二分法求近似解,几种函数模型

高中数学课本内容分布文科必修一、集合1、集合含义和表示2、集合间基础关系3、集合基础运算二、函数及其表示1、函数概念2、函数表示法3、函数单调性4、函数最值5、函数奇偶性三、初等函数1、指数和指数幂函数2、指数函数性质3、对数及其运算4、对数函数及其性质四、函数和方程1、方程根和函数零点2、二分法求近似解3、函数模型及其应用文科必修1一、集合1、集合含义和表示2、集合间基础关系3、集合基础运算二、函数及其表示1、函数概念2、函数表示法3、函数单调性4、函数最值5、函数奇偶性三、初等函数1、指数和指数幂函数2、指数函数性质3、对数及其运算4、对数函数及其性质四、函数和方程1、方程根和函数零点2、二分法求近似解3、函数模型及其应用必修2一、空间几何体1、空间几何体结构2、空间几何体三视图和直观图3、空间几何体表面积和体积二、点线面之间位置关系1、点线面位置关系2、直线和平面平行判定和性质3、直线和平面垂直判定和性质三、直线和方程1、直线倾斜角和斜率2、直线和方程3、直线交点及距离公式四、圆和方程1、圆方程2、直线和圆位置关系3、空间直角坐标系必修2一、空间几何体1、空间几何体结构2、空间几何体三视图和直观图3、空间几何体表面积和体积二、点线面之间位置关系1、点线面位置关系2、直线和平面平行判定和性质3、直线和平面垂直判定和性质三、直线和方程1、直线倾斜角和斜率2、直线和方程3、直线交点及距离公式四、圆和方程1、圆方程2、直线和圆位置关系3、空间直角坐标系必修3一、算法初步1、算法和程序框图2、基础算法语句3、算法案例二、统计1、随机抽样2、用样本估量总体3、变量间相关关系三、概率1、随机事件概率2、古典概型3、几何概型必修3一、算法初步1、算法和程序框图2、基础算法语句3、几何概型。

2022年第12期教育教学2SCIENCE FANS 用二分法求方程的近似解*——零点定理的应用王俊美，张 超，朱柘琍（山东农业大学信息科学与工程学院，山东 泰安 271018）【摘 要】用二分法求方程的近似解是零点定理的应用，充分体现了方程和函数之间的联系。

文章首先用案例教学法引出二分法的定义，进而解决了求方程近似解的问题，然后利用Matlab程序，在提高方程近似解精确度的同时缩短了用时，为学生日后应用该软件进行科学研究打下了良好的基础，最后对二分法求方程近似解的优缺点进行了介绍，并提出了改进方法。

【关键词】二分法；方程的近似解；零点定理；Matlab【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2022）12-0001-03在解决实际问题时常常需要求一个方程的实根，但除了一些简单的方程，大部分方程都很难求出准确解，因此求方程的近似解在数学应用上具有重要意义[1]。

本文用案例法介绍了求方程近似解的方法——二分法，同时用Matlab程序可以求出方程不同精确度的近似解，与其他方法相比缩短了求方程近似解的时间。

1 学情分析大一学生已经学习了函数知识，理解了函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想。

但是对于求函数零点，学生只是比较熟悉求二次函数的零点，求高次方程和超越方程对应函数零点却有一定困难。

2 课程设计本文首先将天平测量假币案例作为教学素材，以期激发学生的学习兴趣，突显学生在课堂上的主体地位，充分发挥学生的主观能动性。

同时将教材中的概念和理论知识与生活实际相结合，做到学以致用，通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。

其次利用现代信息化教学模式，在高等数学教学中适当地引入Matlab软件，利用Matlab的强大计算功能提高课堂教学效率，为学生日后应用该软件进行科学研究打下良好的基础。

最后对二分法求方程近似解的优缺点进行介绍，并针对缺点提出了改进办法。

在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。

用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。

拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。

在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。

其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。

回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。

相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。

逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。

用二分法求方程的近似解浠水实验高级中学周少雄一、内容和内容解析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。

教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系，然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。

本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。

它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透数学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。

求方程近似解中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种常用而有效的方法，其关键是逼近的依据。

二、目标和目标解析知识与技能——通过具体实例理解二分法的内涵，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想。

