北方民族大学 高等数学期末试题(下)A

2014-2015学年宁夏银川市西夏区北方民族大学附中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共有12个小题，每题5分共60分）1．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于( )A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＞3}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A∩（∁∪B）等于( ) A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}3．复数的的共轭复数是( )A．B．﹣C．iD．﹣i4．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2 ②③恒成立的个数是( )A．0B．1C．2D．35．已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=( )A．2B．2C．D．16．已知集合M={x|y2=x+1}，P={x|y2=﹣2（x﹣3）}，那么M∩P等于( ) A．{（x，y）|x=，y=±}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|x≤3}7．复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件是( )A．|a|=|b|B．a＜0且a=﹣bC．a＞0且a≠bD．a≤08．在约束条件下，目标函数z=2x+y的值( )A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2D．既无最小值，也无最大值9．对任意a∈，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是( )A．x＜1或x＞2B．1＜x＜2C．x＜1或x＞3D．1＜x＜310．已知f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=( )A．B．C．﹣D．﹣11．如图，其中有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）为( )A．2B．﹣C．3D．﹣12．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x﹣9都相切，则a等于( ) A．﹣1或﹣B．﹣1或C．﹣或﹣D．﹣或7二．填空题（本大题共有4个小题，每题5分共20分）13．函数f（x）=+lg（1﹣x）的定义域是__________．14．已知复数z满足（3+2z）i2003=1（i为虚数单位），则z=__________．15．已知f（x）=ax3+4x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于__________．16．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=__________．三、解答题（共4小题，满分50分）17．（1）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．（2）已知函数y=（x+1）（x+2）（x+3）．求该函数的导函数．（3）求不等式﹣1＜x2+2x﹣1≤2的解集．18．已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．19．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，试求不等式cx2+bx+a＜0的解集．20．（14分）设函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范围．【4-1几何证明】（共1小题，满分0分）23．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【4-4坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．2014-2015学年宁夏银川市西夏区北方民族大学附中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共有12个小题，每题5分共60分）1．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于( )A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＞3}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先化简两个集合，再由交集的定义求交集，然后比对四个选项，选出正确选项来解答：解：由题意集合M={x|x2＜4}═{x|﹣2＜x＜2}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}故选C点评：本题考查交集及其运算，求解的关键是化简两个集合及正确理解交集的定义．2．已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A∩（∁∪B）等于( ) A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，根据补集的定义可得C∪B={3，4，5}，再根据交集的定义计算A∩（C∪B）．解答：解：∵全集U=|1，2，3，4，5|，B={1，2}，∴C∪B={3，4，5}，∵A={2，3，4}，∴A∩（C∪B）={3，4}，故选C．点评：此题考查集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．3．复数的的共轭复数是( )A．B．﹣C．iD．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分母实数化，化简为a+bi的形式，然后求出它的共轭复数即可．解答：解：复数===i．所以复数的的共轭复数是：﹣i．故选D点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．4．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2 ②③恒成立的个数是( )A．0B．1C．2D．3考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：当 a=1，b=﹣2 时，经检验，这三个命题都不正确，由此得出结论．解答：解：当 a=1，b=﹣2 时，显然①a2＞b2 不成立，②不成立，③不成立，故选A．点评：本题主要考查不等式与不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．5．已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=( )A．2B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．解答：解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．已知集合M={x|y2=x+1}，P={x|y2=﹣2（x﹣3）}，那么M∩P等于( )A．{（x，y）|x=，y=±}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|x≤3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中x的范围确定出两集合，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中y2=x+1≥0，得到x≥﹣1，即M=，则M∩P=={x|﹣1≤x≤3}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件是( )A．|a|=|b|B．a＜0且a=﹣bC．a＞0且a≠bD．a≤0考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由分式z的虚部等于0求得复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件．解答：解：复数z=a2+b2+（a+|a|）i为实数的充要条件是a+|a|=0，即a≤0．故选：D．点评：本题考查复数的基本概念，考查了复数为实数的充要条件，是基础题．8．在约束条件下，目标函数z=2x+y的值( )A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2D．既无最小值，也无最大值考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最值情况．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点B（）时，z取得最大值为2；当平行直线过点B（0，）时，z取得最小，但B点不在可行域内；故选A点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．9．对任意a∈，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是( ) A．x＜1或x＞2B．1＜x＜2C．x＜1或x＞3D．1＜x＜3考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．解答：解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈上恒成立，只需，∴，∴x＜1或x＞3．故选C．点评：此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于a的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，对此类恒成立题要注意．10．已知f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=( )A．B．C．﹣D．﹣考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，求导，然后导入值计算即可解答：解：f（x）=cosx，则f′（x）=﹣，∴f（π）+f′（）=cosπ﹣﹣=﹣﹣=﹣，故选：D点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题11．如图，其中有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）为( )A．2B．﹣C．3D．﹣考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出f（x）的导函数发现为开口向上的抛物线，由a≠0得到其图象必为第（3）个图，由图象知f′（0）=0解得a的值，即可求出f（﹣1）．解答：解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为（3）．由图象特征知f′（0）=a2﹣1=0，且对称轴x=﹣a＞0，∴a=﹣1，f（x）=x3﹣x2+1，故f（﹣1）=﹣．故选B．点评：本题考查导数的运算能力．熟悉函数图象的能力，以及会求函数值的能力，属于中档题．12．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x﹣9都相切，则a等于( ) A．﹣1或﹣B．﹣1或C．﹣或﹣D．﹣或7考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出过点（1，0）和y=x3相切的切线方程，即可得到结论．解答：解：设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x0，y0），则函数的导数为f′（x0）=3x02，则切线斜率k=3x02，则切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），∵切线过点（1，0），∴﹣x03=3x02（1﹣x0）=3x02﹣3x03，即2x03=3x02，解得x0=0或x0=，①若x0=0，此时切线的方程为y=0，此时直线与y=ax2+x﹣9相切，即ax2+x﹣9=0，则△=（）2+36a=0，解得a=﹣．②若x0=，其切线方程为y=x﹣，代入y=ax2+x﹣9得y=ax2+x﹣9=x﹣，消去y可得ax2﹣3x﹣=0，又由△=0，即9+4××a=0，解可得a=﹣1．故a=﹣1或a=﹣．故选：A．点评：本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．二．填空题（本大题共有4个小题，每题5分共20分）13．函数f（x）=+lg（1﹣x）的定义域是（﹣1，1）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由分母大于0，真数大于0，从而求出x的范围．解答：解：∵＞0，且1﹣x＞0，∴﹣1＜x＜1，故答案为：（﹣1，1）．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式，对数的定义，是一道基础题．14．已知复数z满足（3+2z）i2003=1（i为虚数单位），则z=．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由于i4=1，可得i2003=（i4）500•i3，于是（3+2z）i2003=1，化为（3+2z）•（﹣i）=1，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵i4=1，∴i2003=（i4）500•i3=﹣i，∴（3+2z）i2003=1，化为（3+2z）•（﹣i）=1，∴2z=i﹣3，∴z=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了计算能力，属于基础题．15．已知f（x）=ax3+4x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于4．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，解导数方程即可．解答：解：∵f（x）=ax3+4x2+2，∴f′（x）=3ax2+8x，若f′（﹣1）=4，则f′（﹣1）=3a﹣8=4，即3a=12，则a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．16．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=6．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．解答：解：f′（x）=6x+2f′（2）令x=2得f′（2）=﹣12∴f′（x）=6x﹣24∴f′（5）=30﹣24=6故答案为：6点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．三、解答题（共4小题，满分50分）17．（1）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．（2）已知函数y=（x+1）（x+2）（x+3）．求该函数的导函数．（3）求不等式﹣1＜x2+2x﹣1≤2的解集．考点：一元二次不等式的解法；导数的运算；复数代数形式的混合运算．专题：函数的性质及应用；坐标系和参数方程．分析：（1）利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出；（2）展开利用导数的运算法则即可得出；（3）利用一元二次不等式的解法、交集的运算性质即可得出．解答：解：（1）设z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i﹣z，即，则，．（2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11．（3）∵，∴﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤1．∴不等式的解集{x|﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤1}．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等、导数的运算法则、一元二次不等式的解法、交集的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题；集合．分析：（1）A∩B═{x|﹣1≤x＜3}∩{x|x≥2}={x|2≤x＜3}；（2）化简集合C，由B∪C=C知B⊆C，从而得到﹣＜2．解答：解：（1）A∩B═{x|﹣1≤x＜3}∩{x|x≥2}={x|2≤x＜3}．（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣}，由B∪C=C知，B⊆C，∴﹣＜2，解得，a＞﹣4．点评：本题考查了集合的化简与运算及集合包含关系的应用，属于基础题．19．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，试求不等式cx2+bx+a＜0的解集．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式的解集，找出对应此解集的一元二次不等式，可以确定待定系数，再根据待定系数的值，确定出要解的不等式，解出结果即可解答：解：∵ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，∴a＜0，﹣+2=﹣，×2=，即=﹣，=，c＞0，b＞0∴=﹣，=，∴不等式cx2+bx+a＜0转化为x2+x+＜0，即为x2+x﹣＜0，即为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜点评：本题考查一元二次不等式的解法，要联系对应的二次函数的图象特点，属于基础题20．（14分）设函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为在该点处的导数，所以只要求导，再求x=3时的导数，再用点斜式求出直线方程．（Ⅱ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，函数f（x）的极大值和极小值是导数等于0时的x的值，所以再令导数等于0，解出x的值，为极值点，再列表判断极值点两侧导数的正负，若左正右负，为极大值，若左负右正，为极小值．（Ⅲ）根据（Ⅱ）问的结论，x∈（3a，a）时，，从而根据不等式f（x）＜a+1在区间（3a，a）上恒成立列出关于a的不等关系，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵当a=1时，，…f'（x）=﹣x2+4x﹣3…当x=3时，f（3）=1，f'（3）=0 …∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣1=0…（Ⅱ）f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣a）（x﹣3a）…a=0时，f'（x）≤0，（﹣∞，+∞）是函数的单调减区间；无极值；…a＞0时，在区间（﹣∞，a），（3a，+∞）上，f'（x）＜0；在区间（a，3a）上，f'（x）＞0，因此（﹣∞，a），（3a，+∞）是函数的单调减区间，（a，3a）是函数的单调增区间，函数的极大值是f（3a）=a；函数的极小值是；…a＜0时，在区间（﹣∞，3a），（a，+∞）上，f'（x）＜0；在区间（3a，a）上，f'（x）＞0，因此（﹣∞，3a），（a，+∞）是函数的单调减区间，（3a，a）是函数的单调增区间函数的极大值是，函数的极小值是f（3a）=a…（Ⅲ）根据（Ⅱ）问的结论，x∈（3a，a）时，…因此，不等式f（x）＜a+1在区间（3a，a）上恒成立必须且只需：，解之，得…（13分）点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．【4-1几何证明】（共1小题，满分0分）23．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析：（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．解答：证明：（1）∵D，E分别为△AB C边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．点评：本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．【4-4坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．解答：解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=；（x﹣2）2+（y+）（Ⅱ）圆C 的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣），半径为2，直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），方程为y=﹣（x﹣2）=﹣（x﹣2），即x+3y﹣2=0．圆心到直线的距离为：==＜2，所以，直线l与圆C相交．点评：本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．- 21 -。

