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扩散与扩散过程的数学模型研究随着科技的不断进步和数学建模的发展，我们对于扩散以及扩散过程有了更加深入的理解。
扩散是一种物质传输的现象，它广泛存在于生物学、化学、物理学等领域中。
通过数学建模，我们可以揭示其背后的数学规律，并更好地理解和预测扩散过程。
首先，我们来谈论扩散的基本概念。
扩散是指溶质在溶剂中的自发分子运动，由高浓度区域向低浓度区域传播。
这种分子运动是由于热力学原理中的热运动所导致的。
从宏观层面上看，扩散呈现出物质由浓度高处向浓度低处自发流动的现象。
在数学建模中，我们使用的是扩散方程。
最早由法拉第提出的扩散方程描述了物质随时间和空间的变化规律。
在一维情况下，扩散方程可以写作：∂C/∂t = D∂²C/∂x²其中，C是溶质浓度的函数，t是时间，x是空间位置，D是扩散系数。
这个方程表明，溶质浓度随时间的变化率与其空间梯度的二阶导数成正比。
这个方程可以通过数值方法进行求解，得到扩散过程中溶质浓度的变化。
扩散方程在化学反应动力学中扮演重要角色。
它可以帮助我们研究化学反应的速率，了解反应物在溶液中的传播和混合情况。
通过建立扩散方程的数学模型，我们可以预测反应物在不同条件下的扩散速度和范围，从而优化反应工艺。
除了一维情况下的扩散方程，还存在着更为复杂的扩散模型。
二维和三维的扩散方程包含更多的协方差分量，可以描述扩散过程中各个方向上的变化。
这些模型更加适用于现实生活中的扩散现象，比如气体在大气中的扩散、药物在人体中的传播等。
在实际应用中，我们经常需要考虑到扩散过程中的一些特殊条件和限制。
例如，在有限空间中且存在反应的情况下，我们需要考虑扩散方程与反应方程的耦合。
这时，我们可以通过建立反应-扩散方程组的数学模型来研究该反应的动力学行为。
另外，扩散过程还受到一些外界因素的影响，比如温度、浓度梯度、流动速度等。
这些因素会改变扩散系数，从而影响扩散速度和范围。
通过数学建模，我们可以研究这些影响因素的效应，并加以控制和优化。
大气污染扩散第一节大气结构与气象有效地防止大气污染的途径，除了采用除尘及废气净化装置等各种工程技术手段外，还需充分利用大气的湍流混合作用对污染物的扩散稀释能力，即大气的自净能力。
污染物从污染源排放到大气中的扩散过程及其危害程度，主要决定于气象因素，此外还与污染物的特征和排放特性，以及排放区的地形地貌状况有关。
下面简要介绍大气结构以及气象条件的一些基本概念。
一、大气的结构气象学中的大气是指地球引力作用下包围地球的空气层，其最外层的界限难以确定。
通常把自地面至1200 km左右范围内的空气层称做大气圈或大气层，而空气总质量的98．2％集中在距离地球表面30 km以下。
超过1200 km的范围，由于空气极其稀薄，一般视为宇宙空间。
自然状态的大气由多种气体的混合物、水蒸气和悬浮微粒组成。
其中，纯净干空气中的氧气、氮气和氩气三种主要成分的总和占空气体积的99.97％，它们之间的比例从地面直到90km高空基本不变，为大气的恒定的组分；二氧化碳由于燃料燃烧和动物的呼吸，陆地的含量比海上多，臭氧主要集中在55～60km高空，水蒸气含量在4％以下，在极地或沙漠区的体积分数接近于零，这些为大气的可变的组分；而来源于人类社会生产和火山爆发、森林火灾、海啸、地震等暂时性的灾害排放的煤烟、粉尘、氯化氢、硫化氢、硫氧化物、氮氧化物、碳氧化物为大气的不定的组分。
大气的结构是指垂直（即竖直）方向上大气的密度、温度及其组成的分布状况。
根据大气温度在垂直方向上的分布规律，可将大气划分为四层：对流层、平流层、中间层和暖层，如图5－1所示。
1. 对流层对流层是大气圈最靠近地面的一层，集中了大气质量的75％和几乎全部的水蒸气、微尘杂质。
