中考数学压轴题60例(选择题)

2024-2025年安徽省初中学业水平考试数学压轴题集（本卷收录近10年安徽省中考的第10、14、22、23题）一、选择题每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的. 1.如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3.动点P 满意13PABABCDS S=矩形 .则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）A.29B.34C.52D.412.如图，Rt △ABC ，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满意∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ） 32 B.2 C.81313D.121313A.第1题图 第2题图3.如图，一次函数1y x =和二次函数22+y ax bx c =+图象相交于P ，Q 两点，则函数2(1)y ax b x c=+-+的图象可能是（ ）A. B. C. D.第3题图4.如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为22，若直线l 满意： ①点D 到直线l 的距离为3；②A ，C 两点到直线l 距离相等.则符合题意的直线l 的条数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.45.如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上点，在以下推断中，不正确的是（ ） A.当弦PB 最长时，△APC 是等腰三角形 B.当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥AC C.当PO ⊥AC 时，∠ACP =30°D.当∠ACP =30°时，△BPC 是直角三角形第4题图第5题图6.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A.10B.45C.10或45D.10或217第6题图7.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形态是A. B.第7题图C. D.8.甲、乙两个打算在一段长为1200米的笔直马路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（）A. B. C. D.9.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是A.120°B.125°C.135°D.150°10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于A.65B.95C.125D.125第10题图第11题图二、填空题11. 在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），剪去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得绽开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为__________cm.12. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG =45°；②△DEF ∽△ABG ；③3=2ABG FGH S S △△；④AG +DF =FG ．其中正确的是 ．（把全部正确结论的序号都选上）第12题图 第14题图13.已知实数a 、b 、c 满意a b ab c +==，有下列结论：①若c ≠0，则111ab+=；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8.其中正确的是 ．（把全部正确结论的序号都选上）14. 如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中肯定成立的是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上） ①12DCF BCD ∠=∠；②EF =CF ；③=2BEC CEF S S △△；④∠DFE =3∠AEF ．15.已知矩形纸片ABCD 中，AB =1，BC =2，将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF 不经过A 点（E ，F 是该矩形边界上的点），折叠后点A 落在点A ’处，给出以下推断： ①当四边形A’CDF 为正方形时，EF =2;②当EF =2时，四边形A’CDF 为正方形； ③当EF =5时，四边BA’CD 为等腰梯形；④当四边形BA’CD 为等腰梯形时，EF =5. 其中正确的是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上） 16.如图，P 是矩形ABCD 内的随意一点，连接P A 、PB 、PC 、PD ，得到△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论：①S 1+S 2=S 3+S 4；②S 2+S 4= S 1+S 3；③若S 3=2S 1，则S 4=2S 2 ④若S 1=S 2，则P 点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上）第15题图 第16题图 第18题图 17.定义运算(1)a b a b ⊗=-，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2(2)6⊗-=；②a b b a ⊗=⊗；③若0a b +=，则()()2a a b b ab ⊗+⊗=；④若0a b ⊗=，则a =0.其中正确结论的序号是 .(填上你认为全部正确结论的序号)18.如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是 ________ _．（把全部正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD =∠ACD ；②∠BAD =∠CAD ；③AB +BD =AC +CD ；④AB －BD =AC －CD ．19.已知二次函数的图象经过原点及点11(,)24--，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．20.如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①a c ＜0；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++＞；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.正确的说法有__________.(把正确的答案的序号都填在横线上)第20题图三、解答题21. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满意一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/千克） 50 60 70 销售量y （千克） 100 80 60（1）求y 与x 之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W （元），求W 与x 之间的函数表达式（利润=收入-成本）； （3）试说明（2）中总利润W 随售价x 的改变而改变的状况，并指出售价为多少元时获得最大 利润， 最大利润是多少？22.已知正方形ABCD ，点M 为AB 的中点.（1）如图1，点G 为线段CM 上的一点，且∠AGB =90°，延长AG 、BG 分别与边BC 、CD 交于点E 、F .①求证：BE =CF ；②求证：2BE BC CE =⋅.（2）如图2，在边BC 上取一点E ，满意2BE BC CE =⋅，连接AE 交CM 于点G ，连接BG 并延长交CD 于点F ，求tan ∠CBF 的值.第22题图 1 第22题图223.如图，二次函数2+y ax bx =的图象经过点(2,4)A 与(6,0)B ．（1）求a ，b 的值； （2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值.24.如图，A ，B 分别在射线OA ，ON 上，且∠MON 为钝角，现以线段OA ，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和ABPQ的值．第24题图1 第24题图2 第24题图325.为了节约材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？第25题图26.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD ＝BC ；（2）求证：△AGD ∽△EGF ；（3）如图2，若AD 、BC 所在直线相互垂直，求ADEF的值.第26题图1 第26题图227.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数2212421y x mx m =-++和225y ax bx =++，其中1y 的图象经过点(1,1)A ，若12y y +与1y 为“同簇二次函数”，求函数2y 的表达式，并求出当0≤x ≤3时，2y 的最大值.28.如图1，正六边形ABCDEF 的边长为a ，P 是BC 边上一动点，过P 作PM ∥AB 交AF 于M ，作PN ∥CD 交DE 于N ．（1）①∠MPN = ；②求证：PM +PN =3a ；（2）如图2，点O 是AD 的中点，连接OM 、ON ，求证：OM =ON ；（3）如图3，点O 是AD 的中点，OG 平分∠MON ，推断四边形OMGN 是否为特别四边形？并说明理由.第28题图1 第28题图2 第28题图329.某高校生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x 天销售的相关信息如下表所示.销售量p （件）50p x =- 销售单价q （元/件）当1≤x ≤20时，1302q x =+;当21≤x ≤40时，52520q x=+（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式；（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？30.我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”；如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”；其中∠B =∠C .（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形；（画出一种示意图即可） （2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中∠B =∠C ．E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：AB BEDC EC=； （3）在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ．若EB =EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，状况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）第30题图1 第30题图2 第30题图331.如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC =a 、AC =b 、AB =c . （1）求线段BG 的长；（2）求证：DG 平分∠EDF ；（3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相像，求证：BG ⊥CG .第31题图1 第31题图232.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满意关系式2(6)y a x h =-+.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m. （1）当h =2.6时，求y 与x 的关系式；（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h =2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球肯定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.第32题图33.在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为(0180)θθ︒︒＜＜，得到△A’B’C’..第33题图1 第33题图2 第33题图3 （1）如图（1），当AB ∥BC 时，设BA 与CD 相交于点D ，证明：△CDA 是等边三角形； （2）如图（2），连接A’A 、B’B ，设△ACA’和△BCB’的面积分别为'ACA S和'BCB S.求证：'':1:3ACA BCB SS=.（3）如图（3），设AC 中点为E ，B’A’中点为P ，AC =a ，连接EP ，当θ= °时，E P 长度最大，最大值为 .34.如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）. （1）求证h 1=h 3；（2）设正方形ABCD 的面积为S .求证22231()S h h h =++；（3）若12312h h +=，当h 1改变时，说明正方形ABCD 的面积S 随h 1的改变状况.第34题图35.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采纳每天降低水位以削减 捕捞成本的方法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.九（1）班数学建模爱好小组依据调查，整理出第x 天（1≤x ≤20且x 为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：鲜鱼销售单价（元/kg ） 20单位捕捞成本（元/kg ） 55x - 捕捞量（kg ）950x - （1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕劳量相比是如何改变的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x 天的收入y （元）与x （天）之间的函数关系式；（当天收入＝日销售额－日捕捞成本）（3）试说明（2）中的函数y 随x 的改变状况，并指出在第几天y 取得最大值，最大值是多少？36.如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相像比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1.（1）若c =a 1，求证：a =kc（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k=2？请说明理由.第36题图37.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相像三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，假如α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．第37题图38.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．第38题图1 第38题图239.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示.第39题图1 第39题图240.刚回营地的两个抢险分队又接到救灾吩咐：一分队马上动身往30千米的A镇；二分队因疲惫可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参与救灾.一分队了发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形困难，必需由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时.（1）若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？（2）若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？（3）下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为全部可能合理的代号，并说明它们的实际意义.（a）（b）（c）（d）第40题图。

