完整word版,高考数学复习二次函数测试题

二次函数一．选择题（共10小题）1．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为( ）A． B． C．D．2．一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ）A．当a=1时,函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点C．若a＞0,则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0,则当x≤1时，y随x的增大而增大4．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c ＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个 C．3个D．4个5．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④6．点P1（﹣1，y1)，P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2,y3的大小关系是（)A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y37．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点,抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧)．则下列命题中正确命题的个数是（）①abc＞0;②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0;④k＞a+b；⑤ac+k＞0．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论:①abc＜0；②b＜a+c;③4a+2b+c＞0;④2c＜3b；⑤a+b＜m （am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．①③④C．③④⑤D．②③⑤9．如图，分别过点P i(i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2 C． D．10．若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（）A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2二．填空题（共9小题)11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4,3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为．12．写出一个y关于x的二次函数的解析式,且它的图象的顶点在y轴上：．13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为．14．抛物线y=﹣x2+4ax+b(a＞0)与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P(2，2a)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合）,连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1)a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时,若AP⊥PC,求a的值．15．已知是二次函数，则a= ．16．抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有个．17．抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是，顶点坐标是．18．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B(6，﹣6）和原点，则抛物线的函数关系式是．19．已知y=（k+2）是二次函数，则k的值为．四．解答题（共5小题）20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点,与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．21．如图，抛物线经过A（﹣1，0)，B（5，0)，C(0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C，M，N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．23．已知：如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣1,0),点C（0，5），另抛物线经过点（1，8)，M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．24．某商店进了一批服装,每件成本50元,如果按每件60元出售,可销售800件，如果每件提价5元出售,其销量将减少100件．（1）求售价为70元时的销售量及销售利润；（2）求销售利润y（元）与售价x（元)之间的函数关系，并求售价为多少元时获得最大利润；(3）如果商店销售这批服装想获利12000元,那么这批服装的定价是多少元？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．(2016•贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（)A． B． C．D．【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选：B．2．(2016•毕节市）一次函数y=ax+b(a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解:A、由抛物线可知,a＜0，由直线可知，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0,故本选项错误;C、由抛物线可知,a＜0，x=﹣＜0,得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0,由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．故选C．3．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是( ）A．当a=1时,函数图象过点(﹣1,1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时,y随x的增大而增大【解答】解:A、∵当a=1，x=﹣1时,y=1+2﹣1=2,∴函数图象不经过点（﹣1，1）,故错误；B、当a=﹣2时,∵△=42﹣4×（﹣2)×（﹣1）=8＞0,∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时,y随x的增大而增大，故正确；故选D．4．(2016•枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有( ）A．1个B．2个 C．3个D．4个【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0,∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣,b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b,∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0,∴④正确；综上,可得正确结论有3个:①③④．故选：C．5．（2016•邯郸校级自主招生)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜;④b＞1．其中正确的结论是( ）A．①②B．②③C．③④D．②④【解答】解：①∵抛物线的开口向上,∴a＞0,∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误;②当x=1时，函数值为2,∴a+b+c=2；故本选项正确；③∵对称轴x=＞﹣1，解得:＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x=﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c=2,将a+c=2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述,其中正确的结论是②④;故选D．6．（2016•兰州)点P1（﹣1，y1)，P2（3,y2），P3（5,y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（)A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1,P2（3，y2），P3（5，y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1)关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．7．（2016•大庆校级自主招生）如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点,其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（)①abc＞0;②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0;④k＞a+b；⑤ac+k＞0．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=﹣2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；②3a+b＞0正确；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD,∴点A的坐标为（c,0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞﹣1．∴③﹣1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，．由图象知x2＞1,∴＞1∴k＞a+b∴④k＞a+b正确;∵，∴2a﹣ac=1．∴ac=2a﹣1，∵﹣1＜k＜0，∴⑤令ax2+bx+c=kx+c，∴ax+b=k，∵b=﹣2a，∴x=．∵交点在B(2﹣c，0）右边，∴＞2﹣c，∴k+2a＞2a﹣ac，∴ac+k＞0，故正确．故选D．8．（2016•庄河市自主招生）如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m (am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．①③④C．③④⑤D．②③⑤【解答】解:①由图象可知：a＜0,c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故此选项正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0,错误；③由对称知,当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c,故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b)，故此选项错误．故①③④正确．故选B．9．（2016•杭州校级自主招生）如图，分别过点P i（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2 C． D．【解答】解：根据题意得：A i B i=x2﹣(﹣x）=x（x+1），∴==2（﹣），∴++…+=2(1﹣+﹣+…+﹣）=．故选A10．(2016•萧山区校级四模)若实数m满足,则下列对m值的估计正确的是（) A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2【解答】解：∵m2+2(1+)=0,∴m2+2+=0，∴m2+2=﹣，∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=﹣的交点的横坐标，作函数图象如图，在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=﹣的y值随m的增大而增大，当m=﹣2时y=m2+2=4+2=6,y=﹣=﹣=2，∵6＞2，∴交点横坐标大于﹣2，当m=﹣1时，y=m2+2=1+2=3，y=﹣=﹣=4，∵3＜4，∴交点横坐标小于﹣1，∴﹣2＜m＜﹣1．故选A．二．填空题（共9小题）11．(2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3）,D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15 ．【解答】解:∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x）,∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5,BC∥x轴,∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3)=﹣(x﹣3)2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．12．（2016•南平）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：y=x2（答案不唯一）．【解答】解：由题意可得：y=x2（答案不唯一）．故答案为：y=x2（答案不唯一）．13．（2016•泰州)二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为（1+，3)或（2，﹣3）．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2,∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上,∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3,∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上,∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+,3）或(2,﹣3)故答案为：（1+,3）或（2，﹣3）14．（2016•自贡）抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点）,过点P （2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N,连接BC和PC．(1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2)如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，∴b=0，∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，∵x=2时，y=8,∴点B坐标（2，8），∵对称轴x=3,B、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，8），∴BC=2．（2）∵AP⊥PC,∴∠APC=90°，∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，∴∠CPB=∠PAM,∵∠PBC=∠PMA=90°，∴△PCB∽△APM，∴=,∴=，整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±,∵a＞1，∴a=2+．15．(2015秋•乌鲁木齐校级月考）已知是二次函数，则a= ﹣1 ．【解答】解：根据题意可得a2﹣2a﹣1=2解得a=3或﹣1又∵a﹣3≠0∴a≠3，∴a=﹣1．16．（2012•南京模拟）抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有 3 个．【解答】解：∵b2﹣4ac=(﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与x轴有两个交点∵c=3≠0，∴二次函数y=﹣2x2+4x﹣2的图象与y轴有1个交点，∴抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有3个．17．(2009•安徽模拟）抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是直线x=﹣1 ,顶点坐标是（﹣1，3) ．【解答】解：(1）解法1:利用公式法y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（,），代入数值求得对称轴是：直线x=﹣1，顶点坐标为(﹣1，3）；（2）解法2：利用配方法y=2x2+4x+5=2（x2+2x+1）+3=2（x+1)2+3，故对称轴是x=﹣1，顶点的坐标是（﹣1，3）．18．（2008秋•周村区期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5，0）、B(6,﹣6）和原点，则抛物线的函数关系式是y=﹣x2+5x ．【解答】解：把点A（5，0）、B（6，﹣6）、(0。

二次函数的性质与应用，主要研究：顶点、对称轴、最值、对称性、增减性、与坐标轴交点、图象平移、图象与方程（不等式）、图象信息、图象结合几何问题，实际应用问题等1、抛物线y=－x2+(m－1）x+m与y轴交于（0，3）点。

