第1章例题详解

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算例1如图1.1-9，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．图1.1-9分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH ，EF ，EG uuu r 共面．而由已知AD ，AB ，AC 共面，可以利用向量运算由AD ，AB ，AC共面的表达式推得EH ，EF ，EG uuu r 共面的表达式．证明：因为OE OF OG OH k OA OB OC OD====．所以OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC = ，OH kOD = ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+ ．因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+- OF OE OH OE EF EH=-+-=+ 由向量共面的充要条件可知，EH ，EF ，EG uuu r 共面，又EH ，EF ，EG uuu r 过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面．练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →不同在一个平面内；长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．【答案】（1）AD ' ；（2）AC ' ；（3）0 ；（4）A E【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+= ；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；（4）AB CF AB BE AE +=+= .3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB ' ．【答案】A C AB AD AA =+'-' ；BD AA AD AB ''-=+ ；DB AA AB AD ''=+- .【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+ ，()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）AB BC CD ++ ；（2）()12AB BD BC ++ ；（3）()12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AD ；（2）AF ；（3）EF【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；（2）()12AB BD BC AB BF AF ++=+= ；（3）()12AF AB AC AF AE EF -+=-= .5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭（2）AE AA x AB y AD→→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'=++【答案】（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==.【解析】【分析】（1）化简+AC AB AD AA →→→→''=+即得解；（2）化简1()2AE AA AC →→→''=+即得解；（3）化简1122AF AD AC →→→'=+即得解.【详解】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→'''=+=++，所以1x =；（2）1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD →→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12x y ==；（3）111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB AA →→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算例2如图1.1-12，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，5AB =，3AD =，7AA '=，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠-∠=︒．求：图1.1-12（1）AB AD ⋅ ；（2）AC '的长（精确到0.1）．解：（1）||||cos ,AB AD AB AD AB AD ⋅=〈〉，53cos 607.5=⨯⨯︒=；（2）()22AC AB AD AA ''=++ ()222||||2AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅ ()222537253cos 6057cos 4537cos 45=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒98=+，所以13.3AC '≈．例3如图1.1-13，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l m ⊥，l n ⊥，求证：l α⊥．图1.1-13分析：要证明l α⊥，就是要证明l 垂直于α内的任意一条直线g （直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l m ⊥，l n ⊥，得到l g ⊥，那么就能解决此问题．证明：在平面α内作任意一条直线g ，分别在直线l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ．因为直线m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+u r u r r ．将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ．因为0l m ⋅=r u r ，0l n ⋅=r r （为什么？），所以0l g ⋅=r u r．所以l g ⊥．这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以l α⊥．练习6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.60︒B.90︒C.105︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1 BC ，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =- ，11BC BC BB =+ ，令1||BB a = ，则||||BA BC == ，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅ 2cos 600a =-=，因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '= ，求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()a b b c ⋅++ ．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD⊥故()0a b c a b a c →→→→→→→⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1a abc a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=8.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅ ；（2）AB '的长；（3）AC '的长．【答案】（1）10；（261；（385【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由AB AA A B ''''=+ 平方即可求解；（3）由A AB AD A C A =+'+'即可求解.【详解】（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）AB AA A B ''''=+ ，()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，61AB '= AB '61；（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++ ，()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，85AC '∴= AC '85.9.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．222a b c ++【解析】【分析】连接AD ，可得222AD a b =+，根据AC AD ⊥可求.【详解】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++即C ，D 222a b c ++.习题1.1复习巩固10.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE'''' 【解析】【分析】（1）由相等向量的定义可判断；（2）由相反向量的定义可判断；（3）由平行向量的定义可判断.【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C '''' ；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A '''' ；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE '''' .11.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；（3）12AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++ ．【答案】（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；【解析】【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示；（4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；12.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a ，b 共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，则()222a b a a a λλ+=+=+ ，所以向量2a b + 与a 共线.13.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．【答案】（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.【详解】 四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=- ；（3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=- ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯ ；（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯= ；（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅= ，可知1122GF AC a ==，222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪ .综合运用14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A.1122a b c --+B.1122a b c -++C.1122a b c -+ D.1122a b c ++ 【答案】B【解析】【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD uuuu r uuu r uuu r r uu u r代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r rr r 故选：B.15.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..【详解】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+ ，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，所以E ，F ，G ，H 四点共面.16.如图，正方体ABCD A B C D ''''-（1）求A B '和B C '的夹角；（2）求证A A B C ''⊥．【答案】（1）3π；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，由B D CD B C ''''==知，B CD ''△是等边三角形，故A B '和B C '的夹角为3π.（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，B C A B '''⊥，从而有A B '⊥平面AB C ''，从而证得A A B C ''⊥.【详解】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，在正方体中，设棱长为a ，则B D CD B C ''''===，则B CD ''△是等边三角形，即3B CD π''∠=故A B '和B C '的夹角为3π（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，所以A A B C ''⊥17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.【详解】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→⊥，由题知，CD OB →→⊥，则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.拓广探索18.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .∵0OA OB ⋅= ，∴()0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）由（1）－（2）得0⋅-=⋅ OA OC OC OB∴()0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，∴OC BA ⊥u u u r u u u r，∴OC AB ⊥.19.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．【答案】证明见解析；【解析】【分析】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，证得AB ⊥平面ODC ，AB OC ⊥，从而有EH EF ⊥；又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．从而有EF GH =，结合EH EF ⊥，证得四边形EFGH 是矩形．【详解】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，由OA OB =，CA CB =知，⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，因此AB OC⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．则EF AD = ，GH AD =，故EF GH=，四边形EFGH是平行四边形同理EH GF=，且EH OC，又AB OC⊥所以EH EF⊥，四边形EFGH是矩形。