高等数学A(下册)期末考试试题【B 卷】（补考卷）参考答案与评分标准 2009年6月（8月）一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】 1、3π； 2、612x x y C e C e -=+； 3、113210x y z ---==-； 4、14xy +； 5、12a ．二. 试解下列各题【共5小题，每小题7分，共35分】1、解：该平面的法线向量12137231ij kn i j k =-=---- (3)∴所求的平面方程为(1)3(2)7(3)0x y z -+-+-=，即37280x yz ++-= (7)2、解：令 1t x =-，则级数化为为nn∞=..…【1】 1lim1n n n n a a ρ+→∞===，………………..…【3】 1R ⇒=，收敛区间1t <即02x << (4)当2x =时，级数成为1n ∞=0x =时，级数成为1n n ∞=，收敛....【6】 ∴所求的收敛域为[0,2).. (7)3、解：{}(,)01D xy x y=≤≤≤≤， (2)∴原式10dy =⎰ (4)133/210011(1)|29y y ==+=⎰ ………………【7】 4、解：2111()3212f x x x x x==-++++ (1)又01(1)(1)1n nn x x x ∞==-<+∑ (3)1001111(1)()(1)(2)221/2222n n n n n n n x x x x x ∞∞+====-=-<++∑∑………【5】 ∴21100011()(1)(1)(1)(1)(1)3222n n n n n n n n n n n x f x x x x x x ∞∞∞++=====---=--<++∑∑∑ (7)5、解：1222zxf yf x∂''=+∂ …………【2】 2zx y∂∂∂1112221222[(2)2]22[(2)2]x f y f x f y f y f x '''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅ …………【6】 22212221124()4()f x y f xy f f '''''''=+-+- …………【7】 三、【9分】解：令23639026180x yf x y f y x ⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，得驻点(5,6)，(1,6)- (4)又6,6,2xx xy yy A f x B f C f ====-==.在驻点(5,6)处，2240,AC B -=>且300A =>，∴该函数在(5,6)处取得极小值(5,6)88f =-.….…【7】 在驻点(1,6)-处，2240,AC B -=-<∴该函数在(1,6)-处没有极值. ………………【9】 四、【10分】解：联立z =与22z x y =+消去z ，解得221x y +=，从而该立体Ω在xOy 面上的投影区域{}22(,)1xy D x y x y =+≤． (2)故所求的体积为221V dv d d πρθρρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰ (6)1202)d πρρρ=⎰1423/20172(2)346ρπρπ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦ (10)五、【10分】取1∑为1z =22(1)x y +≤的上侧，记Ω为由∑与1∑所围成的空间闭区域.由高斯公式，12222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰ (4)2()2x y dv zdv ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2221002x y zzdzdxdy +≤=+⎰⎰⎰13022z dz ππ==⎰ (6)又221122221x y x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)∴22I πππ=-=- (10)六、【10分】解：(1)证:令 211(,)[1()]()P x y y f xy yf xy y y=+=+，222(,)[()1]()x xQ x y y f xy xf xy y y=-=-. 则当0y >时，21()()P f xy xyf xy y y ∂'=-++∂，21()()Q f xy xyf xy x y∂'=+-∂. ……………【4】 从而P y ∂∂、Q x ∂∂在上半平面内处处连续，且恒有Q P x y∂∂=∂∂. ∴曲线积分I 在上半平面内与路径无关 (5)（2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点2(3,)3A 到(3,2)B ，再到(1,2)C 的折线段，则2221[1()][()1]AB BC xI y f xy dx y f xy dy y y+=++-⎰212223331[(3)1][14(2)]2y f y dy f x dx y =-++⎰⎰……………….【8】 212122/333313(3)3[][]2(2)2x f y dy f x dx y =+++⎰⎰62264()()4f t dt f t dt =-++=-⎰⎰ (10)七、【6分】证明：所给级数的部分和11223341()()()(1)()n n n n s u u u u u u u u ++=+-+++-+-+111(1)n n u u ++=+- (3)又由lim 1n n nu →∞=，得1lim lim lim0n n n n n u nu n→∞→∞→∞=⋅=，……………【4】 从而1n s u → （n →∞） ∴ (5)因此，所给级数收敛. (6)。

