2018年高三毕业班数学(理科)联考试题及答案

2018年 重点学校高三毕业班联考数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，上交答题卡。

参考公式：（1）34,3V R π=球 （2）,V S h =柱底 (3)1.3V S h =锥底 (4)若事件,A B 相互独立，则A 与B 同时发生的概率()()()P A B P A P B ⋅=⋅.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足i z i +-=-31）（，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤-+0001x y x y x ，则y x z 32-=的最小值是( )A. 1B. -21C.-3D. 0 3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74.已知集合{}5|4||1||<-+-=x x x A ，集合{})2(log ||22x x y x B -==，则””是““B x A x ∈∈的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.若dx x c b a ⎰===-π021sin 41,5,2ln ，则c b a ,,的大小关系为（ ） A ．b c a >> B.a c b >> C.b a c >> D.a b c >> 6. 在△ABC 中，23sin )sin(=+-A C B ，AB AC 3=，则角C ＝( ) A. π2B. π3C.π6或π3 D. π67.已知双曲线1322=-y x 的右焦点恰好是抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且M 为抛物线的准线与x 轴的交点，N 为抛物线上的一点，且满足||23||MN NF =，则点F 到直线MN 的距离为（ ）A. B. 1 C. D. 28. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=)0(12)0(1)(2x x x x e xx f x ，若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,2()11,1(⋃+eB. }13{]3,2()11,1(ee +⋃⋃+C. }13{)3,2[)11,1(ee +⋃⋃+ D. ]3,2()21,1(⋃+e第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) 9. 在二项式251()x x-的展开式中，含7x 的项的系数是10.已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是)(22221为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，则||AB ＝_________11.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆 与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 12.在平行四边形ABCD 中，,1,2==AD AB ∠BAD＝60°，E 为CD 的中点，若F 是线段 BC 上一动点，则FE AF ⋅的取值范围是_________13. 若正实数,x y ，满足52=+y x ，则yy x x 121322-++-的最大值是 14. 3个男生和3个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共俯视图（第11题图）侧（左）视图正（主）视图有种（用数字作答）三.解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15. (本小题满分13分) 已知函数21)6(sin )2cos(cos 3)(2--+-=ππx x x x f . （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若63)(],4,0[=∈x f x π，求cos 2x 的值；16. (本小题满分13分) 某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片，2张印有“二等奖”的卡片，3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金。

（Ⅰ）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回。

假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A 表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求)(A P 的值； （Ⅱ）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片。

记B 表示“小王参加抽奖活动中奖”，求)(B P 的值；②设X 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X 的分布列和数学期望. 17．(本小题满分13分)在四棱锥ABCD P -中，ABCD PD 平面⊥，AB ∥DC ，AD AB ⊥,,2,1===AB AD DC 45=∠PAD ,E 是PA 的中点,0=⋅AB F 上，且满足在线段． （Ⅰ）求证:DE ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角B PC F --的余弦值；（Ⅲ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得PFC FQ 与平面所成角的余弦值是36,若存在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分13分）已知数列{}n n a n S 的前项和是，且*11().2n n S a n N +=∈数列{}n b 是公差d 不等于0的等差数列，且满足：1123a b =，1452,b ,b b 成等比数列。

