小学奥数比例法行程问题

1. 理解行程問題中的各種比例關係.2. 掌握尋找比例關係的方法來解行程問題．比例的知識是小學數學最後一個重要內容，從某種意義上講仿佛扮演著一個小學“壓軸知識點”的角色。

從一個工具性的知識點而言，比例在解很多應用題時有著“得天獨厚”的優勢，往往體現在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡單明瞭。

比例的技巧不僅可用於解行程問題，對於工程問題、分數百分數應用題也有廣泛的應用。

我們常常會應用比例的工具分析2個物體在某一段相同路線上的運動情況，我們將甲、乙的速度、時間、路程分別用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；來表示，大體可分為以下兩種情況：1. 當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，經過同一段時間後，他們走過的路程之比就等於他們的速度之比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，這裏因為時間相同，即t t t ==乙甲,所以由ss t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s vs v =甲甲乙乙，甲乙在同一段時間t 內的路程之比等於速度比2. 當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，走過相同的路程時，2個物體所用的時間之比等於他們速度的反比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，這裏因為路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，vt v t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的時間之比等於速度知識精講教學目標比例解行程問題比的反比。

模組一：比例初步——利用簡單倍比關係進行解題【例 1】甲、乙兩車從相距330千米的A、B兩城相向而行，甲車先從A城出發，過一段時間後，乙車才從B城出發，並且甲車的速度是乙車速度的5。

當兩車相遇時，甲車比乙車多行駛了30千米，則甲車開出6千米，乙車才出發。

【例 2】甲乙兩地相距12千米，上午10：45一位乘客乘計程車從甲地出發前往乙地，途中，乘客問司機距乙地還有多遠，司機看了計程表後告訴乘加上未走路程的2倍，恰好等於已走的路程，又知計客：已走路程的13程車的速度是30千米/小時，那麼現在的時間是。

小学奥数《行程问题及公式》1、行程问题：行程问题可以大概分为简单问题、相遇问题、时钟问题等。

2、常用公式：1）速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度；2）速度和×时间=路程和；3）速度差×时间=路程差。

3、常用比例关系：1）速度相同，时间比等于路程比；2）时间相同，速度比等于路程比；3）路程相同，速度比等于时间的反比。

4、行程问题中的公式：1）顺水速度=静水速度+水流速度；2）逆水速度=静水速度－水流速度。

3）静水速度=(顺水速度+逆水速度)/2 4）水流速度=(顺水速度–逆水速度)/25、基本数量关系是火车速度×时间=车长+桥长1）超车问题（同向运动，追及问题）路程差＝车身长的和超车时间＝车身长的和÷速度差2）错车问题（反向运动，相遇问题）路程和＝车身长的和错车时间＝车身长的和÷速度和3）过人（人看作是车身长度是0的火车）4）过桥、隧道（桥、隧道看作是有车身长度，速度是0的火车）例1：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。

解答：后半段路程长：240÷2=120（千米），后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)，原计划速度为：240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。

答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。

例2：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。

解答：轮船顺水速度为231÷11=21（千米/时），轮船逆水速度为21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时）答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。

_________________个性化辅导讲义年 级：时 间年 月 日课 题比例解行程问题教学目标1.了解物体匀速运动的特点。

2.掌握运用比例知识解决行程问题的方法。

3.培养想像力，增强思维力。

教 学 内 容【知识梳理】我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：,,v v t ts s 乙乙乙甲甲甲，；；1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

，这里因为时间相同，即,所以由s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙t t t ==乙甲s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲，得到，，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比s s t v v ==甲乙乙甲s vs v=甲甲乙乙2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

，这里因为路程相同，即，由s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙s s s ==乙甲s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲，得，，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲v tv t =甲乙乙甲比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

【例题精讲】例题1 甲、乙两人同时地出发，在、两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，A A B甲每次到达地、地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在之间行走方向不会改变，A B AB已知两人第一次相遇的地点距离地米，第三次的相遇点距离地米，那么第二次相遇B1800B800的地点距离地。

小升初之行程问题的解法---比例法根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析，平均每套试卷按12道题，总分值100分计算，就有1.8道试题为行程问题〔即每120道试题中有18道是行程问题〕，分值为21分。

行程问题占一套试卷分值的1/5左右，所以行程问题不管在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。

小学生"行程问题"普遍是弱项，有几下几个原因：一、行程分类较细，变化较多。

行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大局部问题，但是行程那么没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。