（1)求出这条抛物线解析式; (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3）求出最值、画出图象; （4)x取什么值时，y的值随x的增大而减小？（5）x取什么值时，抛物线在x轴上方?2、已知函数（1）m= 时,函数图像与x轴只有一个交点; (2）m为何值时,函数图像与x轴没有交点;3、抛物线的一部分如右上图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是4将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后,所得抛物线的解析式为y=x2﹣1，则原抛物线的解析式为．5、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1,0)，B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是___________．5、二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( ）A、b≥ B、b≥1或b≤-1 C、b≥2 D、1≤b≤2二次函数的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当时,函数y随x的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有________ ．(请写出所有正确说法的序号）抛物线顶点坐标为点C（1，4),交x轴于点A(3,0），交y轴于点B.（1)求此抛物线的解析式；（2)抛物线上是否存在点P,使S△ABP=S△ABC,若存在,求出P点坐标；若不存在,请说明理由.如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm,点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2)求△PBQ的面积的最大值．1、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD,AC=4BC，设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )A、B、C、D、二、综合题（共2题；共25分）2、（2015•崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1）求证：△AEF∽△ABC；（2)求这个正方形零件的边长；（3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?3、（2016•义乌）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0。

二次函数练习题及答案一、选择题1． 将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是 （ )A 23(2)1y x =++B 。

23(2)1y x =+-C 。

23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2．将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ) Ａ．32+=x y ; Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ； Ｄ．2)1(2+-=x y ．3．将抛物线y= (x —1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A ．y=（x —2）2B ．y=（x —2)2+6C ．y=x 2+6D ．y=x 24．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是(1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ )A ．最大值1B ．最小值﹣3C ．最大值﹣3D ．最小值16．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（ ）A ．2(3)3y x =-+B ．2(3)1y x =-+C ．2(1)3y x =-+D ．2(1)1y x =-+7．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C 。

b= -2,c=-1 D 。

b= -3， c=2二、填空题8．二次函数y=－2(x －5)2＋3的顶点坐标是 ．9．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”或“<”）．x 0 1 2 3 y1- 2 3 210．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为 ．11．求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿）对称轴＿＿＿＿。

高三数学单元练习题：函数（Ⅱ）一、填空题： 1、函数y =的定义域为 ▲ 。

2、已知全集U =AB 中有m 个元素，()()u uC A C B ⋃中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为 ▲ 个。

3、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ▲ 。

4、函数)86(log 221+-=x x y 的单调递增区间是 ▲ 。

5、函数21)(++=x ax x f 在区间()+∞-,2上是增函数，那么a 的取值范围是 ▲ 。

6、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是▲ 。

7、()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为 . 8、已知二次函数f(x)＝4x2－2(p －2)x －2p2－p ＋1，若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围是 ▲ 。

9、二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若 f(1－2x2)<f(1＋2x －x2)，则x 的取值范围是 ▲ 。

10、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 ▲ 个。

11、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ▲ 。

12、(2)k x ≤+[],a b ，且2b a -=，则k ＝ ▲ 。

二、解答题：13、设函数()x e f x x=（1）求函数()f x 的单调区间； （2）若0k >，求不等式()(1)()0f x k x f x '+->的解集。

