等腰三角形三线合一专题练习.doc

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是 著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。

变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。

AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。

求证：AD 垂直平分BG例三•等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为图2分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。

证明：作ADL BC 于D, •/ AB=AC1••• BD BC2 1又••• CE BC ,2• - BD=CE在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中，AB = AC, BD=CE• Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。

• / ACE 玄 B例五•已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。

分析：如图1，AB=ACEAC 90° / C ，/BD 丄AC 于D,作底边BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/2 ，90° / C ，所以例四•已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE1— 。

21 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。

1、如图，已知AC平分/ BAD,CE 丄AB于E , CF丄AD于F，且BC="CD."(1 )求证：△ BCE DCF(2 )若AB=17 , AD=9，求AE 的长.2、如图，已知AB=AC, / A=36 ,AB的中垂线MN 交AC于点D,交AB于点M,求证: (1 ) BD 平分/ ABC ;△ BCD为等腰三角形.(2)3、已知：如图/ BAC的角平分线与BC 的垂直平分线DG交于点D,DE 丄AB ,DF 丄AC,垂足分别为E, F.⑴试说明: BE=CF;⑵若AF=3 ,BC=4，求△ ABC的周长.4、如图, △ ABC 中，AC = BC , / ACB 90 ，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点G,连接BE、BF、GD求证：（1） △ BEF 为等腰直角三角形 ；（2） / ADC =_+£ tfl. (1 )求证：△ ABC BA EDC ;（2 ）如图（2 ），若/ ACB = 60°，连接BE 交AC 于F , G 为边CE 上一点，满足CG / BDG. 5、如图，在等腰 Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° D 是斜边上 AB 上任一点，AE 丄CD 于E , BF 丄CD 交CD 的延长线于F ,CH 丄AB 于H 点，交AE 于G . （1 ）试说明A H = BH (2 )求证: BD = CG .（3 ）探索 AE 与EF 、BF 之间的数量关系6、（本题 14分）如图（1)，在 △ ABC 和^ EDC 中，D 为^ ABC 边AC 上一点, CA 平分/BCE , BC =CD , AC = CE.?■=CF，连接DG交BE于H.①求/ DHF的度数;②若EB平分/ DEC，试说明：BE平分/ ABC.1、（1 ）证明见解析（2 ）12、（1 ）证明见解析（2 ）证明见解析3、（1）证明详见解析；（2）10 .（1 ）证明见解析；（2 ）证明见解析.（1 ）见解析；（2 ）见解析；（3 ）AE=EF + BF，理由见解析(1 )略 (2 )①/ DHF="60 ° ②'略【解析】1、试题分析：（1）根据角平分线的性质可以得出CF="CE,"在证明RCCFD^RLCEB 就可以得出DF=BE ；⑵先证明-CJF ^CAE，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可.试题解析：（1 ）••• AC 平分/ BAD,CE丄AB于E,CF丄AD 于F••• CE=CF,在Rt △ BCE 和Rt △ DCF 中,•/ CE=CFBC=CD,••• Rt △ BCE 也Rt △ DCF ( HL ).(2 )由(1 )得，Rt △ BCE 也Rt △ DCF ••• DF=EB，设DF=EB=X由Rt △ AFC 也Rt △ AEC ( HL ) 可知AF=AE 即: AD+DF=AB-BE•/ AB=17 , AD=9 , DF=EB=x参考答案•• 9+x=17-x 解得，x=4••• AE=AB-BE=17-4=1点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 直角三角形全等的判定定理是SAS , ASA , AAS , SSS ,2、试题分析：（1 ）由等腰三角形，即可求得/AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ ABD 是ABD的度数，然后根据等边对等角，求得/ DBC的度数，从而得证；（2 ）根据（1 ）的结论和外角的性质，可得/ BDC= / C,再根据等角对等边得证试题解析：（1 ）••• MN 为AB的中垂线,••• AD=BD贝y/ A= / ABD=36•/ AB=AC , / A=36 •••/ ABC= / C=72 •••/ DBC=36因此，BD平分/ ABC ;(2 )由①和/ 2="36° " / C="72° "•// BDC=180 -36 ° -72 =72°•••/ C= / ABD+ / DBC= / BDC ,3、试题分析：（1 ）连接DB、DC,根据角平分线性质和垂直平分线的性质得:DE=DF , DB=DC，证明Rt △ BED 也Rt △ CFD （HL ），得出结论；（2 ）先证明△ AED AFD，得AF=AE=3 ，再将△ ABC的周长进行等量代换，即△ ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC，代入求值即可.试题解析：连接DB、DC ,(1 )••• AD 平分/ BAC , DE 丄AB , DF 丄AC ,••• DE=DF , •/ DG垂直平分BC ,••• DB=DC , 在Rt △ BED 和Rt △ CFD 中,DE=DF , BD=CD ,••• Rt △ BED 也Rt △ CFD ( HL ),••• BE=CF ;(2 )•••/ DAE= / DAF , / AED= / AFD=90 , AD=AD ,••• AF=AE=3由（1 ）得：BE=CF ,•••△ ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.4、试题分析：（1 ）连接DE ，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF , CD=DE ，推出CD=ED=BD ，根据直角三角形的判定推出 △ BEF 是直角三角形，求出 / AFC= / BEC= / ACD=90 , / CAF= / ECB ，根据全等三角形的判定定理得出△ ACF CBE ，根据全等三角形的性质得证；（2 ）作/ ACB 的平分线交 AD 于M ，根据 ASA 推出△ ACM ◎△ CBG 得出/ ADC= / M , CD=BM ，根据 SAS 推出△ DCM ◎△ DBG ，求出/ M= / BDG ，即可得 出答案. 试题解析：（1 ）连接DE ,•••点E 、C 关于AD 对称，••• AD 为CE 的垂直平分线,••• CD=DE ,••• D 为 CB 中点，••• CD=DE=DB ,DCE= / CED , / DEB= / DBE ,DCE+ / CED+ / DEB+ / DBE=180 CEB=90ECB= / CAF , 在^ ACF 和^ CBE 中,二 CAF = cBCE{ JC 寻 CB•/ £AFC M iCES•••△ ACF ◎△ CBE (AAS ••• CF=BE ，右••• CF=EF , •••△ EFB 为等腰直角三角形.(2 )作/ ACB 的平分线交AD 于M ,在^ ACM 和^ CBG 中，zCL-LV = ^BCGAC^CS•••△ ACM ◎△ CBG (ASA ),••• CM=BG ,在^ DCM 和^ DBG 中,•/•/ ECB+ / ACF=90 / CAF+ / ACF=90),••• EF=EB ,ilC s GB{dfCDwzG 如“贅CD M SD•••△ DCM ◎△ DBG (SAS ),•••/ ADC= / GDB.5、试题分析：(1 )根据等腰三角形的三线合一证明;(2 )证明△ ACG ◎△ CBD ，根据全等三角形的性质证明;(3 )证明△ ACE ◎△ CBF 即可.试题解析：(1 )••• AC=BC , CH 丄AB ••• AH = BH(2 )••• ABC 为等腰直角三角形，且CH 丄AB=45° + / ACE = 90° , / BCF +/ ACE = 90°=/ BCF{ JOCS ^4CG — Z.CSD(ASA )••• BD = CG(3 ) AE=EF + BF理由如下：在^ ACE 和^ CBF AC — CB••• AE=CF , CE=BF ,••• AE=CF=CE+EF=BF+EF6、( 1 )••• CA 平分/ BCE , :丄 ACB = / ACE . 在^ ABC 和^ EDC 中•/ BC = CD , / ACB =/ ACE , AC = CE••△ ABC ◎△ EDC (SAS )在^ ACG A C A G —ZL B'CZ)禾口△ CBD •// CAG 中,(2 )①在△ BCF和^DCG中•/ BC = DC, / BCD =/ DCE,CF=CG,•••△ BCF◎△ DCG (SAS ),:丄 CBF= / CDG.•••/ CBF+ / BCF= / CDG+/DHF•••/ BCF= / DHF =60° .②••• EB 平分/ DEC ,DEH = / BEC .•/DHF =60° ,HDE =60°- / DEH .•/BCE =60° +60° =120° ,CBE =180° -120 / BEC=60°- / BEC.HDE = / CBE. / A= / DEG.△ ABC ◎△ EDC , △ BCF◎△ DCG (已证).// BFC= / DGC ,•/ ABF = / BFC- / A, / HDE = / DGC - / DEG , • / ABF = / HDE ,• / ABF = / CBE,BE 平分/ ABC .。