二、要求对动态过程进展演绎和推理。

行程问题的题目语言表达本身就很长，加上所描绘的是一个动态过程，一般很难从复杂的语言表达中提炼出过程中量的变化关系。

三、行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。

很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。

因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解题关键点。

下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。

方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。

分析时可以抓住题中含有比的句子进展分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。

也可以从题意的表达中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。

能用比例法解决的行程问题的特点：能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？边讲边练：1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？例2：两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。

相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的23。

行程问题【题目1】一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑，又过100秒时小刚追上小明，200秒时小刚到达终点，300秒时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？【解答】后来小刚的速度是小明的（300－100）÷（200－100）＝2倍，所以小明每100秒行150米，因此全程是1600＋150×3＝2050米。

【题目2】甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是4：3，相遇后，甲的速度减少10%，乙的速度增加20%。

这样，当甲到达B地时，乙离A地还有17千米，那摩AB两地相距多少千米？【解答】后来的速度比是（4×0.9）：（3×1.2）＝1：1，所以甲行3/7，乙还离A地4/7－3/7＝1/7，即AB两地相距17÷1/7＝119千米。

【题目3】从甲地到乙地全是山路，其中上山路程是下山路程的2/3，一辆汽车从甲地到乙地共行7小时，汽车上山速度是下山速度的一半，这辆这辆汽车从乙地返回甲地需要多少小时？【解答】上山速度看作1，下山速度看作2，去时下山路程是1，上山路程是2/3，返回时上山路程是1，下山路程是2/3，所以有7÷（1÷2＋2/3÷1）×（2/3÷2＋1÷1）＝8小时。

【题目4】甲乙两地，如果去时的速度提高25%，可比原定的时间提前6分钟到达，如果每小时少行10千米，则将多用1/3的时间才能到达，问两地的距离。

【解答】原定时间是6÷25％＋6＝30分钟，即1/2小时。

原定速度是10÷1/3＋10＝40千米，则两地之间的距离是40×1/2＝20千米【题目5】小丁骑自行车去小周家,先以12千米/小时的速度下山,然后又以9千米/小时的速度走过一段平路,到小周家共用了55分钟;后来时他用8千米/小时的速度通过平路,又以4千米/小时的速度上山回到了家,共用了90分钟,求小周家和小丁家的距离【解答】去时速度坡路12平路9，返回坡路4平路8，如果返回坡路4×3＝12平路8×3＝24用去90÷3＝30分钟。

第一讲行程问题（一）教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。

用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

行程专题（一）一、时间相同速度比等于路程比【例1】甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了453177⨯=个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777--=个全程．所以A、B两地相距2301057÷=(千米)．【例2】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。

【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：10分钟因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信5分钟5分钟当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120分钟【例3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？【分析】甲、乙两人速度比为80:604:3=，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的47，乙走了全程的37．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的47，甲行了全程的37．由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3374⨯，所以甲停留期间乙行了43317744-⨯=，所以A、B两点的距离为1607=16804⨯÷(米)．【例4】甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B 地时，乙离A地还有10 千米．那么A、B 两地相距多少千米？【解析】两车相遇时甲走了全程的59，乙走了全程的49，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，此时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:6⨯-⨯+=，所以甲到达B 地时，乙又走了4689515⨯=，距离A地58191545-=，所以A、B 两地的距离为11045045÷=(千米)．【例5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是l5 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是l5 千米，所以下午2 点时小王距小张15 千米，下午 3 点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走30 千米，那小张3 小时走了15 30 45=+千米，故小张的速度是45 ÷3=15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午10 点出发的。

一、行程问题：S=V×T，总结如下：当路程一定时，速度和时间成反比当速度一定时，路程和时间成正比当时间一定时，路程和速度成正比二、衍伸总结如下：追击问题：路程差÷速度差=时间相遇问题：路程和÷速度和=时间流水问题：顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2船速=（顺水速度-逆水速度）×2两岸问题：S=3A-B，两次相遇相隔距离=2×(A-B)电梯问题：S=（人与电梯的合速度）×时间=（人与电梯的合速度）×时间平均速度：V平=2（V1×V2）÷（V1+V2）1、邮递员早晨7时出发送一份到对面的山坳里，从邮局开始要走12千米的上坡路，8千米的下坡路。

他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地后停留1小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？【解析】核心公式：时间=路程÷速度去时：T=12/4+8/5=4.6小时返回：T’=8/4+12/5=4.4小时T总=4.6+4.4+1=10小时7：00+10：00=17：00整体思考：全程共计：12+8=20千米去时的上坡变成返回时的下坡，去时的下坡变成返回时的上坡因此来回走的时间为：20/4+20/5=9小时所以总的时间为：9+1=10小时7：00+10：00=17：002、小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回时每小时走9千米，来回共用5小时。

