3y=5 ，求 2x+6y 的值”，这就是很典型的可以用整体代入法的题呀！
咱先来说说整体代入法，就好比你组装一个模型，有时候你不需要一个一个零件去摆弄，而是可以把一组相关的零件当成一个整体直接用，多高效啊！像上面那道题，把 2x+6y 变形为 2(x+3y)，然后直接把 x+3y=5 代进去，一下子答案就出来啦！再比如“已知 3a+2b=7，求 6a+4b 的值”，这不就很明显可以用整体代入嘛！
然后呢，是方程思想。

哎呀，这可是个超级厉害的武器！就像你去探索一个神秘的世界，方程就是你的地图！比如说，“一个数的 2 倍比这个数大5，求这个数”，那就设这个数为 x，列出 2x=x+5 这样的方程，解出来不就知道答案啦！这多神奇啊！
还有分类讨论法哟！就像是走迷宫，有时候得根据不同情况选择不同的路。

比如“x-2=3，求 x 的值”，那就要分两种情况，x-2 是 3 或者 x-2 是-3，然后分别求出 x 的值。

这是不是很有意思呀！
同学们，这些方法可都是咱在中考战场上的有力武器啊！好好掌握它们，那些代数综合题就不再是难题啦！咱肯定能在中考中把它们统统拿下！加油吧！。

专题十八：几何问题代数化类型探究【导例引入】导例：如何求tan15°的值？解析：tan15°求取我们可以借助30°的直角三角形，如下图，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，延长CA到D，使AD=AB，连接BD，则∠BDC=15°,令BC=1，则AC=，AB=AD=2.从而可以求得tan15°=＝2－.【方法指引】华罗庚教授曾说过：“数缺形少直观，形少数难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”.我们在处理某些几何类数学问题时，可以通过相应的知识联系，结合题型特征，把相应的几何问题代数化.代几题型特点：一种是以几何图形为载体，通过线段，角等图菜寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型来求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化，形象化，以形导数，由数思形，从而寻找解题捷径，解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中找寻这两部分知识之间的结合点，从而发现解题的突破口.[【例题精讲】类型一：构建方程或代数式来几何问题代数化例1．已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动.(1)如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．类型二：建立平面直角坐标系来处理相应问题例2.（2019年黄石市）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时（）．A．B．C．D．【分析】设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，根据矩形的性质可得△ABE.△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2，再证明CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出的值．【专题过关】1．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为．2．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P 与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论:○1EF＝OE；○2S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；○3BE＋BF＝OA；○4在旋转过程中，当△BEF 与△COF的面积之和最大时，AE＝；○5OG·BD=AE2+CF2. 其中正确的是___．3．如图1，菱形ABCD对角线AC，BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A，B，C，D分别在四边形EFGH的边EF，FG，GH，HE上．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知＝2，且菱形ABCD 的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．4．某市规划在市中心广场内修建一个矩形的活动中心，如图3，矩形OABC是它的规划图纸，其中A为入口，已知OA=30，OC=20，点E是边AB的中点，点D是边OA上一点，若将△ABD沿BD翻折，点A恰好落在边BC上的点F处，在点F处设一出口，点M，N 分别是边OA，OC上的点，现规划在点M，N，F，E四处各安置一个健身器材，并依次修建MN，NF，FE及EM四条小路，则是否存在点M，N，使得这四条小路的总长度最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH．（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）四边形EFGP的面积为S，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．7．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O，P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，连接OQ，当OQ取得最小值时，求点Q的坐标；8．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．（1）若m＝4，n＝3，直接写出点C与点D的坐标；（2）点C在直线y＝kx（k＞1且k为常数）上运动．①如图1，若k＝2，求直线OD的解析式；②如图2，连接AC，BD交于点E，连接OE，若OE＝2OA，求k的值．例题答案：例1．(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°.∵b=2a，点M是边AD的中点，∴AB=AM，DM=DC，∴△ABM和△DMC都是等腰直角三角形.∴∠AMB=45°，∠DMC=45°.∴∠BMC=180°-（∠AMB+∠DMC）=90°；(2)假设存在题中所求符合要求的正实数x，使得AM=x.由∠BMC=90°，得∠AMB=90°－∠DMC=∠DCM．∴Rt△ABM≌Rt△DMC.∴=.∵AM=x，DC=AB=a，DM=b－x．∴x2-bx+a2=0.当b＞2a时，?=b2-4a2=（b+2a）（b－2a）＞0，且两根均大于0，所以存在两个不同的正实数x，使得AM=x，必存在使∠BMC=90°的点M;( 3）不成立．理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2-bx+a2=0．∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b2-4a2＜0．∴方程没有实数根，∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°．所以不存在正实数x，使得AM=x，必不存在使∠BMC=90°的点M.例2.如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝=，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE.△CDE都是等边三角形．∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM．∴＝，即＝．∴a＝2．∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形．∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF．∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0）．∴BH＝＝4．∴＝＝故选B．【专题过关】1．如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥A H于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC．∴△AHB∽△CEA．∴＝．∴＝．∴AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x．∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x．∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）．∵BM＝CM．∴M（1+x，）．∵P（1，0），∴PM＝＝．∴x＝时，PM有最小值，最小值为．故答案为．2．○1○2○3_○5__．3．(1)∵点O是菱形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA＝OC，OD＝OB．∵点O是线段FH的中点，∴OF＝OH.在△AOF和△COH中，∴△AOF≌△COH(SAS)．∴∠AFO＝∠CHO．∴AF∥CH.同理可得DH∥BF．∴四边形EFGH是平行四边形；(2)设矩形EFGH的长为a，宽为b，则AC＝．∵＝2，∴BD＝AC＝，OB＝BD＝，OA＝AC＝．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．∴∠AOB＝90°．∵四边形EFGH是矩形，∴∠AGH＝90°．∴∠AOB＝∠AGH＝90°．又∵∠BAO＝∠CAG，∴△BAO∽△CAG．∴，即=．解得a＝2b．①∵S菱形ABCD＝AC·BD＝··＝20，∴a2＋b2＝80．②联立①②得解得或(舍去)∴矩形EFGH的长为8，宽为4．4．如图，以顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，作点E关于x轴的对称点E'，作点F关于y轴的对称点F'，连接E'F'，与x轴，y轴分别交于点M，N，连接MN，NF，FE，EM，如图3所示：则此时这四条小路的总长最小，且最小值为E'F'+EF的长，由题意得：BC=OA=30，AB=OC=20，点E为AB中点．∴AE'=AE=BE=AB=10．∴E（30，10），E'（30，-10）．由折叠的性质得：BF=AB=20．∴CF'=CF=30-20=10．∴F'（10，20），F'（-10，20）．∴EF==10．在Rt△BE'F'中，BF'=BC+CF'=40，BE'=AB+AE'=30，∴E'F'==50．由对称的性质得：MN+NF+FE+EM=E'F'+EF=50+10，即存在点M，N，使得这四条小路的总长度最小，这个最小值为50+10．5．(1)证明：∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP，即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH；(2)△PHD的周长不变为定值8．证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由(1)知∠APB=∠BPH．在△ABP和△QBP中，∴△ABP≌△QBP(AAS)．∴AP=QP，AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH.．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）设AP为x.如图3,过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB.又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°．∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM≌△PBA(ASA)．∴EM=AP=x．在Rt△APE中,(4-BE)2 +x2=BE2，解得,BE=2+．∴CF=BE-EM=2+-x．又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，∴S= (BE+CF)BC= (4+-x)×4.即：S=x2-2x+8.配方得,S= (x-2)2 +6，∴当x=2时，S有最小值6．6．（1）由题意得：解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b′，∴解得∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3）．∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a．∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB＝PD?a+PD?（3﹣a）＝PD?3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4）．设N（1，n），则0≤n≤4，取CM的中点Q（，），∵∠MNC＝90°，∴NQ＝CM，∴4NQ2＝CM2，∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，∴（1﹣）2+（n﹣）2＝m2+9，整理，得m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣．∵0≤n≤4，当n＝上，M最小值＝﹣，n＝4时，M最小值＝5，综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．7．（1）∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3．在Rt△OBP中，∠BOP＝30°，∴PB＝＝＝．∴点P的坐标为（，3）；（2）由题意，得BP＝t，PC＝4﹣t，CQ＝3﹣m，由折叠可知：∠OPB＝∠OPB′，∠CPQ＝∠C′PQ．又∵∠OPB+∠OPB′+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，∴∠OPB+∠CPQ＝90°．又∵∠OPB+∠BOP＝90°，∴∠OPB＝∠CPQ．又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ．∴＝．∴=．∴CQ＝t2﹣t+3．∵OQ2＝OA2+AQ2＝42+AQ2＝16+AQ2，∴当AQ最短时，OQ最短．∵AQ＝m＝t2﹣t+3＝（t﹣2）2+，∴当t＝2时，AQ最短，OQ最短．此时点Q（4，），8．（1）∵OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，∴C（n，m+n），D（m+n，m）．把m＝4，n＝3代入可得C（3，7），D（7，4）．（2）①设C（a，2a），由题意可得：解得m＝n＝a．∴D（2a，a）．∴直线OD的解析式为y＝x，②由B（0，n），D（m+n，m）．可得E（，），OE＝2OA．∴+=8．可得（m+n）2＝16m2．∴m+n＝4m，n＝3n，∴C（3m，4m）．∴直线OC的解析式为：y＝x，可得k＝．。