过程与方法——借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用。

本节课采用“问题导学，自主探究”的教学方法，通过问题引导学生自主探究用二分法求方程的近似解的原理与步骤，以师生互动，生生合作为主的教学方法，并辅以多媒体教学手段，创设问题情景，学生根据问题研讨。

情感、态度、价值观——通过探究体验、交流展示，养成良好的学习品质，增强合作意识。

通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

《用二分法求方程的近似解》说课稿说课教师：朱雪清各位老师：大家好！今天我说的课是-—-—--普通高中课程标准实验教科书—-—--数学-——-—必修1--—--第三章第一节——--——《用二分法求方程的近似解》.下面，我将从——-——教材地位—-—--—学情分析---—-——教学理念-——----—教学过程等多个方面，重点为大家阐明两个问题，即①怎么教②为什么这样教,希望能得到各位专家、老师的指导.一、教学地位分析1、教材的地位和作用用二分法求方程的近似解》是新课程中第三章—--——《函数与方程》——--第一节的新增内容,体现了本套教材的数学应用意识，所以，数学应用意识的培养--————与数学思想的渗透—-—-—-是本章教学的重要任务。

为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个层面来展现：从简单的一元二次方程和二次函数入手,建立起方程的根与函数零点的关系，侧重点在于学习零点存在定理.通过用二分法求方程的近似解，体现函数的零点——--—与方程的根之间的关系，让学生学会用二分法求方程的近似解.通过建立函数模型-----—--以及运用模型解决问题，体会二分法在生活中运用的巧妙性与实用性。

要求学生根据具体函数的图像，借助计算器用-—---二分法求相应方程的近似解，沟通了函数、方程、不等式等高中知识，体现了二分法的工具性和实用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想。

所以，数学应用意识的培养-——-—-与数学思想的渗透—-———-是本章教学的重要任务.二分法是一个重要的数学思想方法，至少蕴涵着三个思想：近似的思想—--—逼近的思想---——-和算法的思想。

近似思想是数学应用的一个重要的指导思想，在很多时候，我们只需要给定精度的近似值，—-——---—而且利用二分法，在理论上我们可以无限“逼近”任意精度下的解，从而使得误差任意小,—————另外，二分法具有明显的程序化特征,可以让学生提前感受程序化处理问题的过程，这是算法的重要思想。

高一数学必修一二知识点总结高一数学必修一二知识点总结 1一：函数模型及其应用本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。

主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。

1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。

2、用函数解应用题的基本步骤是：（1）阅读并且理解题意。

（关键是数据、字母的实际意义）；（2）设量建模；（3）求解函数模型；（4）简要回答实际问题。

常见考法：本节知识在段考和高考中考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解答题都有。

多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。

误区提醒：1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。

2.在解决实际问题时，首先要明确问题的含义，区分条件和结论，把握关键词和数量，理顺数量关系，然后将书面语言转化为数学语言，建立相应的数学模型。

【典型例题】例1：（1）某种储蓄的月利率是0。

36%，今存入本金100元，求本金与利息的和（即本息和）y（元）与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和（不计复利）。

（2）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。

如果存入本金1000元，每期利率2。

25%，试计算5期后的本利和是多少？解：（1）利息=本金×月利率×月数。

y=100+100×0。

36%·x=100+0。

36x，当x=5时，y=101。

8，∴5个月后的本息和为101。

8元。

例2：某民营企业生产a，b两种产品，根据市场调查和预测，a产品的利润与投资成正比，其关系如图1，b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将a，b两种产品的利润表示为投资的函数，并写出m.chayi5 它们的函数关系式。

求函数零点近似解的一种计算方法——二分法一、教学目标：1．知识与技能:通过实例的探究,使学生能理解二分法的概念，能够运用二分法求简单函数零点近似解. 2．过程与方法：⑴体验并理解函数的零点与方程的解相互转化的数学思想⑵学生能够初步了解近似逼近思想,培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

(3）了解二分法程序化思想。

3．用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。

为了帮助学生认识函数与方程的关系，分三个层面来展现：第一层面,从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的解和函数的零点的联系。