小明来回共走了多少千米？【解析】当路程一定时，速度和时间成反比速度比=6：9=2：3时间比=3：23+2=5小时，正好S=6×3=18千米来回为18×2=36千米3、A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城开到B 城，汽车行驶了一半路程，因故在途中停留了30分钟。

如果按照原定的时间到达B城，汽车在后半段路程速度应该加快多少？【解析】核心公式：速度=路程÷时间前半程开了3小时，因故障停留30分钟，因此接下来的路程需要2.5小时来完成V=120÷2.5=48千米/小时原V=240/6=40千米/小时所以需要加快：48-40=8千米/小时4、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车。

小升初之行程问题的解法---比例法根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析，平均每套试卷按12道题，满分100分计算，就有1.8道试题为行程问题（即每120道试题中有1 8道是行程问题），分值为21分。

行程问题占一套试卷分值的1/5左右，所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。

小学生"行程问题"普遍是弱项，有几下几个原因：一、行程分类较细，变化较多。

行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题，但是行程则没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。

二、要求对动态过程进行演绎和推理。

行程问题的题目语言叙述本身就很长，加上所描绘的是一个动态过程，一般很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。

三、行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。

很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。

因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解题关键点。

下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。

方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。

分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。

也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。

能用比例法解决的行程问题的特点：能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？边讲边练：1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？例2：两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。

相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的23。

小学奥数四年级行程问题1、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。

小明上学走两条路所用的时间一样多。

已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？【解析】设路程为180，则上坡和下坡均是90。

设走平路的速度是2，则下坡速度是3。

走下坡用时间90/3=30，走平路一共用时间180/2=90，所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。

2、3、两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？有甲、乙第n次相遇时，甲、乙共游了30×（2n－1）米的路程；于是，有30×（2n－1）＜5×60×（1＋0.6）＝480，（2n －1）＜16，n可取1，2，3，4，5，6，7，8；有30×（2m－1）＜5×60×（1－0.6）＝120，（2m－1）＜4，m可取1，2；于是，甲、乙共相遇8＋2＝10次。

4、兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。

哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校有多远？要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。

从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180×2÷（90－60）＝12（分钟）家离学校的距离为90×12－180＝900（米）5、有一个人去徒步旅行，去时每走40分钟就休息5分钟，到达目的地时共花去3小时11分。

比例类行程问题内容概述本讲主要讲解如何利用比例求解行程问题，而行程问题中的三个量：速度、时间、路程在某些时候存在比例关系．典型问题1．甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从4地开往B地．若乙比丙晚出发10分钟，则乙出发后40分钟追上丙；若甲比乙又晚出发20分钟，则甲出发后1小时40分钟追上丙；那么甲出发后追上乙所需要的时间为多少分钟?【分析与解】我们知道开始时，乙走了40分钟与丙走了40+10=50分钟的路程相等，所以速度比为乙：丙=5：4；甲走了100分钟，丙走了100+20+lO=130分钟所走的路程相等，所以速度比为：甲：丙=13：10于是．甲：乙：丙=26：25：20．于是，乙比甲先走20分钟，路程相当于20⨯25=500，速度差相当于26-25=l；于是，追击时间为500÷1=500分钟．2. 客车和货车分别从甲、乙两地出发相向而行．如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇；如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇．现在，客车和货车出发的时间分别是10：00和8：00，则何时它们相遇?(本题中所述的时间均为同一天，采用24小时制计法．)【分析与解】第一次，客、货各走了5小时；第二次，客、货各走了5小时40分，4小时40分，但是两次客、货所走的路程和不变；于是有300客+300货=340客+280货；40客=20货，所以客、货两车的速度比为1：2：将全程看成“1”，则客、货车速度和为1÷5=15；所以客车速度为113515÷=；货车的速度为122=1515⨯；货车先出发2小时，于是行走了2421515⨯=；于是剩下的路程为41111515-=；还需要的时间为111111553÷=小时，还需要3小时40分钟，在10：00后计时，所以相遇时间为13点40分．3．在久远的古代，有一个智者叫做芝诺，他曾经说过：兔子永远追不上10米外的乌龟．他这样解释：当兔子跑到10米处(即乌龟原来的地方)，乌龟已经往前走了一点；当兔子再次到达乌龟的位置时，乌龟又往前走了一点，……，也就说当兔子到达乌龟以前的位置时，乌龟总是往前走了一点，所以兔子永远追不上乌龟．你认为芝诺的说法错在哪里?【分析与解】因为兔子的速度比乌龟快，为了方便叙述，假设兔子的速度是乌龟的10倍．那么，按芝诺的说法，这些时间，乌龟走的路程为：10，1，0.1，0.01，0.001，……是无穷的，而10+1+0.1+0.01+0.001+…=1009，也就是说兔子只是在乌龟行走1009米之前追不上．等乌龟在1009米之后，兔子就在它的前面了．在这里，芝诺用无穷个数的和来说明它们的和一定是无穷的，这显然是谬误的．。