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

§2.4二次函数与幂函数Ａ组基础题组1.(2021陕西模拟)若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图,则a、b、c、d的大小关系是( )A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c2.(2021浙江乐清白象中学模拟)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=()A. B.1 C. D.23.(2022杭州学军中学其次次月考文,2,5分)函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()4.(2021安徽芜湖质检)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有( )A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定5.(2021辽宁,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-166.(2021四川,9,5分)假如函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为( )A.16B.18C.25D.7.(2022超级中学原创猜测卷三,7,5分)已知关于x的方程|x-k|=k在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,1]B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(0,2)8.(2022超级中学原创猜测卷八,11,6分)若函数f(x)=且b=f(f(f(0))),则b= ;若y=是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则整数a的值是.9.(2021杭州二模文,12,6分)设函数f(x)=其中c>0,则函数f(x)的零点为;若f(x)的值域是,则c的取值范围是.10.(2022杭州学军中学其次次月考文,13,4分)已知二次函数f(x)=-x2+x,其定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n](m<n),则m-n= .11.(2022杭州学军中学其次次月考,20,15分)已知函数f(x)=ax2-x-3.(1)求a的范围,使y=f(x)在[-2,2]上不具单调性;(2)当a=时,函数f(x)在闭区间[t,t+1]上的最小值记为g(t),求g(t)的函数表达式;(3)第(2)题的函数g(t)是否有最值?若有,恳求出;若没有,请说明理由.12.(2021浙江宁波十校联考,20)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c,且a≠0),f(1)=0,且存在实数m使得f(m)=-a.(1)求证:①b≥0;②f(m+3)>0;(2)函数g(x)=f(x)+bx的图象与x轴的两个交点间的距离记为d,求d的取值范围.13.(2022超级中学原创猜测卷二,19,15分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(1)若函数y=为奇函数,求g(x)=f(x)-(a-1)x2-(2a+1)x-(c-2)在[-1,1]上的最小值h(a);(2)若a=2,当x∈[-1,1]时,f(x)的最大值与最小值之差总不大于3,求实数b的取值范围.B组提升题组1.若(x-3<(1+2x,则x的取值范围是( )A. B.{x|x<-4}C. D.{x|x>-4}2.(2021诸暨一模文,5,5分)函数f(x)=xα+1,若f(x)在区间[a,b](0<a<b)内的值域为[3,6],则f(x)在[-b,-a]内的最大值与最小值之和为( )A.-9B.-7C.-5D.9或-53.(2021杭州高级中学月考,4)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( )A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定4.(2021浙江舟山模拟,6)已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③>;④<.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.②③5.(2021浙江冲刺卷三,5)若函数f(x)=x2+m|x-2|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是( )A.[-4,0]B.[-2,0]C.[0,4]D.[0,2]6.(2021陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上7.(2021镇海中学5月模拟,9,6分)已知函数f(x)=.当a=1时,不等式f(x)≥1的解集是;若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是.8.(2021福建,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.9.(2022温州高三上学期返校联考文,20,15分)设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(1)求f(x)在[0,2]上的最小值g(a)的表达式;(2)若f(x)在闭区间[m,n]上单调递增,且{y|y=f(x),m≤x≤n}=[m,n],求a的取值范围.10.(2022温州高三上学期返校联考,18,15分)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),f(1)=0,且1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,f(x)是区间[2,+∞)上的增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若|f(m)|=|f(n)|,且m<n<2,u=m+n,求u的取值范围.11.(2021浙江测试卷,20)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<.(1)当x∈(0,x1)时,证明:x<f(x)<x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<. 12.(2021浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.13.(2022超级中学原创猜测卷一,20,15分)已知函数f(x)=x|x-a|+2x.(1)当a=0时,若对任意的m∈[-2,2],不等式f(mx-2)+f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;(2)若存在a∈[-2,4],使得函数y=f(x)-at有三个不同的零点,求实数t的取值范围.Ａ组基础题组1.B 依据幂函数的性质及图象知选B.2.C ∵f(x)=k·xα是幂函数,∴k=1.又f(x)的图象过点,∴=,∴α=,∴k+α=1+=.故选C.3.D 在A、B、C中,由y=的图象知a>0,而y=ax2+a=a(x2+1)的图象过定点(0,a)且对称轴为直线x=0,故A、B、C均错.再推断可知D对.4.A 由f(0)>0得c>0.∵函数f(x)=x2+x+c图象的对称轴是x=-,∴-1<p<0,∴0<p+1<1,再由二次函数的图象知f(p+1)>0,故选A.5.B 令f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)·x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)与g(x)的图象如图.由题意知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值为g(a-2),故A-B=f(a+2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.6.B 当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-8<0⇒n<8,于是mn<16,则mn无最大值.当m∈[0,2)时,f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间上单调递减,需-≤,即2n+m≤18,又n≥0,则mn≤m=-m2+9m.而g(m)=-m2+9m在[0,2)上为增函数,∴m∈[0,2)时,g(m)<g(2)=16,故m∈[0,2)时,mn无最大值.当m>2时,f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2,所以mn≤18,当且仅当即时,取“=”,此时满足m>2.故(mn)max=18.故选B.7.A 依据题意,k>0,|x-k|=k等价于|x-k|2=,即x2-x+k2=0,因此,|x-k|=k在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根等价于方程x2-x+k2=0在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根,记f(x)=x2-x+k2,依据二次函数的图象与性质,得解得0<k≤1,故选A.8.答案1;1或3解析由分段函数f(x)可得b=f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=1.由于y=在(0,+∞)上是减函数,则a2-4a-1<0,解得2-<a<2+,由于a为整数,则a=0,1,2,3,4.检验:只有当a=1,3时,函数y=x-4为偶函数.故a的值为1或3.9.答案-1和0;0<c≤4解析解方程f(x)=0,得x=-1或x=0.由图可知,若f(x)的值域是,则c的取值范围是0<c≤4.10.答案-4解析分对称轴x=1在区间[m,n]内,在区间[m,n]左侧和在区间[m,n]右侧三种状况争辩.11.解析(1)由题知-2<-<2,解得a>或a<-.(2)当a=时,f(x)=x2-x-3=(x-1)2-,g(t)=(3)当t≥1时,g(t)≥-;当0<t<1时,g(t)=-;当t≤0时,g(t)≥-.综上,g(t)有最小值-,无最大值.12.解析(1)证明:①由于f(1)=a+b+c=0,且a>b>c,所以a>0,c<0,且a+c=-b.由于存在实数m使得f(m)=-a,即存在实数m,使am2+bm+c+a=0成立,所以Δ=b2-4a(a+c)≥0,即b2+4ab=b(4a+b)≥0.(2分)由于4a+b=3a+a+b=3a-c>0,所以b≥0.(4分)②由题意可知f(x)=0的两根为1,,所以可设f(x)=a(x-1),其中a>0,<0.(5分)由于f(m)=-a,所以a(m-1)=-a,即(m-1)=-1<0,所以必有<m<1.(6分)由于a+c=-b≤0,a>0,c<0,所以+1=-≤0,即≤-1,又由于a>b=-a-c,所以>-2,所以-2<≤-1,(7分)所以m+3>3+>3-2=1,结合图象可知f(m+3)>f(1)=0,即f(m+3)>0成立.(8分)(2)由(1)可知-2<≤-1.令g(x)=f(x)+bx=0,即ax2+2bx+c=0,记函数g(x)=f(x)+bx的图象与x轴必有两个交点分别(x1,0),(x2,0),则d=|x1-x2|,x1+x2=-,x1x2=,(10分)d2=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=-=-=4=4+2+其中-2<≤-1.(12分)所以4≤d2<12,又d>0,所以2≤d<2.(15分)13.解析(1)由于函数y==为奇函数,所以b=1,函数g(x)=f(x)-(a-1)x2-(2a+1)x-(c-2)=x2-2ax+2.函数g(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=a,所以分三种状况争辩:①当a>1时,g(x)在[-1,1]上单调递减,故[g(x)]min=g(1)=3-2a;②当-1≤a≤1,且a≠0时,g(x)在[-1,1]上先减后增,故[g(x)]min=g(a)=2-a2;③当a<-1时,g(x)在[-1,1]上单调递增,故[g(x)]min=g(-1)=3+2a.综上,函数g(x)在[-1,1]上的最小值h(a)=(2)由题意可知,f(x)=2x2+bx+c=2+c-,设f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值分别为M,m,当≥1,即|b|≥4时,M-m=|f(1)-f(-1)|=|2b|≥8,与题意不符;当<1,即|b|<4时,M必为f(1),f(-1)中的较大者,所以M=2+|b|+c,而m=c-,所以M-m=2+|b|+c-=2+|b|+≤3,整理得b2+8|b|-8≤0,解得|b|≤2-4,所以4-2≤b≤2-4,即实数b的取值范围为[4-2,2-4].B组提升题组1.A 奇函数f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)内均为减函数,且x>0时,f(x)>0,x<0时,f(x)<0,所以x-3>1+2x>0或1+2x<x-3<0,或所以x<-4或-<x<3.2.D 当α∈时,函数g(x)=xα均是奇函数,g(x)=xα在[a,b]上的值域是[2,5],则g(x)=xα在[-b,-a]上的值域是[-5,-2],所以f(x)在[-b,-a]上的值域是[-4,-1],f(x)在[-b,-a]上的最大值与最小值之和等于-5;当α=2时,函数f(x)是偶函数,则f(x)在[-b,-a]上的值域是[3,6],f(x)在[-b,-a]上的最大值与最小值之和等于9,故选D.3.A f(x)=ax2+2ax+4=a(x+1)2+4-a,其图象的对称轴为x=-1,由于0<a<3,所以x1+x2=1-a>-2,又由于抛物线开口向上,所以结合图象可知f(x1)<f(x2).4.D 设f(x)=xα,∵f(x)的图象经过点,∴=,∴α=,即f(x)=,又P(x1,y1),Q(x2,y2)是f(x)=图象上的两点,且0<x1<x2,∴f(x2)>f(x1),∴x2f(x2)>x1f(x1).∵k OP>k OQ,∴>,故②③是正确的,选D.5.A 由题意得f(x)=由条件知f(x)在[0,2)和[2,+∞)上都是增函数,∴解得-4≤m≤0.6.A 由已知得,f'(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有由①②得代入③中并整理得9a2-4a+=0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+=0无整数解,故A错.若B、C、D正确,则有解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8,此时f(-1)=23≠0,符合题意.故选A.7.答案(-∞,0]∪[2,+∞);0≤a≤1解析当a=1时,f(x)≥1⇔≥2,可得x2-2x+1≥1,解得不等式的解集为(-∞,0]∪[2,+∞).若函数的定义域为R,则不等式≥1恒成立,等价于x2-2ax+a≥0恒成立,只需Δ=4a2-4a≤0,解得a∈[0,1]. 8.答案9解析依题意有a,b是方程x2-px+q=0的两根,则a+b=p,ab=q,由p>0,q>0可知a>0,b>0.由题意可知ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a,将a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1,此时a+b=5,将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此时a+b=5,则p=5,故p+q=9.9.解析(1)当-≤0,即a≥-时,g(a)=f(0)=a2+3a;当-≥2,即a≤-时,g(a)=f(2)=a2+7a+6;当0<-<2,即-<a<-时,g(a)=f=2a-.综上,g(a)=(2)∵f(x)在[m,n]上递增,∴即方程f(x)=x在上有两个不相等的实数根,设F(x)=f(x)-x,则F(x)=x2+2ax+a2+3a,则则-≤a<0.故a的取值范围为-≤a<0.10.解析(1)由f(1)=b+c+1=0可得b=-c-1,又由于当1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,所以f(3)=9+3b+c≤0,所以9+c-3(c+1)≤0,即c≥3;由f(x)是区间[2,+∞)上的增函数可知-=≤2,所以c≤3,所以c=3,b=-4,所以f(x)=x2-4x+3.(2)由(1)可知|f(x)|=|(x-1)(x-3)|=|(x-2)2-1|,设|f(m)|=|f(n)|=t,则2-<m<1<n<2,且0<t<1,由|f(m)|=|(m-2)2-1|=t可得(m-2)2=1+t,所以m=2-,由|f(n)|=|(n-2)2-1|=t可得(n-2)2=1-t,所以n=2-,u=m+n=4--.令s=+,则s2=(+)2=2+2,由0<t<1可知,2<s2<4,所以<s<2,所以2<u<4-.故u的取值范围是2<u<4-.11.证明(1)由于x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)(a>0).当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,a>0,所以a(x-x1)(x-x2)>0,故x<f(x).由于x1-f(x)=x1-a(x-x1)(x-x2)-x=(x1-x)[1+a(x-x2)],又x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0,于是x1-f(x)>0.从而f(x)<x1.综上,x<f(x)<x1.(2)由题意知x0=-.由于x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根,所以x1+x2=-,所以x0=-==.由于ax2<1,所以x0<=.12.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,故f(x)图象的对称轴为直线x=-.当a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-2<a≤2时,g(a)=f=1.当a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,因此≤s≤(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,≤st≤,由于-≤≤0和-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4.当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0和-3≤<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是[-3,9-4].13.解析(1)当a=0时,有f(x)=x|x|+2x=由于f(-x)=-x|-x|-2x=-(x|x|+2x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,易得函数f(x)在R上单调递增.不等式f(mx-2)+f(x)<0可化为f(mx-2)<f(-x),所以mx-2<-x,即mx+x-2<0对任意的m∈[-2,2]恒成立.令g(m)=mx+x-2,则g(m)可看作关于m的一次函数,所以即解得-2<x<.故实数x的取值范围是-2<x<.(2)易知f(x)=x|x-a|+2x=若x≥a,当对称轴x=≤a,即a≥-2时,函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增;若x<a,当对称轴x=≥a,即a≤2时,函数f(x)在区间(-∞,a)上单调递增.则当-2≤a≤2时,函数f(x)在R上单调递增,所以函数y=f(x)-at不行能有三个不同的零点,即此时实数t的取值范围为⌀.只需要争辩a∈(2,4]的情形:若x≥a,对称轴x=<a,则函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增,此时函数f(x)的值域为[f(a),+∞),即[2a,+∞).若x<a,对称轴x=<a,则①函数f(x)在区间上单调递增,此时函数f(x)的值域为;②函数f(x)在区间上单调递减,此时函数f(x)的值域为.由于存在a∈[-2,4],使得函数y=f(x)-at有三个不同的零点,则ta∈,即存在a∈(2,4],使得t∈.而当a∈(2,4]时,函数y=为单调递增函数,所以实数t的取值范围为.。

