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特殊三角形专题复习
【构造等腰三角形解题的常见途径】
一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形
当一个三角形中岀现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1①中，若4D 平分 ZB4C, AD//EC,则/VICE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分ZBAC, DE//AC,则ZVIDE 是等腰三 角形；如图1③中，AQ 平分ZBAC, CE//AB,则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分ZBAC, EF //AD,则ZV1GE 是等腰三角形.
例2如图3,在△ABC 中，ZBAC 、ZBCA 的平分线相交于点0,过点。作DE 〃人C,分别交4B 、BC 于点ZX E.试猜想线段AD. CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由.
例3 如图4, AABC 中，AD 平分ABAC, E 、F 分别在3£＞、AD 上，且DE=CD
求证：EF//AB ・
例1 如图2, /XABC 中，AB=AC,在AC _k 取点P,过点P 作EF 丄BC,交 BA 的延长线于点E,垂足为点F.求证：AE=AP.
B
C B
图1
二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图5 中，若AD平分
ZBAC, AD丄DC,则ZVIEC是等腰三角形.
例 4 如图6,已知等腰Rt/\ABC中，AB=AC, ZBAC=90° , BF 平分ZABC, CD 丄BD交BF的延长
线于D.求证：BF=2CD.
A
三、利用转化倍角，构造等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图7①中，若Z4BC=2ZC,如果作3D平分ZABC.则是等腰三角形；如图7②中，若Z4BC=2ZC, 如果延长线CB到D 使连结AD,则△4DC是等腰三角形；如图7③中，若kB=2ZACB,如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ZACD=ZACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形.
例 5 如图8,在△ABC 中，ZACB=2ZB, BC=2AC.求证：ZA=90°・
四、模拟画图例6已知在如图1的ZLABC中，AB=AC, ZA=36°,
仿照图1，请你再用两种不同的方法，将AABC分割成3个三角
形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工
具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰
三角形的内角度数）
.
图8
图1图3
【学力训练】一、基础夯实1.
（第2
题）2.
（第3题）
沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三
3.
4.
（第1题）
如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，
角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是_____________ •
如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻2008次，点P依次落在点Pi，P2，P3，…, 卩2（）08的位置，则点^2（X）8的横坐标为___________ •
将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方
法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结杲如下表：
所剪次数1234•
•
n
正三角形个数471013•
•
a n
则a n=（用含n的代数式表示）.
5. 如图，在四边形ABCD中，AB=8, BC=1, ZDAB=30° , ZABC=60°,四边形ABCD的面积为5^3 , 求AD的长.
B
6.已知：如图，AB二AC, BD丄AC,垂足为点D。求证：ZDBC=1 ZA.
2
D
B
二、提高训练：
7.若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是力，给出下列结论：
①以c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以肠，丽，的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a + b, c + h, h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以丄，丄的长为边的三条线段能组成直角三角形
a b c
其中所有正确结论的序号为________________ .
8.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结用、PB、PC,以BP为边作等边三角形BPM,连结CM.
(1)观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；A
(2)若FA二PB二PC,则APMC是三角形；
若PA:PB:PO\ :迈：翻,试判断的形状，并说明理由.
9.(2008杭州)如图，在等腰AABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC于点E,连接BP交4C于点F.
(1)证明：ZCAE = ZCBF；
(2)证明：AE = BF；
(3)以线段AE, BF和AB为边构成一个新的三角形ABG (点E与点F重合于点G ),记厶ABC和△ABG的面积分别为S△仙。和S△磁，如果存在点P，能使得S△初c=S△磁，求ZC的収值范围.
H
（第9
题）