行程问题行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、行程）。

具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。

现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。

一般行程问题相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和行程问题几大题型追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差“火车过桥问题”“流水行船问题”“钟表问题”行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下：速度×时间=路程；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。

注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程÷总时间，而不是两个（或几个）速度相加再除以2。

行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。

涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。

但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程（路程÷时间=速度，路程÷速度=时间）。

在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。

相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和。

1. 理解行程问题中的各种比例关系.2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况：1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A 、B 两城相向而行，甲车先从A 城出发，过一段时间后，乙车才从B 城出发，并且甲车的速度是乙车速度的56。

当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出 千米，乙车才出发。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，5年级，1试 【解析】 两车相遇时共行驶330千米，但是甲多行30千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行驶180千米，乙车行驶150千米，由甲车速度是乙车速度的56可以知道，当乙车行驶150千米的时候，甲车实际只行驶了51501256⨯=千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了180-125=55千米。

1. 理解行程问题中正比例和反比例关系．2. 用比例和份数思想解行程问题．本讲是在秋季所学的火车过桥和流水行船的行程问题基础上，讲解运用比例性质解多次相遇追及行程问题．体会比例解决问题的优势．距离、速度、时间这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度⨯时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量，这是我们在小学课堂中经常解决的问题．同时对于三者之间的关系，我们还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S 甲、S 乙；速度分别为V 甲、V 乙；所用时间分别为T 甲、T 乙时，由于S V T =⨯甲甲甲，S V T =⨯乙乙乙，有如下关系：⑴当时间相同即T T =乙甲时，有::S S V V =乙乙甲甲； ⑵当速度相同即V V =乙甲时，::S S T T =乙乙甲甲； ⑶当路程相同即S S =乙甲时，::V V T T =乙乙甲甲．【例 1】 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．用比例解行程问题用比例解多次相遇问题乙21BA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此:30:203:2S V V ===乙乙甲甲:S ，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了3个全程，一个全程甲走3份，3个全程甲共走339⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DC 是2份．但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2⨯(2+3)=50(千米)．(也可以用乙进行计算)［铺垫］ 甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？［分析］ (方法一)10分钟两人共跑了(3+2)⨯60⨯10=3000 米 3000÷100=30个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1，3，5，7，，29共15次． (方法二)第一次两个人相遇需要100÷(3+2)=20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200÷(3+2)=40(秒)所以一个相遇：(10⨯60-20)÷40+1=15.5(次)，即为15次．［拓展］ 老师可以把【例 1】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A 、B 两地相距多少千米？［分析］ 由此推出,第三次相遇甲乙共走：3⨯2-1=5(个全程)，甲走了：3⨯5=15(份)在B 点，第四次相遇甲乙共走：4⨯2-1=7(个全程)，甲走了：3⨯7=21(份)在D 点,已知BD 是20千米，所以AB 的长度是20÷4⨯(2+3)=25(千米)．【例 2】 甲、乙二人同时从A 地出发同向而行去往B 地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到B 地后立即返回A 地．已知二人第三次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．FE乙甲21DCBA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此::30:203:2S S V V ===乙乙甲甲，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，第一次相遇，甲、乙一共行了两个全程，一个全程甲走3份，2个全程甲共走了326⨯=(份)所以C 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了4个全程，一个全程甲走3份，4个全程甲共走3412⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DC 是2份．