选择压轴题(函数篇)1压轴题速练1一．选择题(共40小题)1(2023•方城县一模)如图，点A (0，3)、B (1，0)，将线段AB 平移得到线段DC ，若∠ABC =90°，BC =2AB ，则点D 的坐标是()A.(7，2)B.(7，5)C.(5，6)D.(6，5)2(2023•东莞市校级二模)如图，在平面直角坐标系中，A (1，1)，B (-1，1)，C (-1，-2)，D (1，-2)，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A -B -C -D -A ⋯⋯的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是()A.(-1，0)B.(0，2)C.(-1，-2)D.(0，1)3(2023•越秀区二模)抛物线G ：y =-13x 2+3与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线G 沿直线AB 平移得到抛物线H ，若抛物线H 与y 轴交于点D ，则点D 的纵坐标的最大值是()A.415B.154C.32D.234(2023•上城区一模)二次函数y =ax 2+bx +c 与自变量x 的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误(其中a ，b ，c ，m 均为常数)．x ⋯-2023⋯y⋯-m 22-m 2-m 2⋯甲同学发现当a >0时，x =5是方程ax 2+bx +c =2的一个根；乙同学发现当a <0时，则a +b =0．下列说法正确的是()A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲乙都错D.甲乙都对5(2023•温州二模)已知函数y=-x2+mx+n(-1≤x≤1)，且x=-1时，y取到最大值1，则m的值可能为()A.3B.1C.-1D.-36(2023•越秀区一模)抛物线G：y=-13x2+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是()A.415B.154C.32D.237(2023•定海区模拟)如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB=10，设AC=x(5<x<10)，记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则S1S2与x的函数关系为()A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系8(2023•雁塔区模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数)开口向上，且过点A(1，0)，B(m，0)(-1 <m<0)，下列结论：①abc>0；②若点P1(-1，y1)，P2(1，y2)都在抛物线上，则y1<y2；③2a+c<0；④若方程a(x-m)(x-1)+2=0没有实数根，则b2-4ac<8a，其中正确结论的序号为()A.①③B.②③④C.①④D.①③④9(2023•碑林区校级模拟)已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为()A.12或4B.4或-12C.-43或4D.-12或4310(2023•海安市一模)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，∠ACB=90°，则a的值为()A.4B.2C.12D.1411(2023•和平区二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，9a-3b+c=m，有下列结论：①若m=0，则抛物线经过点(-3，0)；②若4a-2b+c=n且m>n，当-3<x<-2，y随x的增大而减小；③若m>0，抛物线经过点A(-1，0)，B(5，m)和P(t，k)，且点P到y轴的距离小于2时，则k的取值范围为-3a<k<5a．其中，正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.312(2023•杭州一模)设二次函数y=ax2+c(a，c是常数，a<0)，已知函数的图象经过点(-2，p)，(10，0)，(4，q)，设方程ax2+c+2=0的正实数根为m，()A.若p>1，q<-1，则2<m<10B.若p>1，q<-1，则10<m<4C.若p>3，q<-3，则2<m<10D.若p>3，q<-3，则10<m<413(2023•衡水模拟)某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m)．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为()A.AB=24mB.池底所在抛物线的解析式为y=125x2-5C.池塘最深处到水面CD的距离为3.2mD.若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的1314(2023•宝安区二模)已知点(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)在y=-x2+2x+m的图象上，下列说法错误的是()A.当m>0时，二次函数y=-x2+2x+m与x轴总有两个交点B.若x2=2，且y1>y2，则0<x1<2C.若x1+x2>2，则y1>y2D.当-1≤x≤2时，y的取值范围为m-3≤y≤m15(2023•四川模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)，跟x轴正半轴交于A、B两点，直线y=kx +b与y轴正半轴交于点D，交x轴于点C(C在A的右侧不与B重合)，抛物线的对称轴为x=2，连接AD，则△AOD是等腰直角三角形，有以下四个命题：①-4ac<0；②4a+b+c>0；③k≠-1；④b=-4a．以上命题正确的是()A.①②③④B.②③C.①③④D.①②④16(2023•东莞市校级模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过两点(m，n)，(4-m，n)，则关于函数y=ax2+bx+c(a>0)，下列说法“①4a-b=0；②当x>2时，y随着x的增大而增大；③若b2-4ac=0，则ax2+bx+c=a(x-2)2；④若实数t<2，则(t+2)a+b<0”中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个17(2023•商河县一模)已知二次函数的表达式为y=-x2-2x+3，将其图象向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数y1=mx2+nx+q的图象，使得当-1<x<3时，y1随x增大而增大；当4<x<5时，y1随x增大而减小．则实数k的取值范围是()A.1≤k ≤3B.2≤k ≤3C.3≤k ≤4D.4≤k ≤518(2023•佳木斯一模)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y =a x的图象上，顶点B 在反比例函数y =bx的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，平行四边形OABC 的面积是3，则a -b 的值是​()A.3B.-3C.5D.-519(2023•雨山区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A 、B 恰好分别落在函数y =-1x (x <0)，y =4x(x >0)的图象上，则sin ∠ABO 的值为()A.13B.64C.25D.5520(2023•驻马店模拟)某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R 1=10Ω，R 2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S 为0.01m 2，压敏电阻R 2的阻值随所受液体压力F 的变化关系如图2所示(水深h 越深，压力F 越大)，电源电压保持6V 不变，当电路中的电流为0.3A 时，报警器(电阻不计)开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示(参考公式：I =UR，F =pS ，1000Pa =1kPa )，则下列说法中不正确的是()A.当水箱未装水(h =0m )时，压强p 为0kPaB.当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F 为40NC.当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h 是0.8mD.若想使水深1m 时报警，应使定值电阻R 1的阻值为12Ω21(2023•长春一模)如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数y =2x(x >0)的图象上，点B 在反比例函数y =k x (x >0)的图象上，AB ∥x 轴，BD ⊥x 轴与反比例函数y =2x的图象交于点C ，与x 轴交于点D ，若BC =2CD ，则k 的值为()A.4B.5C.6D.722(2023•翼城县一模)如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A ，D 在x 轴的负半轴上，点F 在AB 上，点B ，E 均在反比例函数y =kx(x <0)的图象上，若点B 的坐标为(-1，6)，则正方形ADEF 的周长为()A.4B.6C.8D.1023(2023•萧县一模)如图，在Rt △OAB 中，OC 平分∠BOA 交AB 于点C ，BD 平分∠OBA 交OA 于点D ，交OC 于点E ，反比例函数y =k x 经过点E ，若OB =2，CE OE=12，则k 的值为()A.49B.89C.43D.8324(2023•仙桃校级一模)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且AC 过原点O ，AB ∥x 轴，点C 的坐标为(6，3)，反比例函数y =kx的图象经过A ，P 两点，则k 的值是()A.4B.3C.2D.125(2022•吴兴区校级二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，过点O 的直线交反比例函数y =1x的图象于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连结BC 并延长，交反比例函数图象于点D ，连结AD ，将△ACB 沿线段AC 所在的直线翻折，得到△ACB 1，AB 1与CD 交于点E ．若点D 的横坐标为2，则AE 的长是()A.23B.223C.22D.126(2022•太康县校级模拟)如图，△AOB 的顶点O 在原点上，顶点A 的坐标为(-3，1)，∠BAO =90°，AB =OA ，点P 为OB 上一点，且OP =3BP ，将△AOB 向右平移，当点P 的对应点P ′落在反比例函数y =4x(x >0)上时，则点P ′的坐标为()A.(2，3)B.(3，2)C.3，43D.43，327(2022•丹徒区模拟)如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB 与双曲线交于A 、B 两点，在线段AB 左侧作等腰三角形ABC ，底边BC ∥x 轴，过点C 作CD ⊥x 轴交双曲线于点D ，连接BD ，若S △BCD =16，则k 的值是()A.-4B.-6C.-8D.-1628(2022•顺平县校级模拟)如图是反比例函数y 1=2x 和y 2=-4x在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象交于A 、B 两点，点P (-5.5，0)在x 轴上，则△PAB 的面积为()A.3B.6C.8.25D.16.529(2022•沭阳县模拟)如图，Rt △ABC 位于第一象限，AB =2，AC =2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若函数y =kx(k ≠0)的图象与△ABC 有交点，则k 的最大值是()A.5B.4C.3D.230(2023•道外区二模)甲、乙两同学进行赛跑，两人在比赛时所跑的路程S (米)与时间t (分钟)之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是()A.甲同学率先到达终点B.甲同学比乙同学多跑了200米路程C.乙同学比甲同学少用0.2分钟跑完全程D.乙同学的速度比甲同学的速度慢31(2023•潼南区二模)甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，甲、乙两车离B地的距离y(km)与甲车行驶时间x(h)关系如图所示，下列说法错误的是()​A.甲车比乙车提前出发1hB.甲车的速度为80km/hC.当乙车到达A地时，甲车距离B地80kmD.t的值为5.232(2023•南岗区校级二模)在全民健身越野比赛中，乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5小时后的速度为每小时10千米，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间z(时)变化的图象(全程)如图所示．下列说法：①起跑后半小时内甲的速度为每小时16千米；②第1小时两人都跑了10千米；③两人都跑了20千米；④乙比甲晚到0.3小时．其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个33(2023•延庆区一模)如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为xm ，它的邻边长为ym ．当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是()A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系34(x +y )=10，35(2023•西乡塘区一模)定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P (2，4)在函数y =x 2上，点Q (-2，-4)在函数y =-2x -8上，点P 与点Q 关于原点对称，此时函数y =x 2和y =-2x -8互为“守望函数”，点P 与点Q 则为一对“守望点”．已知函数y =x 2+2x 和y =4x +n -2022互为“守望函数”，则n 的最大值为()A.2020B.2022C.2023D.408436(2023•武汉模拟)A ，B 两地相距80km ，甲、乙两人沿同一条路从A 地到B 地．l 1，l 2分别表示甲、乙两人离开A 地的距离s (km )与时间t (h )之间的关系，当乙车出发2h 时，两车相距是()A.403km B.803km C.13km D.40km37(2023•东至县一模)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如右图，其对称轴为x =-1，它与x 轴的一个交点的横坐标为-3，则一次函数y =ax -2b 与反比例函数y =cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A. B. C. D.38(2023•六安三模)甲，乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y(千米)与经过时间x(小时)之间的函数关系图象．当甲与乙相遇时距离A地()A.16千米B.18千米C.72千米D.74千米39(2023•东莞市二模)如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是()A.AC=4B.BC=23C.tan∠BAP=32D.∠ABC=90°40(2023•黄埔区一模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿A→B→C→D匀速运动到点D，若点E是BC的中点，则△APE的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象是()A. B.C. D.41(2023•鞍山一模)如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿路径B-D-C运动，点F从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿路径C-D-A运动，当点E与11点C 重合时停止运动，设点E 的运动时间为x 秒，△BEF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象大致为()A.B.C.D.。