受太阳辐射与大气环流的影响，对流层中空气的湍流运动和垂直方向混合比较强烈，主要的天气现象云雨风雪等都发生在这一层，有可能形成污染物易于扩散的气象条件，也可能生成对环境产生有危害的逆温气象条件。
因此，该层对大气污染物的扩散、输送和转化影响最大。
工业煤气基于MATLAB仿真的泄漏扩散影响研究摘要：本文的研究目的是研究企业范围空间煤气泄漏的扩散规律和影响范围。
采用matlab模拟煤气泄漏后CO 的浓度分布和扩散距离规律。
通过建立煤气泄漏扩散数学模型, 对其影响煤气扩散的主要因素进行了分析、探讨了煤气毒性范围的划分, 然后在对煤气泄漏造成的危害和泄漏原因的基础上，运用扩散模型，计算煤气泄露扩散影响范围，然后用MATLAB对此进行模拟，得出不同的距离下煤气的浓度，并对其进行分析。
因为大气稳定度、风速对煤气泄漏扩散的浓度影响起着非常重要的作用。
大气稳定度和风速会显著改变有害气体的扩散状态。
在风速和泄漏增大时, 煤气在开放空间扩散距离大, 影响范围广, 应合理布置煤气监控点, 预防煤气中毒。
本文还鉴于煤气泄漏的危害之大，根据CO 的特性,对于煤气柜这种重大危险源的管理和控制可以得出一些经验，为采取措施预防其危害提供一定的依据。
关键词：煤气泄漏； MATLAB；数值模拟；扩散一、前言煤气泄漏的研究的背景及意义我国当代工业以煤炭为主要能源的结构特点,决定了我国大多数工业企业的生产性气源以焦炉煤气和高炉煤气等为主,而煤气具有易燃易爆性!易散发性!剧毒性的特点,随着煤气在石油!化工!冶金等行业的广泛应用,也随之增加了煤气在工业场所发生泄漏!扩散并且导致人员中毒!火灾甚至爆炸发生的危险性和可能性"例如,2002年12月4日,天津西青开发区某厂房发生一起一氧化碳泄漏事故,造成3人中毒死亡;2005年2月22日,湖北大冶市一公司发生煤气中毒事故,当班的4名工人因中毒相继坠入料仓死亡;2005年4月21日,内蒙古自治区乌海市同力冶炼有限责任公司发生高炉煤气泄漏事故,造成2人中毒死亡;2005年n月5日,包头市大安钢铁公司发生煤气泄漏事故,当场造成5人中毒死亡,1人受伤;2005年的10月26日,首钢动力厂发生一起煤气中毒事故,共有9人丧生;而时隔8个月,即2006年6月10日首钢动力厂再次煤气泄漏事故,至少有7人中毒,其中2人经抢救无效死亡"此类事故举不胜举"近几年来市场对煤气及其相关产品的需求增大,企业不断扩大生产能力,同时煤气事故的次数也居高不下,鉴于以上事实,我们发现:工业场所煤气一旦发生事故性泄漏,往往会酿成人员中毒伤亡的严重后果,另外,若遇火源还可能导致火灾或爆炸等事故造成重大损失"因此,为减少因煤气事故泄漏事故带来的人员及财产损失,对工业场所煤气的泄漏!扩散进行数值模拟分析,加强对其微观规律的研究,为制定相应的煤气中毒预防及事故减灾策略有重要的理论意义"近年来我国工业煤气事故性泄漏屡有发生,尤其严重的是2005年和2006年首钢动力厂连续两次发生煤气泄漏事故,并造成重大人员伤亡,此事件发人深省"其重要原因之一就是人们对工业场所煤气泄漏扩散的规律不甚了解,尤其是煤气泄漏扩散后中毒伤害范围的变化,安全警戒撤离距离的确定等信息不能及时获得,从而延误了中毒区域内人员的救援时机,造成重大人员和财产损失"工业场所煤气泄漏扩散是一个综合而又复杂的过程,泄漏物质,泄源高度及面积!泄漏速度!泄漏时间!大气稳定度!地形等参数对扩散都有着重要的影响"因此,如何对工业场所煤气泄漏扩散的过程进行有效的模拟,以及时!准确!