但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2⨯(2+3)=50(千米)．(也可以用乙进行计算)［拓展］ 老师可以把【例 2】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A 、B 两地相距多少千米？［分析］ 由此推出,第三次相遇甲乙共走：3⨯2=6(个全程)，甲走了：3⨯6=18(份)在第D 点，第四次相遇甲乙共走：4⨯2=8(个全程)，甲走了：3⨯8=24(份)在F 点,已知DF 是20千米，所以AB 的长度是20⨯(2+3)=100(千米)．［总结］ 设一个全程中甲走的路程为M ,乙走的路程为N⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题： ⑵ 同一出发点的直线型多次相遇问题【例 3】 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，在A 、B 两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的37，并且甲、乙两车第2008次相遇的地点和第2009次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A 、B 两地之间的距离是多少千米？ 20092008甲DBA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7S V V ==乙乙甲甲：S ：，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2008次相遇时，甲走：(2008⨯2-1)⨯3=12045(份)，120451012045÷=，所以第2008次相遇地点是在从A 地向右数5份的C 点，第2009次相遇时甲走：(2009⨯2-1)3⨯=12051(份)，120511012051÷=，所以第2009次相遇地点在从B 点向左数1份的D 点，由图看出CD 间距离为4份，A 、B 两地之间的距离是120410300÷⨯=(千米)．［总结］ 对于份数比较大找相遇地点时，用甲走的总份数除以全程份数，得到商和余数，当商为偶数时，从甲的出发点向终点数余数的份数即为相遇地点，当商为奇数时，从终点向甲的起点数余数的份数即为相遇地点［巩固］ 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A 、B 两点间的距离为多少米？101100乙甲A相遇次数 甲乙共走的路程和 甲共走的路程 乙共走的路程1 1 M N2 3 3M 3N3 5 5M 5N… … … …n 21n - (21)n M - (21)n N - 相遇次数 甲乙共走的路程和 甲共走的路程 乙共走的路程1 2 M N 2 4 4M 4N 3 6 6M 6N … … … … n2n 2nM 2nN［分析］因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此180:2403:4S V V====乙乙甲甲：S：，设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4份，通过总结的规律分析第100次相遇时，甲走：(100⨯2-1)⨯3=597(份)，5977852÷=，所以第100次相遇地点是在从B地向左数2份的C点，第101次相遇时甲走：(101⨯2-1)3⨯=603(份)，6037861÷=，所以第101次相遇地点在从A点向右数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是16047280÷⨯=(米)．【例 4】小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回)，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第六次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？【分析】画示意图如下.2123.5乙甲第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5⨯3=10.5(千米).从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-2=8.5(千米).第六次相遇时，两人已共同走了两村距离26111⨯-=倍的行程.其中张走了3.51138.5⨯=(千米)，38.58.54 4.5÷=，就知道第六次相遇处，离乙村4.5千米.［巩固］甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.［分析］第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4⨯3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-(3+4)=2千米．【例 5】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑．甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动．甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？【分析】(300240)302400 6.75+⨯÷=(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度比是300:2405:4=，设全程为9份，第一次相遇甲行5份，乙行4份，所以第一次相遇地点距A地是全程的59，第二次相遇时两人共行了３个全程，甲行的距A地9(359)3-⨯-=份，所以第二次相遇地点距A地是全程的13，第三次相遇时两人共行了5个全程，55927⨯÷=甲行的距A地7份，所以第三次相遇地点距A地是全程的79，所以第二次相遇距A地最近，最近距离是124008003⨯=(米)【例 6】A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步(甲、乙两人的速度未必相同)，假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第二十一次相遇时，甲跑完几圈又几米？【分析】 甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了1003300⨯=米，此时甲差60米跑一圈，则可得0.5圈是30060240-=米，一圈是480米． 第一次相遇时甲跑了240100140-=米，以后每次相遇甲又跑了1402280⨯=米，所以第二十一次相遇时甲共跑了：140280(211)5740+⨯-=(米)，574048011460÷=．即跑完11圈又460米．［铺垫］ 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇．求此圆形场地的周长？