--------------------------装----------------------------订---------------------------线------------------------------第 - 1 - 页 共 -2- 页2005-2006学年秋季学期《高等数学》（下）课程期末考试试题试题说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。

学生可随身携带计算器。

一、填空题（每题4分，共20分） 1．已知→→→→→→→→+-=-+=kj i b k j i a5,432,则向量→→→-=ba c2在z 轴方向上的分向量是 . 2．设∑是柱面222ayx =+在hz ≤≤0之间的部分，则积分=⎰⎰∑dsx 2 . 3．设),(v u f z =具有一阶连续偏导数，其中22,y x v xy u +==，则=∂∂xz .4．∑∞=1n nnx在1||≤x 的和函数是 .5．设∑是球面2222azy x =++的内侧，则曲线积分=++⎰⎰∑dydz z y x )(222.二、计算题（每题7分，共21分）6．设3222z x yz xy u ++=，求yx u∂∂∂2和yz u ∂∂∂2的值。

7．计算二重积分⎰⎰-+Ddxdyx y x )(22,其中D 为由xy x y y 2,,2===所围成的区域8．已知两点)1,2,7(--A 和)10,4,3(B 求一平面,使其通过点B ,且垂直AB .三、计算题（每题8分，共32分）9．设),(y x f 是连续函数,改变⎰⎰-xxx dyy x f dx2212),(的积分次序.10．在曲线xyz=上求一点,使该点的法线垂直于平面093=+++z y x ,并写出所求--------------------------装----------------------------订---------------------------线------------------------------第 - 2 - 页 共 -2- 页法线方程.11． 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极大值点或极小值点.12．设),(3xy xy f x z =，其中f具有二阶连续偏导数，求22yz ∂∂的值。

北 方 交 通 大 学1999-2000学年第二学期高等数学B （Ⅱ）期末考试试卷（A 卷）答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1．设y x e z 2=，则=dz ________________________．2．交换积分次序()=⎰⎰-221y ydx y x f dy， _______________________________．3．已知∑是介于两平面0=z 与H z =()0>H 之间的圆柱面222R y x =+()0>R ，则=++⎰⎰∑222z y x dS_______________． 4．设幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为3，则幂级数()∑∞=+-111n n nx na 的收敛区间为 _____．5．函数()22ln z y x u ++=在点()101，，A 处沿A 点指向()223，，-B 点方向的方向导数为_______________．答案： ⒈ ()dy x xydx e yx222+； ⒉ ()()⎰⎰⎰⎰-+2220211x x d x d y y x f dx dxdy y x f dx ，，；⒊ R Ha r c t a n 2π； ⒋ ()42，-； ⒌21． 二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．二元函数()y x f ，在点()00y x ，处两个偏导数()00y x f x ，与()00y x f y ，存在是()y x f ，在该点处连续的_____________ ． （A ）．充分而非必要条件； （B ）．必要而非充分条件；（C ）．充分必要条件； （D ）．既非必要条件又非充分条件． 2．设()22442y xy x y x y x f z ---+==，，由()()⎪⎩⎪⎨⎧=--==--=0224022433y x y y x f y x x y x f y x ，， 解得其驻点为()000，M 、()111，M 、()112，-M ，则______________ ．（A ）．()0M f 是函数()y x f ，的极小值；（B ）．()1M f 与()2M f 都是函数()y x f ，的极小值； （C ）．()0M f 是函数()y x f ，的极大值； ；（D ）．()1M f 与()2M f 都是函数()y x f ，的极大值； ． 3．设空间区域02222≥≤++Ωz R z y x ，：，00022221≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ，，，：，则______________ ． （A ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xdxdydz xdxdydz； （B ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14ydxdydz ydxdydz ；（C ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14zdxdydz zdxdydz； （D ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdxdydz xyzdxdydz ．4．若级数∑∞=12n na收敛，则级数∑∞=1n na___________ ．（A ）．一定绝对收敛； （B ）．一定条件收敛； （C ）．一定发散； （D ）．可能收敛也可能发散．5．已知x y ωcos 1=与x y ωcos 32=是微分方程02=+''y y ω的解，则2211y C y C y +=（1C 与2C 为任意常数）__________________．（A ）．是该方程的通解； （B ）．是该方程的解，但不是通解； （C ）．是该方程的一个特解； （D ）．不一定是该方程的解． 答案： ⒈ （D ）； ⒉ （B ）； ⒊ （C ）； ⒋ （A ）； ⒌ （B ）． 三．（本题满分8分）设二元函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x xy f xy z ，，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，求y x z ∂∂∂2．解：211f yf y y x z '+'+=∂∂ ……3 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+''+'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+''+'+=∂∂∂22221221221112111f y x f x y f y f y x f x y f y x z 2231122111f yxf xy f y f ''+''+'-'+= (8)四．（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x y x 22，其中(){}1122≥+≤+=y x y x y x D ，：，． 解： 作极坐标变换 θθsin cos r y r x ==， 则积分区域D 变为20πθ≤≤，1cos sin 1≤≤+r θθ．因此，⎰⎰⎰⎰++=++1cos sin 12222sin cos θθπθθθrdr rr r d dxdy y x yx D (3)()⎰⎰++=1c o ss i n 12s i n c o s θθπθθθdr d ()⎰-+=21c o s s i nπθθθd ……5 22π-= (8)五．（本题满分8分） 试将函数()⎰-=xt dt ex f 02展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）． 解：因为 ∑∞==0!n ntn t e ()+∞<<∞-t (2)则∑∞==02!2n nt n t e ()+∞<<∞-t ， (4)将上式两端逐项积分，得()⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∞=xn n x tdt n t dt e x f 0020!2∑⎰∞==002!n x ndt n t()∑∞=++=012!12n n n n x ()+∞<<∞-x (8)六．（本题满分8分）设函数()u f 有二阶连续的导函数，而函数()y e f z xs i n =满足方程x ze yzx z 22222=∂∂+∂∂ 试求函数()u f ．解：()y e u f x z x s i n '=∂∂，()y e u f yz x c o s '=∂∂()()y e u f y e u f x z x x s i n s i n 2222'+''=∂∂， ()()y e u f y e u f yz xx s i n c o s 2222'-''=∂∂， ……3 代入原方程，得()()0=-''u f u f ……6 解方程，得()u u e C e C u f -+=21，其中1C 与2C 为任意常数． ……8 七．（本题满分8分） 计算曲线积分()()⎰-++Ly y dy e x dx xe 11222，其中L 为()4222=+-y x 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧． 解：()y xe y x P 21+=，，()122-=y e x y x Q ，由 yPxe x Q y ∂∂==∂∂22 可知该曲线积分与路径无关． ……3 因此我们可取直线0=y 上从4=x 到0=x 这一段直线段，得()()⎰-++L yydy ex dx xe 11222()⎰+041dx x (6)12-= ……8 八．（本题满分8分） 计算曲面积分()()⎰⎰∑--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 412182，其中∑是由曲线⎩⎨⎧=-=01x y z ()31≤≤y 绕y 轴旋转一周所成的曲面，它的法线向量与y 轴正向的夹角恒大于2π．解： 添加有向曲面31=∑y ： ()222≤+z x ，其法线方向与y 轴正向相同．则1∑+∑构成封闭曲面．设其所围空间区域为Ω，则由Gauss 公式，得 (2)()()⎰⎰∑--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 412182()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑+∑--++---++=11412184121822yzdxdydzdx y xdydz y yzdxdy dzdx y xdydz y (5)()[]()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω----+=12124418dzdx y dxdydz y y y ⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω+=22216z x dzdx dxdydz()ππ321312+-=⎰dy yπ34= (8)九．（本题满分8分） 设直线⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点()521，，-P ，试求常数a ，b ．解：在点()521，，-P 处曲面22y x z +=的法向量为{}(){}142122521--=-=-，，，，，，y x n， ……2 因此平面π的方程为()()()052412=--+--z y x即 0542=---z y x ， ……5 又由直线方程得()b x y +-=，()3-+-=b x a x z 代入平面π的方程，得()()0542=-++-++b x a x b x x ，因而，得 05=+a ，024=-+ab b ，所以，得 5-=a ，2=b ． ……8 十．（本题满分8分） 设x e y =是微分方程()x y x P y x =+'的一个解，求此微分方程满足初始条件02ln ==x y 的特解． 解：将x e y =代入微分方程()x y x P y x =+'，得()x xe x P x-=- (2)因此题中的微分方程为()x y x xey x x=-+'-，解此方程，得其通解为xe xx Cee y +-+=， (5)将初始条件02ln ==x y 代入，得21--=e C ，因此，所求特解为 21-+--=x e xx ee y ． (8)十一．（本题满分6分） 计算三重积分 ()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y xI 222753 ，其中2220y x R z --≤≤Ω：．解：设22221R z y x ≤++Ω：，则 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=++=122222275321753dxdydz z y x dxdydz z y xI ……2 而⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==111222dxdydz z dxdydz y dxdydz x ()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 22231504020154sin 31R d d d Rπρρϕϕθππ==⎰⎰⎰ ……4 所以，()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=++=122222275321753dxdydz z y x dxdydz z y x I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ11122275321dxdydz z dxdydz y dxdydz x⎰⎰⎰Ω⋅=121521dxdydz x 52R π= (6)。

