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一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审 （2）找 （3）设 （4)列 (5）解 （6）验 （7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。
如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。
3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。
第08讲（4大考点7种解题方法）一、方程和一元一次方程的概念1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值解方程：求方程的解的过程三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。
即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a c b c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子） 例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。
四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程方法：1）合并同类项；2）系数化为1五、移项解一元一次方程（1）移项例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3）2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ）-2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。
第三章一元一次方程复习讲义知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.例1(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y?(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3?例2利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26(2)-5x=203．方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、匕是已知数，且aW0).8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程分数基本性质去分母同乘(不漏乘)最简公分母去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律，注意符号变化移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一合并同类项将未知数的系数相加，常数项相加.依据是乘法分配律合并后注意符号系数化为1在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二.例1解下列方程[1]用合并同类项的方法解一元一次方程(1)2x-£%=6-8;(2)7x—2.5x+3x-1.5x=-15x4—6x3.[2]用移项的方法解一元一次方程(1)7-2x=3-4x(2)4x+10=6x[3]利用去括号解一元一次方程去括号法则：去掉“+()”，括号内各项的符号不变.去掉“-()”，括号内各项的符号改变.用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a—b—c(1)2x-(x+10)=5x+2(x—1)(2)3x—7(x—1)=3—2(x+3)[4]利用去分母解一元一次方程(总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.)2x+2x+7x+x=33(2)3x+x-1=3-2x-1(1)^要点归纳1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；2.去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.10．列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出 未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程（组）的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案（包括单位）．［注意］审题是基础，找等量关系是关键.11．解实际应用题：知识点1:市场经，^、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X 销售量例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?变式1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？例3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出 售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？（2） 商品利润率= 商品利润 商品成本价X 100%例4.某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元但不超过500元的优惠10%，超过500元，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠。