［分析］ 第一次相遇，两人共走了0.5圈；第二次相遇，两人共走了1.5圈．所以第二次相遇时，乙一共走了BAD 1003300=⨯=(米)，又知到AD 60=(米)，所以圆形场地的半周长为30060240-=(米)，那么，周长为2402480⨯=米．【例 7】 A 、B 两地相距13.5千米，甲、乙两人分别由A 、B 两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地，途中两人第一次相遇于C 点，第二次相遇于点D ，CD 相距３千米，则甲．乙两人的速度比是为多少？【分析】 方法一：根据题意画图如下乙甲21DB设甲、乙第一次相遇时分别走的路程为x 千米，y 千米，依题意列方程组得，3313.53313.5x y y x --=⎧⎨+-=⎩解得7.56x y =⎧⎨=⎩，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比7.5:65:4==方法二：用甲、乙代表两个人第一次相遇走的路程，可以整体的分析从开始到第二次相遇甲走的路程为：3⨯甲，乙走的路程为：3⨯乙，甲乙二人的路程差为：3⨯(甲-乙)；分开考虑甲一共走的路程为：一个全程+乙+3，乙一共走的路程为：一个全程+甲-3，两个人的路程差为：(一个全程+乙+3)－(一个全程+甲-3)=乙-甲+6.综合列式为：3(甲-乙)=乙-甲+6，得到：甲-乙=1.5，由于，甲+乙=13.5，所以甲=7.5(千米)，乙=6(千米)，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比7.5:65:4==．【例 8】 两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A ，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B 点时，甲车过B 点后恰好又回到A 点．此时甲车立即返回(乙车过B 点继续行驶)，再过多少分与乙车相遇？DC 甲B A乙甲ABC乙甲AB【分析】 设右图中C 表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B 到C 又返回B 时，甲恰好转一圈回到A ，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C 点距B 点809090-=(米)．因此相同时间内，甲乙所行路程比为180:902:1=，所以甲乙二人的速度比为2:1，因此乙每分行驶20210÷=(米)，甲、乙第二次相遇，即分别同时从A ，B 出发相向而行相遇需要90(1020)3÷+=(分)．［拓展］ 如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？乙甲［分析］ 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边(300米)需300(9070)15÷-=(分)，此时甲走了9015300 4.5⨯÷=(条)边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共需2300590163⨯÷=分钟，即16分40秒．【例 9】 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A 、B 两地的距离．【分析】 先画图如下：C262666乙甲BA方法一: 若设甲、乙二人相遇地点为C ，甲追及乙的地点为D ，则由题意可知甲从A 到C 用6分钟.而从A 到D 则用26分钟，因此甲从C 走到D 之间的路程时，所用时间应为：26620-=(分)．用比例解其他行程问题同理乙从C走到D之间的路程时，所用时间应为：26632+=(分)，所以相同路程内甲乙所用时间比为20:325:8=，因此甲、乙二人的速度比为8:5，所以甲的速度为505880÷⨯=(米/分)，A、B两地的距离为(8050)6780+⨯=(米)，或(8050)26780-⨯=(米)方法二：设甲的速度是x米/分钟那么有(50)26(50)6x x-⨯=+⨯解得80x=A、B两地的距离为(8050)6780+⨯=(米)，或(8050)26780-⨯=(米)［拓展］甲、乙两人分别从Ａ、B两地同时相向出发．相遇后，甲继续向B地走，乙马上返回，往Ｂ地走．甲从Ａ地到达B地．比乙返回Ｂ地迟0.5小时．已知甲的速度是乙的34．甲从Ａ地到达地Ｂ共用了多少小时?［分析］相遇时，甲、乙两人所用时间相同．由题意知，甲乙二人速度比为3:4，所以甲乙二人所行的路程比为3:4，从相遇到返回B地，甲乙所行路程相同，所以返回所用时间比为4:3，又知甲从Ａ地到达B地比乙返回B地迟0.5小时，即从相遇点到B地这同一段路程中，甲比乙多用0.5小时．可求出从相遇点到B地甲用了0.542⨯=(小时)，相遇时，甲乙二人所行的路程比为3:4，甲用时为243 1.5÷⨯=(小时)甲从Ａ地到达地Ｂ共用2 1.5 3.5+=(小时)【例10】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【分析】设原速度是1. 后来速度为(120%) 1.2+=，速度比值：1:(120%)5:6+=这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.时间比值6:5这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时．原来时间就是1⨯6=6小时．同样道理，车速提高30％，速度比值：1:(130%)10:13+=时间比值：13:10这样节省了3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为13 3所以前后的时间比值为(6-133):1335:13=．所以总共行驶了全程的5135=+518.［巩固］(第三届走美试题)从上海开车去南京，原计划中午11：30到达．但出发后车速提高了17，11点钟就到了．第二天返回，同一时间从南京出发．按原速行驶了120千米后，再将车速提高16，到达上海时恰好11：10．上海、南京两市的路程是千米．［分析］由题意设原来速度和车速提高了17后速度比为7:8，则所用时间比为8:7，设原计划用时8份，提速后用时7份，差的一份正好是30分钟，,则原计划用时为240分钟,返回时间缩短20分钟，是由于车速提高16，原来计划速度与返回提速后速度比为6:7，则返回提速后这段路程内所用时间比为7:6，设这段路程原计划用时7份，提速后用时为6份，差的一份正好是20分钟，所以返回提速后用时120分钟，原计划用时140分钟，则原速行驶120千米用时240140100-=(分钟)，上海、南京两市的路程是120100240288÷⨯=(千米)【例11】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？【分析】 因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，设第一次相遇时甲、乙两人行的路程分别是3份，2份相遇后，甲、乙两人的速度比为[][]3(120%):2(130%)18:13⨯+⨯+=，到达B 地时，即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是13:18，即乙的路程为21318⨯=419．