九年级数学综合训练一、选择题（本大题共9 小题，共27.0 分）1.如图，在平面直角坐标系中2 条直线为l1：y=-3x+3，l2：y=-3x+9，直线l1交x 轴于点A，交y 轴于点B，直线l2交x 轴于点D，过点B 作x 轴的平行线交l2于点C，点A、E 关于y 轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C 三点，下列判断中：①a-b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1 对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S 四边形ABCD=5，其中正确的个数有（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图，10 个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（）A.32B.36C.38D.403.如图，直线y= ��x -6 分别交x 轴，y 轴于A，B，M 是反比例函数y=�（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x 轴交AB 于C，MD⊥MC 交AB 于D，AC•BD=43，则k 的值为（）A. ‒ 3B. ‒ 4C. ‒ 5D. ‒ 64.在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点A 的坐标为（0，2），顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C′的坐标为（）(3,0) (2,0) (5,0) (3,0)A. 2B.C. 2D.5.如图，在矩形ABCD 中，AB＜BC，E 为CD 边的中点，将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°，点D 的对应点为C，点A 的对应点为F，过点E 作ME⊥AF 交BC 于点M，连接AM、BD 交于点N，现有下列结论：35 ①AM =AD +MC ；②AM =DE +BM ；③DE 2=AD •CM ；④点 N 为△ABM 的外心． 其中正确的个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个6. 规定：如果关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程 x 2+2x -8=0 是倍根方程；②若关于 x 的方程 x 2+ax +2=0 是倍根方程，则 a =±3；③若关于 x 的方程 ax 2-6ax +c =0（a ≠0）是倍根方程，则抛物线 y =ax 2-6ax +c 与 x 轴的公共点的坐标是 （2，0）和（4，0）； 4 ④若点（m ，n ）在反比例函数 y =x 的图象上，则关于 x 的方程 mx 2+5x +n =0 是倍根方程． 上述结论中正确的有（ ）A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④7. 如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB =60°，AB =DE ，则下列结论成立的个数是（） ①AB ∥DE ；②EF ∥AD ∥BC ；③AF =CD ；④四边形 ACDF 是平行四边形；⑤六边形 ABCDEF 既是中心对称图形，又是轴对称图形．A. 2B. 3C. 4D. 58. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 79. 如图，矩形 ABCD 中，AE ⊥BD 于点 E ，CF 平分∠BCD ，交 EA 的延长线于点 F ，且 BC =4，CD =2，给出下列结论：①∠BAE =∠CAD ；4②∠DBC =30°；③AE =5 5；④AF =2 ，其中正确结论的个数有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）10.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D，以AD 为边作等边△ADE，延长ED 交BC 于点F，BC=2 3，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）11.如图，在6×6 的网格内填入1 至6 的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a×c=．12.如图，正方形ABCD 中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG 分别交AE，AF 于M，N．下列结论：4 �M 3 1①AF⊥BG；②BN=3NF；③M G=8；④S 四边形CGNF=2S 四边形ANGD．其中正确的结论的序号是．13.已知：如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB 绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段B1D= cm．14.如图，边长为4 的正六边形ABCDEF 的中心与坐标原点O 重合，AF∥x 轴，将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转60°．当n=2017 时，顶点A 的坐标为．15.如图，在Rt△ABC 中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON 上滑动，下列结论：①若C、O 两点关于AB 对称，则OA=2 3；②C、O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO，则AB⊥CO；�④斜边AB 的中点D 运动路径的长为2；其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．16.如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N（3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为．17.在一条笔直的公路上有A、B、C 三地，C 地位于A、B 两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地，在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h 时，两车相遇；②乙车出发1.5h 时，两车相距170km；③乙车出5发27h 时，两车相遇；④甲车到达C 地时，两车相距40km．其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．�18.如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数y=x（x＞0）的图象经过A，B 两点．若点A 的坐标为（n，1），则k 的值为．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（-1，1），B（0，-2），C（1，0），点P（0，2）绕点A 旋转180°得到点P1，点P1绕点B 旋转180°得到点P2，点P2绕点C 旋转180°得到点P3，点P3绕点A 旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线l1：y=-3x+3 交x 轴于点A，交y 轴于点B，∴A（1，0），B（0，3），∵点A、E 关于y 轴对称，∴E（-1，0）．∵直线l2：y=-3x+9 交x 轴于点D，过点B 作x 轴的平行线交l2 于点C，∴D（3，0），C 点纵坐标与B 点纵坐标相同都是3，把y=3 代入y=-3x+9，得3=-3x+9，解得x=2，∴C（2，3）．∵抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C 三点，∴，解得，∴y=-x2+2x+3．①∵抛物线y=ax2+bx+c 过E（-1，0），∴a-b+c=0，故①正确；②∵a=-1，b=2，c=3，∴2a+b+c=-2+2+3=3≠5，故②错误；③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，∴对称轴是直线x=1，∴抛物线关于直线x=1 对称，故③正确；④∵b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，∴抛物线过点（b，c），故④正确；⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴S 四边形ABCD=BC•OB=2×3=6≠5，故⑤错误．综上可知，正确的结论有3个．故选：C．根据直线l1的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y 轴对称的两点坐标特征求出E（- 1，0）．根据平行于x 轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C 点纵坐标与B 点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，进而判断各选项即可．本题考查了抛物线与x 轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y 轴对称的两点坐标特征，平行于x 轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵a1=a2+a3=a4+a5+a5+a6=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10=a7+3（a8+a9）+a10，∴要使a1 取得最小值，则a8+a9 应尽可能的小，取a8=2、a9=4，∵a5=a8+a9=6，则a7、a10 中不能有6，若a7=8、a10=10，则a4=10=a10，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=8，则a4=12、a6=4+8=12，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=12，则a4=10+2=12、a6=4+12=16、a2=12+6=18、a3=6+16=22、a1=18+22=40，符合题意；综上，a1的最小值为40，故选：D．由a1=a7+3（a8+a9）+a10 知要使a1 取得最小值，则a8+a9 应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10 中不能有6，据此对于a7、a8，分别取8、10、12 检验可得，从而得出答案．本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：过点D 作DE⊥y 轴于点E，过点C 作CF⊥x 轴于点F，令x=0 代入y= x-6，∴y=-6，∴B（0，-6），∴OB=6，令y=0 代入y= x-6，∴x=2 ，∴（2 ，0），∴OA=2 ，∴勾股定理可知：AB=4 ，∴sin∠OAB= = ，cos∠OAB= =设M（x，y），∴CF=-y，ED=x，∴sin∠OAB= ，∴AC=- y，∵cos∠OAB=cos∠EDB= ，∴BD=2x，∵AC•BD=4，∴- y×2x=4 ，∴xy=-3，∵M 在反比例函数的图象上，∴k=xy=-3，故选（A）过点D 作DE⊥y 轴于点E，过点C 作CF⊥x 轴于点F，然后求出OA 与OB 的长度，即可求出∠OAB 的正弦值与余弦值，再设M（x，y），从而可表示出BD 与AC 的长度，根据AC•BD=4列出即可求出k 的值．