化工原理典型例题题解第1章 流体流动例1 沿程阻力损失水在一段圆形直管内作层流流动，若其它条件不变，现流量及管径均减小为原来的二分之一，则此时因流动阻力产生的压力损失为原来的（ ）。

A 2倍 B .4倍 C .8 倍 D. 16 倍解：因管内流体流动处于层流状态，根据哈根（Hahen ）-泊谡叶（poiseuille ）公式 232dlu P f μ=∆(1) 将式中的流速u 用流量v q 和管径d 表示出来， 24dq u vπ=(2)将(2)式代入(1)式得 4128dlq P vf πμ=∆ (3) 现流量125.0v v q q =; 管径d 2=0.5d 1 ， 根据(3)式，压力损失ΔP f2满足下式85.01/)5.0/(5.0//341141141142212====∆∆d q d q d q d q P P v v v v f f 故答案C 正确。

例2 流体在管内流动时剪应力的分布流体在管内流动的摩擦阻力，仅由流体与壁面之间的摩擦引起吗？ 解：圆管中沿管截面上的剪应力分布式为 r lg Z P g Z P 2)()(2211ρρτ+-+=由该式推导条件可知，剪应力分布与流动截面的几何形状有关，而与流体种类，层流或湍流无关。

对于定常态流动体系，可见剪应力随圆管内流体半径的增大而增大，在壁面处，此剪应力达到最大。

故剪应力（磨擦阻力）并非仅产生于壁面处，而是在流体体内亦存在。

例3 并联管路中的阻力损失首尾相同的并联管路中，流体流经管径较小的支路时，总压头损失较大吗？例 4 附图解：A 为分支点，B 为汇合点。

并联管路Ⅰ、 Ⅱ、 Ⅲ具有相同的起始点A 和终点B ，分别利用柏努利方程式进行描述，得H f Ⅰ=H f Ⅱ=H f ⅢIIIIIIIII III IIIIII II III I gd u l gd u l gd u l 222222λλλ==因此，首尾相同的并联管路，各支路上总压头损失相等，并非仅取决于管径的大小，与各支路上的流速、管长均有关系。