乙从相遇后到达A 还要行3份的路程，还剩下4531199-=(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是514199÷=(千米)．A 、B 两地有这样的325+=(份)，因此A 、B 两地的总路程为：9545⨯=(千米)【例12】 (第五届走美决赛试题)小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人．小李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人．小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙地，速度是小李的1.25倍．当他追上骑车人后，速度提高了20％．结果小王、小李、小张三人一同于9点整到达乙地．小王、小李、骑车人的速度始终不变．骑车人从甲地出发时是 点 分，小张从甲地出发时是8点 分 秒．【分析】9：009：009：009：00骑车人小张小李8：15小王8：00乙地15分15分由题意知小王与小李从甲地到乙地所用时间分别是60分、45分，因此小王与小李的速度比是3:4，又小张速度是小李的1.25倍，因此小王、小李、小张的速度比为3:4:5，设小王、小李、小张的速度分别为3、4、5.由上图可以看小李比小王15分钟多行的路程恰是骑车人15分钟的路程，因此骑车人的速度为(43)15151-⨯÷=，即小王的速度是骑车人的3倍，而小王追上骑车人要15分钟，所以骑车人行这段路程要45分钟，因此骑车人是8点30分出发的．小王从甲地到乙地要1小时，可知全程为603180⨯=，因此骑车人到乙地要3小时，骑车人在9点时恰好行了全程的一半，由题意小张追上骑车人后速度变为6，从追上骑车人到到达乙地小张比骑车人多行了180290÷=，因此小张以速度6行驶路程所用时间为90(61)18÷-=(分)，所行路程为186108⨯=，则追赶骑车人所用时间为(180108)514.4-÷=(分)，因此小张从甲地到乙地共用时间为1814.432.4+=(分)=32分24秒，即小张从甲地出发时是8点27分36秒［巩固］ 甲从A 出发步行向B ．同时，乙、丙两人从B 地驾车出发，向A 行驶．甲乙两人相遇在离A 地3千米的C 地，乙到A 地后立即调头，与丙在C 地相遇．若开始出发时甲就跑步，速度提高到步行速度的2.5倍，则甲、丙相遇地点距A 地7.5千米．求AB 两地距离． ［分析］ 设BC 间的路程为S ，甲的速度为v 甲，乙的速度为v 乙，丙的速度为v 丙，由题意知，3v v S=甲乙，6v S v S +=乙丙,则36)v S v S S ⨯+=⨯甲丙（，甲提速后速度变为2.5v 甲．则2.57.5(7.53)v v S =--甲丙，即34.5v v S =-甲丙，所以36)34.5S S S S ⨯+=⨯-（，解得18S =，所以AB 两地间路程为18321+=(千米)1.甲、乙两车同时分别从相距55千米的AB 两地相向开出，甲行驶了23千米后跟乙相遇，相遇后两车继续前进，到达对方出发地后立刻返回．问：⑴ 第2次相遇点距B 地多少千米？⑵第6次相遇点距A 地多少千米？【分析】 通过分析，我们可以发现：一个全程里甲走23千米，⑴ 第2次相遇共3全程，故甲走了23⨯3=69(千米)，甲走了一个全程多了一点，故距离B 地就是69-55=14(千米)．⑵第6次相遇总共是11个全程，故甲走了23⨯11=253(千米)，25355433÷=，甲走了4个全程多点，多的那部分就是我们要求的距A 的距离为：33千米．2. 甲、乙两列车同时从A 、B 两地相对开出，第一次在离A 地75千米处相遇．相遇后继续前进，到达对方出发地后都又立刻返回，第二次相遇在离B 地55千米处，求A 、B 两地相距多远．【分析】 通过画图找出行程之间的关系．第一次相遇就相当于甲车和乙车一共走了一个全程，根据总结：第2次相遇总共走了3个全程，则甲就走了3个75千米，3⨯75=225千米，画图可以知道甲走了一个全程多了那55千米，所以全程为225-55=170千米．3. 甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，并在A 、B 两地间不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米／小时，乙车的速度是25千米／小时，甲乙两车第三次相遇地点与第四次相遇的地点相差100千米，求A 、B 两地的距离是多少千米？【分析】 甲、乙两车的速度比为：15:253:5=，所以可以把全程分成8份，每走一个全程甲走3份，乙走5份，第三次相遇甲乙共走：3215⨯-=(个全程)，甲走了：3515⨯=(份)，第四次相遇甲乙共走：4217⨯-=(个全程)，甲走了：3721⨯=(份),画图知到两次相遇点100米是4份，所以AB 的长度是10048200÷⨯=(千米)．4. 甲、乙两车的速度分别为52千米／时和40千米／时．他们同时从A 地出发去B 地，在A 、B 两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时．A 、B 两地相距多少千米？【分析】 从开始走到第一次相遇，两车走的路程是两个AB 之长；而到第三次相遇，两车走的路程总共就是6个AB 之长是：(52+40)⨯6=552(千米)，A 、B 两地相距的路程是：552÷6=92(千米)．5. 一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高，可以比原计划提前1小时到达；如果先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.求甲、乙两地之间的距离及火车原来的速度.【分析】 根据题意可知车速提高后与原来速度比为(1+20％) :1=6:5,由于所行路程相同，所以所用时间比为5:6，所差时间是1小时，即1份是1小时，所以原来行完全程需要6小时，同理可求出行完240千米后所用时间为40⨯5=200(分钟)=133(时)，所以行240千米所用时间为6-133=83(时)，火车速度为240÷83=90(千米/时)，甲乙两地间的距离为90⨯6=540(千米)6.一只小船第一次顺流航行65千米，逆流航行21千米，一共用了10小时；第二次顺流航行20千米，逆流航行12千米，用了4小时．那么船在静水中航行64千米需要多长时间？【分析】如果把第二次航行中顺流和逆流的航程增加到2.5倍，显然时间会变成：4 2.510⨯=小时；顺流航行20 2.550⨯=千米；逆流航行12 2.530⨯=千米．而第一次航行也是花了10小时，但是顺流航程和逆流航程分别是65和21千米．通过比较很容易看出第二次航行比第一次少了，655015-=千米的顺流航程，但是多了30219-=千米的逆流航程．顺流走15千米所花的时间和逆流走9千米所花的时间相等，由此可知顺流速度和逆流速度比应该是15:95:3=，因此相同时间内顺水路程和逆水路程比为5:3，逆流航行21千米相当于顺流航行35千米，所以顺水速度为(6535)1010+÷=(千米/时)，逆水速度为10536÷⨯=(千米/时)，静水速度为(106)28+÷=(千米/时)，船在静水中航行64千米需要6488÷=(小时)。