（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. （本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为21,F F ，椭圆的焦距为6，离心率为e .（Ⅰ）若23=e ，求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点,,M N 分别为线段22,AF BF 的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2e <≤，求实数k 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数x x f ln )(=，0,21)(2≠+=a bx ax x g （Ⅰ）若1=a ，且)()()(x g x f x h +=在其定义域上存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）设函数m 0 )m ()m ()()(<<--+=x x f x x xf x ，ϕ，若2m -m 2)(≥x ϕ恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明:C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.2018年 重点学校高三毕业班联考数学试卷（理科） 评分标准一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分). CCAB BDDB 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 9. -5； 10.14; 11.10π3； 12.]1,25[--； 13.38； 14.288.三.解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15. (本小题满分13分) 已知函数21)6(sin )2cos(cos 3)(2--+-=ππx x x x f . （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若63)(],4,0[=∈x f x π，求cos 2x 的值； 【解析】(Ⅰ)21)6(sin )2cos(cos 3)(2--+-=ππx x x x f 212)32cos(1cos sin 3---+=πx x x -----------------------------2分 212)32cos(12sin 23---+=πx x -----------------------------3分 )32cos(212sin 23π--=x x )2sin 232cos 21(212sin 23x x x +-=-----------------------------4分 x x 2cos 412sin 43-= )62sin(21π-=x -----------------------------5分 令226222πππππ+≤-≤-k x k ，322232ππππ+≤≤-k x k ， 36ππππ+≤≤-k x k ，-----------------------------6分所以，)(x f 的单调递增区间为：Z k k k ∈+-],3,6[ππππ---------------------------------7分(Ⅱ)63)62sin(21)(=-=πx x f 33)62sin(=-πx ,-----------------------------8分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 3626πππ≤-≤-∴x -----------------------------9分3662cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx -----------------------------10分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴662cos 2cos ππx x -----------------------------11分2162sin -2362cos ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx x -----------------------------12分 632233212336-=⨯-⨯=--------------------------13分 16. (本小题满分13分)某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片，2张印有“二等奖”的卡片，3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金。

（Ⅰ）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回。

假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A 表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求)(A P 的值； （Ⅱ）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.记B 表示“小王参加抽奖活动中奖”，求)(B P 的值；②设X 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X 的分布列和数学期望.解：（Ⅰ）203)(46331313=⋅⋅=A A C C A P …………4分 （Ⅱ）①…………6分②由题意可知X 可取的值为0，100，200，300. 则…………7分…………10分因此X 的分布列为………11分X 的数学期望是…………13分17．(本小题满分13分)在四棱锥ABCD P -中，ABCD PD 平面⊥，AB ∥DC ，AD AB ⊥,,2,1===AB AD DC 45=∠PAD ,E 是PA 的中点,0=⋅AB F 上，且满足在线段． （Ⅰ）求证:DE ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角B PC F --的余弦值；（Ⅲ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得PFC FQ 与平面所成角的余弦值是36,若存在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）证明：取PB 的中点M ，AB 的中点N ，连接EM 和CM ，∴CD ∥AB 且CD=21AB ， ∴E ，M 分别为PA ，PB 的中点， EM ∥AB 且EM=21AB ， ∴EM ∥CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形，(2分) ∴DE ∥CM ，CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，(3分) ∴DE ∥平面BPC .(4分)（Ⅰ）由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)．)21,0,21(E (1分)设平面PBC 的法向量为),,(z y x =)1,1,0(),0,1,1(-=--=CP BC⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=--=⋅0z y y x ∴⎩⎨⎧=-=z y y x ，令1=y ∴)1,1,1(-=(2分) 又⊥∴=⋅∴=,0),21,0,21(PBC,平面⊄DE (3分)∴ DE ∥平面PBC (4分) （Ⅱ）设点F 坐标为(1,t,0)，则CF →＝(1，t －1,0)，DB →＝(1,2,0)，由CF →·DB →＝0得t ＝21.∴)0,21,1(F (5分)设平面FPC 的法向量为),,(z y x =,)0,21,1(-= 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FC n 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0210y x z y 即⎩⎨⎧==x y z y 2 令1=x ∴)2,2,1(=(6分) 3221=++-=⋅则||||,cos m n mn m n ⋅>=<33333=.(7分)又由图可知，该二面角为锐二面角， 故二面角F －PC －D 的余弦值为33.(8分) （Ⅲ）设),,0,(λλλ-==[]1,0∈λ，∴),21,(λλ--=+=(9分)∴1-=⋅λ ∴)18(32241231,cos 22+-=+⋅->=<λλλλ(10分)∵PFC FQ 与平面所成角的余弦值是36∴其正弦值为33(11分)∴33183222=+-λλ ，整理得： 舍），解得：(21101,018202-===-+λλλλ(12分) ∴存在满足条件的点Q ,),101,0,101(-=AQ 且102=AQ (13分) 18．（本小题满分13分）已知数列{}n n a n S 的前项和是，且*11().2n n S a n N +=∈数列{}n b 是公差d 不等于0的等差数列，且满足：1123a b =，1452,b ,b b 成等比数列。