高等代数第1章习题解第一章习题解1.1数字1的基本知识。

找到9405和5313的最大公因数解：9405？5313? 4902，5313? 4902? 411，4909? 11? 411? 三百八十八411?388?23，而(23,388)?1，所以（9405，5313）=12.设置A1、A2、，？，一z、证据（A1、A2、an）？（A1，A2，an？1），an）证据：D1号命令？（a1，a2，an），d2？（（A1A，2？An，1a）n）由D1？（a1，a2，an），？d1ai，我？1,2,?, N1.d1and1(a1,a2,,an1),(d1an)d1((a1,a2,,an1),an)d1d2在D2之前？（（a1，a2，an？1），an）？d1（a1，a2，an？1），d1and1ai(i1,2,,n1),d1andai(i1,2,,n)d2(a1,a2,,an)d2d1那么D1呢？d23．求(504,630,1764,4536)解：630=504+126，504=1264→(630,504)=1264536=21764+1008,1764=1008+756,1008=756+252,756=2523→(1764,4536)=252252=1262所以(504,630,1764,4536)=1264.设a,b,c?z,ab,ac,证明a2bc证明:ab?b?aq;ac?c?ap?bc?a2(pq)?a2bc5.设a,b?z,ab,ba,证明a??b证明:ab?b?aq;ba?a?bp?b?(bp)q?pq?1P1.A.B6.设a是整数x是任意整数,那么ax?a??1;xa?a?0证明:若ax对任意整数x成立,那么取x?1,有a1?a??1;反之,若a??1,ax显然成立;如果XA适用于任何整数x，也就是a？XP适用于任何整数x，取x？0 a？相反，如果a?0,xa显然成立.7.假设a，B，D？z、 D呢？（a，b），证明u，v的存在？z、做D？欧？Bv证明：如果是？B0，那么（a，b）？0 a？0 b？0，因此结论成立；如果a和B不都是零，那么必须有一个整数s，t来表示as？英国电信？0令所有这样的正整数组成的集合为d,即:d?{as?bt?0|s,t?z},由于d是正整数组成的集合,故必有一个最小整数,设这个正整数为d?,即有整数u,v使d??au?bv我们说d?就是a,b的最大公因数.事实上，有一个任意因素，哈，B？bv？hd？；如果d?不是a,b的公因数,不妨设d?不是a的因数,那么由带余除法,有A.DQr、 0？RD于是a?(au?bv)q?r?r?a(1?qu)?b(?qv)?r?d这与d?是d中最小数的假设矛盾.8.设p为大于1的整数，a和B为任意整数。

第 1 章数据库系统概论1.1复习纲要本章介绍的主要内容：·数据管理技术的发展·数据模型·数据库系统结构1.1.1 数据管理技术的发展从20世纪50年代中期开始，数据管理技术大致经历了三个发展阶段：人工管理阶段、文件系统管理阶段和数据库系统管理阶段。

1. 人工管理阶段20世纪50年代中期以前，计算机主要从事计算工作，计算机处理的数据由程序员考虑与安排。

这一阶段的主要特点是：数据不长期保存；数据与程序不具有独立性；系统中没有对数据进行管理的软件。

2. 文件系统管理阶段20世纪50年代后期到60年代中后期，计算机系统中由文件系统管理数据。

其主要特点：数据以文件的形式可长期存储在磁盘上，供相应的程序多次存取；数据文件可脱离程序而独立存在，使得数据与程序之间具有设备独立性。

如果数据文件结构发生变化时，则对应的操作程序必须修改。

即文件系统管理文件缺乏数据独立性，并且数据冗余度大。

数据之间联系弱，无法实施数据统一管理标准。

这些都是文件系统管理的主要缺陷。

3.数据库系统管理阶段70年代初开始，计算机采用数据库管理系统管理大量数据，使计算机广泛应用于数据处理。

数据库系统管理数据的主要特点：·采用数据模型组织和管理数据，不仅有效地描述了数据本身的特性，而且描述了之间的联系。

·具有较高的数据独立性。

即数据格式、大小等发生了改变，使得应用程序不受影响。

·数据共享程度更高，冗余度比较小。

·由DBMS软件提供了对数据统一控制功能，如安全性控制、完整性控制、并发控制和恢复功能。

·由DBMS软件提供了用户方便使用的接口。

数据库系统管理数据是目前计算机管理数据的高级阶段，数据库技术已成为计算机领域中最重要的技术之一。

1.1.2 数据模型数据模型是构建数据库结构的基础，在构建时要经历从概念模型设计到DB逻辑模型和物理模型转换过程。

因此，数据模型可分为两类共4种，两类为概念模型和结构模型，其中结构模型又分为外部模型、逻辑模型和内部模型三种。

第1章几何组成分析§1 – 1 基本概念1-1-1 名词解释●几何不变体系——结构（静定或超静定）在不考虑材料变形情况下,几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。