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，方程就像是一座神秘的桥梁，连接着已知和未知。
而一元一次方程，则是这座桥梁中较为基础和重要的一种形式。
一元一次方程，简单来说，就是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
举个例子，像“3x ＋ 5 ＝14”就是一个一元一次方程。
在这个方程中，“x”是我们要求解的未知数，只有这一个未知数，而且“x”的最高次数就是 1。
为什么我们要学习一元一次方程呢？因为在生活中，有很多实际问题都可以通过建立一元一次方程的模型来解决。
比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。
二、一元一次方程的形式一元一次方程通常可以写成“ax ＋ b ＝0”（其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0）的形式。
这里的“a”被称为方程的系数，“b”被称为常数项。
当“a ＝1”时，方程就变成了“x ＋ b ＝0”，这种形式相对来说更加简洁直观。
比如方程“2x 7 ＝0”，其中“a ＝2”，“b ＝－7”。
三、解一元一次方程的步骤解一元一次方程，就像是在迷雾中寻找出路，只要按照正确的步骤，就能顺利找到答案。
第一步：移项将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。
移项时要注意变号，比如从等号一边移到另一边，正数要变成负数，负数要变成正数。
例如，解方程“3x ＋ 5 ＝14”，首先进行移项，得到“3x ＝14 5”，即“3x ＝9”。
第二步：合并同类项如果等号左边或右边有可以合并的同类项，先进行合并。
比如方程“5x 2x ＝12”，合并同类项后得到“3x ＝12”。
第三步：系数化为 1将未知数的系数化为 1，就可以得到方程的解。
在“3x ＝9”这个方程中，两边同时除以 3，得到“x ＝3”，这就是方程的解。
四、一元一次方程的应用一元一次方程在生活中的应用非常广泛。
假设你去商店买东西，一件商品原价是 x 元，打 8 折后的价格是160 元，那么可以列出方程“08x ＝160”，解得“x ＝200”，就知道这件商品的原价是 200 元。
第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组知识精要一、不等式的解集1、不等式解的全体叫做不等式的解集。
（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。
）2、不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。
如：在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,那么它表示x取那些数？此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。
2、一元一次不等式组1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。
4、解一元一次不等式组的一般步骤是:（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。
【典型例题】例1. 解不等式3(1)5182x x x +-+>-【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x -5)， 去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x ＞8+20-3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1．得．53x >∴不等式的解集为．53x >【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax ＝bax ＞bax ＜b解：当a ≠0时，；b x a=当a ＝0，b ≠0时，无解；当a ＝0，b ＝0时，x为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a>当a ＜0时，；b x a<当a ＝0，b ≥0时，无解；当a ＝0，b ＜0时，x 为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a<当a ＜０时，；b xa>当a ＝0，b ≤0时，无解；当a ＝0，b ＞0时，x 为任意有理数．【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．5113x x -->解：去分母得5x -1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4， 系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：一户居民每月用电量x （单位：度）电费价格（单位：元/度）0＜x≤200a 200＜x≤400b x ＞4000.92（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a ，b 的值．（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；（2）根据题意列不等式，解不等式．【答案与解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，解得：x≤450．答：李叔家六月份最多可用电450度．【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用．注意根据题意得到等量关系是关键．例3. 解不等式组： ，并求出正整数解。