《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准 得 一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得 二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ， 则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、 是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级 数 为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得 三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

2019年北京民族学校高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设点在内部，且有，则的面积比为（）A. 1:2:3B.3:2:1C.2:3:4D. 4:3:2参考答案：B略2. 执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120 B．720C．1440 D．5040参考答案：B3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线DE与A1B1所成角的正切值为(A) (B) (C) (D)参考答案：C4. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1参考答案：B【分析】把原方程转化为与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，原方程等价于与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，作出在上的图象，再根据是偶函数，图象关于轴对称，结合对称性，可得作出在上的图象，如图所示．再在同一坐标系下，画出的图象，同时注意其图象过点，由图可知，两图象在区间内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．5. 若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A． B． C．－45 D．45参考答案：D6. 椭圆+=1上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn, F是右焦点，|P1F|，|P2F|，…，|PnF|组成等差数列，且公差d>，则n的最大值是（）A.99B.100C.199D.200参考答案：D略7. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A．B．C．D．参考答案：D略8. 若、两点分别在圆上运动，则的最大值为（）A．13 B．19 C．32 D．38参考答案：C9. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为4，则m的值为（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣4 D．12或﹣2参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据题意设出抛物线的标准方程，进而得到p的值确定抛物线的方程，再将p 点坐标代入可求出m的值．【解答】解：设标准方程为x2=﹣2py（p＞0），由定义知P到准线距离为4，故+2=4，∴p=4，∴方程为x2=﹣8y，代入P点坐标得m=±4．故选C．10. .的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 40参考答案：D令x=1得a=1.故原式=。

北京北方交通大学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数则( )A．B．C．D．参考答案：A略2. 展开式中的系数为( )A．15 B．20 C. 30 D．35参考答案：A3. 已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．目标函数的最大值为A． B． C． D．参考答案：A4. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知图形的形状，求解即可．【解答】解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．5. 已知集合，，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】分为空集和不为空集两种情况讨论，分别求出的范围，即可得出结果.【详解】因为集合，，，若为空集，则方程无解，解得；若不为空集，则；由解得，所以或，解得或，综上，由实数的所有可能的取值组成的集合为.故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型. 6. 某几何体的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，若该几何体的体积为4，则x2+y2的最小值为（）A．12 B．16 C．28 D．48 参考答案：C7. 等差数列的前n项和为，已知，,则（）（A）38 （B）20 （C）10 （D）9参考答案：C8. 若函数在区间上的图像如图所示,则的值可能是A.B．C．D．参考答案：B略9. 已知曲线（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 数列满足，当时，有，则k的最小值为A．3 B．4 C．5 D．8参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的常数项为．（用数学作答）参考答案：【考点】二项式定理的应用．【分析】通项公式T r+1=（﹣1）r，令=0，解得r 即可得出．【解答】解：通项公式T r+1==（﹣1）r ，令=0，解得r=6，∴常数项为=．故答案为：．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 已知数列{a n }的首项a 1=1，若a n+1=a n +1，n∈N *，则a 3= ，a 1+a 2+…+a 9= ．参考答案：3；45．【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +1，n∈N *， ∴数列{a n }是首项a 1=1，公差为1的等差数列． ∴a n =1+（n ﹣1）=n ． ∴a 3=3，a 1+a 2+…+a 9=S 9==45．故答案分别为：3；45．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 在矩形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，记三边及内部组成的区域为，，当点P 在上运动时，的最大值为 。