等腰三角形及三线合一经典试题 难题1．等腰三角形的对称轴是（ ）2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80°4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°5．等腰三角形的一个内角为80，则另两个内角的度数为6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AECC B ADEP ECAH FGEDCABHF10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ．12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．13．如图，中， ，试说明：．14.如图3，在∆ABC 中，∠=A 90ο，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图315.已知，如图1，AD是∆ABC的角平分线，DE、DF分别是∆ABD和∆ACD的高。

1.如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．（1）求证AD＝ED；（2）若AC＝AB，求证∠C＝∠DEC；（3）在（2）的条件下，若DE＝3，求AC的长．、2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△ABC、△AMN周长分别为13cm和8cm．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）线段BC的长．3．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．5.已知：如图，D是△ABC的边BC上的一点，且AB＝BD＝AD＝DC，求∠B，∠C，∠BAC，∠DAC的度数．6.如图，△ABC中，AB＝AC，点D、点E分别在AC、AB上，且BC＝BD＝DE＝EA，求∠A的度数．7.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．8.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）9．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．10.如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．11.如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG＝AD；（2）DF＝EF；（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．12.如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．。

个人收集整理—仅供参考学习“三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线合一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例L 求证：BE=CE。

如图所示，在等腰^ ABC 中，AD是BC边上的中线，点E 在AD上。

变式练习1-1如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是形外一点，且BD=CD。

求证： AD垂直平分BC。

变式练习1-2已知，如B图所示，却是 4 ABC，DE、DF 分别是△2E1 / 6ABD和△ACD的高。

求证：曲垂直平分EF。

如图△ ABC 中，AB=AC,NA=36°, BD平分N ABC, DE±AB 于 E,若 CD =4,且4BDC周长为24,求AE的长度。

例 3.如图，已知在等边三角形 ABC中,D 是AC 的中点，E为BC 延长线上一点，且CE=CD, DMLBC,垂足为M。

求证: M是BE的中点。

BD 、CE 分别为N ABC 与NACB 的角平分线，且相交于点F, 中的等腰三角形有（） A. 6个 8个 D. 9个2.）已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC, D 是 BC 的中点，DE±AB, DF±AC, E、B. 7个例 5.已知：如图，AABC 中，AB 二 AC ,C “ AB 于 D。

AF分别是垂足。

求证：AE=AF。

个人收集整理—仅供参考学习于D,交CA延长线于E,求证：口「人「。

DE = — BC2 【巩固练习】 1、等腰三角形一边等于5另一边等于8,则周长是在4ABC中，已知AB=AC, B = 70 ° , BC = AD是中线，N 则 N BAC = ___ , BD =15cm , , N DAC =个人收集整理—仅供参考学习_______ cm。

等腰三角形三线合一练习题十一初中八班姓名：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= 0000A．10B.12.C.1D.20DC第3题图FDC第4题图第2题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE的长为。

CC第5题图B第7题图 F C第6题图7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为、、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．19、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE?证：∠ACE=∠B。

10、如图△ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证DE⊥BCBC，E在△ABC外，求2EADBC11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ． 12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证：∠ABC=∠ACBEADGFMBCN三线合一专项练习一、选择题：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm2、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= A．10B.12.C.1D.20D第2题图C第3题图FDC第4题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB的周长为28，那么BE的长为。

等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是 著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之， 如果三角形一边上的中线、 这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】垂直平分 BC 。

AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ ABD 和△ ACD 的高。

求证： AD 垂直平分EF 。

例二：如图△ ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ ABC ， DE ⊥AB 于 E ，若 CD ＝4 ，且△ BDC 周长为24 ，求 AE 的长度。

例 1 ． 如图所示，在等腰△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，点 求证：BE=CE 。