第二层面，通过二分法求方程近似解，体现函数与方程的关系。

第三层面,通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系。

二、教学重点与难点：教学重点：对二分法的理论的理解与应用；教学难点：对二分法的理论的理解与应用。

三、教学过程引入：有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重,用天平称至少称几次就一定可以找出这个稍重的球？在现实生活中有很多这样的类似情况需要我们寻找到某些特殊时刻，相应地,数学中研究各种量的变化时也会非常关注某些特殊时刻，比如我们现在学习的函数，寻求函数y=f(x）的零点（也就是方程f(x）=0的解）也是一个重要的课题。

我们知道，求一次函数或二次函数的零点，我们可以用熟知的公式解法。

对于三次函数和四次函数，虽然有求根公式不过很复杂，所以对于高次的多项式函数及其他的一些函数怎样找到他们的零点呢？--下面我们一起来探索一种能找到函数的零点的可操作的办法。

(例题探究）例一：一次函数f（x）=（k—1)x+2在区间（1,2）上有零点，求系数k的范围。

分析一次函数有且只有一个零点，要使一次函数f(x）=（k-1）x+1在区间（1,2）上有零点只需要f （1）。

f(2）异号。

解出k的范围是-1<k<0例二：图象不间断的函数f（x)的部分对应值如下表：试判断函数f（x）在哪几个区间内一定有零点?函数f(x)在（2,3)、（3，4)，（6，7)、（8，9)内一定有零点.提问：Array在这些区间里零点个数一定只有一个吗？在其他区间一定没有零点吗？对于图像不间断的函数如果在区间[a,b]端点的函数值异号，那么在这个区间一定存在着至少一个零点。