宁夏2021版高二下学期数学期末考试试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·河西期中) 若为虚数单位，且，则（）A .B .C .D .2. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .3. （2分）函数y=﹣2ex•sinx的导数是（）A . ﹣2excosxB . ﹣2ex（sinx﹣cosx）C . 2exsinxD . ﹣2ex（sinx+cosx）4. （2分） (2019高二上·大港期中) 若，，则“ ”是“ ”的（）.A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）若随机变量X服从正态分布N（5，1），则P（6＜X＜7）=（）A . 0.1359B . 0.3413C . 0.4472D . 16. （2分）已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则等于（）A .B .C .D . 07. （2分） (2015高二下·咸阳期中) 由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形的面积为（）A . [（1﹣y）﹣y]dyB . [（﹣x+1）﹣x]dxC . [（1﹣y）﹣y]dyD . x﹣[（﹣x+1）]dx8. （2分）一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为（）A . •B . ﹣C . 2 • +D . ﹣ +19. （2分）(2019·永州模拟) 已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点的横坐标为（）A . 1B . 4C . 6D . 1010. （2分）(2017·武汉模拟) 下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量 =（3，﹣4）， =（2，1），则向量在向量方向上的投影是．说法错误的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·平顶山模拟) 已知e为自然对数的底数，定义在R上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________14. （1分） (2016高二下·晋江期中) 在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=________．15. （1分）(2017·南开模拟) 若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则2 ﹣4a2﹣b2的最大值是________．16. （2分） (2016高二下·宁波期末) 若二项式（﹣）n的展开式共有7项，则n=________；展开式中的第三项的系数为________．（用数字作答）三、解答题： (共6题；共70分)17. （10分） (2016高二下·广州期中) 已知数列{an}满足a1=2，且anan+1+an+1﹣2an=0（n∈N+）．（1）求a2、a3、a4的值；（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．18. （10分）已知函数在处取得极值，问（1）确定α 的值；（2）若= ,讨论的单调性。

宁夏2020版数学高二下学期文数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数 z=(1-i)(1+2i)，其中 i 为虚数单位，则的实部为（）A . -3B . 1C . -1D . 32. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 对相关系数r ，下列说法正确的是（）A . 越大，线性相关程度越大B . 越小，线性相关程度越大C . 越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大D . 且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小3. （2分） (2018高二上·湘西月考) 下列命题中正确的是（）A . 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . 命题“ ，使得”的否定是“ ，都有”D . 命题“若，则”的否命题为“若，则”4. （2分）(2018·延安模拟) 数列的前项和为，若，则的值为（）A . 2B . 3C . 2018D . 30335. （2分）对于数列，“ ”是“ 为递增数列”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）设f（x）=x3 ，则函数y=f（a﹣bx）（其中a，b∈R）的导函数是（）A . y′=3（a﹣bx）B . y′=2﹣3b（a﹣bx）2C . y′=﹣3b（a﹣bx）2D . y′=3b（a﹣bx）27. （2分） (2019高二上·钦州期末) 抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·红桥期中) 若△ABC的内角A，B，C满足 = = ，则cosB=（）A .B .D . ﹣9. （2分） (2019高二下·上饶月考) 已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·沧县月考) 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A .B .D .12. （2分）双曲线﹣=1（a≥1，b≥1）的离心率为2，则的最小值为（）A .B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·上海文) 若满足则的最大值为________．14. （1分） (2018高二上·牡丹江期中) 已知抛物线，作直线，与抛物线交于两点，为坐标原点且，并且已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于两点，且，则的最小值为________15. （1分） (2017高二上·阜宁月考) 已知且，则的最小值为________.16. （1分）设a、b∈{1，2，3}，则方程ax+by=0所能表示的不同直线的条数是________ ．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2016高二上·澄城期中) 已知数列{an}满足an+1=2an+n﹣1，且a1=1．（Ⅰ）求证：{an+n}为等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn ．18. （15分）某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取人进行统计（已知这个身高介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为．（1）补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这位男生身高的中位数；（3）用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为的样本，从样本中任意抽取位男生，求这两位男生身高都在内的概率．19. （10分） (2017高一下·西安期末) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知= ．（1）求的值（2）若cosB= ，b=2，求△ABC的面积S．20. （5分） (2019高三上·浙江期末) 已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点.（I）求与的关系式；（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.21. （10分）(2017·来宾模拟) 已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x．（1）若a= ，求函数f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤a﹣1，求a的取值范围．22. （5分）(2016·城中模拟) 已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A、B两点．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）求线段MA、MB长度之积MA•MB的值．23. （10分）(2018·延安模拟) 已知函数， .（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

西北农林科大附中2021—2021学年第二学期期末考试试题〔卷〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