变式练习 1-1 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D 是形外一点，且 BD=CD 。

求证： AD变式练习 1-2 已知，如图所示，∴ Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。

∴∠ ACE= ∠B例五 . 已知：如图 3，等边三角形 ABC 中， M ，求证： M 是 BE 的中点。

图3分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DM ⊥BC ，因此只需证 DB=DE ，即证∠ DBE= ∠E ，根据等边△ ABC ， BD 是中线，可知∠ DBC=30 °，因此只需证∠ E=30 °。

证明：联结 BD ， ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ ABC= ∠ACB=60 ° ∵CD=CE ，∴∠ CDE= ∠E=30 ° ∵BD 是 AC 边上中线，∴BD 平分∠ ABC ，即∠ DBC=30 °例三 . 等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 的关系式为图1分析：如图 1， AB=AC ，BD ⊥ AC 于 D ，作底边 BC 上的高 AE为垂足，则可知∠ EAC= ∠ EAB1，2又∠ EAC 90 ∠C ，90° ∠C ，所以 ∠EAC例四 . 已知：如图2，△ ABC 中， AB=AC ， CE ⊥AE 于E ， CE BC ，E 在△ ABC 外，求证：∠ ACE= ∠B 。

等腰三角形三线合一专题训练例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。

求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.CEA D变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。

问DM 和DN 有何数量关系。

(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．DBCF AEM N D C BA M ND CB A(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．DBCF AE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

ＦＦ1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）A 17B 22C 17或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P 是等边三角形ABC 的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。

七年级数学下册解法技巧思维培优专题13 等腰三角形中三线合一的应用题型一利用三线合一求角度【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．题型二利用三线合一求线段【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．题型三利用三线合一证线段（角）相等【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．题型四利用三线合一证垂直【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．题型五利用三线合一证线段的倍数关系【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．题型六利用三线合一证线段的和差关系【典例6】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，试说明：AB+BD＝CD．巩固练习1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．2．（2019•镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．3．（2019•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由．4．（2019•丰南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM＝CN．5．（2019•重庆校级期中）如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．（1）求线段EF的长；（2）求四边形AFDE面积．。

等腰三角形的三线合一的预习作业
分别作出以下三个三角形BC 边上的高，中线，角平分线。

在△ABC 中，AB=AC,请作出AC 边上的高、中线、角平分线。

课堂练习
1.等腰三角形的两底角相等（简写为“
”） 几何语言：∵
∴ 注意：前提条件是在同一个角三形中。

2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合。

（简称为“
”） （1）∵
A B C B C A
A B C
A B C
∴
（2）∵
∴
（3）∵
∴
一．解答题（共4小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中
点，∠B＝30°．求∠ADC和∠BAD的度数．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上边的中线，BE⊥AC于点E，求证：∠CBE＝∠BAD．
3．已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．。

