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一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0 中运动，若0=t 时，粒子处于()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。
（1） 求0=t时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n maE n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c可知，归一化常数为1312=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为()()()133;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
三. 设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符()n m n m U ϕϕ=,ˆ（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ；（2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3）计算迹(){}n m U ,ˆT r ；（4） 若算符Aˆ的矩阵元为n m mnA A ϕϕˆ=，证明()n m UA A nm m n ,ˆˆ,∑=(){}q p U A A pq ,ˆˆTr +=解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U Hn m,ˆ,ˆ,ˆ-=（2）()()()p m Uq p U n m U nq p q n m,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+（3）算符的迹为(){}()mnm n k n k m kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r（4）算符()n m UA A A A nm mnnn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A k kk kkp q k qk kk p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ五. （见2001年第五题）两个质量皆为μ的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
1999年量子力学考研试题一. 质量为m 的粒子，在阱宽为a 的非对称一维无限深势阱中运动，当0=t 时，粒子处于状态()()()()x x x x 3214141210,ϕϕϕψ+-=其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ； （3） 求0>t 时能量的取值几率。
解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n m a E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由14141212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛c 可知，归一化常数为38=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3216161320,ϕϕϕψ+-=能量的取值几率为()()()61;61 ;32321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 61i e x p 61i e x p 32, ϕϕϕψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （见习题选讲5.10）设体系的哈密顿算符为()22221ˆ21ˆˆ21ˆz y x L I L L I H ++=利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。
解：将哈密顿算符改写为()212212122221ˆ2121ˆ21ˆ2121ˆˆˆ21ˆz z z y x L I I L I L I I L L L I H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=显然，{}zL L H ˆ,ˆ,ˆ2构成力学量完全集，且其共同本征函数系为{}),(Y ϕθlm ，于是),(Y 2121)1(21),(Y ˆ2121ˆ21),(Y ˆ22122121221ϕθϕθϕθlm lm z lm m I I l l I L I I L I H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 进而可知能量本征值为221212121)1(21 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=m I I l l I E lm 相应的本征矢为球谐函数()ϕθ,Y lm 。
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
复旦大学中国古代文学研究中心③324哲学综合知识④425形式逻辑基础1993-1994，1996③311语言学基础知识1996-1999④402古代汉语和现代汉语基础1996-1999③312文史知识1996-1997④403古籍校读1996-1997③338文学理论④801中国古代文学西方哲学史1994-1998西方哲学史（从古希腊到现代）2005中国古代与现代文学1996-1999，2002、2004-2005中国现当代文学1999中外文学与文艺理论1995-1998、2000、2003-2005写作1996-2002，2004-2005语文与写作1997中国语言文学系③313写作1996-2002、2004-2005④405中外文学与文艺理论1995-1998、2000、2003-2005③311语言学基础知识1996-1999④402古代汉语和现代汉语基础1996-1999③312文史知识1996，1997、④406目录版本学1996，1997④404中国古代与现代文学1996-1999，2002、2004-2005④802电影史与电影理论美学与文艺学1996-1999、2002理论语言学1996-1999中国古代文学史1996-1999语文与写作1997外国语言文学学院②207二外俄语208二外日语1994-1996,1998209二外德语1994-1995210二外法语1994-1996③314基础英语1995-1999④407英美文学史1995-1998408语言学理论1995-1998新闻学院③320新闻传播学基础2003-2005④414新闻实务2003-2004新闻实务模拟试题和答案18套（36元）④813传播实务2004（2004有答案）③340营销学2004④804广告与公关实务2004③339传媒与社会2004④803广播电视艺术2004新闻传播学实务2003新闻传播理论2003新闻业务1996-1998新闻传