重难点05 几何综合题【命题趋势】几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，题目数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置．只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动点问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题．【满分技巧】一．熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识．二．掌握分析问题的基本方法﹕分析法、综合法、“两头堵”法﹕1．分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可．2．综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3．“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略．三．注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化、类比、归纳等等．【限时检测】（建议用时：60分钟）1. (2019 湖南省郴州市)如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE 翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把△BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE△△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且△DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．【解析】（1）证明：由折叠的性质可知：△DAE＝△DA1E＝90°，△EBH＝△EB1H＝90°，△AED＝△A1ED，△BEH ＝△B1EH，△△DEA1+△HEB1＝90°．又△△HEB1+△EHB1＝90°，△△DEA1＝△EHB1，△△A1DE△△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：△直线MN是矩形ABCD的对称轴，△点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中△△A1DE△△A1DF（SAS），△DE＝DF，△FDA1＝△EDA1，又△△ADE△△A1DE，△ADF＝90°．△△ADE＝△EDA1＝△FDA1＝30°，△△EDF＝60°，△△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），△G'F＝GE，DG'＝DG，△GDG'＝60°，△△DGG'是等边三角形，△GG'＝DG，△DGG'＝60°，△△DGF＝150°，△△G'GF＝90°，△G'G2+GF2＝G'F2，△DG2+GF2＝GE2，2. (2019 江西省)在图1，2，3中，已知△ABCD，△ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且△EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，△CEF＝°；（2）如图2，连接AF．△填空：△F AD△EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；△求证：点F在△ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．【解析】（1）△四边形AEFG是菱形，△△AEF＝180°﹣△EAG＝60°，△△CEF＝△AEC﹣△AEF＝60°，故答案为：60°；（2）△△四边形ABCD是平行四边形，△△DAB＝180°﹣△ABC＝60°，△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△F AE＝60°，△△F AD＝△EAB，故答案为：＝；△作FM△BC于M，FN△BA交BA的延长线于N，则△FNB＝△FMB＝90°，△△NFM＝60°，又△AFE＝60°，△△AFN＝△EFM，△EF＝EA，△F AE＝60°，△△AEF为等边三角形，△F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，△△AFN△△EFM（AAS）△FN＝FM，又FM△BC，FN△BA，△点F在△ABC的平分线上；（3）△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△AGF＝60°，△△FGE＝△AGE＝30°，△四边形AEGH为平行四边形，△GE△AH，△△GAH＝△AGE＝30°，△H＝△FGE＝30°，△△GAN＝90°，又△AGE＝30°，△GN＝2AN，△△DAB＝60°，△H＝30°，△△ADH＝30°，△AD＝AH＝GE，△四边形ABCD为平行四边形，△BC＝AD，△BC＝GE，△四边形ABEH为平行四边形，△HAE＝△EAB＝30°，△平行四边形ABEN为菱形，△AB＝AN＝NE，△GE＝3AB，△＝3．3. (2019 浙江省宁波市)如图1，△O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF△EC交AE于点F．（1）求证：BD＝BE．（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．（3）设＝x，tan△DAE＝y．△求y关于x的函数表达式；△如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．【解析】证明：（1）△△ABC是等边三角形，△△BAC＝△C＝60°，△△DEB＝△BAC＝60°，△D＝△C＝60°，△△DEB＝△D，△BD＝BE；（2）如图1，过点A作AG△BC于点G，△△ABC是等边三角形，AC＝6，△BG＝，△在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，△BF△EC，△BF△AG，△，△AF：EF＝3：2，△BE＝BG＝2，△EG＝BE+BG＝3+2＝5，在Rt△AEG中，AE＝；（3）△如图1，过点E作EH△AD于点H，△△EBD＝△ABC＝60°，△在Rt△BEH中，，△EH＝，BH＝，△，△BG＝xBE，△AB＝BC＝2BG＝2xBE，△AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，△在Rt△AHE中，tan△EAD＝，△y＝；△如图2，过点O作OM△BC于点M，设BE＝a，△，△CG＝BG＝xBE＝ax，△EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，△EM＝EC＝a+ax，△BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，△BF△AG，△△EBF△△EGA，△，△AG＝，△BF＝，△△OFB的面积＝，△△AEC 的面积＝，△△AEC 的面积是△OFB 的面积的10倍， △，△2x 2﹣7x +6＝0， 解得：，△，探究问题4. (2019 辽宁省沈阳市)思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作//CD AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是 米． 思维探索：（2）在ABC ∆和ADE ∆中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE ∆的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．△如图2，当ADE ∆在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；△如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； △当150α=︒时，若3BC =，DE l =，请直接写出2PC 的值．【解析】（1）解：//CD AB Q ，C B ∴∠=∠， 在ABP ∆和DCP ∆中，BP CPAPB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，()ABP DCP SAS ∴∆≅∆，DC AB ∴=． 200AB =Q 米． 200CD ∴=米，故答案为：200．（2）△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知()FBP EDP SAS ∴∆≅∆，PF PE ∴=，BF DE =，又AC BC =Q ，AE DE =，FC EC ∴=，又90ACB ∠=︒Q ，EFC ∴∆是等腰直角三角形，EP FP =Q ，PC PE ∴=，PC PE ⊥．△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥．理由如下：如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同△理，可知()FBP EDP SAS ∆≅∆，BF DE ∴=，12PE PF EF ==，DE AE =Q ， BF AE ∴=，Q 当90α=︒时，90EAC ∠=︒，//ED AC ∴，//EA BC//FB AC Q ，90FBC ∠=， CBF CAE ∴∠=∠，在FBC ∆和EAC ∆中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FBC EAC SAS ∴∆≅∆，CF CE ∴=，FCB ECA ∠=∠， 90ACB ∠=︒Q ，90FCE ∴∠=︒，FCE ∴∆是等腰直角三角形，EP FP =Q ，CP EP ∴⊥，12CP EP EF ==．△如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH AC ⊥交CA 延长线于H 点， 当150α=︒时，由旋转旋转可知，150CAE ∠=︒，DE 与BC 所成夹角的锐角为30︒，150FBC EAC α∴∠=∠==︒，同△可得()FBP EDP SAS ∆≅∆，同△FCE ∆是等腰直角三角形，CP EP ⊥，CP EP ==， 在Rt AHE ∆中，30EAH ∠=︒，1AE DE ==，12HE ∴=，AH =，又3AC AB ==Q ，3AH ∴=22210EC AH HE ∴=+=+2212PC EC ∴==．动点问题5. (2019 湖南省衡阳市)如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE△AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在△ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【解析】（1）△△ABC是等边三角形，△△B＝60°，△当BQ＝2BP时，△BPQ＝90°，△6+t＝2（6﹣t），△t＝3，△t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．△BF平分△ABC，BA＝BC，△BF△AC，AM＝CM＝3cm，△EF△BQ，△△EFM＝△FBC＝△ABC＝30°，△EF＝2EM，△t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK△BC交AC于K．△△ABC是等边三角形，△△B＝△A＝60°，△PK△BC，△△APK＝△B＝60°，△△A＝△APK＝△AKP＝60°，△△APK是等边三角形，△P A＝PK，△PE△AK，△AE＝EK，△AP＝CQ＝PK，△PKD＝△DCQ，△PDK＝△QDC，△△PKD△△QCD（AAS），△DK＝DC，△DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′△BM＝CM＝3，AB＝AC，△AM△BC，△AM＝＝3，△AB′≥AM﹣MB′，△AB′≥3﹣3，△AB′的最小值为3﹣3．6. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，△G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ△AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．△如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；△在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．【解析】（1）解：△P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；△当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，△0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH△AB于M，交CD于N，作GE△CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，△△GDC是等腰直角三角形，△DE＝CE，GE＝CD＝10，△GF＝GE+EF＝20，△GH＝20﹣x，由题意得：PQ△CD，△△GPQ△△GDC，△＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，△梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，△当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，△0≤x≤20，△10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，△10≤x≤20，二次函数图象开口向下，△当x＝20时，S最小，△﹣202+×20≥50，△a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．