有效地获得各种参数,为煤气泄漏事故的应急救援提供科学依据就显得十分迫切"国内外的研究现状"国外在这方面的研究相对成熟,直到现在该领域的研究还比较活跃"国外学者提出了不少扩散的计算模型,同时也进行了许多大规模试验"主要的数值扩散模型有高斯(Gaussianplume/Puffmodel),BM(BritterandMeQuaid)模型Sutton 模型 DEM(3一DFiniteElementModel)等等"高斯模型适用于点源的扩散,早在五六十年代就己经被应用"它从统计方法入手,考察扩散介质的浓度分布,适用于中等密度气团(非重气)扩散的模拟"烟羽模型(Plumemodel)适用于连续源的扩散,烟团模型(Puffmodel)适用于短时间泄漏的扩散(即泄放时间相对于扩散时间比较短的情形,如突发性泄漏等)"高斯模型具有简单,易于理解,运算量小的特点,且由于提出的时间比较早,实验数据多,因而较为成熟"高斯(Gauss)模型属于非重气扩散模型,只适用于与空气密度相差不多的气体扩散"但是,大多数危险性物质一旦泄漏到大气环境中就会由于较重的分子质量(如C12)低温和化学变化(如HF)等原因形成比周围环境气体重的重气云,重气云的扩散机理与非重气云完全不同"因此,重气云扩散机理的研究是国外众多学者竞相研究的热点课题"国际上曾多次召开有关重气云扩散研究及其预防控制方面的系列学术会议,促进了重气云扩散的研究"到目前为止,已提出大约200个重气云扩散模型"重气云扩散模型可分为经验模型、箱模型、浅层模型以及三维流体力学模等等"随着计算机的普及和计算能力的不断提高,加上近似计算方法,例如,有概述限差分法、有限元法、有限体积法等的发展,基于数值计算的计算流体力学(ComputationalFluidD0amics,CFD)方法形成并得到了迅速的发展"正是England等(1978年)触发了采用CFD方法模拟重气扩散的三维非定常态湍流流动过程"这种数值方法是通过建立各种条件下的基本守恒方程(包括质量、动量、能量及组分等),结合一些初始和边界条件,加上数值计算理论和方法,从而实现预报真实过程各种场的分布,例如,流场、温度场、浓度场等,以达到对扩散过程的详细描述"用这种方法就克服了箱及相似模型中辨识和模拟重气的下沉、空气的卷吸、气云的受热等各种物理效应时所遇到的许多问题。
放射性气体扩散浓度预估模型【摘要】本文是以日本地震引起的福岛核电站的核泄漏为背景，并以给出的数据为基础，研究某一假设核电站的核泄漏问题。
我们通过收集相关的资料，并结合题目给出的数据，建立了高斯模型、连续点源高斯扩散模型解决了题目提出的四个问题。
针对问题一：考虑到泄漏源是连续、均匀和稳定的，我们运用散度、梯度、流量等数学概念，通过“泄漏放射性物质质量守恒”、“气体泄漏连续性定理”、 Guass 公式及积分中值定理得到了无界区域的抛物线型偏微分方程，然后再通过电源函数解出空间任意一点的放射性物质浓度的表达式，把此表达式定为模型一的前身。
鉴于放射性物质的扩散受到诸多因素的影响，如：泄漏源的实际高度、地面反射等。
我们以泄漏口为坐标原点建立三维坐标系，通过“像源法”处理地面反射对放射性物质浓度的影响，并由此对模型一的前身进行修正完善，得到模型一：高斯模型，即放射性物质浓度的预测模型。
最后我们模拟了放射性物质无风扩散仿真图。
针对问题二：当风速为k m/s 时，我们根据放射性核素云团在大气中迁移和扩散的数值计算的基本方法和步骤，并以泄漏点源在地面的投影点为坐标原点，以风向方向为x 轴，铅直方向为z 轴，与x 轴水平面垂直方向为y 轴建立三维坐标系，地面的反射作用同样利用“像源法”进行处理，得到连续点源高斯扩散模型。
考虑到地面反射、烟云抬升、放射性物质自身的沉降及雨水的吸附等对浓度的影响，我们对连续点源高斯扩散模型进行了修正，建立了修正的连续点源高斯扩散模型。
最后利用大气稳定度确定了扩散参数，进而求解了模型。
针对问题三：经分析，问题三的提出是以问题二为基础的，模型三的建立只需要将模型二加以调整即可。
我们以风速方向为x 轴正方向，将风速与放射性物质的扩散速度进行矢量运算，此问题则转化为求(,0,)L z 和(,0,)L z -两点处的放射性物质浓度，由此建立模型三，即上风和下风L 公里处放射性物质浓度浓度的预测模型。