播业务1999-2000，2002新闻与传播理论1999，2001-2002新闻理论与中国新闻史1995-1998中外新闻事业史1999-2000，2002新闻传播学基础（单考生）2004历史学系③321史学概论1994-2000世界近现代史1996-1999世界上古史中古史1999世界古代中世纪史1995-1997中国古代史1995-1997、1999中国近现代史1996-1999古代汉语1992，1994，1996经济学院④420经济学综合基础2003-2005（2003-2005均有答案）经济学1993-2002（均有答案）④421西方经济学④401金融学基础（金融联考）2002-2005（均有答案）④421微观经济学1996-2001（A）-2001（B）-2002，2004（均有答案）世界经济1999-2000，2002（均有答案）世界经济概论1996-1998（均有答案）货币银行学1998-2002（1998有两份，国际金融和货币银行学专业各一份）货币银行学与国际金融1998金融学1999-2001综合考试（金融学专业）1999-2002当代中国经济1999管理学院④446经济与管理综合知识④420经济学综合基础2003-2005（2003-均有答案）经济学1993-2002（均有答案）④447概率论与数理统计1998-2004④421西方经济学③330高等数学1998④448线性规划1995-1998④449管理科学导论（运筹学）1994-1995-1999，2001-2002821运营管理④822数据结构与数据库管理444企业管理综合理论与知识2003-2005（2003-2005有答案）企业管理综合理论与知识模拟试题和答案18套（36元）④445会计学1995-2003（2001-2003有答案）④823东方管理与应用经济④825经济、管理和市场营销学基础④824财务金融综合知识微观经济学1996-2001（A）-2001（B）-2002，2004（均有答案）世界经济1999-2000，2002（均有答案）世界经济概论1996-1998（均有答案）企业经营管理1995-2002（1995-2002有答案）数据结构与操作系统1990-2004应用概率统计1999-2000概率统计1998企业管理2005（有答案）！哲学系③324哲学综合知识2004-2005④422马克思主义哲学原著1993-1994，1996④423中国哲学史1994，1996④424外国哲学史2000、2005④425形式逻辑基础1993-1994，1996④426西方伦理思想史④427宗教学原理④428科学技术哲学西方哲学史（从古希腊到现代）2005西方哲学史1994-1998国际关系与公共事务学院③325政治学原理1996-2005（1996-2004有答案）④429西方政治思想史1999-2004④430马克思主义原著选读1993-1994，1996④432国际关系1996-2005433行政学1997-2005（2002-2005有答案）当代中国政治制度1996-2005世界经济1999-2000，2002（均有答案）行政管理学1996-2002（均有答案）世界经济概论1996-1999（1996-1998有答案）世界经济与政治1996-2002，2004-2005数学研究所③331数学分析1996-2001④450代数与几何常微分方程1995-2001高等代数1996-2001数学物理方程1995-1997、1999-2001概率统计（数量经济专业）1998应用概率统计1999-2000应用概率2002物理学系③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004固体物理1996-1999-2001电动力学1996-2001热力学与统计物理1996-1997、1999、2001传热学1999现代物理所③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004固体物理1996-1999-2001电动力学1996-2001热力学与统计物理1996-1997，1999，2001信息科学与工程学院③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004④452电磁场和电磁波1998-1999805光学④453电路与系统基础④817电子线路与集成电路设计④818半导体器件原理1994-1997、1999④454电子学基础(模拟、数字和微波技术)2000④455数据结构与操作系统1990-1999-2000-2001-2004③333数学分析与线性代数1990-1999，2001-2004电子线路（模拟和数字）1996-1998-2000固体物理1996-1999-2001计算机原理1994-1997、1999编译原理1990-1999-2002离散数学1999计算机图示学1992-1999-2002计算机组织与结构1990-1999-2002电磁场理论和微波技术1997-1998电路和信号理论1999电子线路1999化学系④334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2003有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案，但不完整）457无机化学和分析化学1998-2000，2003-2004（1998—2004有答案）③336生物化学1996，1998-2005④465细胞生物学1994，1997-2002-2004332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004生命科学学院③335生态学1995—1998④462植物学1994—1997③334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2003有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案，但不完整）③352药学综合④482有机化学(医)④463动物学1995、1997—1998③336生物化学1996，1998-2005④464微生物学1999337生理学④465细胞生物学1994，1997-2002-2004④466遗传学和细胞生物学345进化生物学④819生物统计学820生物信息学遗传学1999、2001-2002遗传学和细胞学2003生物综合2001法学院③326法学概论1996-2005④434法理学1999-2000，2003-2005435中外法制史④436宪法与行政法学2000④437刑法学④438民商法学2005④439诉讼法学2005④806环境法④440国际法及冲突法1999，2002，2003③398专业基础课(含刑法、民法)④498综合基础课(含法理、宪法和中国法制史)民法学1996-1997-2002中国法制史1995-1999-2000外国法制史1995-1996-1999、2001外国宪法1995-1998行政法学1997，1998，2002商法学1999-2000，2002国际法1995-1997，1999-2000，2003-2005力学与工程科学系④461理论力学1995-1999、2002-2004（2002有答案）④459材料科学基础④460高分子材料化学与物理807材料科学与工程材料力学1999、2002答案：2002材料科学系459材料科学基础460高分子