7. (2019 山东省济宁市)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且△DMN＝△DAM，设AM＝x，DN ＝y．△写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；△是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图1中，△四边形ABCD是矩形，△AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，△△B＝△BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，△CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，△x＝3，△EC＝3．（2）△如图2中，△AD△CG，△＝，△＝，△CG＝6，△BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，△AD＝DG＝10，△△DAG＝△AGD，△△DMG＝△DMN+△NMG＝△DAM+△ADM，△DMN＝△DAM，△△ADM＝△NMG，△△ADM△△GMN，△＝，△＝，△y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．△存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，△△MDN＝△GMD，△DMN＝△DGM，△△DMN△△DGM，△＝，△MN＝DM，△DG＝GM＝10，△x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH△DG于H．△MN＝DN，△△MDN＝△DMN，△△DMN＝△DGM，△△MDG＝△MGD，△MD＝MG，△BH△DG，△DH＝GH＝5，由△GHM△△GBA，可得＝，△＝，△MG＝，△x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．8. (2019 山东省青岛市)已知：如图，在四边形ABCD中，AB△CD，△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE△AB，交BC于点E，过点Q作QF△AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在△BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE△OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，△△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，△AC＝＝6（cm），△OD垂直平分线段AC，△OC＝OA＝3（cm），△DOC＝90°，△CD△AB，△△BAC＝△DCO，△△DOC＝△ACB，△△DOC△△BCA，△＝＝，△＝＝，△CD＝5（cm），OD＝4（cm），△PB＝t，PE△AB，易知：PE＝t，BE＝t，当点E在△BAC的平分线上时，△EP△AB，EC△AC，△PE＝EC，△t＝8﹣t，△t＝4．△当t为4秒时，点E在△BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．（3）存在．△S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），△t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．（4）存在．如图，连接OQ．△OE△OQ，△△EOC+△QOC＝90°，△△QOC+△QOG＝90°，△△EOC＝△QOG，△tan△EOC＝tan△QOG，△＝，△＝，整理得：5t2﹣66t+160＝0，解得t＝或10（舍弃）△当t＝秒时，OE△OQ．9. (2019 四川省绵阳市) 如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF=ODAD=22，∴AF=2t ，又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD= AF AG，∴AG · AE=AD · AF=42t ，又∵AE=OA+OE=2 2 +t，∴AG=42t22+t，∴EG=AE-AG=t2+822+t，当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD=FBAD=4-2t4，∵AF∥CD，∴FGDF=2t4+2t，∴4-2t4=2t4+2t，解得：t1=10 - 2 ，t2=10 + 2 （舍去），∴EG=EH=t2+822+t =(10-2)2+822+10-2= 310 - 5 2 ；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=t2+822+t，∵DE=EF，∠DEF=90°，∴∠DEO=∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S△EFG=12EG · FK =t3+8t42+2t．10. (2019 四川省资阳市)在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C 的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF△BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，△若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；△当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．【解析】（1）△如图1中，△四边形EFGH是正方形，AB＝BC，△BE＝BG，AE＝CG，△BHE＝△BGH＝90°，△△AEH＝△CGH＝90°，△EH＝HG，△△AEH△△CGH（SAS），△AH＝CH．△如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．综上所述，S＝．（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．△EH△BM，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，△EH△BK，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．在Rt△ABC中，AC＝＝10，△EF△AB，△＝，△＝，△EF＝（16﹣t），△EH△CN，△＝，△＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．11. (2019 天津市)在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，△ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（△）如图△，求点E的坐标；（△）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．△如图△，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；△当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【解析】（△）△点A（6，0），△OA＝6，△OD＝2，△AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，△四边形CODE是矩形，△DE△OC，△△AED＝△ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，△OD＝2，△点E的坐标为（2，4）；（△）△由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′△O′C′△OB，△△E′FM＝△ABO＝30°，△在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，△S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，△S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，△S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，△S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；△当S＝时，如图△所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，△△AO'F＝90°，△AFO'＝△ABO＝30°，△O'F＝O'A＝（6﹣t）△S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），△t＝6﹣；当S＝5时，如图△所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，△O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），△S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，△当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．12. (2019 四川省南充市)如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF 与BC 交于点M ，延长EM 交GF 于点H ，EF 与GB 交于点N ，连接CG.（1）求证：CD△CG ；（2）若tan△MEN=31，求EMMN的值；（3）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为21？请说明理由.【解析】（1）证明：在正方形ABCD ，DEFG 中， DA=DC ，DE=DG ，△ADC=△EDG=△A=90°（1分）△△ADC -△EDC=△EDG -△EDC ，即△ADE=△CDG ，△△ADE△△CDG （SAS ）（2分） △△DCG=△A=90°，△CD△CG （3分）（2）解：△CD△CG ，DC△BC ，△G 、C 、M 三点共线△四边形DEFG 是正方形，△DG=DE ，△EDM=△GDM=45°，又△DM=DM △△EDM△△GDM ，△△DME=△DMG （4分）又△DMG=△NMF ，△△DME=△NMF ，又△△EDM=△NFM=45° △△DME△△FMN ，△DMFMME MN =（5分） 又△DE△HF ，△DM FM ED HF =，又△ED=EF ，△EFHFME MN =（6分） 在Rt△EFH 中，tan△HEF=31=EF HF ，△31=ME MN （7分） （3）设AE=x ，则BE=1-x ，CG=x ，设CM=y ，则BM=1-y ，EM=GM=x+y （8分）在Rt△BEM 中，222EM BM BE =+，△222)()1()1(y x y x +=-+-，解得11+-=x xy （9分） △112++=+=x x y x EM ，若21=EM ，则21112=++x x ， 化简得：0122=+-x x ，△=-7＜0，△方程无解，故EM 长不可能为21. 13. (2019 浙江省台州市)如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP ＝FD ． （1）求的值；（2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM ＝EB ，连接MF ，求证：MF ＝PF ；（3）如图2，过点E 作EN △CD 于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ ＝AP ，连接BQ ，BN ．将△AQB 绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点Q '落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点B '是否落在线段BN 上，并说明理由．【解析】（1）设AP ＝FD ＝a ，△AF ＝2﹣a ， △四边形ABCD 是正方形，△AB △CD ， △△AFP △△DFC ，△，即，△a ＝﹣1，△AP ＝FD ＝﹣1，△AF＝AD﹣DF＝3﹣△＝（2）在CD上截取DH＝AF△AF＝DH，△P AF＝△D＝90°，AP＝FD，△△P AF△△HDF（SAS），△PF＝FH，△AD＝CD，AF＝DH，△FD＝CH＝AP＝﹣1，△点E是AB中点，△BE＝AE＝1＝EM，△PE＝P A+AE＝，△EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，△EC＝，△EC＝PE，CM＝﹣1，△△P＝△ECP，△AP△CD，△△P＝△PCD，△△ECP＝△PCD，且CM＝CH＝﹣1，CF＝CF，△△FCM△△FCH（S AS），△FM＝FH，△FM＝PF.（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，△EN△AB，AE＝BE△AQ＝BQ＝AP＝﹣1由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝﹣1，△点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）△直线BN解析式为：y＝x﹣2设点B'（x，x﹣2）△AB'＝＝2△x＝△点B'（，﹣）△点Q'（﹣1，0）△B'Q'＝≠﹣1△点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．。