高二数学〔理科〕一、选择题(本大题一一共12小题，一共60分,每一小题只有一个选项是正确的。

1. 设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，那么〔〕A. P⊆QB. Q⊆PC. P∈QD. Q∈P【答案】B【解析】由得：，故，应选B.2. 如下图，可表示函数图象的是〔〕A. ①B. ②③④C. ①③④D. ②【答案】C3. 集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，那么m=〔〕A. 0或者B. 0或者3C. 3或者D. 1或者3【答案】C【解析】试题分析：由A∪B＝A可得或者考点：集合的子集4. 以下函数中，既是偶函数又在〔-∞，0〕内为增函数的是〔〕A. y=〔〕xB. y=x-2C. y=x2+1D. y=log3〔-x〕【答案】B............5. 假设集合A={y|y=2x+2}，B={x|-x2+x+2≥0}，那么〔〕A. A⊆BB. A∪B=RC. A∩B={2}D. A∩B=∅【答案】D【解析】由，得，，那么，应选D.6. 命题“假设a≥-1，那么x+a≥1nx〞的否认是〔〕A. 假设a＜-1，那么x+a＜1nxB. 假设a≥-1，那么x+a＜1nxC. 假设a＜-1，那么x+a≥1nxD. 假设a≥-1，那么x+a≤1nx【答案】B【解析】“假设，那么〞的否认是假设，那么，应选B.7. f〔x〕是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞〕上递增，那么一定有〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】∵〕在上递增，，，应选B.8. 函数，那么的值是〔〕A. 27B.C. -27D.【答案】B【解析】由题可得：，故，应选B.9. 以下有关命题的说法正确的选项是〔〕A. 命题“假设xy=0，那么x=0〞的否命题为：“假设xy=0，那么x≠0〞B. 命题“假设cos x=cosy，那么x=y〞的逆否命题为真命题C. 命题“∃x∈R，使得2x2-1＜0〞的否认是：“∀x∈R，2x2-1＜0〞D. “假设x+y=0，那么x，y互为相反数〞的逆命题为真命题【答案】D【解析】命题“假设，那么〞的否命题为：“假设，那么〞，A错误；命题“假设，那么〞为假命题，那么其逆否命题为假命题，B错误；命题“，使得〞的否认是“，使得〞，故C错误；假设，那么互为相反数的逆命题是：互为相反数，那么，为真命题；应选D.10. 函数，满足f〔x〕＞1的x的取值范围〔〕A. 〔-1，1〕B. 〔-1，+∞〕C. {x|x＞0或者x＜-2}D. {x|x＞1或者x＜-1}【答案】D【解析】当时，即，，∴，当时，即，，综上满足的的取值范围或者，应选D.点睛：此题考察分段函数的意义，解不等式的方法，表达了分类讨论和等价转化的数学思想，根底性较强；分和两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解.11. 假设对任意实数x∈R，不等式恒成立，那么实数m的取值范围是〔〕A. [2，6]B. [-6，-2]C. 〔2，6〕D. 〔-6，-2〕【答案】A【解析】对任意实数，不等式恒成立，那么，解得，即实数的取值范围是，应选A.12. 定义在R上的偶函数f〔x〕满足f〔x-4〕=f〔x〕，且在区间[0，2]上f〔x〕=x，假设关于x的方程f〔x〕=log a|x|有六个不同的根，那么a的范围为〔〕A. B. C. D. 〔2，4〕【答案】A【解析】由得：，当时，函数的图象如图：，再由关于的方程有六个不同的根，那么关于的方程有三个不同的根，可得，解得，应选A.点睛：此题主要考察了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等根本性质，函数的图象特征，表达了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于的不等式，解得即可.二、填空题(本大题一一共4小题，一共20分)13. 命题“∃x∈R，x2+ax-4a＜0〞为假命题，是“-16≤a≤0〞的 ______条件．【答案】充要【解析】∵命题“〞为假命题，∴命题“〞为真命题，那么判别式，即，解得，那么命题“〞为假命题，是“〞的充要条件，故答案为充要.14. 假设-2≤x≤2，那么函数的值域为 ______．【答案】【解析】设，那么；∴，∴时，，时，，∴的值域为，故答案为.点睛：此题主要了考察指数式的运算，换元法求函数的值域，以及配方求二次函数值域的方法；先写出，从而可设，根据的范围即可求出的范围，进而得到二次函数，这样配方求该函数的值域即可得出的值域.15. 函数的取值范围为______ ．【答案】或者【解析】易知函数为奇函数，且当时，，当时，，即函数的取值范围为或者.16. 以下说法错误的选项是______ ．①命题p为“∀x∈[0，+∞〕，〔log32〕x≤1〞，那么非p是真命题②假设p∨q为假命题，那么p，q均为假命题③x＞2是x＞1充分不必要条件④“全等三角形的面积相等〞的否命题是假命题．【答案】①【解析】对于①，∵，∴，成立即命题是真命题，那么非是假命题，故错；对于②，假设为假命题，那么，均为假命题，正确；对于③，∵，反之不能，∴是充分不必要条件，正确；对于④，∵不全等三角形的面积可能相等，∴“全等三角形的面积相等〞的否命题是假命题，正确；故答案为①.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分)17. 命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．〔1〕假设p为真命题，务实数m的取值范围；〔2〕假设p∨q为真命题，p∧q为假命题，务实数m的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕假设为真命题，那么应有，解得实数的取值范围；〔2〕假设为真命题，为假命题，那么，应一真一假，进而实数的取值范围.试题解析：〔1〕假设为真命题，那么应有，解得；〔2〕假设为真命题，那么有，即，因为为真命题，为假命题，那么，应一真一假，①当真假时，有，得；②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是．18. 在平面直角坐标系x O y中，圆C的参数方程为〔θ为参数〕，直线l经过点P〔1，2〕，倾斜角．〔1〕求直线l的参数方程；〔2〕设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【答案】〔1〕〔为参数〕【解析】试题分析：〔1〕根据直线经过点，倾斜角，可得直线的参数方程．〔2〕把直线的方程代入，得，由此能求出的值.试题解析：〔1〕∵直线经过点，倾斜角，∴，〔为参数〕〔2〕∵圆C的参数方程为〔为参数〕，∴圆的直角坐标方程为，把直线的方程代入，得，设，是方程的两个实根，那么，那么．19. 一台机器使用时间是较长，但还可以使用．它按不同的转速消费出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时消费有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，如表为抽样试验结果：转速x〔转/秒〕16 14 12 8每小时消费有11 9 8 5缺点的零件数y〔件〕〔1〕用相关系数r对变量y与x进展相关性检验；〔2〕假如y与x有线性相关关系，求线性回归方程；〔3〕假设实际消费中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？〔结果保存整数〕参考数据：，，．参考公式：相关系数计算公式：,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】〔1〕y与x有很强的线性相关关系；〔2〕；〔3〕机器的转速应控制在15转/秒以下.【解析】试题分析：〔1〕根据表中数据计算与相关系数的值，判断与有很强的线性相关关系；〔2〕求出回归方程的系数、，写出线性回归方程；〔3〕利用回归方程求出的值即可.试题解析：〔1〕根据表中数据，计算，，，所以相关系数；因为，所以与有很强的线性相关关系；〔2〕回归方程中，，，∴所求线性回归方程为．〔3〕要使，即，解得，所以机器的转速应控制在转/秒以下．20. ．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设恒成立，务实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕利用分类讨论思想分为，，三种情形，将问题转化为解不等式组问题，求出不等式的解集即可；〔2〕要使对任意实数成立，得到，解出即可.试题解析：〔1〕不等式即为，等价于或者或者，解得或者，因此，原不等式的解集为或者.〔2〕，假设恒成立，那么，那么，解得．点睛：此题主要考察了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．21. 不等式x2-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或者x＞1}〔1〕务实数a，b的值；〔2〕假设0＜x＜1，，求f〔x〕的最小值．【答案】〔1〕；〔2〕9.【解析】试题分析：〔1〕根据题意，分析可得方程的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得，，解可得、的值；〔2〕由〔1〕知的解析式，将其表示为由根本不等式分析可得答案.试题解析：〔1〕根据题意，不等式的解集为或者，那么方程的两个根是和，那么有，，即，.〔2〕由〔1〕知，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．点睛：此题主要考察了根本不等式.根本不等式求最值应注意的问题(1)使用根本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等〞的无视．要利用根本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用根本不等式时，要特别注意“拆〞“拼〞“凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞“定〞“等〞的条件．22. 在极坐标系中，圆C的圆心，半径．〔1〕求圆C的极坐标方程；〔2〕假设点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕设为圆上任一点，的中点为，,所以,为所求；〔2〕先由求出点的坐标,再由点在圆上，所以，化简就可得到动点的轨迹方程．试题解析：〔1〕设为圆上任一点，的中点为，∵在圆上，∴△为等腰三角形，由垂径定理可得，为所求圆的极坐标方程．〔2〕设点的极坐标为，因为在的延长线上，且，所以点的坐标为，由于点在圆上，所以，故点的轨迹方程为．考点：简单曲线的极坐标方程.制卷人：打自企；成别使；而都那。