材料化学与物理807材料科学与工程451普通物理1996-2004有机化学1994-1995，1997-2004光源与照明工程系③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004人口研究所④420经济学综合基础③327社会统计学1995—1998441社会学概论1995-1998、2000、2005357卫生管理综合808社会保障479卫生统计学351卫生综合经济学综合基础2003-2005（2003-2005均有答案，2005为回忆版）经济学1993-2002（均有答案）社会科学基础部③325政治学原理1996-2005（1996-2004有答案）④431马克思主义理论与中国社会主义建设④809中共党史分析测试中心③334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2004有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案，但不完整）457无机化学和分析化学1998-2000，2003-2004（1998—2004有答案）历史地理研究中心③323中国历史地理1996—1997、1999④417中国古代史1995-1997、1999419中国自然地理1999高分子科学系③334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2004有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案，但不完整）457无机化学和分析化学1998-2000，2003-2004（1998—2004有答案）458高分子化学与物理1994-1998③336生物化学1996，1998-2005④465细胞生物学1994，1997-2002—2004社会发展与公共政策学院（社会学系）④327社会统计学1995—1998441社会学概论1995-1998、2000、2005④442社会工作概论③328文化人类学2005高等教育研究所③329中国教育史1999-2001-2003-2004（均有答案）④443教育学1999-2001-2003-2004（2003有答案）343经济学2004环境科学与工程系④467环境科学综合知识2003—2004④811环境工程综合知识基础环境学1995-1999（1998有答案）环境化学1999—2002（1999-2001有答案）环境生物学2000—2001（2000-2001有答案）微电子研究院④817电子线路与集成电路设计④818半导体器件原理1994-1997、1999电子线路（模拟和数字）1996-1998-2000计算机原理1994-1997、1999软件学院③333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2009年复旦大学量子力学考研试题
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2009年复旦大学量子力学（回忆版）
1.在H0表象下，H0=，H'=
H’〈<H0，已知t=0,体系处于基态,求t〉0时刻体系处于激发态的概率。
2。
估算一维谐振子基态能量。
3.实际类氢原子不是一个点电荷，他的电势x（r)=
求该原子1s能级一级修正
4。
已知两个全同粒子,其自旋为s,求该分别体系处于自旋对称态和自旋反对称态的概率
5.已知在Lz表象下，Lx=（），Ly=（)
（1）已知在（)态下,求Lx的可能测值及相应的几率
(2)在态ψ=（）态下, Lz的可能测值及几率， Lz^2测
值为+1的几率。
《量子力学》考研真题详解1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。
[北京大学2005研]【答案】，；8.9×10－41m2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。
计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。
[北京大学2005研]【答案】2.9×10－10m二、判断题1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。
[北京大学2006研]【答案】对查看答案【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。
2设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。
[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足：若（即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。
力学量F∧为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。
不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。
因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。
3一维粒子的本征态是不简并的。
[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。
比如，一维无限深方势阱，若势能满足：在阱内（），体系所满足的定态薛定谔方程为：在阱外（），定态薛定谔方程为：体系的能量本征值为：本征函数为：所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。
复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
汇总⾼校量⼦⼒学考研试题习题1⼀、填空题1．玻尔的量⼦化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归⼀化波函数，粒⼦在⽅向、⽴体⾓内出现的⼏率为，在半径为，厚度为的球壳内粒⼦出现的⼏率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．⾃由粒⼦体系，__________守恒；中⼼⼒场中运动的粒⼦___________守恒。
9．⼒学量算符应满⾜的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归⼀化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两⼒学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的⼒学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量⼦⼒学中，原⼦的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原⼦的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量⼒学量有确定的值，则⼒学量算符与态⽮量的关系为__________。
20．⼒学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