2020年数学中考复习：压轴几何证明题的解法1.(2019.葫芦岛)如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =900，D 是射线CB 上一点（点D 不与点B 重合），以AD 为斜边作等腰直角三角形ADE （点E 和点C 在AB 的同侧），连接CE 。

（1）如图①，当点D 与点C 重合时，直接写出CE 与AB 的位置关系；（2）如图②，当点D 与点C 不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC =150时，请直接写出AB CE 的值。

解析：（1）由∠ECA =∠CAB =450,可得EC ∥AB 。

（2）由22=AB AC =AD AE ,且∠EAC =∠DAB ,可得△EAC ∽△DAB 进而得出∠ECA =∠DBA =450=∠CAB ,所以CE ∥AB .(3)此问分两种情况点D 在BC 上，点D 在CB 延长线上。

①当点D 在BC 上时，如图（2），此时∠CAB =150能得出∠CAD =300，这样就有33=AC CD ,也就是BC -DB =33AC ,BC =AC ,所以BD =333－AC 。

又由△EAC ∽△DAB 得21=BD CE ,因此有BD =2CE ，所以可得CE =6623－AC ，又AB =2AC ，因此ABCE =６３－3.当D 点在CB 延长线上时，∠CDA =300,解三角形得3AC =3CD 。

CD =BC +BD ,由△AEC ∽△ABD ,可得BD =2AC ，就能得到CE =ＡＣ２－１3,AB =2AC ，所以２－１3=AB CE . 2.(2019.沈阳）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD =200米，那么A ,B 间的距离是_200_米。

2015/12/20
代数综合题解题技巧
目录
1、因动点产生的三角形问题
2、因动点产生的平行四边形问题 3、因动点产生的面积问题 4、因动点产生的相切问题
5、因动点产生的图像变换问题
一、因动点产生的三角形问题
常规解题思路：
1.坐标优先，不知道的坐标先以线段表示，最后再求坐标 （如果是图形就是线段长度）； 2.找到相似的三角形中不变的角；
三、因动点产生的面积类问题
2015/12/20
常规解题思路：
1.观察图形是否有一边与x轴，y轴平行或重合—三角形； 2.割—四边形或多边形； 3.补成规则图形求面积； 4.利用同底等高或同高等底转化为底边之比或者高之比。 5.利用相似转化为相似比的平方。
四、因动点产生的相切问题
常规解题思路：
1、熟悉化策略
每个数学题都有其知识背景，从揭示背景入手，无论是 整体考虑还是局部联想，都要注意利用与其有关的知识和 方法，把问题转化为熟悉的情形来处理。
2015/12/20

2、挖掘隐含策略 在审题一定要注意全面理解题意，若能发掘并利用命题中 的隐含条件，就可以找到解题的突破口。
3、具体化策略 在处理函数与图形的综合题时，一定要画出相应的图形，使 所要解决的问题得到具体的表现，才有可能找到解题的途径。
1.圆心与直线的距离；（点与线） 2.圆心与圆心之间的距离；（点与点）
五、因动点产生的图形变换问题
常规解题思路：
平移需要找到不变的那个坐标（左右平移纵坐标 不变，上下平移横坐标不变）
六、等角问题
2015/12/20
2015/12/20
总结
• 因为综合题涉及数学中多个知识点，问题的解决往往需要 灵活运用分析、综合、转化、联想、分类讨论、归纳等多 种数学思想方法。在解答综合题时，注意以下策略：

【说明】1、本例说明，坐标系里的图形与动点相关的问题，其基础问题仍然是求点的坐标和线段的长度，只是此时有关的量，可能要用与“运动”有关的数量的代数式来表示。
从本题解的过程可以看到，善于构造恰当的直角三角形，以及灵活恰当地实施“坐标”与“线段长”之间的转换，是落实解法的可靠保证。
练习：
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 是等腰梯形， ，点P为 轴上的一个动点，点P不与点 ，点A重合，连结CP，过点P作 交AB于点D。
轴向右平移轴向右平移轴向右平移11个单位个单位个单位轴向上平移轴向上平移轴向上平移22个单位个单位个单位关于关于关于xx轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿xx关于关于关于yy轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿yy关于原点作中心对称变换绕原点旋转关于原点作中心对称变换绕原点旋转关于原点作中心对称变换绕原点旋转180180180从数的角度从数的角度从数的角度由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变所以所以所以aa不变不变不变根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定aaa代入顶代入顶代入顶点式求得解析式
代数几何综合题解题策略
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题．
从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目是以函数为背景，在平面直角坐标系下研究几何问题（简称坐标几何问题），以及在图形运动过程中的探究性问题等。