高斯扩散模型假设名词解释
高斯扩散模型是一种用来描述空气污染物在大气中传播和扩散
的数学模型。
它是基于高斯分布的假设，即空气污染物在水平方向上的传播服从正态分布。
在高斯扩散模型中，假设空气污染物在垂直方向上的传播是均匀的，即空气污染物在垂直方向上的浓度是恒定的。
这是基于大气中存在的湍流现象，使得空气混合均匀，污染物被均匀分散在大气中。
另外，高斯扩散模型还假设空气污染物在水平方向上的传播是径向对称的，即从污染源点开始，污染物浓度随着距离的增加呈现出高斯分布的特征。
这是因为在大气中存在着各种影响空气传播的因素，如风速、大气稳定度等，这些因素使得空气污染物向各个方向扩散。
高斯扩散模型可以通过一系列的数学公式来计算空气污染物在不同
位置的浓度分布。
这些公式考虑了污染源的排放强度、环境因素（如风速、大气稳定度等）以及地形特征等因素的影响。
通过模拟和计算，可以预测不同条件下空气污染物的传播范围和浓度分布，从而为环境管理和污染控制提供科学依据。
除了以上提到的假设，高斯扩散模型还可以考虑其他因素的影响，如地形地貌、建筑物的阻挡效应等，以更加准确地描述污染物在大气中
的传播过程。
它是环境科学领域中常用的一种模型，能够帮助我们更好地理解和管理空气污染问题。
基于高斯修正模型的放射性气体扩散浓度预测摘要本文是以日本福岛核电站遭遇自然灾害发生核泄漏的背景而提出的。
对于问题一，考虑到放射性物质的泄漏是连续不断的。
本文根据“泄漏放射性物质质量守恒定律”和“气体泄漏连续性原理”建立了微积分方程，应用了高等数学中散度、梯度、流量等数学概念，通过Guass公式、四维二阶偏微分方程，因而得到了核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
同时为使模型适用范围更广，本文引入了地面反射系数，考虑了由于放射性物质从泄漏口喷出时具有初动量而使其泄漏源有效高度被抬高等因素，进而得到了在无风环境中适用范围更广的“高斯修正模型”。
对于问题二，要探究风速对放射性物质浓度分布的影响。
本文运用概率学[1]知识，通过图解和数学推导得出“连续点源放射性物质高斯扩散模型”。
本文依次考虑了“重力沉积”、“雨水沉积”、“核衰变”等因素对浓度分布的影响。
并通过构建“耗减因子”、“衰变因子”等方法将耗减和衰变的放射性物质“投影”到泄漏源浓度中，得到了经多次合理修正后的“优化高斯模型”，并据此分析了泄漏源周边地区放射性物质的浓度变化。
针对于问题三，本文在问题二的基础上，结合考虑风速和放射性物质扩散速度在空间中的矢量运算。
得出在对上风口分析时，要分类讨论风速和自然扩散速度之间的大小关系，当风速小于自然扩散速度时，放射性物质是无法到达上风口的。
对于问题四，本文参阅整理大量气象、地理、新闻资料，选择我国东海岸典型地域---山东半岛作为研究对象，综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，并通过C++编程模拟计算，预测出放射性核物质将经过6.5天到达我国东海岸，且0.100mBq⋅m-3与实际情况比较吻合。
131I浓度预测值为：关键词：放射性气体扩散浓度变化高斯修正模型预测1 问题的提出由于重大的突发性核泄漏紧急灾害事件具有爆发性、空间分布不连续性、对周边地形和气象条件的敏感性的特点，研究核事故所释放的物质的时空分布需要高度精确的技术，但是在对于更好地保护环境有着极其重要的意义。
关于核电站泄漏放射性气体扩散的预估模型摘要由于核泄漏导致放射性气体扩散对经济和人身造成巨大损失的报道在国内外屡见不鲜，本文中日本福岛核泄漏事件更加使我们认识到对放射性气体扩散进行合理性的预估从而为以后类似于此的突发性事件作积极有效的补救措施的重要性。