本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据∠OAB 的锐角三角函数值求出BD、AC，本题属于中等题型．4.【答案】C【解析】解：过点B 作BD⊥x 轴于点D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO 与△BCD 中，∴△ACO➴△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y= ，将B（3，1）代入y= ，∴k=3，∴y= ，∴把y=2 代入y= ，∴x= ，当顶点A 恰好落在该双曲线上时，此时点A 移动了个单位长度，∴C 也移动了个单位长度，此时点C 的对应点C′的坐标为（，0）故选：C．过点B 作BD⊥x 轴于点D，易证△ACO➴△BCD（AAS），从而可求出B 的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与 A 的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出 C 的对应点．本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．5.【答案】B【解析】解：∵E 为CD 边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE➴△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME 垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；如图，延长CB 至G，使得∠BAG=∠DAE，由AM=MF，AD∥BF，可得∠DAE=∠F=∠EAM，可设∠BAG=∠DAE=∠EAM=α，∠BAM=β，则∠AED=∠EAB=∠GAM=α+β，由∠BAG=∠DAE，∠ABG=∠ADE=90°，可得△ABG∽△ADE，∴∠G=∠AED=α+β，∴∠G=∠GAM，∴AM=GM=BG+BM，由△ABG∽△ADE，可得= ，而AB＜BC=AD，∴BG＜DE，∴BG+BM＜DE+BM，即AM＜DE+BM，∴AM=DE+BM 不成立，故②错误；∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD•CM，故③正确；∵∠ABM=90°，∴AM 是△ABM 的❧➓圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD 时，= ＜1，∴N 不是AM 的中点，∴点N 不是△ABM 的❧心，故④错误．综上所述，正确的结论有2 个，故选：B．根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据△ABG∽△ ADE，且AB＜BC，即可得出BG＜DE，再根据AM=GM=BG+BM，即可得出AM=DE+BM 不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM 成立；根据N 不是AM 的中点，可得点N 不是△ABM 的❧心．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导，解题时注意：三角形❧➓圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的❧心，故❧心到三角形三个顶点的距离相等．6.【答案】C【解析】解：①由x2-2x-8=0，得（x-4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=-2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，1 1 ∴方程 x 2-2x-8=0 不是倍根方程． 故①错误；②关于 x 的方程 x 2+ax+2=0 是倍根方程，∴设 x 2=2x 1，∴x 1•x 2=2x 2=2，∴x 1=±1，当 x 1=1 时 ，x 2=2，当 x 1=-1 时 ，x 2=-2，∴x 1+x 2=-a=±3，∴a=±3，故②正确；③关于 x 的方程 ax 2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，∴x 2=2x 1，∵抛物线 y=ax 2-6ax+c 的对称轴是直线 x=3，∴抛物线 y=ax 2-6ax+c 与 x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m ，n ）在反比例函数 y= 的图象上，∴mn=4，解 mx 2+5x+n=0 得 x 1=- ，x 2=- ，∴x 2=4x 1，∴关于 x 的方程 mx 2+5x+n=0 不是倍根方程；故选：C ．①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设 x 2=2x 1，得到 x 1•x 2=2x 2=2，得到当 x 1=1 时，x 2=2，当 x 1=-1 时，x 2=-2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0 即可得到正确的结论；本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵六边形ABCDEF 的内角都相等，∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，∵∠DAB=60°，∴∠DAF=60°，∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥EF∥CB，故②正确，∴∠FED+∠EDA=180°，∴∠EDA=∠ADC=60°，∴∠EDA=∠DAB，∴AB∥DE，故①正确，∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，∴四边形EFAD，四边形BCDA 是等腰梯形，∴AF=DE，AB=CD，∵AB=DE，∴AF=CD，故③正确，连➓CF 与AD 交于点O，连➓DF、AC、AE、DB、BE．∵∠CDA=∠DAF，∴AF∥CD，AF=CD，∴四边形AFDC 是平行四边形，故④正确，同法可证四边形AEDB 是平行四边形，∴AD 与CF，AD 与BE 互相平分，∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，∴六边形ABCDEF 既是中心对称图形，故⑤正确，故选D．根据六边形ABCDEF 的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：如图：故选：D．①以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D，△BCD 就是等腰三角形；②以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E，△ACE 就是等腰三角形；③以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点F，△BCF 就是等腰三角形；④以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点K，△BCK 就是等腰三角形；⑤作AB 的垂直平分线交AC 于G，则△AGB 是等腰三角形；➅作BC 的垂直平分线交AB 于I，则△BCI 和△ACI 是等腰三角形．本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．9.【答案】C【解析】解：在矩形ABCD 中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确；∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC= = ，∴∠DBC≠30°，故②错误；∵BD= =2 ，∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE= ；故③正确；∵CF 平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°-∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°-2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC，∵AC=BD=2 ，∴AF=2 ，故④正确；故选C．根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC= = ，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到BD==2 ，根据相似三角形的性质得到AE= ；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°-∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据❧角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2 ，故④正确．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的❧角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10.【答案】3【解析】3 3-2π解：如图所示：设半圆的圆心为O，连➓DO，过D 作DG⊥AB 于点G，过D 作DN⊥CB 于点N，∵在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，∵以AD 为边作等边△ADE，∴∠EAD=60°，∴∠EAB=60°+30°=90°，可得：AE∥BC，则△ADE∽△CDF，∴△CDF 是等边三角形，∵在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，BC=2 ，∴AC=4 ，AB=6，∠DOG=60°，则AO=BO=3，故DG=DO•sin60°=，则AD=3 ，DC=AC-AD= ，故DN=DC•sin60°=×= ，则S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形DOB-S△DCF= ×2 ×6- ×3×- - × ×=3 - π．故答案为：3 - π．根据题意结合等边三角形的性质分别得出AB，AC，AD，DC 的长，进而利用S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形DOB-S△DCF 求出答案．此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，正确分割图形是解题关键．11.