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第三章 3.1 随机事件的概率3.1.3概率的基本性质1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率．知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一事件的关系与运算1.事件的包含关系定义一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)符号B⊇A(或A⊆B)图示注意事项①不可能事件记作∅，显然C⊇∅(C为任一事件)；②事件A也包含于事件A，即A⊆A；③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生一定发生2.事件的相等关系定义一般地，若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等符号A＝B图示注意事项①两个相等事件总是同时发生或同时不发生；②所谓A＝B，就是A，B是同一事件；③在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义3.事件的并(或和)定义若某事件发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)符号A∪B(或A＋B)图示注意事项①A∪B＝B∪A；②例如，在掷骰子试验中，事件C2，C4分别表示出现2点，4点这两个事件，则C2∪C4＝{出现2点或4点}或4.事件的交(或积)定义若某事件发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)符号A∩B(或AB)图示注意事项①A∩B＝B∩A；②例如，掷一枚骰子，事件{出现的点数为奇数}∩事件{出现的点数为偶数}＝∅且互斥事件定义若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥符号A∩B＝∅图示注意事项例如，在掷骰子试验中，记C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，则C1与C2互斥5.互斥事件和对立事件对立事件定义若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件符号A∩B＝∅，A∪B＝Ω图示注意事项A的对立事件一般记作思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？答因为1为奇数，所以A⊆B.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答①看是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.知识点二 概率的几个基本性质 1.概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即 . (2) 的概率为1.(3) 的概率为0. 2.互斥事件的概率加法公式当事件A 与事件B 互斥时，A ∪B 发生的频数等于A 发生的频数与B 发生的频数之和，从而A ∪B 的频率f n (A ∪B )＝f n (A )＋f n (B )，则概率的加法公式为P (A ∪B )＝. 0≤P (A )≤1 必然事件 不可能事件 P (A )＋P (B )3.对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝ .1－P(B)题型探究重点突破题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球题型二事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；解 因为事件C 1，C 2，C 3，C 4发生，则事件D 3必发生， 所以C 1⊆D 3，C 2⊆D 3，C 3⊆D 3，C 4⊆D 3.同理可得，事件E 包含事件C 1，C 2，C 3，C 4，C 5，C 6； 事件D 2包含事件C 4，C 5，C 6；事件F 包含事件C 2，C 4，C 6； 事件G 包含事件C 1，C 3，C 5.且易知事件C 1与事件D 1相等，即C 1＝D 1.(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件. 解 因为事件D 2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D 2＝C 4∪C 5∪C 6(或D 2＝C 4＋C 5＋C 6).同理可得，D 3＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4，E ＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋C 5＋C 6， F ＝C 2＋C 4＋C 6，G ＝C 1＋C 3＋C 5.跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？解对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率.解设“低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，E而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，故P( )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，E从而P(E)＝1－P( )＝1－0.97＝0.03.E所以射中的环数低于7环的概率为0.03.求复杂事件的概率一题多解例4玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)＝512，P(B)＝1 3，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.分析事件A，B，C，D为互斥事件，A∪B与C∪D为对立事件，A∪B∪C与D为对立事件，因此可用两种方法求解.当堂检测 1 2 3 4 51.给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B).其中正确命题的个数为()CA.0B.1C.2D.3解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有事件A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错.2.对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()CA.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥、不对立解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()D A.A⊆D B.B∩D＝∅C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.4.从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是 ，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( ) 34A.35B.25C.14D.18解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14.C5.从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________.0.2解析设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A∪C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.课堂小结1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥，未必对立；对立，一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.本课结束。