高考数学复习二次函数测试题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考数学复习二次函数测试题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高考数学复习二次函数测试题(word版可编辑修改)的全部内容。

高考数学复习二次函数测试题1．解析式、待定系数法若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11），则A ．1,4,11a b c ==-=-B ．3,12,11a b c ===C ．3,6,11a b c ==-=D ．3,12,11a b c ==-=变式2:若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称,则c =_______．变式3:若二次函数()2f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠），则122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2b a -B ．ba - C ． c D ．244acb a-变式2：函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是A．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<<变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示，xyO请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．单调性已知函数()22f x x x =-,()()22[2,4]g x x x x =-∈．(1）求()f x ,()g x 的单调区间;(2) 求()f x ，()g x 的最小值．变式1:已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤-变式2：已知函数()()215f x x a x =--+在区间（错误!，1）上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．4．最值已知函数()22f x x x =-,()()22[2,4]g x x x x =-∈．（1）求()f x ，()g x 的单调区间；(2） 求()f x ,()g x 的最小值．变式1：已知函数()223f x x x =-+在区间［0,m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞变式2：若函数y =M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间［0,2］上的最小值为3,求a 的值．5．奇偶性已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像,并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是 A ．增函数 B ．减函数 C ．常数 D ．可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________． 变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．（I ）讨论)(x f 的奇偶性；（II ）求)(x f 的最小值．6．图像变换已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；（2)求函数的单调区间；（3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间． 变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称； ③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间［a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题: ①当c =0时,)(x f y =是奇函数；②当b =0，c 〉0时，方程0)(=x f 只有一个实根;③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称;④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为 ．7．值域求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域: (1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤;(2） 定义域为[]2,1-． 变式1：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A ．⎡-⎢⎣⎦B ．()20,4-C ．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ． 920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 变式2:函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2+ bx (a 、b 为常数,且 a ≠ 0)，满足条件 f （1 +x ） = f (1－x ）,且方程 f （x ） = x 有等根．(1）求 f （x ） 的解析式;（2）是否存在实数 m 、n （m 〈 n ），使 f （x ) 的定义域和值域分别为 ［m ,n ] 和 ［3m ，3n ]，如果存在，求出 m 、n 的值，如果不存在,说明理由．8．恒成立问题当,,a b c 具有什么关系时,二次函数()2f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？ 变式1:已知函数 f （x ) = lg (a x 2+ 2x + 1) ．(I)若函数 f (x ） 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II ）若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．变式2：已知函数2()3f x x ax a =++-,若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 变式3：若f (x ) = x 2+ bx + c ,不论 、 为何实数,恒有 f (sin )≥0，f （2+ cos）≤0．(I ） 求证:b + c = －1; （II) 求证： c ≥3;（III) 若函数 f (sin ） 的最大值为 8,求 b 、c 的值．9．根与系数关系右图是二次函数()2f x ax bx c =++的图像，它与xy轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确定,,a b c 以及12x x ,12x x +的符号．变式1：二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为变式2：直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=23,m +-23:323C y x mx m =+--中至少有一条相交，则m 的取值范围是．变式3：对于函数 f （x )，若存在 x 0R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ） 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2+ bx + 1（a 〉 0）有两个相异的不动点 x 1、x 2．(I ）若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ） 的图象关于直线 x = m 对称，求证m 〉 错误!； (II ）若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 ｜ = 2，求 b 的取值范围．D ．C ．xyO xyO OO xyxyA ．B ．10．应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线()2f x x ax =-+与x 轴所围成图形的内接矩形（一边在x 轴上)中(如图），求周长最长的内接矩形两边之比,其中a 是正实数．变式2：某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元)(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；BCxyDO A(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g （a ) ．（Ⅰ）求g （a ）；（Ⅱ）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a ．。

2.4二次函数一、单项选择题1．若函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是( )A ．[－4，0]B ．(－∞，0]C ．(－∞，－5]D ．(－∞，4]2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )A ．f(x)＝－x 2－x －1B ．f(x)＝－x 2＋x －1C ．f(x)＝x 2－x －1D ．f(x)＝x 2－x ＋13．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 34．(2020·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1B ．2C ．m －1D ．m5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)6．设abc ＞0，则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )7．(2021·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0B ．2C ．－52D ．－3二、填空题与解答题8．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．9．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．10．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________．11．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________．12．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________．13．(2020·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是________．15．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围．16．(2021·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2（x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．317．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1.2.4二次函数 参考答案1．答案 C2．答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x. 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D.3．答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边．∵函数在[1，＋∞)上是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3.4．答案 C解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C.5．答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]．6．答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b 2a＞0，函数f(x)的图象与y 轴的交点(0，c)在x 轴下方．故选D.7．答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，故h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以a ≥－⎝⎛⎭⎫12＋2即a ≥－52. 8．答案 9或25解析 y ＝8⎝⎛⎭⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162＝0， ∴m ＝9或25.9．(1)答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k 8≥2，解得k ≥8或k ≤－16. (2)答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b 2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b 2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．10．答案 [0，1]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1. 11．答案 ①(－∞，15) ②(－∞，3)解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3.12．答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 13．答案 [5，＋∞)解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上的最大值为f(a)，由图象对称性知a ≥5.14．答案 [0，4]解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是[0，4]．15．答案 (1)f(x)＝x 2＋2x ＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1](2)(－∞，1)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f(x)＝x 2＋2x ＋1. 由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立．令g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数． 则g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k<1.即k 的取值范围是(－∞，1)．16．答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2（x ≤0），2（x>0）.又f(x)＝x ， 则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．17．答案 (1)a ＝－1＋22(2)证明见解析 解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)．方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0，则Δ＝1－4a>0，则0<a<14.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a. |x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.则⎝⎛⎭⎫－1a 2－4a＝4，即4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，∴Δ＝(b －1)2－4a>0.设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1(a>0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14. ∴2a －b>0.此时，Δ＝(b －1)2－4a.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b 2a>－1.。

二次函数应用（能力提高）一、选择题：1 . 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于（C）（A） 8 （B） 14 （C）8或 14 （D） -8 或-142 .2当 a>0,b<0 时 , 它的图象经过 ( B)已知抛物线 y=ax+bx,（ A）一、二、三象限（ B）一、二、四象限（ C）一、三、四象限（D）一、二、三、四象限3 . 当 a>0, b<0,c>0 时 , 下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c 的是（ A ）（C）（D）第 7题4. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图，OA=OC，则（ A ）（ A） ac+1=b （ B） ab+1=c （ C） bc+1=a （D）以上都不是5.若二次函数 y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（ 0，1），（ -1 ，0），则 S=a+b+c 的变化范围是 ( C )(A)0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<16.将抛物线 y=-2x 2-1 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ A ）（A）3个单位(B)1 个单位(C) 1 个单位(D) 2 个单位2 27. 如图，等腰梯形ABCD的底边 AD在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴正半轴上， B（ 4,2 ），一次函数y=kx-1 的图象平分它的面积，关于2m的值为（ D ）x 的函数 y=mx -(3m+k)x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点，则（A） 0 （B）1（C）－ 1 （D）0 或1或－12 28.（ 2015 浙江）设二次函数y1a( x x1)( xx2 )(a0， x1 x2 ) 的图象与一次函数y2dx e d 0 的图象交于点 ( x1，0) ，若函数y y2y1的图象与 x 轴仅有一个交点，则（ B ）（ A） a( x1x2 ) d （ B）a( x2x1 ) d（ C）a( x1x2 )2 d （D） a x12dx2二、填空题：1. 已知二次函数y＝－4x2 2y＝2m4 的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是－ 2mx＋ m 与反比例函数x－ 2，则 m的值是-72. 已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在 x 轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为_y = -(x+1)(x - 5)___1 / 83. 已知二次函数y＝ax2（ a≥1）的图像上两点 A、 B的横坐标分别是－1、 2，点 O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△ OAB的周长为 4 2 + 2 54.老师给出一个函数 , 甲, 乙 , 丙 , 丁四位同学各指出这个函数的一个性质: 甲 : 函数的图像不经过第三象限。