【答案】2【解析】解：对各个小宫格编号如下：先看己：已经有了数字3、5、6，缺少1、2、4；观察发现：4 不能在第四列，2 不能在第五列，而2 不能在第六列；所以2 只能在第六行第四列，即a=2；则b 和c 有一个是1，有一个是4，不确定，如下：观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1 和5，由于5 不能在第二行，所以5 在第四行，那么1 在第二行；如下：再看乙部分：已经有了数字1、2、3，缺少数字4、5、6，观察上图发现：5 不能在第六列，所以5在第五列的第一行；4 和6 在第六列的第一行和第二行，不确定，分两种情况：①当4 在第一行时，6 在第二行；那么第二行第二列就是4，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2 不能在第三列，所以2 在第二列，则6 在第三列的第一行，如下：观察上图可知：第三列少1 和4，4 不能在第三行，所以4 在第五行，则1 在第三行，如下：观察上图可知：第五行缺少1 和2，1 不能在第1 列，所以1 在第五列，则2 在第一列，即c=1，所以b=4，如下：观察上图可知：第六列缺少1 和2，1 不能在第三行，则在第四行，所以2 在第三行，如下：再看戊部分：已经有了数字2、3、4、5，缺少数字1、6，观察上图发现：1 不能在第一列，所以1 在第二列，则6 在第一列，如下：观察上图可知：第一列缺少3 和4，4 不能在第三行，所以4 在第四行，则3 在第三行，如下：观察上图可知：第二列缺少5 和6，5 不能在第四行，所以5 在第三行，则6 在第四行，如下：观察上图可知：第三行第五列少6，第四行第五列少3，如下：所以，a=2，c=1，ac=2；②当6 在第一行，4 在第二行时，那么第二行第二列就是6，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、5、6，缺少数字2、4，观察上图发现：2 不能在第三列，所以2 在第2 列，4 在第三列，如下：观察上图可知：第三列缺少数字1 和6，6 不能在第五行，所以6 在第三行，则1 在第五行，所以c=4，b=1，如下：观察上图可知：第五列缺少数字3 和6，6 不能在第三行，所以6 在第四行，则3 在第三行，如下：观察上图可知：第六列缺少数字1 和2，2 不能在第四行，所以2 在第三行，则1 在第四行，如下：观察上图可知：第三行缺少数字1 和5，1 和5 都不能在第一列，所以此种情况不成立；综上所述：a=2，c=1，a×c=2；故答案为：2．粗线把这个数独分成了6 块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算．本题是六阶数独，比较复杂，关键是找出突破口，先推算出一个区域或者一行、一列，再逐步的进行推算．12.【答案】①③【解析】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF 和△BCG 中，，∴△ABF➴△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF 和△BCG 中，，∴△BNF∽△BCG，∴ = = ，∴BN= NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，AF= = ，∵S△ABF= AF•BN=AB•BF，∴BN= ，NF= BN= ，∴AN=AF-NF= ，∵E 是BF 中点，∴EH 是△BFN 的中位线，∴EH= ，NH= ，BN∥EH，∴AH= ， = ，解得：MN= ，∴BM=BN-MN= ，MG=BG-BM= ，∴ = ；③正确；④连➓AG，FG，根据③中结论，则NG=BG-BN= ，∵S 四边形CGNF=S△CFG+S△GNF= CG•CF+NF•NG=1+= ，S 四边形ANGD=S△ANG+S△ADG= AN•GN+AD•DG= + = ，∴S 四边形CGNF≠S 四边形ANGD，④错误；故答案为①③．①易证△ABF➴△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM 的值，即可解题；④连➓AG，FG，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD，即可解题．本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3 求得AN，BN，NG，NF 的值是解题的关键．13.【答案】1.5【解析】解：∵在△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB= =5cm，∵点D 为AB 的中点，∴OD= AB=2.5cm．∵将△AOB 绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1 处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1-OD=1.5cm．故答案为1.5．先在直角△AOB 中利用勾股定理求出AB= =5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD= AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1-OD=1.5cm．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．14.【答案】（2，2 3）【解析】解：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转1 次时点A 的坐标是一样的．当点A 按顺时针旋转60°时，与原F 点重合．连➓OF，过点F 作FH⊥x 轴，垂足为H；由已知EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），∴△OEF 是等边三角形，∴OF=EF=4，∴F（2，2 ），即旋转2017 后点A 的坐标是（2，2 ），故答案是：（2，2 ）．将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转2017 次时，点A 所在的位置就是原F 点所在的位置．此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质-旋转．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15.【答案】①②③【解析】解：在Rt△ABC 中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC= =2 ，①若C、O 两点关于AB 对称，如图1，∴AB 是OC 的垂直平分线，则OA=AC=2 ；所以①正确；②如图1，取AB 的中点为E，连➓OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE= AB=2，当OC 经过点E 时，OC 最大，则C、O 两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，同理取AB 的中点E，则OE=CE，∵AB 平分CO，∴OF=CF，∴AB⊥OC，所以③正确；④如图3，斜边AB 的中点D 运动路径是：以O 为圆心，以2 为半径的圆周的，则：=π．所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②③；故答案为：①②③．①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC 和AB，由对称的性质可知：AB 是OC 的垂直平分线，所以OA=AC；②当OC 经过AB 的中点E 时，OC 最大，则C、O 两点距离的最大值为4；③如图2，根据等腰三角形三线合一可知：AB⊥OC；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．3 316.【答案】（2， 2 ）【解析】解：作N 关于OA 的对称点N′，连➓N′M 交OA 于P，则此时，PM+PN 最小，∵OA 垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M 是ON 的中点，∴OM=1.5，∴PM= ，∴P（，）．故答案为：（，）．作N 关于OA 的对称点N′，连➓N′M 交OA 于P，则此时，PM+PN 最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P 的位置．17.【答案】②③④【解析】解：①观察函数图象可知，当t=2 时，两函数图象相交，∵C 地位于A、B 两地之间，∴交点代表了两车离C 地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；②甲车的速度为240÷4=60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5-1）=80（km/h），∵（240+200-60-170）÷（60+80）=1.5（h），∴乙车出发1.5h 时，两车相距170km，结论②正确；③∵（240+200-60）÷（60+80）=2 （h），∴乙车出发2 h 时，两车相遇，结论③正确；④∵80×（4-3.5）=40（km），∴甲车到达C 地时，两车相距40km，结论④正确．综上所述，正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．①观察函数图象可知，当t=2 时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h 时，两车相距170km，结论②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2 h 时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲到C 地时，乙车离开C 地0.5 小时，根据路程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．18.【答案】【解析】5 ‒ 1 2解：作AE⊥x 轴于E，BF⊥x 轴于F，过B 点作BC⊥y 轴于C，交AE 于G，如图所示：则AG⊥BC，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAG=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∴∠AOE=∠GAB ，在△AOE 和△BAG 中，，∴△AOE ➴△BAG （AAS ），∴OE=AG ，AE=BG ，∵点 A （n ，1），∴AG=OE=n ，BG=AE=1，∴B （n+1，1-n ），∴k=n×1=（n+1）（1-n ），整理得：n 2+n-1=0，解得：n= ∴n=，（负值舍去）， ∴k=故答案为： ；．作 AE ⊥x 轴于 E ，BF ⊥x 轴于 F ，过 B 点作 BC ⊥y 轴于 C ，交 AE 于 G ，则 AG ⊥BC ，先求得△ AOE ➴△BAG ，得出 AG=OE=n ，BG=AE=1，从而求得 B （n+1，1-n ），根据 k=n×1=（n+1）（1-n ）得出方程，解方程即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键．19.【答案】（-2，0）【解析】解：如图所示，P 1（-2，0），P 2（2，-4），P 3（0，4），P 4（-2，-2），P 5（2，-2），P 6（0，2），发现 6 次一个循环，∵2017÷6=336…1，∴点 P 2017 的坐标与 P 1 的坐标相同，即 P 2017（-2，0），故答案为（-2，0）．画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