等腰三角形三线合一一．选择题（共11小题）1．（2017•绵阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．【解答】解：A，此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意；B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．（2017•重庆）下列图形中是轴对称图形的是（）A． B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2017•呼和浩特）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．【解答】解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是（1）．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断．4．如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可．【解答】解：∵点P到AE，AD的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；∵点P到AE，BC的距离相等，∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；∵点P到AD，BC的距离相等，∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，故选：A．【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平分线上相等是解题的关键是解题的关键．5．如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=3，BC=4，AC=5．三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．3 C．4 D．5【分析】连接AP，BP，CP，设PE=PF=PD=x，根据直角三角形的面积列出方程，即可求得该距离的长．【解答】解：连接AP，BP，CP．设PE=PF=PD=x，则S=AB×x+AC×x+BC×x=（AB+BC+AC）•x=×12×△ABCx=6x，=×AB×CB=6，∵S△ABC∴6x=6，解得x=1．故选（A）【点评】本题主要考查了三角形的面积以及角平分线，解题的关键是构造辅助线，且直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算；二是等于三个小三角形的面积和，这也是列方程的依据．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，则∠BDE的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，易得∠B=∠DAB=∠CAD，继而求得∠B的度数，则可求得∠BDE的度数．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B，∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠DAB，∵在△ABC中，∠C=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∴∠BDE=90°﹣∠B=60°．故选D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，线段AC，AB的中垂线交于点O，已知OC=2cm，则OB等于（）A．1cm B．2cm C．4cm D．不能确定【分析】首先连接OA，由线段AC，AB的中垂线交于点O，根据线段垂直平分线的性质，可得OA=OC=OB．【解答】解：连接OA，∵线段AC，AB的中垂线交于点O，∴OA=OC，OA=OB，∴OB=OC=2cm．故选B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，已知BC=20，AB=18，AC=16，则△ADE的周长是（）A．30 B．32 C．34 D．36【分析】根据DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，可得：∠DBF=∠FBC=∠DFB，进而得出DF=DB，同理得出EF=EC，所以△ADE的周长为AB+AC，然后根据AB和AC的长度即可求出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠BFD=∠FBC，∠EFC=∠BCF，∵FC分别平分∠B和∠C，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∴∠BFD=∠DBF，∠EFC=∠ECF，∴DF=DB，EF=EC，∵△ADE的周长=AD+AE+DE，DE=DF+EF，∴△ADE的周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC，∵AB=18，AC=16，∴△ADE的周长=34．故选C．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，关键在于根据相关的性质定理推出DF=DB，EF=EC，然后进行正确的等量代换求出∴△ADE的周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC．9．同学们都玩过跷跷板的游戏，如图，是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB，当跷跷板的一头着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B 着地时∠AOA′等于（）A．25°B．50°C．60°D．130°【分析】欲求∠A′OA的度数，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可知∠A′OA=∠OAC+∠OB′C，又OA=OB′，根据等边对等角，可知∠OAC=∠OB′C=20°．【解答】解：∵OA=OB′，∴∠OAC=∠OB′C=25°，∴∠A′OA=∠OAC+∠OB′C=2∠OAC=50°．故选B．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．10．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE ⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．【解答】解：∵三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB=∠EDC=90°∴∠DEC=∠C=45°，∴△EDC是等腰三角形，∵BD=AB，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，∴∠EAD=∠EDA，∴△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．11．如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D 点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm【分析】△ODE的周长=OD+DE+OE，可以先证明BD=OD，CE=OE，则OD+DE+OE=BC 得出．【解答】解：∵OD∥AB∴∠ABO=∠BOD∵OB平分∠ABC∴∠ABO=∠OBD∴∠ABO=∠BOD∴BD=OD则同理可得CE=OE∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=20cm．故选C．【点评】本题利用了：①两直线平行，内错角相等；②角的平分线的性质；③等边对等角．二．解答题（共8小题）12．（2016秋•宝塔区期中）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．【分析】已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根据两直线平行同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．【解答】解：∵BE⊥AE∴∠AEB=90°∵AE平分∠BAC∴∠CAE=∠BAE=42°又∵ED∥AC∴∠AED=180°﹣∠CAE=180°﹣42°=138°∴∠BED=360°﹣∠AEB﹣∠AED=132°【点评】此题考查平行线的性质和三角形外角和定理．两直线平行，同旁内角互补．13．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC=2BE．【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE，即可证得AC=2BE．【解答】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，∴AD=DF，AB=AF，∵AE⊥BD，∴BE=EF=BF，∵AC=AD+CD=DF+BD=BF，∴AC=2BE．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．14．如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：∠ACD＞∠B．【分析】延长CD交AB于F点，可证明△ACD与△AFD全等．根据∠AFC是△BCF 的外角可证结论．【解答】证明：延长CD交AB于F点．∵AE是∠A的平分线，CD⊥AE，∴∠FAD=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°．又AD公共，∴△ADC≌△ADF，∴∠ACD=∠AFD．∵∠AFC是△BCF的外角，∴∠AFC＞∠B．∴∠ACD＞∠B．【点评】此题考查三角形全等的判定和性质及三角形外角的性质．作出辅助线建立两角的联系是难点．15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF=∠AFE，利用等角对等边即可证得；（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形；（2）DE=DF．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，∴AD也是∠BAC的平分线．又∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE=GF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE=DF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质，正确证明AD是线段EF的垂直平分线是关键．16．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是BC和AC上的点，且DE∥AB，EA=ED，请你说明AD垂直平分BC．【分析】由平行线的性质、等腰△AED的性质推知AD平分∠BAC，则由“等腰三角形‘三合一’的性质”证得结论．【解答】证明：如图，∵EA=ED，∴∠2=∠3．又∵DE∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2．即AD平分∠BAC．又∵AB=AC，∴AD是边BC的中垂线，即AD垂直平分BC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．难度不大，属于基础题．17．（2017春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC 延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．【分析】（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：∵∠A=∠ABE，∴EA=EB，∵AD=DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．18．（2017•平谷区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF⊥BD于点F．求证：∠BEF=∠DEF．【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB=∠CBD，等量代换得到∠EDB=∠ABD，于是得到结论．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠ABD，∴EB=ED，∵EF⊥BD于点F，∴∠BEF=∠DEF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．19．（2017春•文登区期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM ⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．（1）求证：∠BAM=∠C；（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；（2）由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AM⊥BC，∴∠ABC+∠BAM=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠BAM=∠C；（2）BE垂直平分AD，理由：∴∠3=∠4，∵∠BAD=∠BAM+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠BAM=∠C，∴∠BAD=∠ADB，∴△BAD是等腰三角形，又∵∠3=∠4，∴BE垂直平分AD．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，熟练正确等腰三角形的判定和性质是解题的关键．。