二次函数的实际应用题一、单选题1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣16x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是()A．2m B．4m C．D．2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤压)至少为( )A ．(6cm +B ．(6cm +C ．(6cm +D ．(6cm +6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）A ．32分B ．30分C ．15分D ．13分7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）A ．0.55米B ．1130米 C ．1330米 D ．0.4米10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二、填空题11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米． 12．汽车刹车后行驶的距离s (单位：m )关于行驶的时间t (单位：s )的函数解析式是2126s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了m ______．13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．14．如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m （篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．17．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y =−140x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是______米.(精确到1米)18．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为xcm ，长为40cm ，左侧图片的长比宽多4cm . 若1416x 剟，则右侧留言部分的最大面积为_________2cm .19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为21231232h s s =-++，如图，已知球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__________．20．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．三、解答题21．在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？22．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：x ，且x是按0.5元的售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（6倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．23．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.24．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？25．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？26．随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系. （1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可用1122p x =+来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？27．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg ．设第x 天的销售价格为y （元/kg ），销售量为()m kg ．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x 剟时，y=40；当3150x 剟时，y 与x 满足一次函数关系，且当36x =时，37y =；44x =时，33y =．②m 与x 的关系为550m x =+． （1）当3150x 剟时，y 与x 的关系式为 ； （2）x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W （元）随x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a 元/kg ，求a 的最小值．28．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？29．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(0)m>，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值30．某农作物的生长率P与温度t(℃)有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数11505P t=-刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数21()0.4160P t h =--+ 刻画． (1)求h 的值．(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率P 满足函数关系：②请用含t 的代数式表示m ；(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w (元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．二次函数的实际应用题一、单选题1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣16x 2+bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( )A ．2mB ．4mC． D．【答案】D【分析】根据长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y ＝8代入解析式即可得结论． 【详解】根据题意，得 OA =12，OC =4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即﹣2ba=13b =6，∴b =2． ∵C （0，4），∴c =4， 所以抛物线解析式为： y =﹣16x 2+2x +4 =﹣16（x ﹣6）2+10 当y =8时， 8=﹣16（x ﹣6）2+10， 解得：x 1x 2=6﹣则x 1﹣x 2所以两排灯的水平距离最小是43． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°【答案】C【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞18542+且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】S△AEF=12AE×AF=212x，S△DEG=12DG×DE=12×1×（3﹣x）=32x-，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S △DEG =213922x x ---=21115222x x -++，则y=4×（21115222x x -++）=22230x x -++，∵AE ＜AD ，∴x ＜3，综上可得：22230y x x =-++（0＜x ＜3）．故选A ． 考点：动点问题的函数图象；动点型．4．某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m【答案】B【分析】以OB 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，A 点坐标为（0，10），M 点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解． 【详解】解：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2+403， 把点A （0，10）代入a (x ﹣1)2+403，得a (0﹣1)2+403＝10， 解得a ＝﹣103， 因此抛物线解析式为y ＝﹣103(x ﹣1)2+403， 当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1（不合题意，舍去）； 即OB ＝3米． 故选B ．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤压)至少为( )A ．(6cm +B ．(6cm +C ．(6cm +D ．(6cm +【答案】A【分析】设：左侧抛物线的方程为：2y ax =，点A 的坐标为()3,4-，将点A 坐标代入上式并解得：4a 9=，由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将y 2=代入抛物线表达式，即可求解． 【详解】解：设左侧抛物线的方程为：2y ax =， 点A 的坐标为()3,4-，将点A 坐标代入上式并解得：4a 9=， 则抛物线的表达式为：24y x 9=， 由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将y 2=代入抛物线表达式得：242x 9=，解得：x 2=(负值已舍去)，则AD 2AH 2x 6=+=+ 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解．6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）A ．32分B ．30分C ．15分D ．13分【答案】B【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案． 【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间， 所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟． 故选：B ．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定【答案】C【分析】（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．【详解】根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+， 得：36a +2.6=2， 解得：160a ，=-∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网， 当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界. 故选C.【点睛】考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-【答案】B【分析】设抛物线解析式为y=ax 2，由已知可得点B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】∵拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)， ∴-78=452a ， 解得：a=26675-， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为226675y x =-， 故选B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）A ．0.55米B ．1130米 C ．1330米 D ．0.4米【答案】B【分析】如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x ＝1.25＝54，A （0，0.8），C （3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系， 由题意得，对称轴为x ＝1.25＝54，A （0，0.8），C （3，0）， 设解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∴9305240.8a b c b a c ++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩， 解得：8154345a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y ＝815-x 2+43x +45， 当x ＝2.75时，y ＝1330， ∴使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】D【详解】解：A 、假设这个位置在点M ，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B 、假设这个位置在点N ，则从A 至C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C 、，假设这个位置在点P ，则由函数图象可得，从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P 不符合这个条件，故本选项错误； D 、经判断点Q 符合函数图象，故本选项正确； 故选D ．二、填空题11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米． 【答案】10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可． 【详解】当y=0时，212501233x x -++= 解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．12．汽车刹车后行驶的距离s (单位：m )关于行驶的时间t (单位：s )的函数解析式是2126s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了m ______． 【答案】6【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s 的值. 【详解】解：根据二次函数解析式2126s t t =-=-6(t²-2t+1-1)=-6(t -1) ²+6 可知，汽车的刹车时间为t=1s ， 当t=1时，2126s t t =-=12×1-6×1²=6(m) 故选：6【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．【答案】1.95【分析】以点B 为原点建立直角坐标系，则点C 为抛物线的顶点，即可设顶点式y ＝a （x−0.8）2＋2.4，点A 的坐标为（0，1.6），代入可得a 的值，从而求得抛物线的解析式，将点D 的横坐标代入，即可求点D 的纵坐标就是点D 距地面的高度 【详解】解：如图，以点B 为原点，建立直角坐标系．由题意，点A （0，1.6），点C （0.8，2.4），则设顶点式为y ＝a （x−0.8）2＋2.4 将点A 代入得，1.6＝a （0−0.8）2＋2.4，解得a ＝−1.25 ∴该抛物线的函数关系为y ＝−1.25（x−0.8）2＋2.4 ∵点D 的横坐标为1.4∴代入得，y ＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95 故灯罩顶端D 距地面的高度为1.95米 故答案为1.95.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．【答案】150【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．【详解】解：设AB=xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S=AB×BC= 12（900﹣3x）x=﹣32（x2﹣300x）=﹣32（x﹣150）2+33750，∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150m，故答案为150．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是_____．【答案】1s或3s【分析】根据题意可以得到15=﹣5x2+20x，然后求出x的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x2+20x，∴当y=15时，15=﹣5x2+20x，得x1=1，x2=3，故答案为1s或3s．。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习专题10 幂函数与二次函数一、选择题1．（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=- B ．23y x =- C ．13y x =-D ．3y x -=【答案】B【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增； C: 13y x =-为奇函数，故排除； D: 3y x -=为奇函数，故排除. 故选:B.2．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.3．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C错误. 故选：C.4.（2019·河北武邑中学高三月考（文））已知幂函数y =f(x)的图象通过点(2,2√2)，则该函数的解析式为（ ）A ．y =2x 12B ．y =x 12C ．y =x 32D ．y =12x 52【答案】C【解析】设幂函数的解析式为y =x a .∵幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2) ∴2√2=2a ∴a =32∴该函数的解析式为y =x 32故选C.5.（2019·福建高三期中（文））已知a =245，b =2515，c =427，则( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <a D ．c <a <b【答案】D【解析】a =245=[(2)4]15=1615，b =2515，y =x 15在(0,+∞)递增，则a <b ，又a =245，c =427=247，y =2x 在R 上递增且45>47，则a >c ，所以c <a <b ，故选D.6．（2019·安徽省合肥一中高三其他（文））已知幂函数()nf x x =的图象过点18,4⎛⎫⎪⎝⎭，且()()13f a f +<，则a 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()(),42,-∞-+∞C ．(),4-∞-D ．2,【答案】B【解析】已知幂函数()n f x x =的图象过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则184n=，则812log 43n ==-，故幂函数()f x 的解析式为()23f x x -=，若()()13f a f +<，则13a +>，解得4a或2a >.故选：B.7．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-， 所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.8．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．12【答案】A【解析】依题意得1()22α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.9.