中考数学压轴试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1的图象可能是（）xA．B． C．D．3.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对4．一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。

A．B．C．D．二、填空题（共24分）|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数5．已知△ABC，若有|sinA−12是。

(x<0)图象上的点，过点6．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kxA作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。

三、解答题7.如图，已知抛物线y＝ax2+3x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于2A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点。

（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标。

8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E。

(1)求证：△ADE∽△MAB；(2)求DE的长。

9.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（﹣1，﹣1）。

（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C 的图形并写出点B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3的图形。

安徽省中考数学试题分类解析汇编————押轴题汇总（1）一、选择题1. （2001安徽省4分）⊙O 1、⊙O 2和⊙O 3是三个半径为1的等圆，的等圆，且圆心在同一条直线上．若⊙O 2分别与⊙O 1，⊙O 3相交，⊙O 1与⊙O 3不相交，则⊙O 1与⊙O 3的圆心距d 的取值范围是的取值范围是。

2-1. （2002安徽省4分）如图，在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝a ，B 1，B 2，B 3，B 4是AB边的五等分点；边的五等分点；C C 1，C 2．C 3．C 4是AC 边的五等分点，则B 1C 1＋B 2C 2＋B 3C 3＋B 4C 4＝．2-2.（2002安徽省4分）（华东版教材实验区试题）如图是2002年6月份的日历，现有一矩形在日历任意．．框出4个数a b c d，请用一个等式表示，请用一个等式表示a 、b 、c 、d 之间的关系：之间的关系：。

3. 如图，在平行四边形ABCD 中，中，AC=4AC=4AC=4，，BD=6BD=6，，P 是BD 上的任一点，过P 作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F 。

设BP=x BP=x，，EF=y EF=y，则能反映，则能反映y 与x 之间关系的图象为【之间关系的图象为【】A ：B ：C ：D ：4. （2004安徽省4分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是【为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是【 】．】．(A)(B) (C) (D)5. （2005安徽省大纲4分）下图是某地区用水量与人口数情况统计图．日平均用水量为400万吨的那一年，人口数大约是【年，人口数大约是【】A 、180万B 、200万C 、300万D 、400万6. （2005安徽省课标4分）如图所示，圆O 的半径OA=6OA=6，以，以A 为圆心，为圆心，OA OA 为半径的弧交圆O 于B 、C 点，则BC 为【为【】 A. 63 B.62 C. 33 D. 32 7. （2006安徽省大纲4分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为2y n 14n 24=-+-，则该企业一年中应停产的月份是【应停产的月份是【】 A ．1月、月、22月、月、33月 B ．2月、月、33月、月、44月 C ．1月、月、22月、月、1212月 D ．1月、月、1111月、月、1212月8. （2006安徽省课标4分）如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图（图1）和梅花图案和梅花图案（图（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为【中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为【】A ．36° B．42° C．45° D．48°9. （2007安徽省4分）如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=【接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=【】 A ．60° B．65° C．72° D．75°10. （2008安徽省4分）如图，在△ABC 中，中，AB=AC=5AB=AC=5AB=AC=5，，BC=6BC=6，点，点M 为BC 中点，MN⊥AC于点N ，则MN 等于【等于【】 A.65 B. 95 C. 125 D. 16511. （2009安徽省4分）△ABC 中，中，AB AB AB＝＝AC AC，∠A ，∠A 为锐角，为锐角，CD CD 为AB 边上的高，边上的高，I I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是【的度数是【】 A ．120° B．125° C．135° D．150°12. （2009安徽省4分）甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s 和6m/s 6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y （m ）与时间t （s ）的函数图象是【）的函数图象是【】 A ． B ． C ． D ．13. （2011安徽省4分）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC AC＝＝2，BD BD＝＝1，AP AP＝＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是【状是【】 14. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【的斜边长是【】 A.10 B.54 C. 10或54 D.10或172 二、填空题1. （2001安徽省4分）如图，如图，AB AB 是⊙O 的直径，的直径，l l 1，l 2是⊙O 的两条切线，且l 1∥AB∥l 2，若P 是PA PA、、PB 上一点，直线PA PA、、PB 交l 2于点C 、D ，设⊙O 的面积为S 1，△PCD 的面积为S 2，则12S S =【 】 A ．π B ．2p C ．4p D ．8p 2. （2002安徽省4分）如图，在矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝3，AD AD＝＝4．P 是AD 上的动点，PE⊥AC 于E ，PE⊥BD 于F ．则PE PE＋＋PF 的值为【的值为【】 A ．512 B ．2 C ．25 D ．5133. （2003安徽省4分）如图，如图，l l 是四形形ABCD 的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD ②AB=BC ③AB⊥BC ④AO=OC 其中正确的结论是其中正确的结论是。

初三数学压轴题举例一、如图1，已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，点E 在射线CB 上，点F 在射线CD 上，且∠EAF ＝∠BAD ．（1）如图2，如果∠BAD ＝90°，求证：AE ＝AF ；（2）如图3，当点E 在CB 的延长线上时，如果∠ABC ＝60°，设DF ＝x ， AF y AE，试建立y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结AC ，BE ＝2，当△ACE 是等腰三角形时，请直接写出DF 的长．图1 图2 图3二、已知△ABC ，过点A 作BC 的平行线l ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE //BC ，过点E 作AB 的平行线分别交直线l 、BC 于点G 、F .（1）如图1，已知S △ADE ＝4，S △EFC ＝9，求△ABC 的面积；（2）已知BC ＝8，过点D 作AC 的平行线分别交直线l 、BC 于点P 、Q ，直线FG 、PQ 交于点M ，FQ ＝2，求S △ABC ∶S △PGM 的值；（3）如图2，已知∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，点N 在直线BC 上，△DEN 是以30°为 底角的等腰三角形，求AD ∶BD 的值.图1 图2 备用图三、如图1，已知△ABC ，点D 在边BC 的延长线上，过点D 作DE ∥AC ，且点A 、E 在BD 同侧，联结CE ．已知BC＝2，CD ＝1，∠ABC ＝∠ACE ．（1）求AC ·ED 的值；（2）当点E 在BA 延长线上时，求ABC DCEC C △△的值； （3）联结AE ，如果△ABC 与△ACE 相似，求ABC ACE S S △△的值． 图1四、如图1，在△ABC 中，边BC 上的高AD ＝2，tan B ＝2．直线l 平行于BC ，分别交线段AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，直线l 与直线BC 之间的距离为m ．（1）当EF ＝CD ＝3时，求m 的值；（2）将△AEF 沿着EF 翻折，点A 落在两平行直线l 和BC 之间的点P 处，延长EP 交线段CD 于点Q ．①当点P 恰好为△ABC 的重心时，求此时CQ 的长；②联结BP ，在∠CBP ＞∠BAD 的条件下，如果△BPQ 与△AEF 相似，试用m 的代数式表示线段CD 的长．图1五、如图1，在四边形ABCD 中，AD //BC ，AB 5，AD ＝2，DC ＝25tan ∠ABC ＝2．点E 是射线AD 上一点，点F 是边BC 上一点，联结BE 、EF ，且∠BEF ＝∠DCB ．（1）求线段BC 的长；（2）当FB ＝FE 时，求线段BF 的长；（3）当点E 在线段AD 的延长线上时，设DE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．图1 备用图六、如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F.（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．图1七、如图1，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝2，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD∙BF＝BC∙DE；（3）当DE∶EF＝3∶1时，求AE∶EB．图1 备用图八、已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点E 是射线CA 上的动点，点O 是边BC 上的动点，且OC ＝OE ，射线OE 交射线BA 于点D ．（1）如图1，如果OC ＝2，求ADE ODBS S △△的值； （2）联结AO ，如果△AEO 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长；（3）当点E 在边AC 上时，联结BE 、CD ，∠DBE ＝∠CDO ，求线段OC 的长．图1备用图 备用图希望大家挑战成功！。