●几何可变体系在不考虑材料变形情况下,形状或位置可变的体系，称为几何可变体系。

●刚片在平面上的几何不变部分。

●自由度确定体系位置所需的独立坐标数目。

●约束（联系）能够减少自由度的装置。

减少自由度的个数为约束个数。

①链杆——相当1个约束②铰——相当2个约束③虚铰——相当2个约束④复铰——相当n-1个单铰的作用●多余联系不能减少自由度的联系，称Array为多余联系。

●必要联系去掉时能够增加自由度（或维持体系不变性必须）的联系。

●瞬变体系几何特征：几何可变体系经过微小位移后成为几何不变体系。

静力特征：受很小的力将产生无穷大内力，因此不能作结构。

1-1-2 分析规则在不考虑材料应变所产生变形的条件下，构成无多余约束几何不变体系（静定结构）的基本规则如下：●三刚片规则三个刚片用不在同一条直线上的三个铰（或虚铰）两两相联。

●二刚片规则2结构力学典型例题解析两个刚片用不交于一点也不全平行的三根链杆相联；或：两个刚片用一个铰和不通过该铰心的链杆相联。

●二元体规则什么是二元体（二杆结点）：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点的装置，称为二元体。

在一个体系上增加或减少二元体不影响其几何不变性。

1-1-3 几何组成分析一般方法（步骤）(1)去二元体（二杆结点）。

(2)分析地基情况：上部体系与地基之间●当有满足二刚片规则的三个联系时，去掉地基，仅分析上部体系；●当少于三个联系时，必为几何常变体系；●当多于三个联系时，将地基当作一个刚片进行分析。

(3)利用规则找大刚片(最简单情况为:三个铰接杆件为刚片)。

(4)使用几何组成规则进行分析。

利用三刚片规则分析时：首先找出三个刚片，（满足三刚片规则的连接条件，即每两个刚片间有一个铰（或虚铰），然后再标出虚铰位置，最后看三个铰是否构成三角形。

数学初一上册第一章案例分析案例一：小明的饮料小明去超市买了一瓶饮料，他支付了9元钱，收到了1张5元的纸币和4枚1元的硬币作为找零。

这时，小明想知道这瓶饮料的价格是多少。

解析：假设饮料的价格为x元，根据题目给出的信息，我们可以列出方程式：5 + 1 + 1 + 1 + 1 = x整理方程，得到：9 = x因此，这瓶饮料的价格是9元。

案例二：小华的汽车旅程小华驾驶自己的汽车从A市到B市，全程480公里。

在开始旅程的时候，她的油箱已经有6升汽油。

小华发现，每行驶50公里就要耗尽1升的汽油。

在没有加油的情况下，她能否顺利到达B市？解析：假设小华需要行驶x升的汽油才能到达B市。

根据题目给出的条件，我们可以列出方程式：6 + (480/50) = x化简方程，得到：6 + 9.6 = x因此，小华需要15.6升的汽油才能顺利到达B市。

案例三：小林的图书收藏小林有一些数学书和物理书，其中数学书的数量是物理书数量的2倍。

如果他共有42本书，那么数学书和物理书各有多少本？解析：假设物理书的数量为x本，根据题目给出的条件，数学书的数量为2x本。

可以列出方程式：x + 2x = 42化简方程，得到：3x = 42解方程，得到：x = 14因此，小林有14本物理书和28本数学书。

案例四：小明的球小明有几颗篮球和足球，总共8颗。

如果所有球都只有两种颜色：红色和蓝色。

已知篮球数量比足球数量多2颗，那么红色球的数量等于多少？解析：假设足球的数量为x颗，根据题目给出的条件，篮球的数量为x+2颗。

可以列出方程式：x + (x+2) = 8化简方程，得到：2x + 2 = 8解方程，得到：2x = 6因此，足球的数量为3颗，篮球的数量为5颗。

红色球的数量等于篮球的数量，即为5颗。

这些案例分析展示了初一上册数学第一章的一些典型题目，通过应用基本的代数方程解题的方法，学生可以逐步掌握解决实际问题的能力。

在学习数学的过程中，我们要善于分析问题、抽象问题、建立数学模型，并通过解方程等方法求解问题，培养自己的逻辑推理能力和解决实际问题的能力。

女性正常4623男性正常4819避躲市安闲阳光实验学校第一章遗传因子的发现例题示范一、单项选择题(1-2小题每小题1分；3-4小题每小题2分) 【例1】 下列各组生物性状中，属于相对性状的是 ( ) A ．草莓的红果和大果 B ．狗的长毛和短腿 C ．水稻的早熟和晚熟 D ．棉花的短绒和粗绒【例2】家兔的毛色中白色和黑色是一对相对性状。