（2019·石嘴山市第三中学高三高考模拟（文））已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n 的图象上，设a =f (√33),b =f(lnπ),c =f (√22)，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【答案】D【解析】由题可得：8=2n ，解得：n =3所以f (x )=x 3因为√33<1，√22<1，ln π>lne =1.又√33−√22=2√3−3√26=√12−√186<0，所以√33<√22<lnπ由f (x )=x 3在R 上递增，可得：f (√33)<f (√22)<f (lnπ).所以a <c <b .故选：D10．（2020·上海高三专题练习）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+>【答案】B【解析】令()()f x g x =,可得21ax b x=+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点，不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||x x >，即120x x ->>，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +<故选：B ．二、多选题11．（2019·福建省厦门双十中学高一期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{|,0}y y R y ∈≠且；③在(),0-∞上是减函数.则以下幂函数符合这三个性质的有（ ）A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．1()f x x -=D ．13()f x x -=E.23()f x x -= 【答案】CD【解析】A. 2()f x x =，为偶函数，排除；B. ()f x x =，值域为R ，排除；C. 1()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；D. 13()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；E. 23()f x x -=，为偶函数，排除； 故选：CD .12．（2020·全国高一课时练习）已知实数a ，b 满足等式1132a b =，则下列五个关系式中可能成立的是（ ）A ．01b a <<<B ．10a b -<<<C ．1a b <<D ．10b a -<<<E.a b =【答案】ACE【解析】画出12y x =与13y x =的图象（如图），设1132a b m ==，作直线y m =.从图象知，若0m =或1，则a b =；若01m <<，则01b a <<<；若1m ；则1a b <<.故其中可能成立的是ACE .故选：ACE13．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α. 所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.故选：ACD.14．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】BCD【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+,当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+, 即1294a a -+≤+,解得2a ≥, 故选:BCD三、填空题15．（2020·上海高一课时练习）若0,m n k Q <<∈且k 0<，则1km ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1kn ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是_________．【答案】11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】因为0m n <<所以110m n>>由因为函数k y x =，(),0k Q k ∈<在()0,∞+上单调递减，所以11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．（2018·山西康杰中学高考模拟（文））幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝_______.【答案】2【解析】函数f （x ）=（m 2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，函数y=x 的图象不关于y 轴对称，舍去；当m=2时，函数y=x 2的图象关于y 轴对称；∴实数m=2．故答案为：2．17.（2020·上海高三二模）已知1112,1,,,,1,2,3232 α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭.若函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，则α=________.【答案】2-【解析】由题可知，1112,1,,,,1,2,3232α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭，且函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，可知0α<，所以α的可能值为2-，1-，12-，当2α=-时，函数()()2210f x x x x-==≠， 由于()()()2211f x f x x x -===-，则()f x 为偶函数，符合题意； 当1α=-时，函数()()110f x x x x-==≠，由于()()()11f x f x x x-==-=--，则()f x 奇函数，不符合题意； 当12α=-时，函数()12f x x -==，此时()f x 的定义域()0,∞+，所以()f x 为非奇非偶函数，不符合题意；综上可知，满足题意的2α=-. 故答案为：2-.18．（2020·浙江省高三其他）已知幂函数()y f x =的图象过点3,3⎛ ⎝⎭，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．【答案】()12f x x -= (0,)+∞ 【解析】设()f x x α=，代入⎛ ⎝⎭得()33f α==，解得12α=-，所以此函数的解析式为()12f x x -=．函数()y f x =在定义域内单调递减，故单调递减区间为(0,)+∞．故答案为：()12f x x -=；(0,)+∞.19．（2015·浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.20．（2019·北京高三二模（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3- 1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x ＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x ＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-， 即：231a x x ≤--+恒成立， 令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++， 在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤， 即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 在0＜x≤3时，g （x ）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥， 实数a 的取值范围是1[,1]421．已知函数()21f x ax bx =++（a 、b 为实数， 0a ≠， x ∈R ），若()10f -=，且函数()f x 的值域为()0,∞+，则()f x 的表达式=__________．当[]2,2x ∈-时， ()()g x f x kx =-是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．【答案】()221f x x x =++ ])(,2?[6,?-∞-⋃+∞【解析】∵()()210f x ax bx a =++≠， ()101a b f -+==-，∴1a b =-①，又∵()222122b b b f x a x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22122b b a x a a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()2min104b f x a=-=②，联立①②解出1a =， 2b =，∴()221f x x x =++．(2)因为g （x ）=f （x ）-kx=x 2+2x+1-kx=x 2-（k-2）x+1=（()22222)12242k k k x ----+-∴≥或2262k k -≤-∴≥或2k ≤- 故答案为(1). ()221f x x x =++ (2). ])(,2?[6,?-∞-⋃+∞ 四、解答题22．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知函数f(x)=ax +b(a ≠0)满足3f(x −1)−2f(x +1)=2x −6.（1）求a ，b 的值；（2）求函数g(x)=x[f(x)−6]在区间[0,2]上的最值.【答案】（1）a =2,b =4 ； （2）最小值−12，最大值4． 【解析】（1）因为f(x −1)=a(x −1)+b,f(x +1)=a(x +1)+b ．所以3f(x −1)−2f(x +1)=3[a(x −1)+b]−2[a(x +1)+b] =ax −5a +b =2x −6，所以{a =2 ，−5a +b =−6解得{a =2 ，b =4 （2）由（1）可知：f(x)=2x +4．所以g(x)=x[f(x)−6]=x(2x +4−6)=2(x 2−x)=2[(x −12)2−14]=2(x −12)2−12．当x =12时，g(x)取最小值−12 ； 当x =2时， g(x)取最大值4．23．（2019·河南省高三月考（理））已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x12m-在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t.（1）求实数m的值；（2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.【答案】（1）m＝1（2）﹣42≤t≤5【解析】(1)∵f(x)=(3m2﹣2m)x12m-为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;∴232112m mm⎧-=⎪⎨-⎪⎩＞⇒m=1;(2)由(1)可得12()f x x=,当x∈[1,9]时,f(x)值域为:[1,3],g(x)=x2﹣4x+t的值域为:[t﹣4,t+45],∴A=[1,3],B=[t﹣4,t+45];∵命题p:x∈A,命题q:x∈B,且命题q是命题p的必要不充分条件,∴A ⫋B ,∴41453t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.24．（2019·江苏省金陵中学高一期中）若函数()()22kk f x x k N -++=∈满足()()23f f <.（1）求k 的值及()f x 的解析式；（2）试判断是否存在正数q ，使函数()()()121g x qf x q x =-+-在区间[]1,2- 上的取值范围为区间174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ?若存在，求出正数q 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0k =或1k =，()2f x x =；（2）存在2q.【解析】(1)∵()()23f f <，∴22213k k -++⎛⎫< ⎪⎝⎭．故220k k -++>，解得12k -<<. 又∵k Z ∈，∴0k =或1k =.当0k =或1k =时，222k k -++=，∴()2f x x =.(2) 存在2q ，求解如下：假设存在0q >满足题设，由(1)知，()()[]2211,1,2g x qx q x x =-+-+∈-，∵()21g =-，∴两个最值点只能在1x =-和212q x q-=处取得， ()123g q -=-，2214124q q g q q ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 而()()224121411230244q q q g g q q q q -⎛⎫-+--=-+=≥ ⎪⎝⎭， ∴()()min 1234g x g q =-=-=-，即2q ，此时()2max411748q g x q +==，故2q 符合题意．25．（2020·金华市曙光学校高一月考）设函数2()3||()=-+f x ax x a ，其中a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若对任意[,1]∈+x a a ，恒有()1f x ≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）21,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[]1,0-. 【解析】（1）当1a =时，()2251,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨-+->⎩，（i ）当0x ≤时，()252124f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，此时()21,4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦， （ii ）当0x >时，()21324f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，此时()3,4f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 由（i ）(ii)得()f x 的值域为21,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）因为对任意[],1x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，()()111f a f a ⎧≥-⎪∴⎨+≥-⎪⎩，即()()22234131211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤， 下面证明，当[]1,0a ∈-时，对任意[],1x a a ∈+恒有()1f x ≥-，（i ）当0a x ≤≤时，()()()222,01f x x ax a f a f a =-+-==-≥-，故()()(){}min ,01f x f a f ≥≥-成立；（ii ）当01x a ≤≤+时，()225f x x ax a =---，()()217711,01f a a a f +=---≥-≥-，故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立， 此时，对任意[],1x a a ∈+，恒有()1f x ≥-， 所以实数a 的取值范围是[]1,0-.26．（2019·广东省增城中学高二期中）已知113a ≤≤， 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ，最小值为()N a ， 令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()1112,321196,12a a a g a a a a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩；（2）实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(1)()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1分∵113a ≤≤，∴113a≤≤①当112a ≤≤，即112a ≤≤时，则3x =时，函数()f x 取得最大值;1x a=时，函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴()()()g a M a N a =-=196a a+-3分②当123a <≤，即1132a ≤<时，则1x =时，函数()f x 取得最大值;1x a=时，函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴()()()g a M a N a =-=12a a+-. 5分综上，得()1112,321196,12a a a g a a a a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩（2）任取，且12a a <()()1212121a a a a a a --=，∵，且12a a <120a a ∴-<，120a a >，1210a a -<；∴()()12121210a a a a a a -->，即()()120g a g a ->∴∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减 ，任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()34343491a a a a a a --=∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <340a a ∴-<，340a a >，34910a a ->；∴()()343434910a a a a a a --<，即()()340g a g a -<∴()()34g a g a <∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ，当12a =时，()g a 取得最小值，其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43，()1g =4 ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解 ∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域，∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．（2020·全国高一）已知点A （t ，1）为函数y ＝ax 2+bx +4（a ，b 为常数，且a ≠0）与y ＝x 图象的交点．（1）求t ；（2）若函数y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴只有一个交点，求a ，b ； （3）若1≤a ≤2，设当12≤x ≤2时，函数y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ，最小值为n ，求m ﹣n 的最小值．【答案】（1）t ＝1；（2）14a b =⎧⎨=-⎩或912a b =⎧⎨=-⎩；（3）98．【解析】（1）把A （t ，1）代入y ＝x 得t ＝1；（2）∵y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴只有一个交点，∴241160a b b a ++⎧⎨∆-⎩＝＝＝，∴14a b =⎧⎨=-⎩或912a b =⎧⎨=-⎩； （3）把A （1，1）代入y ＝ax 2+bx +4得，b ＝﹣3﹣a ，∴y ＝ax 2﹣（a +3）x +4＝a （x ﹣32a a +）2﹣95442a a -+，∴对称轴为直线x ＝32a a+， ∵1≤a ≤2，∴54≤x ＝32a a+≤2， ∵12≤x ≤2，∴当x ＝12时，y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ＝542a -+，当x ＝2时，n ＝﹣95442a a -+，∴m ﹣n ＝94a， ∵1≤a ≤2，∴当a ＝2时，m ﹣n 的值最小， 即m ﹣n 的最小值98．。