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。

1人教版2020年中考数学 代数与几何综合复习本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合.数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题.方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力.模块一 数形结合思想【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为21， 41，81，…，n 21的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++814121…+n 21=___________. （2）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式()2222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2a b + 就可以表示正方形的面积．同样，a 2、ab 、b 2也可以表示相应部分的面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性．①请你根据上述材料推导乘法公式()2a b c ++ 的展开结果．②若a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2、d 1、d 2均为正数，且a 1+a 2=b 1+b 2=c 1+c 2=d 1+d 2=k ， 求证：a 2b 1+b 2c 1+c 2d 1+d 2a 1≤k 2，并写出等号成立的条件．aba ba【解析】（1）112n-；此题也可以用圆来解决，如图：（3）①由下左图可得：()2a b c++=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．②由题意，可以构造边长为k的正方形，由下右图可得：a2b1，b2c1，c2d1，d2a1表示4个矩形的面积，它们之和小于正方形的面积，∴a2b1+b2c1+c2d1+d2a1≤k2，当a1=a2=b1=b2=c1=c2=d1=d2时等号成立．【例2】阅读：如图1，在ABC∆和DEF∆中，90ABC DEF∠=∠=︒，,AB DE a== BC EF b==()ba<，B、C、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合.连接AE、FC，我们可以借助于ACES∆和FCES∆的大小关系证明不等式：222a b ab+>（0b a>>）.证明过程如下:∵,,.BC b BE a EC b a===-∴11(),22ACES EC AB b a a∆=⋅=-11().22FCES EC FE b a b∆=⋅=-∵0b a>>,∴FCESACES∆∆>.即aabbab)(21)(21->-.∴22b ab ab a->-.∴222a b ab+>.解决下列问题：（1）现将△DEF沿直线m向右平移，()BD k b a=-,且01k≤≤.如图2,当BD EC=时, k= .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：222a b ab+>（0b a>>）.（2）用四个与ABC∆全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个．．示意图，并简要说明理由.mFE CBA图1D EAB CFm图223【解析】（1）12k =； 证明：连接AD 、BF .可得1()2BD b a =-. ∴()()11112224ABD S BD AB b a a a b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-，()()11112224FBD S BD FE b a b b b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-.∵ 0>>a b ， ∴ FBD ABD S S ∆∆<， 即 ()14a b a -()14b b a <-. ∴ab b a ab -<-22.∴ ab b a 222>+. （2）答案不唯一， 举例：如图，理由： 延长BA 、FE 交于点I . ∵ 0>>a b ，∴ IBCE ABCD S S >矩形矩形，即 )()(a b a a b b ->-. ∴ 22a ab ab b ->-. ∴ ab b a 222>+. 举例：如图，理由：四个直角三角形的面积和11422S a b ab =⨯⋅=， 大正方形的面积222S a b =+.∵ 0>>a b ，∴ 21S S >. ∴ ab b a 222>+.【点评】例1、例2主要体现用“形”的方法解决“数”的问题，此类题型往往以阅读理解的形式出现，也是近年模考、中考的热点.【例3】 （1）如图，在O e 中，直径CD 与弦AB 垂直，垂足为E ，若CE=AB ，且DE =2，求O e 的半径.（2）如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x(2<x<4)． ① 当x=52时，求弦PA 、PB 的长度； ② 当x 为何值时PD ·CD 的值最大？最大值是多少？lC4【解析】（1）如图，连结AO ，设半径为x ，则OE=x -2，CE= AB =2x -2，由垂径定理可知，AE =x -1，在Rt AOE △中，()()22221x x x =-+- ， 解得11x =（不符题意，舍去），25x =，所以半径为5. （2）①∵O e 与直线l 相切于点A ，AB 为O e 的直径，∴AB l ⊥.又∵PC l ⊥，∴AB PC ∥.∴CPA PAB ∠=∠. ∵AB 是O e 的直径，∴90APB ∠=︒. ∴PCA APB ∠=∠.∴PCA △∽APB △.∴PC PAAP AB=,即2PA PC AB =g . ∵52PC =，4AB =，∴PA =∴在Rt APB △中，由勾股定理得：PB =. ②过O 作OE PD ⊥，垂足为E .∵PD 是O e 的弦，OE PD ⊥，∴PE ED =.在矩形OECA 中，2CE OA ==，∴2PE ED x ==-. ∴2(2)4CD PC PD x x x =-=--=-∴222(2)(4)212162(3)2PD CD x x x x x =--=-+-=--+gg . ∵24x <<，∴当3x =时，PD CD g 有最大值，最大值是2.【例4】 在ABC △中，90C ∠=︒，AD 是中线，P 为AD 的中点，连接CP 并延长交AB 于E ，过E 作EF AC ∥交AD 于F ，求证：13CF AB =.PF EDC AB【解析】以C 为原点，CA 、CB 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设A 点坐标为(0)a ，，B 点坐标为(0)b ，，则D 点坐标为02b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，P 点坐标为24a b ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线AB 的方程为b y x b a =-+，直线AD 的方程为22b by x a =-+，直线CP 的方程为2b y x a =，则E 点坐标为233a b ⎛⎫⎪⎝⎭，，5∵EF AC ∥，∴F 点的坐标为33a b ⎛⎫⎪⎝⎭，，显然13CF AB =.【点评】例3、例4主要体现用“数”的方法解决“形”的问题，例3（2）是用函数最值解决了线段最值问题，这也是几何最值问题的一种解决方法；例4则体现了解析几何的思路，中考虽然对此方法不做要求，但是让学生体会、感受一下，更能加强他们对“数形结合”的理解.模块二 方程、函数与几何的综合【例5】 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． （1）用含p 的代数式表示q ；（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；（3）设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．【解析】（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++= 整理，得 25q p =--（2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>． ∴ 0∆>．∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到，（如图所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1． ∴ 四边形FEMN 是平行四边形． 由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±【例6】 已知：将函数y x =的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． （1）求这个新的函数的解析式；（2）若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A两点，与直线x =C 、By 2y 16AOCB两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由； （3）若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数21222++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．【解析】⑴323y x =+．⑵ 答：四边形AOCB 为菱形．由题意可得AB//CO ，BC//AO ，AO=2．∴四边形AOCB 为平行四边形易得A(0，2)，B (3,1)-．由勾股定理可得AB=2， ∴AB= AO ∴平行四边形AOCB 为菱形．⑶ 二次函数22122y x bx b =-++化为顶点式为：21()2y x b =-+．∴ 抛物线顶点在直线12y =上移动．假设四边形的边界可以覆盖到二次函数，则B 点和A 点分别是二次函数与四边形接触的边界点， 将B (3,1)-，代入二次函数，解得23b =--，23b =-+（不合题意,舍去）． 将A （0，2），代入二次函数，解得6b =，6b =-（不合题意,舍去）． 所以实数b 的取值范围：263b --<<．【思维拓展训练】训练1. 类比学习：有这样一个命题：设x 、y 、z 都是小于1的正数， 求证：x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1．小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC ，并分别在其边上截取AD =x ，BE =z ，A OCB7CF =y ，设△ADF 、△CEF 和△BDE 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则 ()112S x y =1-sin60o ， ()212S y z =1-sin60o ，()312S z x =1-sin60o ．由 1S +2S +3S ＜ABC S ∆，得12x y （1-）sin60o +12y z （1-）sin60o +12z x （1-）sin60o所以 x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1．类比实践：已知正数a 、b 、c 、d ，x 、y 、z 、t 满足a x +=b y +=c z +=d t +=k ．求证：ay ＋bz ＋ct ＋dx ＜22k ．【解析】证明：如图，作边长为k 的正方形ABCD ． 并分别在各边上截取：AE =a ，DH =b ,CG =c ,BF =d ,∵ a x b y c z d t k +=+=+=+=， ∴ BE =x ，AH =y ,DG =z ，CF =t . ∵ 90A B C D ????°,∴ 112S ay =，212S dx =，312S ct =，412S bz =．∵ 1234ABCD S S S S S +++<正方形, ∴211112222ay dx ct bz k +++<. ∴ 22ay bz ct dx k +++<．训练2. 我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ,半圆与y 轴的正半轴交于点C . （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式； （2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标.【解析】（1）由题意得：()10A -，，()30B ，，()03-D ，，()10M ，∴AM ， ∴OC ==B y t db aS 4H x S 3S2S 1FD A B CE z8∴(0C∵GC 是⊙M 的切线， ∴90GCM ∠=o∴cos OM MCOMC MC MG∠==， ∴122MG=， ∴4MG =， ∴()30G -，，∴直线GC的表达式为y x =+. （2）设过点D 的直线表达式为3y kx =-，∴2323,y kx y x x =-⎧⎨=--⎩，∴()220x k x -+=，则1202x x k ==+，0)]2([2=+-=∆k ，或12x x =，∴2k =-，∴ 过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23y x =--.（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设()E m n ，，则点F 的坐标为()m n -，. EF 与x 轴交于点H ，连接EM . ∴222HM EH EM +=， ∴()2214m n -+=，……①∵点F 在二次函数223y x x =--的图象上， ∴223m m n --=-，……② 解由①②组成的方程组得：11m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩；11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩0n =舍去)由对称性可得：11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩；11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴()11E，()21E，()311E +-，()411E --.第25题图。