一元一次方程的解法一、知识梳理1．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程．（一个未知数，最高次数为1，整式方程）23．一元一次方程的标准形式ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0） 4．等式的基本性质及用等式的性质解方程。
性质1：m b m a b a ±=±=,性质2：)0(;,≠=⋅=⋅=d dbd a m b m a b a 性质3：a b b a ==,性质4：)(,,传递性则c a c b b a ===（性质是解题的依据，在使用时注意等式性质成立的条件） 5搬硬套．为了检验解方程时的计算有没有错误，可以把求得的解代入原方程，看左、右两边的值是否相等，这叫验根，一元一次方程的验根过程可以不写出来． 6．一元一次方程的基本变形与它的解法（1）变形：同加、同减、同乘、同除（不为0），解不变。
（2）步骤：去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)系数化为1.（3）注意：过“桥”变号 7.方程ax=b 的解的讨论1）当a ≠0时，方程ax=b 有惟一解x=ba(此时方程为一元一次方程，ax=b(a ≠0))是一元一次方程的最简形式.2）当a=0,b ≠0时，方程ax=b 无解(此方程不是一元一次方程).3）当a=0,b=0时，方程ax=b 有无穷多解(此方程不是一元一次方程).二、典例剖析（一）概念问题 例1：（武汉二中模拟）下列方程中是一元一次方程的是（ ）。
A.3+7=10 B.2x-5 C.-x+3=1 D.2x+7y=0 变式1：下列各式中，是方程的个数为（ ）。
（1）－3－3＝－7 （2）3x －5＝2x ＋1 （3）2x ＋6 （4）x －y ＝0 （5）a ＋b>3 （6）a 2＋a －6＝0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式2：下列说法中，正确的是。
（ ）A 、 代数式是方程B 、方程是代数式C 、等式是方程D 、方程是等式变式3：若2x 3-2k+2k=41是关于x 的一元一次方程，则k= （二）分母化整问题 例2：（1）解方程：43160.20.5x x +--=- （2）解方程：431625x x +--=-变式训练： 1.511241263x x x +--=+x x 238)4121(3443.2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3.x 41-132x 43=+ 4.[1－2x+（3x －5）]=x（三）方程的解问题例3：若x=0是方程2002x-a=2003x+3的解，那么代数式的值是-a 2+2变式1：已知关于x 的方程23()2,ax a x x a -=+=的解是求的值. 变式2：已知5x 61y ,1x 32y 21-=+-=,若12y +y 20=,则x=( ) A.-30 B.-48 C.48 D.301212（四）同解问题例4：如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）A. 103B. 310C. -103D.- 310 变式1：与方程3523=-x 的解相同的方程是（ ）A 、163=xB 、133=xC 、83=xD 、43=x变式2：已知关于x 的方程3[x-2（x-3a ）]=4x 和123a x +-851x-=1有相同的解，求这个解。
方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第2章第1节和第2节的内容．在预习阶段，本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念，方程的解的检验，一元一次方程的解法．重点在于理解一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的解法，为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备．1、方程及其相关概念（1）未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数；（2）方程：含有未知数的等式叫做方程；（3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；（5）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；如在方程 2.50x+=和252y-=中，x、2.5、25、2y-都是方程中的一项；方程与一元一次方程内容分析知识结构模块一：列方程与方程的解知识精讲2 / 21（6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x 的系数为1，2y -的系数为12-；（7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x 、2y-的次数都是1；（8）常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，25． 2、 方程的解如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．【例1】 判断下列各式，哪些是方程？（1）01>-；（2）267x -=； （3）2y y -=； （4）2736x x -+=； （5）57x -；（6）69.14π+=； （7）325p +≤；（8）23x y=；（9）431-+=-． 【难度】★【答案】（2）、（3）、（4）、（8）．【解析】（1）、（7）是不等式；（6）、（9）中没有未知数；（5）是代数式；所以只有（2）、（3）、（4）、（8）是方程．【总结】考察方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．