二次函数专题一、选择题1.若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a 等于( )A．－2 B．－1C．1 D．22.若f(x)＝x2－ax＋1 有负值，则实数a 的取值范围是( )A．a>2 或a<－2 B．－2<a<2C．a≠±2 D．1<a<33．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值为( )A．正数B．负数C．非负数D．与m 有关4.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )5.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，且f(x＋2)是偶函数，则f(1)，5，7的大小关系是( ) f ( )2f( )2A．5＜f(1)＜7B．f(1)＜7＜5f( )2f( )2f( )2f( )2C．7＜f(1)＜5D．7＜5＜f(1) f( )2f( )2f( )2f( )2二、填空题6.已知函数f(x)＝x2－2x＋2 的定义域和值域均为[1，b]，则b＝.7.方程x2－mx＋1＝0 的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是．8.已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为．三、解答题9.求下列二次函数的解析式：(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)；(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x.10．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数值为非负数，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．11．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.(1)求a、c 的值；(2)若对任意的实数x∈1 3]，都有f(x)－2mx≤1 成立，求实数m 的取值范围．2 2[ ，。

(完整word版)二次函数基础练习题(含答案)(2)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)二次函数基础练习题(含答案)(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)二次函数基础练习题(含答案)(2)(word版可编辑修改)的全部内容。

二次函数一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米)与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式：1、下列函数:① 23yx ;② 21y x x x ；③ 224y x x x；④ 21yx x ；⑤ 1yx x ,其中是二次函数的是 ，其中a，b ,c3、当m 时，函数2235y mx x（m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m 时，函数2221mm y m m x 是关于x 的二次函数5、当____m时，函数2564mm ymx +3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿。

7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1）求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm)之间的函数关系式； （2）当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加ycm 2, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1;当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米,则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2,应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度?旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图象与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 )，顶点坐标是 ，当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时，y 随x 的增大而减小， 当x= 时,该函数有最 值是 ；(2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时,y 随x 的增大而增大，当x 时,y 随x 的增大而减小, 当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大;③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知函数24mm ymx 的图象是开口向下的抛物线,求m 的值.s tOstOstOstO7、二次函数12-=m mxy 在其图象对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系.9、已知函数是关于()422-++=m m x m y x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值;（2） m 为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点,这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3） m 为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？10、如果抛物线2y ax 与直线1yx交于点,2b ,求这条抛物线所对应的二次函数的关系式。