函数的图象、幂函数、方程的近似解一、函数图象变换1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a) (a>0)y＝f(x)→y＝f(x＋a) (a>0)②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b (b>0)y＝f(x)→y＝f(x)－b (b>0)2．对称变换：① y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称② y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称③ y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称④ y＝f -1(x)与y＝f(x)关于y x=对称⑤ y＝|f(x)|的图象是将y＝f(x)图象的x轴下方的部分翻到x轴上方⑥ y＝f(|x|)的图象是将y＝f(x)图象的x轴的正半轴的部分翻折到x轴的负半轴3．伸缩变换：① y＝Af (x) (A>0)的图象是将y＝f(x)的图象的纵坐标变为原来的A倍.② y＝f (ax) (a>0)的图象是将y＝f(x)的图象的横坐标变为原来的1a.4．若对于定义域内的任意x，若f (a－x)＝f (a＋x) (或f (x)＝f (2a－x))，则f (x)关于x a=对称，若f (a－x)＋f (a＋x)＝2b (或f (x)＋f (2a－x)＝2b)，则f (x)关于(,)a b对称.二、幂函数一、幂函数的概念：一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数二、幂函数的图像及性质（1）当0<k 时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线； （2）当0=k 时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；（3）当10<<k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线； （4）当1=k 时，图象是一、三象限的角平分线；（5）当1>k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. （6）幂函数图象不经过第四象限；（7）当0>k 时，幂函数kx y =的图象一定经过点（0，0）和点（1，1） （8）如果幂函数kx y =的图象与坐标轴没有交点，则0≤k ；（9）如果幂函数mn pxy )1(-=（m 、n 、p 都是正整数，且m 、n 互质）的图象不经过第三象限，则p 可取任意正整数，m 、n 中一个为奇数，另一个为偶数. 四、方程1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值． 五、应用题1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：热身练习1、函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ A ）2、设a ＞1,实数x,y 满足|x|-loga y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )实际问题函数模型抽象概括实际问题的函数模型的还原说运用函数的性质3、当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 (1,2］ .4、若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( A ) A ．21 B ．－21C ．2D ．－25、设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ D ）A ．0B ．9C ．12D ．18解：由(3)(3)f x f x +=-知()f x 的图象有对称轴3x =，方程()0f x =的6个根在x 轴上对应的点关于直线3x =对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ． 6、已知155=-acb ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ B ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 解法一：：依题设有 550a b c ⋅-=∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510b a ac c =++≥10ac ＋25a c ⋅⋅＝20ac ． ∴ac b 42≥，答案为B ．7、关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围 1722m -<<解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<，即：241270m m --<8、若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是 x>3或x<1解：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，2x ≠则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即3221x x x x ><⎧⎨><⎩或或9、 当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（ D ）A ．12a <B ．1a >C ．112a a <>或D ．112a << 10、已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时()||f x x =则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6 解：由(3)(1)f x f x +=+知(2)()f x f x +=故()f x 是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()y f x =与5log y x =的图象，可以看出，交点个数为4． 11、若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（ A ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m ≥<或D ．10m m ><或 解：令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤．12、.设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=,2log (2)x x +=-，22xx +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．解：在同一坐标内作出函数2y x =-，12log y x =，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x <<，又20x <，故231x x x <<精解名题例1、作出下列函数的图象. （1）y=21(lgx+|lgx|);（2）y=112--x x ;（3）y=)21(|x|.（4）y=2-2x；（5）y=|log 21（1-x ）|；解：（1）y=⎩⎨⎧≥<<).1(lg ).10(0x x x（2）由y=112--x x ,得y=11-x +2.作出y=x 1的图象，将y=x1的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得 y=11-x +2的图象.（3）作出y=（21）x的图象，保留y=（21）x图象中x ≥0的部分，加上y=（21）x的图象中x ＞0的部分关于y 轴的对称部分，即得y=（21）|x|的图象.其图象依次如下：（4）由函数y=2x 的图象关于x 轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y=2-2x的图象.如图甲.（5）由y=log 21x 的图象关于y 轴对称，可得y=log 21（-x ）的图象，再将图象向右平移1个单位，即得到y=log 21(1-x).然后把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y=|log 21（1-x ）|的图象.如图乙.例2、已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数223m m y x--=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．例3、 已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 ．由(1)(3)f x f x -=-知此函数图象的对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-， 故2()2f x x x =-+ ．（2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数. 若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==nn f mm f 4)(4)(，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m nn n m m m 或或即又14m n <≤， ∴2,0m n =-=，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m 、n 存在， 2,0m n =-=．备选例题例1、对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）当1,2a b ==-时，2()3f x x x =--由题意可知23x x x =--，得121,3x x =-= 故当当1,2a b ==-时，()f x 的不动点 1,3-．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点，∴2(1)1x ax b x b =+++-，即210ax bx b ++-=恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是2(4)160a a '∆=-<解得故当b ∈R ，()f x 恒有两个相异的不动点时，01a <<.例2、 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积. 解： 设四边形EFGH 的面积为S ， 则S △AEH =S △CFG =21x 2,S △BEF =S △DGH =21（a-x ）（b-x ）， ∴S=ab-2［x 212+21（a-x ）（b-x ）］=-2x 2+（a+b ）x=-2（x-)4b a +2+,8)(2b a +由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b}. 又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,若4ba +≤b,即a ≤3b 时，则当x=4b a +时，S 有最大值8)(2b a +;若4ba +＞b,即a ＞3b 时，S （x ）在（0,b ］上是增函数， 此时当x=b 时，S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b 2,综上可知，当a ≤3b 时，x=4ba +时，四边形面积S max =8)(2b a +,当a ＞3b 时，x=b 时，四边形面积S max =ab-b 2.例3、某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 解：设每个提价为x 元（x ≥0），利润为y 元，每天销售总额为（10+x ）（100-10x ）元， 进货总额为8（100-10x ）元，显然100-10x ＞0,即x ＜10,则y=（10+x ）（100-10x ）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x ＜10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.小结归纳1．作函数图象的基本方法是：①讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；②考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；③准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等). 2．图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.3．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称.4．注意幂函数与指数函数的区别．5.幂函数的性质要熟练掌握6．利用函数的图象求方程的解的个数；7．一元二次方程的根的分布；8．利用函数的最值解决不等式恒成立问题9．解决函数应用问题应着重注意以下几点：（1）．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；（3）．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.（4）．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.自我测试1、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=（5x+3x ）× 1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时， 即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增， 当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4; 当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4;当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5, 所以甲户用水量为5x=7.5吨， 付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元); 乙户用水量为3x=4.5吨， 付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).2、某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台， 需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？ 解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台； 当x ＞5时，只能售出5百台， 故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x (2)当0≤x ≤5时，L （x ）=4.75x-22x -0.5， 当x=4.75时，L(x)max =10.781 25万元.当x ＞5时，L （x ）=12-0.25x 为减函数，此时L （x ）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或 得x ≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x ＜48(百台). ∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.。