2020年北京民族学校高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面内的动点满足不等式，则的最大值是（）A． 6 B．4 C. 2 D．0参考答案：A可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点A时取最大值6,选A.2. 以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42 B．28 C．21 D．14参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和通项公式易得a4=6，又可得S7=7a4，代值计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a7﹣a5=6，∴（a1+d）+（a1+6d）﹣（a1+4d）=6，∴a1+3d=6，即a4=6，∴S7=（a1+a7）=×2a4=7a4=42故选：A3. 设集合M={﹣1，1}，N={x|＜2}，则下列结论正确的是（）A．N?M B．M?N C．M∩N=N D．M∩N={1}参考答案：B【分析】化简集合N，即可得出结论．【解答】解：∵M={﹣1，1}，N={x|＜2}={x|x＜0或x＞}，∴M?N，故选B．4. 已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则?的取值范围是( )A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]参考答案：C考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入?分析比较后，即可得到?的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，?=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，?=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，?=﹣1×0+1×2=2故?和取值范围为[0，2]解法二：z=?=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故?和取值范围为[0，2]故选：C点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．5. 已知函数若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为A.(-∞,0］B.［0,1)C.(-∞,1) D.［0,+∞)参考答案：C6. 已知“”，：“”，那么是的（）条件A充要B既不充分，也不必要C必要不充分 D 充分不必要参考答案：D略7. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．60﹣12πB．60﹣6πC．72﹣12πD．72﹣6π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，结合图中数据求出组合体的体积．【解答】解：根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3；所以该组合体的体积为：V=×（4+8）×4×3﹣π×22×3=72﹣6π．故选：D．8. 要得到函数的图明，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：D略9. 在下面四个图中，有一个是函数的导函数的图象，则等于A．B．C．D．或参考答案：B10. 已知集合，则( )A.(0,1)B.(1,2) C．（∞，l)U(0,+∞) D．（∞，-l)U(l，+∞)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且的三边所在直线的斜率满足（1）求点P的轨迹C的方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得PQA和PAM的面积满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