请你观察下列四种亲本杂交组合的亲子代性状，其中发生了性状分寓的一组是 ( )【例3】 已知厚壳紫种皮与薄壳红种皮落花生杂交（两对性状遗传），F1全 为厚壳紫种皮。

在F2中，稳定遗传的薄壳紫种皮落花生为3966株，则能稳定遗传的厚壳红种皮落花生株数大约为 ( )A. 1322B.1983C.3966D. 7932【例4】豌豆种子黄色对绿色为显性，圆粒对皱粒为显性（两对性状的遗传遵循自由组合定律）。

现用黄色皱粒与绿色圆粒两个纯系豌豆的亲本杂交得F1，F1自交，理论上F2植株中黄色皱粒纯合子豌豆数量比为 ( ) A. 1／3 B.2/3 C.3/16 D. 1/16二，双项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有两个选项正确，全部选对得3分，选对一项得2分，有错选的得0分。

） 【例5】下图为鼠的毛色（灰色和白色）遗传图 解，已知6号是一只雌性鼠。

下列 说法正确的是 ( )A. 6号鼠是杂合子 B ．鼠的灰色为显性性状C ．鼠的白色为显性性状 D.7号鼠为杂合子的概率是2/3 三、复合选择题某生物研究小组的同学对一地区的人类遗传病进行调查，发现有一种遗传病表现出明显家族倾向，且往往是代代相传，下图为该研究小组绘制的该病在这个地区10000人中的发病情况图。

研究小组同学还对某一患该病男生的家族进行了分析，绘制出如下遗传系谱图：请分析上图回答例6—9小题：【例6】 由上图所示发病情况的调查结果可以推知，控制该病的基因最可能位于( )A ．常染色体上B ．X 染色体上C ．Y 染色体上D ．性染色体上【例7】 作出6题结论判断的主要理由是 ( ) A ．男女患病几率均等 B ．男患者多一点 C ．男正常比女正常多 D ．出现了女患者【例8】 分析上述系谱图，可以推知该患病男生与其患病姑姑的女儿基因型相同的概率是 ( )A.25%B.50%C.75%D. 100%【例9】 系谱图中的患病男生经手术治疗后表现正常，若他与表现型正常的女性婚配，你认为其后代还有可能患该病吗？ ( )A ．不能B ．可能C ．取决与环境D ．取决于女方【例1】答案：C 【例2】答案C 【例3】答案C 【例4】答案D 【例5】答案BD 复合选择题答案 6. A 7.A 8．D 9.B 学业水平测试题一、单项选择题（1～9小题每小题1分，10～18小题每小题2分） 1．“种瓜得瓜，种豆得豆”这句俗语说明自然界中普遍存在着 ( ) A ．生殖现象 B ．遗传现象 C ．进化现象 D ．变异现象 2．生物的性状是指 ( )A ．生物体的外在形状B ．生物体的性别C ．生物体的形态、生理特征D ．生物体的大小 3．下列性状中属于相对性状的是 ( ) A ．人的黑发和卷发 B ．兔的长毛和短毛 C ．猫的白毛与蓝眼 D ．棉花的细绒与长绒 4．遗传的基本定律是指 ( )A ．性状的传递规律B ．蛋白质的传递规律C ．基因的传递规律D ．染色体的传递规律 5．下列表示测交的组合是 ( )A.AA×AaB.aa×aaC.Aa×aaD.Aa×Aa 6．下列属于等位基因的是 ( ) A ．Ab B ．Yy C ．EE D ．dd7．Aa 自交得F2，F2自交得F3，F3表型比为 ( ) A. 1:1 B.1:2:1 C.3:2:3 D.7:2:78．下图能正确表示基因分离定律实质的是 ( )9．基因型为DdTt 和ddTT 的亲本杂交，子代中不可能．．．出现的基因型是 ( ) A. DDTT B.ddTT C.DdTt D.ddTt10.一对肤色正常的夫妇生了一个白化病男孩。

高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。

二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。