【例2】 列方程：（1）x 与4的差为9；（2）y 的3倍的相反数与5的和为10； （3）m 的立方与n 的平方的商为2；（4）一个正方形的边长为a 厘米，周长为36厘米． 【难度】★【答案】（1）94=-x ；（2）1053=+-y ；（3）223=÷n m ；（4）364=a ． 【解析】注意差、和、商等字眼，根据这些字眼可以建立等量关系． 【总结】考察方程建立的方法．例题解析【例3】 （1）方程23503x mn -+=中，项3x 的系数是______，次数是______；项23mn -的系数是______，次数是______；常数项是______．【难度】★ 【答案】3，1，32-，2，5． 【解析】考察方程中项的次数、系数、项数等概念．【例4】 检验2、32是否是方程33x x =+的解． 【难度】★【答案】2不是方程的解；23是方程的解． 【解析】将2、32代入方程33x x =+中，可得2不能使得方程成立，而23可使得方程成立．【总结】考察方程的解的定义．【例5】 在下列问题中，引入未知数，列出方程：（1）一个数与它的一半的和是34，求这个数；（2）甲比乙大5岁，甲、乙两人相加为35岁，求甲的年龄． 【难度】★★【答案】（1）设这个数为x ，可列方程为：4321=+x x ； （2）设甲的年龄为x ，则乙的年龄为5-x ，可列方程为：355=-+x x ．【解析】设未知数列方程中，一般是求什么设什么，用未知数表示其他的量，然后再列方程． 【总结】考察设未知数列方程．【例6】 检验下列各数是不是方程71102x x +=-的解．（1）1x =；（2）2x =-．【难度】★★【答案】（1）是，（2）不是．【解析】（1）当1x =时，左边7118=⨯+=，右边10218=-⨯==左边，故1x =是原方程的 解；当2x =-时，左边7(2)113=⨯-+=-，右边102(2)14=-⨯-=≠左边，故2x =-不 是原方程的解．【总结】考察方程的解的定义及检验的方法．4 / 21【例7】 3-，1是不是方程24927x x -=-的解？ 【难度】★★【答案】1是方程的解；3-不是方程的解．【解析】将3-和1代入方程中，可知1可使得方程成立，而3-不能使得方程成立． 【总结】考察方程的解的定义．【例8】 根据条件，引入未知数列方程：甲数是595，乙数是225，要使甲数为乙数的4倍，必须从乙数中抽多少数给甲？ 【难度】★★【答案】设必须从乙数中抽x 给甲，则可列方程：()x x -=+2254595． 【解析】设未知数列方程中，一般是求什么设什么，然后再列方程． 【总结】考察设未知数列方程．【例9】 若x = 4是方程54x mx -=的解，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】4=m ．【解析】因为x = 4是方程54x mx -=的解，所以x = 4代入方程54x mx -=中可使得方程成 立，所以4445=-⨯m ，解得：4=m ． 【总结】考察方程的解的定义及运用．【例10】根据下列条件列出方程：某区用一批人进行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人，第二次及格人数增加了5人，这时及格人数是不及格人数的5倍，一共多少人参加了数学竞赛？【难度】★★★【答案】设第一次不及格人数为x，可列方程为()55543-=++xx．【解析】设第一次不及格人数为x，则第一次及格人数为43+x，则共有()4443+=++xxx 人参加了数学竞赛；因为第二次及格人数增加了5人，为()93543+=++xx人，则不及格人数减少5人，为5-x人，因为这时及格人数是不及格人数的5倍，所以可列方程()5593-=+xx．【总结】考察列未知数列方程．如果求什么设什么不能建立方程，则利用条件“第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人”中设“是”后面的那个量，然后表示另外的量，进而列出方程．1、一元一次方程的概念只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．2、解方程求方程的解的过程叫做解方程．3、解一元一次方程的一般步骤（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成ax b=（0a≠）的形式（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解bxa =．模块二：一元一次方程及其解法知识精讲6 / 21【例11】 下列方程中是一元一次方程的是（ ） A ．35x y -= B ．35x x -= C ．6xy = D ．21x x=- 【难度】★ 【答案】B【解析】A 、C 答案中有两未知数；D 答案中有分式．【总结】考察一元一次方程的概念．只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一 元一次方程．【例12】 判断下列方程是否是一元一次方程？如果不是，请说明理由．（1）235+=； （2）3113c c +=+； （3）22x >； （4）52m=；（5）()216t t --=； （6）37a y -=； （7）22533x x x x -+=+； （8）0x a +=． 【难度】★【答案】（2）、（5）、（7）是一元一次方程；其余均不是一元一次方程． 【解析】（1）中没有未知数；（3）是不等式；（4）等式中有分式；（6）、（8）有两个未 知数，所以他们都不是一元一次方程．【总结】考察一元一次方程的定义，注意（2）是关于c 的一元一次方程，其解为一切实数．【例13】 当a 为______时，180a x --=是一元一次方程． 【难度】★ 【答案】2【解析】由一元一次方程的定义可知：11=-a ，则2=a ． 【总结】考察一元一次方程的定义．例题解析【例14】 下面的做法对不对？如果不对，请指出错在哪里，并将其改正．（1）由31892x x -=-移项，得32918x x +=-；（2）由11255x x -=-移项，得15125x x -=-．