对于问题一我们运用了点源烟羽扩散模型，用抛物型二阶偏微分方程解出理想状态下的不同时刻、不同地点的浓度表达式：222432 (,,,)(4)x y zktQC x y z t ektπ++-=。
此模型是建立在以泄漏点为圆心的一个无界球形区域内的。
为了使模型更符合实际情况，能够被应用于现实生活中，我们在泄漏源有效高度的确定和考虑地面反射与吸收作用下对此模型进行了修正，最终得到问题一浓度的确定公式(14)(,,,)C x y z t的表达式。
对于问题二，我们采用高位连续点源烟羽扩散模式，其扩散服从正态分布，并根据概率论的相关知识通过数学公式推导，得到理想状态下的高斯模型，由泄漏源有效高度，地面反射等因素的影响对其进行修正，又由于重力干沉积，雨洗湿沉积以及核衰变等因素对源强的影响，对高斯烟羽模型再次进行修正，最终得到泄漏源周边浓度变化情况即公式(32)，在风速为k m/s的条件下浓度为(,,,)C x y z H。
对于问题三，我们在第二问建立的模型的基础上，引入时间变量rt和t，和扩散速度变量s，在风速和扩散速度的共同影响下，可分别求出上风向和下风向浓度预估模型即公式(40)和(41)。
对于问题四，本文参阅整理大量气象、地理、新闻资料，选择我国东海岸典型地域---山东半岛和美国西海岸典型地域---加利福尼亚州作为研究对象，综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，并通过计算机模拟，预测出放射性核物质将经过6天到达我国东海岸，且131I浓度预测值为：0.1053mBq m-⋅,，经过6.8天到达美国西海岸，且氙-133浓度的预测值几乎为零，与实际情况比较吻合。
题目：基于FICK 定律和高斯烟羽模型的放射性气体扩散研究摘要日本核污染扩散问题不仅对该国公众健康造成巨大危害，还对其对外政治关系、全球环境，乃至世界经济格局产生了深远的影响；因此，建立有效的模型模拟放射性气体的扩散，并预测放射性气体在不同地区的浓度变化情况可为决策者提供及时准确的信息，从而尽可能的减少核泄漏带来的损失。
对于问题一，我们对放射性气体的扩散过程进行合理的简化和抽象，在不考虑气体受到的重力、浮力和风速的影响时，气体呈放射状向四周扩散。
我们首先考虑质量守恒定律，再由Fick 定律求出扩散系数D ，进而得出扩散的粒子流量与其浓度梯度的正比关系，得出描述扩散情况的偏微分方程。
随后，用傅里叶变换求解得到扩散方程的解，并在MATLAB 中绘制此微分方程的图形，发现预测图形与东京市测得的实际数据的图形基本吻合，即离泄漏源越远浓度越低。
对于问题二，要探究风速对放射性物质浓度分布的影响。
风速的处理是此问题的核心，因此我们采用大气污染的经典高斯扩散模型。
通过查阅相关资料，我们发现连续点源的平均气体流，其浓度分布符合正态分布规律，因此污染物浓度在y 、z 轴上的分布为正态分布。
取烟云轴线为x 方向（平均风向），得出无界情况下下风向空间某一点的浓度函数(,,,)C x y z H 。
同时考虑到泄漏点的高度，对模型进行了修正，得出的浓度分布情况与实际情况相似 。
对于问题三，由问题二得到的浓度分布函数(,,,)C x y z H ，可以分上风和下风两种情况，根据当时的实际情况，假设自然风速大于泄露的自身扩散速度，则可将第二问中的风速u 替换成k 与s 的线性组合即可，即下风向的速度为k s +，上风向的速度为k s -。
将平均风速u 分别代入浓度函数，得出了上风向和下风向L 处浓度分布函数。
结果显示两个地点气体浓度变化情况与第二问得出的结果一致。
对于问题四，本文参考了大量地理、气象、专题报道等资料。
假设风向不随时间变化而变化，即我国东海岸一直处于上风，美国一直处于下风，并且取大气稳定度均在D 时的扩散参数。