专题训练等腰三角形三线合一姓名上。

在AD、∠BCD，且点EDC中，AB∥，BE、CE分别平分∠ABC例1：如图，四边形ABCD BC=AB+DC求证：。

AD边中点。

求证：CE⊥BE1，E是。

，，A＝90°AB＝2，BC＝3CD＝，∠：如图，变1AB∥CD变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.ADECBDNDM⑴若D为BC的中点，过D作,AB=AC.变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90。

°分别交⊥＝，求证：（1）DMDNMAB、AC于、N AMNCDB⊥DN分别和BA、AC延长线交于MDM、N。

问DM和DN有何数量关系。

⑵若M AC DBN(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．AEBCDFEF，且D为延长线上一点，且，EF交BC于点DACAB=AC(2)已知：如图，，E为AB上一点，F是求证：BE=CF．的中点．AECBDF利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF ⊥相等吗？与于ABF，那么PD+PECF的关系又怎样，请你作变与CFPE点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、1：若P图，证明。

ＦＦ）41、已知等腰三角形的两边长分别为、9，则它的周长为（1322 C 17或 D A 17 B 22根据等腰三角形的性质寻求规律11的大小BOC相交于点中，例1．在△ABCAB=AC，∠O，如图，∠BD2=∠ACB，1=与∠CEABC，∠22A与∠的大小有什么关系？11∠ABC，∠2=∠ACB若∠ 1=，则∠BOC与∠A大小关系如何？3311若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？nn会用等腰三角形的判定和性质计算与证明两部分，15和6，一腰上的中线ABC中，AB=ACBD?将这个等腰三角形周长分成例2．如图，等腰三角形求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。