【难度】★【答案】（1）错误，移项可得：329+18x x +=；（2）正确． 【解析】移项后符号要改变． 【总结】考察一元一次方程的解法．【例15】 解方程：（1）945x x =-；（2）1322x-=-； （3）()30.50.2x --=．【难度】★【答案】（1）1-=x ； （2）9-=x ； （3）1.3=x ．【解析】（1）移项可得：549-=-x x ，整理得：55-=x ，解得：1-=x ， 所以原方程的解为1-=x（2）方程左右两边同时乘以2可得：416--=x ，移项可得：641--=x ，解得：9-=x ，所以原方程的解为9-=x（3）方程两边同时乘以0.2可得：()1.03=--x ，去括号得：1.03=+-x ， 移项可得：1.331.0=+=x ，所以原方程的解为1.3=x 【总结】考察一元一次方程的解法，注意移项要变号．【例16】 （1）3125x -=，则x =______； （2）325x x-=，则x =______； （3）325x x-=，则x =______．【难度】★ 【答案】（1）517=x ； （2）5=x ； （3）10=x ． 【解析】（1）左右两边同时乘以10可得：()235=-x ，去括号移项可得：517=x ； （2）左右两边同时乘以10可得：()x x 235=-，去括号移项可得：5=x ； （3）左右两边同时乘以10可得：x x 2305=-，去括号移项可得：10=x ． 【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数．8 / 21【例17】 若关于x 的方程()3230n x n +--=是一元一次方程，则这个方程的解为______． 【难度】★★ 【答案】7-=x ．【解析】因为方程为一元二次方程，所以13=+n ，则2-=n ，所以方程为07=+x ， 解得这个方程的解为7-=x【总结】考察一元一次方程的概念和解法．【例18】 方程()120x --=的解与()39x k +=-的解相同，则k =______． 【难度】★★ 【答案】6-=k ．【解析】方程()120x --=的解为3=x ，则方程的解()39x k +=-为3=x ， 所以将3=x 代入方程()39x k +=-成立，则()933-=+k ，解得：6-=k 【总结】考察一元一次方程的解的定义．【例19】 12x =是方程()()23a x x -=-+的解，则a =______． 【难度】★★ 【答案】37±=a ． 【解析】因为12x =是方程()()23a x x -=-+的解，所以12x =使得方程()()23a x x -=-+ 成立，所以2723-=⎪⎭⎫⎝⎛-a ，解得：37=a ，则37±=a ．【总结】考察一元一次方程的解的定义，注意对绝对值的正确理解．【例20】 当x 取何值时，()2x -与3x 互为相反数？ 【难度】★★【答案】12x =．【解析】由题意可得：230x x -+=，解得：12x =． 【总结】考察相反数的定义和一元一次方程的解法．（1）()512073x x x +=--；（2）()()36922245x x ----=⎡⎤⎣⎦；（3）111111112345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【难度】★★【答案】（1）41-=x ；（2）3-=x ； （3）205=x ．【解析】（1）去括号得：372015+-=+x x x ，移项可得：137205-=+-x x x ，整理可得：28=-x ，解得：41-=x ，所以原方程的解为41-=x ；（2）去括号得：318181845x x --+=，移项可得：45183=-x x ，整理可得：4515=-x ， 解得：3-=x ，所以方程的解为3-=x ；（3）去括号可得：111111123204x ⎧⎫⎡⎤---=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，整理可得：11151123204x ⎧⎫⎡⎤--=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，去括号可得：1151126012x ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭，整理可得：1117126012x ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭，去括号可得：117112024x -=，左右两边同时乘以120可得：12085=-x ， 解得：205=x ，所以方程的解为205=x ．【总结】考察一元一次方程的解法，注意去括号的方法，先从里面的括号去，一层一层的去 括号．【例22】 解方程：（1）452168x x +=+；（2）122135y y y --+=-． 【难度】★★【答案】（1）6-=x ； （2）1913=y ． 【解析】（1）方程两边同时乘以16可得：()32542++=x x ，去括号可得：32108++=x x ， 移项可得：32108+=-x x ，整理可得：427=-x ，解得：6-=x ，所以原方程的解为6-=x ； （2）方程两边同时乘以15可得：()()23151530--=-+y y y ，去括号可得：63155530+-=-+y y y ，移项可得：56153530++=++y y y 整理可得：2638=y ，解得：1913=y ，所以原方程的解为1913=y ． 【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数．10 / 21（1）()()425352x x -+=--； （2）()()()22522082x x x +-+=-+． 【难度】★★【答案】（1）8=x ； （2）2x =．【解析】（1）去括号可得：235584+-=+-x x ，移项可得：582354-++=+x x ， 整理可得：405=x ，解得：8=x ，所以原方程的解为8=x ； （2）去括号可得：2451020816x x x +--=--，移项可得：2582016410x x x -+=--+，整理可得：510x =，解得：2x =， 所以原方程的解为2x =．