中考数学---几何选择填空压轴题精选1一．选择题：1．如下图1，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、如上图2，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3．如上图3，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③4．如下图1，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A.B. C. D.5、如上图2，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下图1，下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF ≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个7．如上图2，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD =S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（）A.①④⑤B.①②④C.③④⑤D.②③④8．如上图3，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE 交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤9．如下图1，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④10．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如上图2所示，点G在线段DK上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK的面积为（）A. 10B. 12C. 14D. 16二．填空题1．如下图1，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形， 图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是 个．2.如下图2，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1； ∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012= ．3．如下图1，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1= ，= ．4、如上图2，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ﹣1在射线OB 上， 且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ﹣1B n ﹣1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ﹣1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ﹣1A n B n ﹣1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面为 ； 面积小于2011的阴影三角形共有 个． 5、如下图1，已知点A 1（a ，1）在直线l ：上，以点A 1为圆心，以为半径画弧，交x 轴于点B 1、B 2，过点B 2作A 1B 1的平行线交直线l 于点A 2，在x 轴上取一点B 3，使得A 2B 3=A 2B 2，再过点B 3作A 2B 2的平行线交直线l 于点A 3，在x 轴上取一点B 4，使得A 3B 4=A 3B 3，按此规律继续作下去， 则①a= ；②△A 4B 4B 5的面积是 ．6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM；②A E⊥BC；③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有．7、如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为．8、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于．9．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD =15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为cm2．中考数学---几何选择填空压轴题精选1答案一．选择题：1、解：作EJ⊥BD于J，连接EF①∵BE平分∠DBC ∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF ∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF ∴OH=BF②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故②正确；③∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故此结论不成立；④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH=22.5°，由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，∴∠DBH=∠CDF，∵∠BHD=∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴=∴DH=HE•HB，故④成立；所以①②④正确．故选C．（第5题图）2、解：根据BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC；用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符；由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形，∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，∴∠GED=∠CED=45°，∴△GED≌△CED，∴DG=DC；④设AG为X，则易求出GE=EC=2﹣X 因此，S△AGC =SAEC﹣SGEC=﹣+x=﹣（x2﹣2x）=﹣（x2﹣2x+1﹣1）=﹣（x﹣1）2+，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点，故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值．故正确的个数有3个．故选C．3、解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF，∵AD∥BC，DE=BC，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE，∵DE=DC，∴∠DEG=∠DCE，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°﹣（∠BGD+∠EGF）=180°﹣（∠BGD+∠BGC），=180°﹣（180°﹣∠DCG）÷2=180°﹣（180°﹣45°）÷2=112.5°，∴∠GHC=∠DGE，∴△CHG≌△EGD，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=∠GHD，∴S△CDG =S▭DHGE．故选D．4、解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．5、解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正确；③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；（见上图）④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形；∴BN=PB=PC，正确．故选D．6、解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中，∵，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．故①正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a﹣x．∵S△AEF =AE•AF=x（a﹣x）=﹣（x﹣a）2+a2，∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，又∵S△ABC =×a2=a2，∴S△AEF≤S△ABC．故②正确；EF2=AE2+AF2=x2+（a﹣x）2=2（x﹣a）2+a2，∴当x=a时，EF2取得最小值a2，∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），而AD=a，∴EF≥AD．故④错误；由①的证明知△AED≌△CFD，∴S四边形AEDF =S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD2，∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF故③错误；当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．故⑤正确．综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．故选C．7、解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵tan∠AED=，由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED=＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD ＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选：A．8、解：①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确；②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确；⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S△BCE ：S△BCG=（x+x）：x=，此结论正确；故正确的结论有①②⑤．故选C．9、解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．（上图2）（2）∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，（上图3）∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，根据△MEC≌△CIM，（见下图2）可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEH的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．10、解：如下图1，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△DGE =S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），同理S△GKE=S△GFE．∴S阴影=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=4×4=16 故选D．二．填空题：1、解：观察图形，发现规律：图1中有1个菱形，图2中有1+22=5个菱形，图3中有5+32=14个菱形，图4中有14+42=30个菱形，则第5个图中菱形的个数是30+52=55，第6个图中菱形的个数是55+62=91个．故答案为91．2、解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，∴∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC=（∠A+∠ABC），整理得，∠A1=∠A=，同理可得，∠A2=∠A1=×=，…，∠A2012=．故答案为：．3、解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=，又因为CA1⊥AB，∴AB•CA1=AC•BC，即CA1===．∵C4A5⊥AB，∴△BA5C4∽△BCA，∴，∴==．所以应填和．4、解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，∴==，==，又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，∴===，==，∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，继而可推出S△A3B3A4=8，S△A4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．故答案是：；6．5、解：如图所示：①将点A1（a，1）代入直线1中，可得，所以a=．②△A1B1B2的面积为：S==；因为△OA1B1∽△OA2B2，所以2A1B1=A2B2，又因为两线段平行，可知△A1B1B2∽△A2B2B3，所以△A2B2B3的面积为S1=4S；以此类推，△A4B4B5的面积等于64S=．6、解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，∴AE⊥BC，即②正确．∵∠MBE=45°，∴BE=ME．在△ABE与△CME中，∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME，∴△ABE≌△CME，∴AB=CM，即①正确．∵∠MCE=∠BAE=90°﹣∠ABE＜90°﹣∠MBE=45°，∴∠MCE+∠MBC＜90°，∴∠BMC＞90°，即③⑤错误．∵∠AEB=∠CEM=90°，F、G分别是AB、CM的中点，∴EF=AB，EG=CM．又∵AB=CM，∴EF=EG，即④正确．故正确的是①②④．7、解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM==，∴AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1故答案为（）n﹣1．8、解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∴∠HEF=90°，（见上图3）同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH=FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5（等量代换），同理∠5=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH=CF=FN，又∵HD=HN，∴AD=HF，在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，∴HF=5，又∵HE•EF=HF•EM，∴EM=，又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB=2EM=，∴AD：AB=5：=．故答案为：．9、解：如图，连接EF；∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF =S△DEF即S△ADF﹣S△DPF=S△DEF﹣S△DPF，即S△APD =S△EPF=15cm2，同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm2．故答案为40．。