中考专题:代数综合问题的思考方法【问题概述】初中代数综合题,主要以方程、函数这两部分为重点,因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法与根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识,就是解好代数综合题的关键.在许多问题中,代数与几何问题交织在一起,就要沟通这些知识之间的内在联系,以数形结合的方法找到解决问题的突破口.通过解综合题有利于透彻与熟练地掌握基础知识与基本技能,更深刻地领悟数学思想方法,提高分析问题与解决问题的能力. 【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解就是解综合题的基础; (2)认识综合题的结构就是解综合题的前提; (3)灵活运用数学思想方法就是解综合题的关键; (4)建立思维程序就是解综合题的核心. * 审题(读题、断句、找关键); * 先宏观(题型、知识块、方法); 后微观(具体条件,具体定理、公式) * 由已知,想可知(联想知识);由未知,想须知(应具备的条件),注意知识的结合; * 观察——挖掘题目结构特征; 联想——联系相关知识网络; 突破——抓往关键实现突破。

(5)准确计算,严密推理就是解综合题的保证. 【典型例题】类型一、方程与不等式综合(方程、不等式思想解决问题)1.已知方程组2323,342 1.x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,0.x y >⎧⎨<⎩ 求a 的取值范围.【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题. 【答案与解析】解:23233421x y ax y a -=-⎧⎨-=+⎩①②①×3－②×2得:y ＝13a －4 ①×4－②×3得:x ＝18a －5 由题意令x ＞0,y ＞0得:1850,1340.a a ->⎧⎨-<⎩ ∴541813a <<、 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数与字母常数,这样才能更准确地对方程进行求解.【过关测试】线上 同步辅导-不等式与不等式组-B7、B8;海淀一模 22(2)、26(2)2.m 为何值时,222(2)21x m x m m --+++就是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征,但就是因为代数式的定性衍生出方程,不定性衍生出函数,所以完全平方式形式在方程与函数中又被赋予了独有的含义.因此,本题也可以瞧作就是间接考查了对完全平方式不同角度的理解. 【答案与解析】解:解法1:待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x 2-2(m-2)x+m 2-4m+4 所以m 2+2m+l ＝m 2-4m+4,12m =; 解法2:配方法(代数式运算、因式分解)原式＝22222(2)(2)(2)21x m x m m m m --+---+++. ＝[x-(m-2)]2+6m-3,6m-3＝0,12m =; 解法3:判别式法(一元二次方程)因为就是完全平方式,所以方程222(2)210x m x m m --+++=有两等根, △＝[-2(m-2)]2－4(m 2+2m+1)＝0,12m =; 解法4:函数思想方法因为就是完全平方式,所以令222(2)21y x m x m m =--+++,所以抛物线顶点在x 轴上,2404ac b a-=, 224(21)4(2)04m m m ++--=,630m -=,12m =.【总结升华】对于代数式,可以考虑其为特殊值,将其瞧作方程,从方程的角度解决问题;也可以考虑其值不定,从函数的角度解决问题.解决问题的角度不同,但结果就是相同的. 类型二、方程与函数综合3.请您根据下图中图象所提供的信息,解答下面问题: (1)分别写出1l ,2l 中变量y 随x 变化而变化的情况;(2)写出一个二元一次方程组,使它满足图象中的条件. 【思路点拨】本题就是一次函数与二元一次方程组的综合题.本题考查了一次函数的性质,两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系. 【答案与解析】解:(1)1:l y 的值随x 的增大而增大; 2:l y 的值随x 的增大而减小.(2)设直线1l ,2l 的函数表达式分别为11y a x b =+,22y a x b =+, 由题意得11111a b b +=⎧⎨=-⎩,2222130a b a b +=⎧⎨+=⎩.解得:1121a b =⎧⎨=-⎩,221232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴直线1l ,2l 的函数表达式分别为21y x =-,1322y x =-+. ∴所求的方程组为211322y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩.【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题,体现了数形结合的思想.【过关测试】线上 中考专题-压轴题专题(03)-代数综合题(一)第一题;海淀一模 25(3) 举一反三:【变式】已知:如图,平行于x 轴的直线y ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 与函数xy 1=的图象分别交于点A 与点B,又有定点P(2,0). (1)若a ＞0,且91tan =∠POB ,求线段AB 的长; (2)在过A,B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中,已知线段38=AB ,且在它的对称轴左边时,y 随着x 的增大而增大,求满足条件的抛物线的解析式;(3)已知经过A,B,P 三点的抛物线,平移后能得到259x y =的图象,求点P 到直线AB 的距离. 【答案】解:(1)设第一象限内的点B(m,n),则1tan 9n POB m ∠==,得m=9n,又点B 在函数1y x =的图象上,得1n m=,所以m=3(－3舍去),点B 为1(3,)3,而AB∥x 轴,所以点A 11(,)33,所以18333AB =-=.(2)由条件可知所求抛物线开口向下,设点A(a ,a),B(1,a a ),则183AB a a =-=,所以03832=-+a a ,解得 313=-=a a 或 、 当a =－3时,点A(―3,―3),B 1(,3)3--,因为顶点在y = x 上,所以顶点为55(,)33--,所以可设二次函数为255()33y k x =+-,点A 代入,解得34k =-,所以所求函数解析式为2355()433y x =-+- 、同理,当13a =时,所求函数解析式为2355()433y x =--+;(3)设A(a , a),B(1,a a ),由条件可知抛物线的对称轴为122a x a=+ 、设所求二次函数解析式为:91(2)()25y x x a a ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦、 点A(a,a)代入,解得31=a ,1362=a ,所以点P 到直线AB 的距离为3或6134. 已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx 、 (1)求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根;(2)若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此抛物线的解析式;(3)若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在(2)中抛物线上 (点P 、Q 不重合), 且y 1=y 2, 求代数式81651242121++++n n n x x 的值、【思路点拨】(1)分别讨论当m=0与m≠0的两种情况,分别对一元一次方程与一元二次方程的根进行判断;(2)令y=0,则 mx 2+(3m+1)x+3=0,求出两根,再根据抛物线y=mx 2+(3m+1)x+3与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,求出m 的值;(3)点P(x 1,y 1)与Q(x 1+n,y 2)在抛物线上,求出y 1与y 2,y 1与y 2相等,求出 n(2x 1+n+4)=0,然后整体代入求出代数式的值. 