【总结】考察一元一次方程的解法，括号前面有负号时，去掉括号每一项都要变号．【例24】 解方程：（1）()11230%5x x -+=；（2）5%31%12%2x x -=+．【难度】★★ 【答案】（1）54=x ； （2）33x =-． 【解析】（1）去括号可得：x x 2.06.03.01=--，移项可得：6.012.03.0+-=--x x ，整理可得：4.05.0-=-x ，解得：54=x ，所以原方程的解为54=x ；（2）两边同时乘以100可得53112200x x -=+，移项可得：31200125+=-x x ， 整理可得：2317=-x ，解得：33x =-，所以原方程的解为33x =-． 【总结】考察一元一次方程的解法，注意移项时要变号．【例25】 解方程：（1）314350.50.3 1.5x x x --+=+； （2）26514300.030.30.02x x-+-=． 【难度】★★ 【答案】（1）1128=x ； （2）1329=x ． 【解析】（1）两边同时乘以1.5，可得()()3315435x x x -=-++，去括号可得：5352039++-=-x x x ，移项可得：3520359++=-+x x x ， 整理可得：2811=x ，解得：1128=x ，所以原方程的解为1128=x ； （2）两边同时乘以0.6可得()202130301430x x ⋅+--=，去括号可得：09042013040=+-+x x ，移项可得：1304209040-=+x x ， 整理可得：290130=x ，解得：1329=x ，所以原方程的解为1329=x ． 【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母时每一项都要乘分母的最小公倍数．【例26】 若方程121211634x x x -+++=-与关于x 的方程6336x a ax x -+=-的解相同，求a 的值． 【难度】★★★ 【答案】6a =．【解析】方程两边同时乘以12，可得：()()()1231214212+-=++-x x x ， 去括号可得：36124442--=++-x x x ，移项可得：423126---=x ，整理可得：36=x ，解得：21=x ． 因为方程121211634x x x -+++=-与关于x 的方程6336x a ax x -+=-的解相同，所以关于x 的方程6336x a a x x -+=-的解为21=x ， 所以2363321-=-+a a ， 两边同时乘以12可得：()182346-=-+a a ，去括号可得：1824126-=-+a a ， 移项可得：1261824---=--a a ， 整理可得：366-=-a ， 解得：6a =．【总结】考察一元一次方程的解的定义和具体的解法．12 / 21【例27】 已知p 、q 都是素数，并且以x 为未知数的一元一次方程597px q +=的解是1，求代数式2p q -的值． 【难度】★★★ 【答案】215p q -=-．【解析】因为x 为未知数的一元一次方程597px q +=的解是1，所以975=+q p ，则p 和q 5中必有一个为偶数，当2=p ，则955=q ，即19=q ，所以1519222-=-=-q p ； 当q 5为偶数，则2=q ，87=p ，而87不是质数，与题意矛盾，所以215p q -=-． 【总结】考察一元二次方程的解的定义和素数的定义．【例28】 解关于x 的方程：ax = b ． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】当0≠a 时，abx =； 当00a b =≠，时，方程无解； 当00a b ==，时，方程的解为任意数．【总结】考察含字母系数的一元一次方程的解法，注意分类讨论．【例29】 已知关于x 的方程5814225x a x -=+，且a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值． 【难度】★★★ 【答案】2．【解析】由原方程可得：142109-=x a ， 因为a 为自然数，所以142109≥x ，解得：97157≥x ，因为自然数a 取最小值，所以x 应取160，此时2=a ， 所以自然数a 的最小值为2．【总结】考察一元一次方程的解法和整除的定义，综合性较强．【例30】 若abc = 1，解方程：2221111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++．【难度】★★★【答案】21=x ．【解析】因为abc = 1，所以原方程可化为222111ax bx cxab a abc bc b ca c ++=++++++，整理可得：2221111x bx cx b bc bc b ca c ++=++++++， 即()212111x b cxb bc ca c ++=++++，因为abc = 1，所以()21211x b cx b abc bcca c ++=++++， 即()()212111x b cx b ac c ca c ++=++++， 整理可得：()()21211b x bcx b ac c ++=++， 即()()2111x b bc b ac c ++=++，因为abc = 1，所以()()211x abc b bc b ac c ++=++， 即()2111x ac c ac c++=++，整理可得：12=x ，解得：21=x ，所以原方程的解为21=x ． 【总结】考察一元一次方程的解法，本题综合性较强，求解时要注意观察分母与分子之间的 关系．【习题1】 若325m x -=是一元一次方程，则m 的值是______． 【难度】★ 【答案】4．【解析】由一元一次方程的定义可得：13=-m ，则4=m ． 【总结】考察一元一次方程的概念．随堂检测14 / 21【习题2】 列方程：梯形的上底为3，高为5，面积为30，求下底x ：____________． 