1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD."（1）求证：△BCE≌△DCF（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,求证：（1）BD平分∠ABC；（2）△BCD为等腰三角形.3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F．⑴试说明：BE=CF；⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD 对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD求证：(1) △BEF为等腰直角三角形；（2) ∠ADC＝∠BDG.5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD 交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH＝BH（2）求证：BD＝CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.（1）求证：△ABC≌△EDC；（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H.①求∠DHF的度数；②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.参考答案1、（1）证明见解析（2）12、（1）证明见解析（2）证明见解析3、(1)证明详见解析；(2)10．4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析6、（1）略（2）①∠DHF="60°" ②略【解析】1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE," 在证明就可以得出DF=BE；(2)先证明，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可.试题解析：（1）∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F∴CE=CF,在Rt△BCE和Rt△DCF中,∵ CE=CFBC=CD,∴Rt△BCE≌Rt△DCF （HL）．（2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF=EB，设DF=EB=X由Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）可知AF=AE 即：AD+DF=AB-BE∵AB=17，AD=9，DF=EB=x∴9+x=17-x 解得，x=4∴AE=AB-BE=17-4=1点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．2、试题分析：（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，然后根据等边对等角，求得∠DBC的度数，从而得证；（2）根据（1）的结论和外角的性质，可得∠BDC=∠C，再根据等角对等边得证.试题解析：（1）∵MN为AB的中垂线，∴AD=BD，则∠A=∠ABD=36°，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠DBC=36°，因此，BD平分∠ABC；（2）由①和∠2="36°" ∠C="72°" ，∵∠BDC=180°-36°-72°=72°，∴∠C=∠ABD+∠DBC=∠BDC，∴△BCD为等腰三角形.3、试题分析：（1）连接DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出结论；（2）先证明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再将△ABC的周长进行等量代换，即△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC，代入求值即可．试题解析：连接DB、DC，（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵DG垂直平分BC，∴DB=DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴AF=AE=3，由（1）得：BE=CF，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．4、试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根据全等三角形的判定定理得出△ACF≌△CBE，根据全等三角形的性质得证；（2）作∠ACB的平分线交AD于M，根据ASA推出△ACM≌△CBG得出∠ADC=∠M，CD=BM，根据SAS推出△DCM≌△DBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案.试题解析：（1）连接DE，∵点E、C关于AD对称，∴AD为CE的垂直平分线，∴CD=DE，∵D为CB中点，∴CD=DE=DB，∴∠DCE=∠CED，∠DEB=∠DBE，∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180°，∴∠CEB=90°，∵∠ECB+∠ACF=90°，∠CAF+∠ACF=90°，∴∠ECB=∠CAF，在△ACF和△CBE中，∵∴△ACF≌△CBE（AAS），∴CF=BE，右∵CF=EF，∴EF=EB，∴△EFB为等腰直角三角形.（2）作∠ACB的平分线交AD于M，在△ACM和△CBG中，∵∴△ACM≌△CBG（ASA），∴CM=BG，在△DCM和△DBG中，∵∴△DCM≌△DBG（SAS），∴∠ADC=∠GDB.5、试题分析：（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．试题解析：（1）∵AC=BC，CH⊥AB∴AH＝BH（2）∵ABC为等腰直角三角形，且CH⊥AB∴∠ACG＝45°∵∠CAG＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°∴∠CAG＝∠BCF在△ACG和△CBD中∴△ACG≌△CBD（ASA）∴BD＝CG（3）AE=EF＋BF理由如下：在△ACE和△CBF中，∴△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．6、（1）∵CA平分∠BCE，∴∠ACB=∠ACE.在△ABC和△EDC中∵BC＝CD，∠ACB=∠ACE，AC＝CE∴△ABC≌△EDC（SAS）（2）①在△BCF和△DCG中∵BC=DC,∠BCD=∠DCE,CF=CG,∴△BCF≌△DCG（SAS）,∴∠CBF=∠CDG.∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF∴∠BCF=∠DHF=60°.②∵EB平分∠DEC，∴∠DEH=∠BEC.∵∠DHF=60°,∴∠HDE=60°-∠DEH.∵∠BCE=60°+60°=120°,∴∠CBE=180°-120°-∠BEC=60°-∠BEC. ∴∠HDE=∠CBE. ∠A=∠DEG.∵△ABC≌△EDC, △BCF≌△DCG（已证）∴∠∠BFC=∠DGC，∵∠ABF=∠BFC-∠A,∠HDE=∠DGC-∠DEG, ∴∠ABF=∠HDE,∴∠ABF=∠CBE,∴BE平分∠ABC.。

北师大版七下数学等腰三角形相关练习1、已知ABC ∆的周长为cm 36，且AC AB =，又BC AD ⊥，D 为垂足，ABD ∆的周长为cm 30，那么AD 的长为（ ）A ．cm 6 B. cm 8 C. cm 12 D. cm 202.如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=300，AD=AE ，则∠EDC=（ ） A ．100 B. 12.50 C.150 D.2003、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则图中全等三角形共有（ ）A ． 2对B 、3对C 、4对D 、5对4 、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( )A ．∠AED>∠AGFB ．∠AED ＝∠AGFC ．∠AED<∠AGFD ．不能确定5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且BD=BE ，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE 平分∠ACB ，且C E ⊥BD ，DA=DB ，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE 的长为 。

7、如图，在等腰△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，则△ABC 的面积为 8、、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=21∠DAB ； ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ． 9、已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =12， E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。