【答案与解析】解:(1)当m=0时,原方程化为x+3=0,此时方程有实数根 x=-3. 当m≠0时,原方程为一元二次方程.∵△=(3m+1)2-12m=9m 2-6m+1=(3m-1)2≥0. ∴此时方程有两个实数根.综上,不论m 为任何实数时,方程 mx 2+(3m+1)x+3=0总有实数根.(2)∵令y=0,则 mx 2+(3m+1)x+3=0. 解得 x 1=-3,x 2=1m-. ∵抛物线y=mx 2+(3m+1)x+3与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,∴m=1.∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.(3)∵点P(x1,y1)与Q(x1+n,y2)在抛物线上,∴y1=x12+4x1+3,y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3.∵y1=y2,∴x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3.可得2x1n+n2+4n=0.即n(2x1+n+4)=0.∵点P,Q不重合,∴n≠0.∴2x1=-n-4.∴x+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1•6n+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(-n-4)+5n2+42116n+8=24.【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识,解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系,此题难度不大,第三问需要整体代入.举一反三:【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;(2)若x1、x2就是原方程的两根,且|x1－x2|＝22,求m的值与此时方程的两根.【答案】解:(1)证明:由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=(m+3)2－4(m+1)=(m+1)2+4,∵无论m取何值,(m+1)2＋4恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根、(2)∵x1,x2就是原方程的两根,∴x1+x2=－(m+3),x1•x2=m+1、∵|x1－x2|＝22, ∴(x1－x2)2=8,即(x1＋x2)2－4x1x2=8、∴[－(m+3)]2－4(m+1)=8,即m2＋2m－3=0、解得:m1=－3,m2=1、当m=－3时,原方程化为:x2－2=0,解得:x1=2 ,x2=－2、当m=1时,原方程化为:x2＋4x＋2=0,解得:x1=－2+2 ,x2=－2－2、类型三、以代数为主的综合题5.如图所示,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y ＝x+m 与该二次函数的图象交于A,B 两点,其中A 点的坐标为(3,4),B 点在y 轴上.(1)求m 的值及这个二次函数的解析式;(2)P 为线段AB 上的一个动点(点P 与A,B 不重合),过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点,设线段PE 的长为h,点P 的横坐标为x,求h 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB 上就是否存在一点P,使得四边形DCEP 就是平行四边形？若存在,请求出此时P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】本题就是一道函数综合题,考查二次函数、一次函数解析式的求法,函数关系式的建立. 【答案与解析】解:(1)∵点A(3,4)在直线y ＝x+m 上,∴4＝3+m.∴m ＝1.设所求二次函数的关系式为2(1)y a x =-. ∵点A(3,4)在二次函数2(1)y a x =-的图象上, ∴4＝a(3-1)2. ∴a ＝1.∴所求二次函数的关系式为2(1)y x =-.即221y x x =-+. (2)设P,E 两点的纵坐标分别为p y 与E y .∴||()P E P E PE h y y y y ==->＝(x+1)－(x 2－2x+1)＝－x 2+3x.即23(03)h x x x =-+<<.(3)存在.要使四边形DCEP 就是平行四边形,必有PE ＝DC. ∵点D 在直线y ＝x+1上, ∴点D 的坐标为(1,2),∴232x x -+=. 即2320x x -+=.解之,得12x =,21x =(2x 不合题意,舍去).∴当P 点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP 就是平行四边形. 【总结升华】若两点在平行于x 轴或平行于y 轴的直线上,则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的绝对值来表示.(海淀一模26(2)(3)) 举一反三:【变式】如图,已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A (-1, 0)与点B (0,-5).(1)求该二次函数的解析式;(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ,使得△ABP 的周长最小.请求出点P 的坐标. 【答案】解:(1)根据题意,得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=.0405,)1(4)1(022c a c a解得 ⎩⎨⎧-==.5,1c a ∴二次函数的表达式为542--=x x y .(2)令y =0,得二次函数542--=x x y 的图象与x 轴的另一个交点坐标C (5, 0)、 由于P 就是对称轴2=x 上一点, 连结AB ,由于2622=+=OB OA AB , 要使△ABP 的周长最小,只要PB PA +最小、由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称,连结BC 交对称轴于点P , 则PB PA += BP +PC =BC ,根据两点之间,线段最短,可得PB PA +的最小值为BC 、因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就就是所求的点、 设直线BC 的解析式为b kx y +=,根据题意,可得⎩⎨⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧-==5,2x y x 的解,解得⎩⎨⎧-==.3,2y x 所求的点P 的坐标为(2,-3)、【过关测试】线上 同步辅导-二次函数-B16;西城一模26、朝阳一模26例题(B1605)(新定义,二次函数,一元二次方程根的判别式,不等式思想) 如果变量就是变量的函数,可用符号来表示,如一次函数又可表示为;对于函数,若存在一个实数,使成立,则称就是的不动点;已知函数,()⑴、当时,求函数的不动点;⑵、若对于任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;。