【难度】★【答案】()305321=⨯+x ．【解析】梯形的面积=（上底+下底）×高÷2． 【总结】考察列方程，注意寻找题目中的等量关系．【习题3】 一本书x 页，第一天读了全部的15还多6页，第二天读了36页，还有54页没看过，求x ．列出方程，正确的是（ ） A ．636545x ++=B ．1636545x ++=C ．636545x x ++=-D ．1636545x x ++=-【难度】★★ 【答案】D【解析】一本书x 页，第一天读了全部的15还多6页，则第一天读了⎪⎭⎫⎝⎛+651x 页，进而列出方程．【总结】考察设未知数列方程，注意寻找题目中的等量关系．【习题4】 方程()32441102x a x ++=-的解为x = 3，则a 的值为______． 【难度】★★ 【答案】10． 【解析】因为方程()32441102x a x ++=-的解为x = 3，所以35810a +=，解得：10=a ． 【总结】考察一元一次方程解的定义．【习题5】 如果方程260x +=与方程182x a+-=的解相同，则a =______． 【难度】★★ 【答案】11-=a ．【解析】因为方程260x +=的解为3-=x ，所以方程182x a+-=的解为3-=x ， 所以3182a-+-=，两边同时乘以2可得：()1632=+--a ， 去括号可得：1632=-+a ，移项可得：11-=a ． 【总结】考察一元一次方程解的定义和解法．【习题6】 解方程：132x-=，则x =______． 【难度】★★【答案】5-=x 或7=x ．【解析】由题意有：321=-x 或321-=-x，两边同时乘以2可得：61=-x 或61-=-x ，解得5-=x 或7=x ．【总结】考察一元一次方程解法，注意两解的分类讨论．【习题7】 当a = 0，关于x 的方程ax = b （ ）A ．有且仅有一个解B ．没有解C ．有无数个解D ．可能没有解，也可能有无数解【难度】★★ 【答案】D【解析】当0=b 时，方程有无数个解；当0≠b 时，方程无解． 【总结】考察一元一次方程解法，注意分类讨论．【习题8】 解方程：（1）()()84343234x x x +=-++；（2）51130.965y yy ---=+； （3）()()20%120%32032040%x +--=⨯；（4）1114211324333x x x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（5）0.40.950.030.0200.520.03x x x+-+--=． 【难度】★★ 【答案】（1）21=x ；（2）1338=y ；（3）25.160=y ；（4）717=x ；（5）9=x ． 【解析】（1）去括号可得：8412968x x x +=-++，移项可得：8126984x x x --=-+-，整理可得：510-=-x ，解得：21=x ，所以原方程的解为21=x ； （2）两边同时乘以30可得：()()y y y 3163027155-+=--，去括号可得：2552730618y y y --=+-，移项可得：2530186527y y y -+=++ 整理可得：3813=y ，解得：1338=y ，所以原方程的解为1338=y ；16 / 21（3）两边同时乘以10可得：()432032082⨯=-+x ，去括号可得：1280825602=-+x ， 移项可得：2560212808--=-x ，整理可得：12828-=-x ，解得：25.160=y ，所以原方程的解为25.160=y ；（4）去括号可得：11111132363x x x ⎡⎤-+=-⎢⎥⎣⎦，整理可得：111113663x x ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦，去括号可得：111118183x x +=-，两边同时乘以18可得：x x 6181-=+，移项解得：717=x 所以原方程的解为717=x ； （5）方程可以变化为495320523x x x+-+--=， 两边同时乘以30可得：()()()023********=+---+x x x ，去括号可得：0203075155424=--+-+x x x ，整理可得：9911-=-x ，解得：9=x ， 所以原方程的解为9=x ．【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母和去括号的方法．【习题9】 已知x = 3是方程()131234m x x -⎡⎤⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的解，n 满足关系式21n m +=，求m n +的值． 【难度】★★★【答案】65-或611-．【解析】因为x = 3是方程()131234m x x -⎡⎤⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的解，所以13222m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，左右两边乘以2可得：()344m +=，解得：38-=m ．因为21n m +=，所以8213n -=，则1382=-n 或1382-=-n ，解得：611=n 或65=n ． 当81136m n =-=，时，65-=+n m ；当8536m n =-=，时，611-=+n m ，故m n +的值为65-或611-． 【总结】考察一元一次方程的解的定义和解法，注意对n 的值的分类讨论．【习题10】 解方程：()12a x b -=+． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】当12a b ==-，时，方程的解为任意数； 当12a b =≠-，时，方程无解； 当1≠a 时，方程的解为12-+=a b x ． 【总结】考察含字母系数的一元一次方程的解法，注意要分类讨论．【作业1】 （1）x = 2______（填“是”或“不是”）方程23520x x --=的解； （2）3x =-______（填“是”或“不是”）方程3571x x +=+的解． 