2015-2016学年北京市民大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，3}，则B∩∁U A=（）A．{3}B．{0，1}C．{﹣1}D．{﹣1，3}2．复数的共轭复数是（）A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i3．已知命题p：∃x＞0，x+≥2，则￢p为（）A．∀＜2 B．∀＜2C．∃＜2 D．∃＜24．下列函数在区间（0，+∞）内单调递减的是（）A．y=x3 B．y=C．y=log2D．y=﹣tanx5．已知a=（）﹣1，b=log23，c=lne，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知集合{a，b，c}={0，1，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c的值为（）A．130 B．103 C．301 D．3108．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．抛物线C：y2=4x的准线l的方程是；以C的焦点为圆心，且与直线l相切的圆的方程是．10．比较﹣与2﹣的大小为（用“=”，“＞”或“＜”填空）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．12．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=；若f（2a2﹣3）＞f（5a），则实数a的取值范围是．13．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．14．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则：（1）复数z对应的点构成的区域的面积为（2）y≥x的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知函数f（x）=的定义域为A，B={x|x2﹣（m+3）x+3m＜0，m∈R}．（1）若（∁R A）∩B=（1，2），求实数m的值；（2）若A∪B=A，求实数m的值．16．某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：编号项目收案（件）结案（件）判决（件）1 刑事案件2400 2400 24002 婚姻家庭、继承纠纷案件3000 2900 12003 权属、侵权纠纷案件4100 4000 20004 合同纠纷案件14000 13000 n其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n=，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．17．设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（1）求L的方程；（2）证明：f（x）≤x﹣1在定义域内恒成立．18．对于函数y=f（x），任意x∈R，均有f（x+2）=，当x∈（0，2]时，f（x）=x．（1）当x∈（2，4]时，求f（x）的解析式；（2）若f（m）=1，求m的值；（3）求和：f（1）+f（2）+f（3）+…+f已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点D（﹣2，0）为椭圆C的左顶点，点D与椭圆C的短轴端点的距离为，过点M（1，0）的直线l 与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在直线l，使得=，并说明理由．20．已知f（x）=lg，其中a∈R，n∈N*，n≥2．（1）当n=2时，不等式f（x）＞lg（x2x﹣1）有解，求实数a的取值范围；（2）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求实数a的取值范围．2015-2016学年北京市民大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，3}，则B∩∁U A=（）A．{3}B．{0，1}C．{﹣1}D．{﹣1，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=Z，A={﹣1，0，1}，B={0，1，3}，∴∁U A={x∈Z|x≠﹣1，x≠0，x≠1}，则B∩∁U A={3}，故选：A．2．复数的共轭复数是（）A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是2﹣i．故选：D．3．已知命题p：∃x＞0，x+≥2，则￢p为（）A．∀＜2 B．∀＜2C．∃＜2 D．∃＜2【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题p为全称命题，则命题的否定为：∃＜2，故选：D4．下列函数在区间（0，+∞）内单调递减的是（）A．y=x3 B．y=C．y=log2D．y=﹣tanx【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据y=x3的单调性，函数的定义域，反比例函数、对数函数和复合函数的单调性，及正切函数的定义域便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=x3在定义域R上单调递增；B.在x=1处无定义，∴该函数在（0，+∞）内单调递减不成立；C.在（0，+∞）内单调递减，y=log2t单调递增；∴函数在（0，+∞）内单调递减，即该选项正确；D．y=tanx在（0，∞）内没有单调性，∴y=﹣tanx在（0，+∞）内没有单调性．故选C．5．已知a=（）﹣1，b=log23，c=lne，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用对数函数的性质比较三个数与0和1的大小得答案．【解答】解：∵a=（）﹣1＜，b=log23＞log22=1，c=lne=1，∴a＜c＜b，故选：B．6．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A7．已知集合{a，b，c}={0，1，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c的值为（）A．130 B．103 C．301 D．310【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．【解答】解：由{a，b，c}={0，1，3}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=3或b=3、c=1，此时不满足题意；当a=1时，b=0、c=3或b=3、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=3、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=0、c=3，此时满足题意；综上得，a=3、b=0、c=1，代入100a+10b+c=301，故选：C．8．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断．【解答】解：由定义的运算知，f（x）=）=（e x）*==1+e x+，①f（x）=1+e x+=3，当且仅当，即x=0时取等号，∴f（x）的最大值为3，故①正确；②∵f（﹣x）=1+=1+=f（x），∴f（x）为偶函数，故②正确；③f'（x）==，当x≤0时，f′（x）=≤0，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③错误．故正确说法的个数是2，故选C．二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．抛物线C：y2=4x的准线l的方程是；以C的焦点为圆心，且与直线l相切的圆的方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求解圆的半径，即可得到圆的方程．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点坐标（1，0），准线方程为：x=﹣1，圆的半径为：2，圆的方程为（x﹣1）2+y2=4．故答案为：x=﹣1；（x﹣1）2+y2=4．10．比较﹣与2﹣的大小为（用“=”，“＞”或“＜”填空）【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差，再平方即可比较大小．【解答】解：﹣﹣2+=（+）﹣（+2），∵（+）2=13+2（+2）=13+2，∴（+）﹣（+2）＞0，∴﹣＞2﹣．故答案为：＞11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=1+++…+的值，计算不满足条件S＜的最小S的值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+++…+的值，∵S=1+++=＜满足条件，S=1++++=＞不满足条件．∴输出S=．故答案为：．12．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=；若f（2a2﹣3）＞f（5a），则实数a的取值范围是．【考点】函数单调性的性质；函数的值．【分析】根据函数的解析式求得f（1）的值，进而求得f[f（1）]的值．再根据函数f（x）在R上是减函数，结合所给的条件，可得2a2﹣3＜5a，解此一元二次不等式求得 a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）==2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=1﹣3×2=﹣5．再由函数的解析式可得，函数f（x）在R上是减函数，故由f（2a2﹣3）＞f（5a），可得2a2﹣3＜5a，解得﹣＜a＜3，故答案为﹣5，（﹣，3）．13．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．14．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则：（1）复数z对应的点构成的区域的面积为（2）y≥x的概率为．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；几何概型．【分析】（1）利用复数的模，求出轨迹方程，利用表达式的几何意义求解面积即可．（2）判断复数对应点图及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，根据几何概率的公式计算即可．【解答】解：（1）复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），|z|≤1，∴（x﹣1）2+y2≤1，∴（x，y）在以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的上和圆的内部的点，复数z对应的点构成的区域的面积为：π．（2）复数对应点图及内部部分，y≥x的图形是图形中阴影部分，圆的面积为S=π，=π﹣，S阴影∴则y≥x的概率为P===，故答案为：（1）π；（2）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知函数f（x）=的定义域为A，B={x|x2﹣（m+3）x+3m＜0，m∈R}．（1）若（∁R A）∩B=（1，2），求实数m的值；（2）若A∪B=A，求实数m的值．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出f（x）的定义域确定出A，表示出B中不等式的解集，根据A的补集与B的交集确定出m的范围即可；（2）根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，确定出m的范围即可．【解答】解：（1）由函数f（x）=，得到2﹣≥0，即≥0，解得：x＜﹣2或x≥2，即A=（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），∴∁R A=[﹣2，2），由B中不等式变形得：（x﹣3）（x﹣m）＜0，当m＞3时，解集为3＜x＜m，不合题意；当m＜3时，解集为m＜x＜3，即B=（m，3），∵（∁R A）∩B=（1，2），∴m=1；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，当m=3时，B=∅，满足题意；当m＞3时，解集为3＜x＜m，即B=（3，m），满足题意；当m＜3时，解集为m＜x＜3，即B=（m，3），此时m≥2，综上，m的范围为m≥2．16．某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：编号项目收案（件）结案（件）判决（件）1 刑事案件2400 2400 24002 婚姻家庭、继承纠纷案件3000 2900 12003 权属、侵权纠纷案件4100 4000 20004 合同纠纷案件14000 13000 n其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n=，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率，计算“在收案案件中取1件结案案件”的概率值；（Ⅱ）根据概率公式计算“在该结案案件中取1件判决案件”的概率值；（Ⅲ）＞，可以简单直观解释，也可以用具体计算说明．【解答】解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，则P（A）=；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法，设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B，则P（B）=；（讲评时应告诉学生这个概率底是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作、有时法律不能解决感情问题等）（Ⅲ）＞；可以简单直观解释，也可以具体计算如下：设4类案件的均值为，则=== [+++]= [+++]= [++]＜ [++]=．17．设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（1）求L的方程；（2）证明：f（x）≤x﹣1在定义域内恒成立．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）f′（x）=，可得切线的斜率f′（1），利用点斜式即可得出．（2）f（x）≤x﹣1在定义域（0，+∞）内恒成立⇔﹣x+1≤0，（x＞0）⇔lnx﹣x2+x≤0，（x＞0）．令g（x）=lnx﹣x2+x，利用导数研究其单调性极值与最值即可证明．【解答】（1）解：f′（x）=，f′（1）==1，f（1）=0，∴曲线C：y=在点（1，0）处的切线L的方程为：y﹣0=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．（2）证明：f（x）≤x﹣1在定义域（0，+∞）内恒成立⇔﹣x+1≤0，（x＞0）⇔lnx﹣x2+x≤0，（x＞0）．令g（x）=lnx﹣x2+x，g′（x）=﹣2x+1==，（x＞0）．可得x∈（0，1）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．∴x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=ln1﹣1+1=0，∴g（x）≤0在在定义域（0，+∞）内恒成立，即f（x）≤x﹣1在定义域内恒成立．18．对于函数y=f（x），任意x∈R，均有f（x+2）=，当x∈（0，2]时，f（x）=x．（1）当x∈（2，4]时，求f（x）的解析式；（2）若f（m）=1，求m的值；（3）求和：f（1）+f（2）+f（3）+…+f先判断函数为周期函数，即可求出f（x）的解析式，（2）根据函数值，代值计算即可，（3）由于函数为周期函数，求出一个周期的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f任意x∈R，均有f（x+2）=，∴f（x+4）==f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数，设x∈（2，4]时，则x﹣2∈[0，2]，∵当x∈（0，2]时，f（x）=x，∴f（x﹣2+2）==f（x）∴f（x﹣2）==x﹣2，∴f（x）=；（2）∵f（m）=1，∴m=1，或=1，即m=1或m=3，（3）∵f（2）=2，f（1）=f（3）=1，f（4）=∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）=．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点D（﹣2，0）为椭圆C的左顶点，点D与椭圆C的短轴端点的距离为，过点M（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在直线l，使得=，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意，a=2，=，可得b=1，即可求出椭圆C的标准方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），若=，则y2=﹣3y1，设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+4）y2+2my﹣3=0，利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，a=2，=，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），若=，则y2=﹣3y1，①设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+4）y2+2my﹣3=0，∴y1+y2=﹣②，y1y2=﹣③，由①③可得3y12=，由①②可得﹣2y1=﹣，消去y1得m2=m2+4，不成立，∴不存在直线l，使得=．20．已知f（x）=lg，其中a∈R，n∈N*，n≥2．（1）当n=2时，不等式f（x）＞lg（x2x﹣1）有解，求实数a的取值范围；（2）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】（1）把原不等式化为＞0，进一步转化为（x＞0）有解，利用函数单调性求出在（0，+∞）上的范围得答案；（2）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2恒成立．分离参数a，可得a＞﹣[]恒成立，利用函数单调性求得y=﹣[]在（﹣∞，1]上的最大值得答案．【解答】解：（1）当n=2时，不等式f（x）＞lg（x2x﹣1）化为，即＞0，∵2x﹣1＞0，∴等价于（x＞0）有解，∵y=x与y=在（0，+∞）上都是增函数，则y=x﹣在（0，+∞）上是增函数，而，∴要使n=2时不等式f（x）＞lg（x2x﹣1）有解，则实数a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2恒成立．即a＞﹣[]恒成立，∵y=﹣，k=1，2，3，…，n﹣1在（﹣∞，1]上都是增函数，∴y=﹣[]在（﹣∞，1]上都是增函数，从而当x=1时，．∴a＞﹣[]（n≥2）恒成立，只需a．故实数a的取值范围是（﹣，+∞）．2016年10月11日。