2020中考数学：几何证明题答题思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。

这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。

所以对中考中最常出现的若干结论做了一个思路总结。

一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

12.两圆的内(外)公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。

6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

2020年数学中考复习，几何综合题解法探究（二）1.如图，在△ABC，∠ACB=900，AC=BC,E为AC边的一点，F为AB 边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE, CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF=BG;（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF;（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG=33，BG=6,求AC的长。

解析：（1）由AC=BC，∠ACF=∠CBE，∠BCG=∠CAF,可证△BCG≌△CAF，所以CF=BG。

（2）由CG平分∠ACB交BD于点G，CA=CB可得AG=BG，所以∠AGH=∠BGH=∠PGC,又CP∥AG，∠PCG=∠AGH,所以∠PCG=∠PGC,得PC=PG,又CF=BG,PB=PG+BG。

所以PB=CP+CF。

（3）由∠ACG=∠CAF,CG=AF,AC=CA,得△ACG≌△CAF，得∠CAG=∠ACF.又∠GAC=2∠FCH,所以∠ACF=2∠FCH，而∠ACF+∠FCH=450，所以∠CAG=∠ACF=300。

过点E作EN⊥AG,垂足为N，由S，BG=6,可求得EN=3。

由CP∥AG知∠PCA=∠CAG=300，可△AEG=33得∠AGH=∠BGH=∠PGC=750，∠CPA=∠EGA=300,∠CEG=600.解直角三角形可得，AE=EG=23.过点G作GM⊥EC垂足为M,解三角形得ME= 3,GM=GC=3。

所以AC=AE+EM+MC=33+3.2.[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=900,点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转900，使点A旋转到点E,连接EC。

[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于点F，如图2所示，通过证明△DEF≌△_ADB,可推证△CEF是等腰三角形，从而求得∠DCE=1350.[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数。