人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。

3、1、2用二分法求方程的近似解（寄语教师：二分法是新课标新增加的一个内容.二分法对于学生来说应该是一个难点，并且二分法是我们到大学以后学习计算机语言的一个基础，在讲解二分法的时候，建议老师能涉及一点点计算机编程的知识，譬如“循环”这个计算机程序常用语.)一、【学习目标】（寄语教师：第一个学习目标是我们必须完成的，但是不排除有学生可能一生也理解不了二分法.有些情况是允许出现的，因为这是自然规律.有些学生的发散性思维就是不强，作为老师应该有包容心，不要对学不会的学生嗤之以鼻，以免伤害孩子们的自尊心.毕竟不是每一个学生都要靠上学吃饭的，这方面不行，其余的可能会有很多闪光点.我们老师的任务是教会那些应该会的学生.）1、理解并掌握二分法求解方程近似解的过程；会利用二分法解决 简单的题目；2、进一步巩固函数的零点和方程的根的知识，理解函数的零点和 方程的根的区别与联系.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生把握课堂的学习目的.二、【自学内容和要求及自学过程】自学教材第89页—90页内容，然后回答问题<1>我们知道，函数62ln )(-+=x x x f 在区间），（32内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？（寄语教师：问题<1>是一个引子，要给学生足够的思考空间.）<2>你能介绍一下“取中点”的方法缩小零点所在的范围吗？（一般的我们把2/)(b a x +=叫做区间）（b a ,的中点）（寄语教师：这一部分一定要强调到，要让学生真正的做到自学，学好，学懂，学会，这是一个要点，也是我们以后做题的依据）<3>请你试求函数62ln )(-+=x x x f 在区间），（32内零点近似值；精确度为01.0；（寄语教师：要解释好精确度，这一点要让学生弄清.精确度和我们学习的“精确到”是不一样的，精确度是指近似值与真实值之间的差别度.）<4>我们把书上求零点近似值的方法叫做二分法，你能总结一下用二分法求函数零点近似值的步骤吗？（寄语教师：二分法的步骤书上给的理论性很强，学生一时不易弄懂，老师要有耐心，要耐心的讲解，这样学生才能体会其中的道理.当然，学生掌握解题过程，比只会背诵定理重要得多.）结论：<1>一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量减缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.<2>譬如62ln )(-+=x x x f 在区间），（32内有零点，并且我们知道0)3(,0)2(><f f ，那么我们取区间），（32的中点5.2，用计算器算得084.0)5.2(-≈f ，因为0)3()5.2(<∙f f ，所以零点在区间），（35.2内.再取区间），（35.2的中点75.2，用计算器算得512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<∙f f ，所以零点在区间），（75.25.2内，因为）（），（），（7.2,5.235.232≠≠⊃⊃，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.这样，在一定的精确度下，我们可以在有限重复相同的步骤后，将所得的零点所在区间内任意一点作为函数零点的近似值，特别的可以将区间的端点作为近似值.<3>解题过程如下图所示，请同学们仔细的品味一下：由于01.00078125.053125.25390625.2<=-，所以我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 的根的近似值.<4>对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<∙b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：1、确定区间],[b a ，验证0)()(<∙b f a f ，给定精确度ε；2、求区间）（b a ,的中点c ；3、计算)(c f ；①若)(c f =0，则c 就是函数的零点；②若0)()(<∙c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；③0)()(<∙b f c f ，则另c a =，（此时零点),(0b c x ∈）.4、判断是否达到精确度ε：即若ε<-b a ，则得到零点近似值为a （或b ），否则重复步骤2—4.