【难度】★【答案】（1）是；（2）不是．【解析】（1）2代入方程中，等式成立；（2）-3代入方程中，等式不成立． 【总结】考察方程的解的定义．【作业2】 下列方程中，与方程215x -=-解相同的方程是（ ）A ．329x x -=--B ．32x x -=C ．260x +=D ．360x -=【难度】★ 【答案】A【解析】方程215x -=-解为2-=x ，代入A 方程中，等式成立，所以选A ． 【总结】考察方程的解的定义和解法．课后作业18 / 21【作业3】 根据下列条件列出方程：甲仓库存粮200吨，乙仓库存粮70吨．若甲仓库每天运出15吨粮，乙仓库每天运进 25吨，经过多少天，乙仓库的存粮是甲仓库的2倍？ 【难度】★★【答案】设经过x 天，乙仓库的存粮是甲仓库的2倍， 则可列方程为：()x x 2570152002+=-． 【解析】列方程解方程，一般求什么设什么． 【总结】考察列方程，注意找出题目中的等量关系．【作业4】 若49a -与35a -互为相反数，则221a a -+的值为______． 【难度】★★ 【答案】1【解析】若49a -与35a -互为相反数，则05394=-+-a a ，则2=a ，则2211a a -+=． 【总结】考察一元一次方程的解法．【作业5】 x = 5是方程26x a -=的解，则a =______ 【难度】★★ 【答案】4【解析】因为x = 5是方程26x a -=的解，所以4a =．【总结】考察方程的解的定义．【作业6】 已知方程1384x x a +=-的解满足20x -=，则1a=______． 【难度】★★【答案】272-．【解析】方程20x -=的解为2=x ，则方程1384x x a +=-的解为2=x ， 所以1682a +=-，则2113-=a ，所以2721-=a ．【总结】考察方程的解的定义． 【作业7】 解方程：（1）()()20.3450.239x x --+=；（2）561232653x x x ⎡⎤⎛⎫+-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）212110114312x x x +-+-+=； （4）()()50%130%10.1y y -=++；（5）50.4 1.88 1.330.3 1.22x x x---=-． 【难度】★★【答案】（1）80x =-；（2）143x =；（3）21=x ；（4）29=y ；（5）0.1x =．【解析】（1）去括号可得：91586.0=---x x ，移项整理可得：0.432x -=， 解得：80x =-，所以原方程的解为80x =-；（2）去括号可得：1523236x x x +-+=-，整理可得：372x =， 解得：143x =，所以原方程的解为143x =； （3）方程两边同时乘以12，可得：()()11012412312+=-++-x x x ，去括号可得：110483612+=-+--x x x ，移项整理可得：48-=-x ，解得：21=x ， 所以原方程的解为21=x ； （4）方程两边同时乘以10可得：()()11315++=-y y ，去括号可得：13355++=-y y ， 移项整理可得：92=y ，解得：29=y ，所以原方程的解为29=y ； （5）方程可以化为5041880133031220x x x---=-， 方程两边同时乘以60可得：()()()x x x 301338018545020---=-， 去括号可得：100080904003990x x x -=--+， 移项整理可得：1310131x =，解得：0.1x =， 所以原方程的解为0.1x =．【总结】考察一元一次方程的解法，注意去分母和去括号的方法．20 / 21【作业8】 已知方程()()221180m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，求代数式()()19929m x x m m +-+的值． 【难度】★★★ 【答案】1999．【解析】因为方程()()221180m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，所以012=-m 且01≠+m ，则1=m ， 所以方程为082=+-x ，解得：4=x ，所以()()()()1992919914421911999m x x m m +-+=⨯+⨯-⨯+⨯=．【总结】考察一元一次方程的概念和解法及求代数式的值，综合性较强．【作业9】 解方程：5332x x --=． 【难度】★★★【答案】25=x 或81=x ．【解析】当035≥-x ，即53≥x 时，方程可化为：2335=--x x ，解得：25=x ， 当035<-x ，即53<x 时，方程可化为：2353=--x x ，解得：81=x ， 综上，原方程的解为25=x 或81=x ． 【总结】考察一元一次方程的解，注意分类讨论．【作业10】 若关于x 的方程()2232x km kx n -+-=，无论k 为何值时，12总是方程的解， 求m n -的值．【难度】★★★ 【答案】16132-． 【解析】将21=x 代入方程可得：22132212km n k -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由于m n 、为常数， 转化为关于k 的方程：n m k 4413211-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由于无论k 为何值时，12总是方程的解， 则n m k 4413211-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+对于任意k 成立， 所以0211=+m 且04413=-n ， 解得：13216m n =-=，， 所以1613216132-=--=-n m ． 【总结】考察方程的解的定义，b ax =对于任意x 等式成立的条件是0=a 且0=b ．综合性较强，解题时注意认真分析题目中的条件．。