小升初之行程问题的解法---比例法根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析，平均每套试卷按12道题，满分100分计算，就有1.8道试题为行程问题（即每120道试题中有1 8道是行程问题），分值为21分。

行程问题占一套试卷分值的1/5左右，所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。

小学生"行程问题"普遍是弱项，有几下几个原因：一、行程分类较细，变化较多。

行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题，但是行程则没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。

二、要求对动态过程进行演绎和推理。

行程问题的题目语言叙述本身就很长，加上所描绘的是一个动态过程，一般很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。

三、行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。

很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。

因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解题关键点。

下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。

方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。

分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。

也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。

能用比例法解决的行程问题的特点：能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？边讲边练：1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？例2：两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。

相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的23。

小学奥数《行程问题》1、行程问题：行程问题可以大概分为简单问题、相遇问题、时钟问题等。

2、常用公式：1）速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度；2）速度和×时间=路程和；3）速度差×时间=路程差。

3、常用比例关系：1）速度相同，时间比等于路程比；2）时间相同，速度比等于路程比；3）路程相同，速度比等于时间的反比。

4、行程问题中的公式：1）顺水速度=静水速度+水流速度；2）逆水速度=静水速度－水流速度。

例1：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？例2：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？例3：汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千米的速度返回到甲地，求该车的平均速度。

例4：一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？例5：骑自行车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行驶，下午1时到；以每小时15千米的速度行驶，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到；如果希望中午12时到，应以怎样的速度行进？例6：一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，时速1500千米，回来时逆风，时速为1200千米，这架飞机最多飞出多远就需往回飞？例7：有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡，平路及下坡的路程相等，某人骑车过桥时，上坡平路，下坡的速度分别为每秒4米、6米、8米，求他过桥的平均速度。

例9：已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒，求火车的速度和长度。