（事实上区间],[b a 上任意一点都可作为近似值，为了方便，我们这里统一取端点做近似值.思考：用二分法求函数零点近似值的特点.结论：由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.（寄语教师：思考内容为我们学习算法这一部分内容做准备，老师要点到.）（教学效果：学生对于二分法的具体的解题步骤都能理解并接受，但是对于二分法的步骤总结，因为数学符号太多，学生不是很理解.)三、【练习与巩固】请同学们自学教材第90页例2，然后完成练习 练习一：请同学们先自学例2，然后把书合上，回味例2的解题过程，想一下自己是否掌握了二分法求零点近似值的方法？试一下！（寄语教师：例1是一个基本的题目，这个题目是要求所有学生都会都理解的.) 练习二:①根据表格中的数据，可以判断方程02=--x e x 的一个根所在的区间为：②在用二分法求方程0)(=x f 在]1,0[上的近似解时，经计算，0)6875.0(,0)75.0(,0)625.0(<><f f f ，即可得出方程的一个近似解是 （精确度为1.0）；③证明方程062ln =-+x x 在],2[e 内有根；④设函数235.0,-==x y x y 的图像交点为),(00y x ，则0x 所在的区间为 A 、（0，1）B 、（1，2）C 、（2，3）D 、（3，4）（寄语教师：练习二的四个题目是考试常涉及的题目，这类题目要求每一个学生都掌握，老师们要做好教学上的准备，检查学生的学习情况.要通过口头询问和作业检查来检查教学效果）【教学效果】：学生基本上能顺利的完成练习.四、【作业】1、必做题：①设函数823)(-+=x x f x ，那么我们用分法求方程0823=-+x x 在)2,1(∈x 内近似解的过程中，我们可以得到： 0)25.1(,0)5.1(,0)1(<><f f f ，则方程的根所在的区间为 ②用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次计算，得0)5.0(,0)0(><f f ，第二次应计算)(1x f ，则=1x ；2、选做题：教材第91页练习1、2（同学们可以课下借助计算机或者计算器做一做.（寄语教师：必做题事实上是对我们教学工作的一个检测，要根据作业情况来设计习题课的情况.)五、【小结】这一节课我们主要讲了用二分法求函数零点的近似值，也即是求方程根的近似值.这一节课是一个难点内容，一方面老师要做好教学准备工作，另一方面老师一定要强调学生做好预习工作.这节课学习完以后要求学生能达到顺利的完成作业和课堂练习题的水平.六、【教学反思】教学，什么是真正的教学？狭义的认为就是教书，把书本上的知识教给学生就可以了，事实上，我个人认为不是这样.那么，作为老师，你看一下，你有没有以下几点？<1>学生上课捣乱，不交作业，你会暴怒；<2>学生稍微的顶一下嘴你就会暴怒；<3>学生犯了错误，不问青红皂白就开始批评，长篇大论；<4>批改学生作业时，发现自己讲过的题目，甚至讲过好几遍的题目学生还是不会做，或者抄袭作业你就暴怒；<5>一边批改作业一遍骂学生笨蛋；<6>和同事讨论时说某某学生是个垃圾，是个神经病；<7>觉得学生犯错误是个不可思议的事情；上面的<7>条你是否具备其中一条呢？事实上，若是你具备其中哪怕只是一条，就说明你还不合格，还不是一个合格的教师，还需要磨练.我们逐一的分析一下，第一条学生捣乱，不交作业，事实上学生毕竟是学生，捣乱是学生表现自己的一种形式，而不交作业，我想，我们要从两方面考虑，第一：是不是我们的作业太难了？太多了？第二，事实上学生的不交作业，是一种自律性差的表现，我们追究的不是不交作业，而是要想一想，怎么样提高学生的自律性.第二条，学生稍微的顶一下，我们就暴怒.你有没有想过学生也想表达自己？学生也想把自己的意见表达给你？你有没有给学生话语权？第三条，学生犯了错你总以为学生是错的，你有没有想过学生在学校是一个弱势群体，有没有想到要听学生的辩白？第四条，有一些学生确实是对我们讲的知识不会，举一个简单的例子，你上大学时是否每一个题都会？是否老师讲了几遍我们都会了？第五条，我们是一个老师，能骂人吗？骂人首先就不是为人师表应该做的.我们的学生为什么会“笨”，你只是骂，你找过原因吗？你在想过帮助你的学生，让他怎么变得不“笨”吗？第六条，自己说学生笨就可以了，还要告诉别人，这种事情是小孩子都不能做的，我们能做吗？我觉得这不合适.有议论学生的时间，还不如多搞搞自己的业务.第七条，学生是要我们教的，学生犯错误是很正常的，若是学生不犯错误，那要我们老师做什么？所以说，上面的七条我们是都不能犯的，这是做老师的大忌，谨以此给青年教师提一个醒希望我的教案能给青年教师一个示例！为我们在新课标的教学中指明航向！另：若有教学教法上的疑问可以给我QQ：191745313或者我的邮箱：heda2007@写邮件！。