中考数学选填压轴题练习一．根的判别式（共1小题）1．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（）A．﹣1B．1C．﹣1﹣2k D．2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，整理得：﹣8k+8≥0，∴k≤1，∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，∴＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）＝﹣1．故选：A．二．函数的图象（共1小题）2．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米由图象可得：，解得：x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．故选：B．三．动点问题的函数图象（共1小题）3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x 轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC ＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为12，a的值为9．【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D （﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．【解答】解：设A（m，），∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面积为9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案为：12，9．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）5．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣B．C．D．【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．【解答】解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则，解得，所以．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，，解得．所以，则，将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：．故选：D．6．如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．（1）k＝；（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为4．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中点，∴OC＝BC＝AC＝2，如图，过点C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴，解得k＝．故答案为：．（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0），则，解得，∴AC的解析式为y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，∴联立得，解得，，当D的坐标为（2+3，）时，BD2＝＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；当D的坐标为（2﹣3，）时，BD2＝+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；综上，OB2﹣BD2＝4．故答案为：4．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）7．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（）A．或B．或C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得k1＝k2．令k1＝k2＝k，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范围即可．【解答】解：∵y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴k1＝k2．令k1＝k2＝k（k＞0），则y＝k1x＝kx，＝．将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得；将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝，得．∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．∵（t﹣）（t+2﹣）＝•＝＜0，∴＜0，∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴0＜t＜1符合要求．⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＞1不符合要求，应舍去．综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．故选：D．七．二次函数图象与系数的关系（共3小题）8．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正确；故选：C．9．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c ＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：根据所给函数图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，所以abc＜0，故①错误．因为抛物线y＝ax2+bx的图象可由抛物线y＝ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，所以抛物线y＝ax2+bx的增减性与抛物线y＝ax2+bx+c的增减性一致．则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，又x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，若x2＜﹣1，则E，F两点都在对称轴的左侧，此时y1＞y2．故②错误．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小．将A（﹣3，0）代入二次函数解析式得，9a﹣3b+c＝0，又，即b＝2a，所以9a﹣6a+c＝0，则c＝﹣3a．又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），则点C坐标为（0，﹣3a），所以点C′坐标为（0，3a）．又当x＝﹣1时，y＝﹣4a，即D（﹣1，﹣4a）．设直线C′D的函数表达式为y＝kx+3a，将点D坐标代入得，﹣k+3a＝﹣4a，则k＝7a，所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a．将y＝0代入得，x＝．所以点P的坐标为（，0）．故③正确．将方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得，ax2+bx+c＝2b﹣4，因为方程没有实数根，所以抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点，所以2b﹣4＜﹣4a，则2b﹣4＜﹣2b，解得b＜1，又b＞0，所以0＜b＜1．故④错误．所以正确的有③．故选：A．10．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A．2B．m2C．4D．2m2【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若m＞0，则m2＝2m，∴m＝2，若m＜0时，则m2＝﹣2m，∴m＝﹣2．∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．故选：A．八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）11．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac 的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值为﹣2，故选：B．九．二次函数与不等式（组）（共1小题）12．（2023•西宁）直线y1＝ax+b和抛物线（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a ＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．②③D．①④【分析】根据直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．得到b＝4a，于是得到＝ax2+4ax，求得抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；根据Δ＝16a2＞0，得到抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；把b＝4a，代入ax2+bx＝ax+b得到x2+3x﹣4＝0，求得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；根据a＞0，得到抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，于是得到结论．【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．∴﹣4a+b＝0，∴b＝4a，∴＝ax2+4ax，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；∵＝ax2+4ax，∴Δ＝16a2＞0，∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；∵b＝4a，∴方程ax2+bx＝ax+b为ax2+4ax＝ax+4a得，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；∵a＞0，抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，∴当x＜﹣4或x＞1时，y1＜y2.故④错误，故选：B．一十．三角形中位线定理（共1小题）13．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4．【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DE＝AM＝1.2；设AM＝x，从而DE＝x，由DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4﹣x），故四边形DEFG面积S＝4x﹣x2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围．【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，∴DE是三角形ABM的中位线．∴DE＝AM＝1.2．如图，设AM＝x，∴DE＝AM＝x．由题意得，DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，∴DE∥FG，DE＝FG．∴四边形DEFG是平行四边形．由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8，∴DE边上的高为（4﹣x）．∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．∵2.4＜x≤6，∴3≤S≤4．故答案为：1.2；3≤S≤4．一十一．矩形的性质（共2小题）14．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选：C．15．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为2或1+．【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M为对角线BD的中点，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN+DN＝1+，综上所述，AD的长为2或1+．故答案为：2或1+．一十二．正方形的性质（共2小题）16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（）A．B．C．D．【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG＝3CG，可求出BG的长，进而求出AG的长，证△ADE∽△GAB，利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证△ABF≌△DAE，得AF＝DE，根据线段的和差求得EF的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB，∵BG＝3CG，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴AG＝，∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，∴4：5＝AE：3＝DE：4，∴AE＝，DE＝，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝，∴tan∠EDF＝，故选：A．17．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是4cm．（2）若，则tan∠DAH的值是3．【分析】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH ＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH 的值．【解答】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∵AE+FC＝11cm，∴BE+BF＝11cm，即BE+BE+EF＝11cm，即2BE+EF＝11cm，∵EF＝3cm，∴2BE+3cm＝11cm，∴BE＝4cm，故答案为：4；（2）设AH＝x，∵，∴可设DG＝5k，GH＝4k，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠CDG，∴tan∠DAH＝tan∠CDG，∴，即，整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），∴tan∠DAH＝＝＝3．故答案为：3．一十三．正多边形和圆（共1小题）18．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝30度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为2（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE＝，由图1知AG＝BF＝2PE＝2，OM＝PE＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2，故答案为：2．一十四．扇形面积的计算（共1小题）19．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）20．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．P A+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM 是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB＝P A'+PB最小，即可得P A+PB 最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF 最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB ＝P A'+PB最小，此时P A+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴S△ADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC ＝（m+2﹣m）•2＝2，∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）21．（2023•乐至县）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为+1．【分析】过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE，根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大，最大值为OD ＝OE+DE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，∵等边三角形ABC的边长为2，∴AB＝2，∠ABC＝60°，由翻折可知：∠DBC＝∠ABC＝60°，DB＝AB＝2，∴∠DBF＝60°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝BD＝1，∴DF＝BF＝，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝OE＝AB＝1，∴EF＝BE+BF＝2，∴DE＝＝＝，∴OD≤DE+OE＝+1，∴当D、E、O三点共线时OD最大，最大值为+1．故答案为：+1．22．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝cm．【分析】作EH⊥BC于点H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折叠得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性质得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因为CB′⊥AD于点F，所以∠BCB′＝∠CFD ＝90°，则∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF＝＝3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，则CH＝EH，由＝sin B＝sin D＝，＝cos B＝cos D＝，得CH＝EH＝BE，BH＝BE，于是得BE+BE ＝5，则BE＝cm．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4cm，FB′＝1cm，∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD于点F，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，∵＝sin B＝sin D＝＝，＝cos B＝cos D＝＝，∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，∴BE+BE＝5，∴BE＝cm，故答案为：．一十七．旋转的性质（共1小题）23．（2023•西宁）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接P A，将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，则BP＝2．【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，根据旋转的性质得到P A＝P A′，再证明△ABP≌△PHA′得到PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝4﹣x，然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+（4﹣x）2＝（2）2，于是解方程求出x即可．【解答】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，∴P A＝P A′，∵∠P AB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠P AB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，，∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，解得x1＝x2＝2，即BP的长为2．故答案为：2．一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）24．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DF A，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DF A，∴∠FDE＝∠DF A，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k•AB，∴EC＝k•AB，∴＝，∴CF＝k2•AB，∴＝＝＝＝．方法二：如图，连接BF，∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，设AB＝AC＝1，则BC＝k，设CF＝x，则AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案为：．25．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH＝（1+4）×6＝15．故答案为：15．一十九．相似三角形的应用（共1小题）26．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB 的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得＝，过点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．二十．解直角三角形（共1小题）27．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x 轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为（﹣2，0）；点D的坐标为（﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣）．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC ＝，由三角形的面积公式得S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），此时OC＝﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，进而再求出m即可得点D的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB＝＝5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC＝﹣3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，∴点D的坐标为或．故答案为：（﹣2，0）；或．二十一．解直角三角形的应用（共1小题）28．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．。

中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C． D．2.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对3.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（）A．1B．√22C．√3D．√334.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝35.一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。

A．B．C．D．6.如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（）A.aB.bC.cD.d二、填空题（共24分）7.把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。

8．已知方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是。

9.如图，正方形ABCD的面积为4，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH的面积为____.三、解答题（共20分）10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E。

(1)求证：△ADE∽△MAB；(2)求DE的长。

11.已知△ABC和△DEF中，有ABDE =BCEF=CAFD=23，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长。

16.某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件。

（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润。

12.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．13.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30∘方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60∘方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达多少？（结果保留根号）14．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E。

12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。