二次函数与幂函数[基础训练]1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()答案：D解析：因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错．在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错．在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错．在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符，故选D.2．[2019上海模拟]如图是函数y＝x mn(m，n∈N*，m，n互质)的图象，则下列结论正确的是()A．m，n是奇数，且m<nB．m是偶数，n是奇数，且m>nC ．m 是偶数，n 是奇数，且m <nD ．m 是奇数，n 是偶数，且m >n答案：C 解析：由图象可知函数y ＝x m n 为偶函数，∴m 是偶数，又m ，n 互质，n ∈N *，∴n 是奇数．又∵图象在第一象限是上凸的，∴m n <1，即m <n .故选C.3．[2019广东佛山模拟]已知实数m ，n ∈{1,2,3,4}，若m ≠n ，则函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为( )A.12B.14C.16D.23答案：B 解析：函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数，则|m －n |＝1，且n 为偶数，∴(m ，n )的可能情况有(1,2)，(3,2)，(3,4)．又实数m ，n ∈{1,2,3,4}，∴(m ，n )的所有可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情况．∴函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为312＝14.故选B.4．[2019湖南长沙统一模拟]已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0，f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 答案：B 解析：由题意得f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数．所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立．而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为 ( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1答案：B 解析：函数f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1的图象如图所示．由图象知在[3，＋∞)上，f (x )min ＝f (3)＝32－2×3＋m ＝1，得m ＝－2.6．[2019湖南株洲联考]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案：D 解析：对于A ，B 两图，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a >1，而ax 2＋bx ＝0的两根分别为0和－b a ，且两根之和为－b a ，由图知0<－b a <1，得－1<b a <0，矛盾；对于C ，D 两图，0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1，在C 图中两根之和－b a <－1，即b a >1，矛盾，C 错．故选D.7．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，则( )A ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )>0B ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0C ．∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0D ．∃x 0(0,1)，使f (x 0)>0答案：B 解析：由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，抛物线开口向上，因为f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，所以∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0.故选B.8．[2019广东汕头一模]命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)D ．(0,3)答案：A 解析：若ax 2－2ax ＋3>0恒成立，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－12a <0，可得0≤a <3，故当命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题时，a <0或a ≥3.9．[2019福建龙海期末]若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2 的图象不经过坐标原点，则实数m ＝________.答案：1或2 解析：由题意得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，y ＝x －2，图象不过原点， 当m ＝2时，y ＝x 0，图象不过原点，故m ＝1或2.10．[2019山西一模]已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.答案：－1 解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]， f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．当m ＝－1时，f (x )＝x 3，[－3－m ，m 2－m ]为[－2,2]，满足题意，∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 解析：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为直线x ＝－2a 2＝－a ，要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6.12．[2019重庆二模]已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上为减函数．又∵f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，即f (x )max －f (x )min ≤4.若a ≥2，则a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1.∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，∴f (x )max －f (x )min ＝6－2a －(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3.若1<a <2，则a ∈[1，a ＋1]，且a －1<(a ＋1)－a .∴x ∈[1，a ＋1]时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝6－a 2，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max －f (x )min ＝(6－a 2)－(5－a 2)＝1，∴f (x )max －f (x )min ≤4成立．综上，a 的取值范围是(1,3]．[强化训练]1．已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 答案：C 解析：二次函数f (x )＝x 2＋1，开口向上，顶点为(0,1)， 且当x ＝±2时，y ＝5.根据二次函数的图象特点，f (x )在[a ，b ]上的最大值一定是在端点处取得．∴要使f (x )在[a ，b ]上的值域为[1,5]，则f (a )＝5，f (b )≤5或f (b )＝5，f (a )≤5，且0∈[a ，b ]， ∴a ＝－2,0≤b ≤2或者b ＝2，－2≤a ≤0.∴点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，面积为4.2．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞) D ．(－4，＋∞)答案：B 解析：由题意f (x )>0对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立， 分离参数得a >2x －2x 2对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立， 即只需满足a 大于函数y ＝2x －2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的最大值即可． ∵y ＝2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴y ＝2x －2x 2的最大值为12.∴a >12.故选B.3．[2019山东烟台模拟]定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(2，＋∞) 答案：A 解析：因为f (x )是R 上的奇函数且在(0，＋∞)上是增函数．则函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数，故函数在R 上为增函数，f (x )>f (x 2－2x ＋2)⇒x >x 2－2x ＋2⇒x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，即x 的取值范围是(1,2)．故选A.4．[2019河北保定模拟]对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2} 答案：B 解析：由题意知，关于a 的一次函数y ＝a (x －2)＋x 2－4x ＋4的值大于0在a ∈[－1,1]上恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，1×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >3或x <2，x >2或x <1，即x <1或x >3，故选B.5．[2019江西吉安模拟]不等式2x 2－axy ＋3y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(－∞，26]C ．(－∞，5] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92 答案：B 解析：∵2x 2－axy ＋3y 2≥0，∴2x 2－axy ＋3y 2x 2≥0，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋2≥0， ∵x ∈[1,2]，y ∈[1,3]，∴12≤y x ≤3.设t ＝y x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，g (t )＝3t 2－at ＋2， 则g (t )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立， ∴g (t )min ≥0.函数g (t )的对称轴为t ＝a 6，当a 6≤12，即a ≤3时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34－a 2＋2≥0， 解得a ≤112，∴a ≤3；当a 6≥3，即a ≥18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递减， ∴g (t )min ＝g (3)＝27－3a ＋2≥0，解得a ≤293，∴a 不存在；当12<a 6<3，即3<a <18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上先减后增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＝24－a 212≥0，解得－26≤a ≤26，∴3<a ≤2 6.综上所述，a ≤2 6.故选B.6．[2019湖北荆州模拟]二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，又f (0)＝3，f (2)＝1，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[2,4] 答案：D 解析：∵二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )， ∴其图象的对称轴是x ＝2，又f (0)＝3，∴f (4)＝3，又f (2)<f (0)，∴f (x )的图象开口向上，∵f (0)＝3，f (2)＝1，f (4)＝3，f (x )在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1，∴由二次函数的性质知2≤m ≤4.故选D.7．[2019河南南阳模拟]设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57 答案：D 解析：由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立，即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1. ∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57， ∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立， 则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D.8．[2019河北保定一模]已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A ．0B ．2 018C ．4 036D ．4 037答案：D 解析：函数f (x )既是二次函数又是幂函数， ∴f (x )＝x 2，∴f (x )＋1为R 上的偶函数，又函数g (x )是R 上的奇函数，h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1， ∴h (x )＋h (－x )＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋1＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (－x )f (－x )＋1＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋－g (x )f (x )＋1＋2＝2， ∴h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝[h (2 018)＋h (－2 018)]＋[h (2 017)＋h (－2 017)]＋…＋[h (1)＋h (－1)]＋h (0)＝2＋2＋…＋2＋1＝2×2 018＋1＝4 037.故选D.9．[2019湖南祁阳二模]已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2)由(1)，得f (x )＝x 2，当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)， 当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )，因为p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1.10．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2.当a <－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2≤a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a <－2，1，－2≤a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2. 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t<0时，t－2t2t＋2≤st≤－2t2t＋2，由于－2≤－2t2t＋2<0和－3≤t－2t2t＋2<0，所以－3≤b<0.故b的取值范围是[－3,9－45]．。

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识 ✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y =的性质✧二次函数2=+的性质y ax c✧二次函数()2=-的性质：y a x h Array✧二次函数()2y a x h k=-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.✧ 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.✧ 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. 平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． ✧ 二次函数图象的平移 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

二次函数图像及性质知识总结二次函数y＝ax2及其图象．一、填空题1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a ，b ，c 是______且______≠0．2．函数y ＝x 2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______． 3．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______．4．当a ＞0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．5．当a ＜0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．6．写出下列二次函数的a ，b ，c ． (1)23x x y -=a ＝______，b ＝______，c ＝______． (2)y ＝x 2a ＝______，b ＝______，c ＝______． (3)105212-+=x x ya ＝______，b ＝______，c＝______．(4)2316x y --=a ＝______，b ＝______，c ＝______．7．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______．8．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( )； (2)221x y =如图( )；(3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )．9．已知函数,232x y -=不画图象，回答下列各题．(1)开口方向______； (2)对称轴______； (3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x______时，y ＝0；(6)当x______时，函数y 的最______值是______．10．画出y ＝－2x 2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．11．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答：(1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y 随着x 的增大而增大．函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称． 函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______． 函数______有最小值为______．12．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______． (3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．13．已知函数y ＝(m 2－3m)122--m m x 的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______． 14．已知函数y ＝m 222+-m m x ＋(m －2)x ．(1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限．(2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 15．已知函数y ＝m mmx +2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下．二、选择题16．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x(x ＋1) B ．xy ＝1C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2D ．132+=x y17．在二次函数①y ＝3x 2；②2234;32x y x y ==③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( ) A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞③＞①D ．②＞①＞③18．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( )A ．a 越大，抛物线开口越大B ．a 越小，抛物线开口越大C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大19．下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，221x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y ＝－x 2的开口最大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点三、解答题20．函数y ＝(m －3)232--m mx 为二次函数．(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)若当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象．21．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．(1)求a，b的值；(2)求抛物线y＝ax2与直线y＝－2的两个交点B，C的坐标(B点在C 点右侧)；(3)求△OBC的面积．22．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求△OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．1．y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，x ，常数，a ．2．抛物线，y 轴，(0，0)．3．(0，0)，y 轴，上，下． 4．减小，增大，x ＝0，小． 5．增大，减小，x ＝0，大． 6．(1).0,3,1- (2)，0，0， (3),10,5,21- (4).6,0,31--7．越小，越大．8．(1)D ，(2)C ，(3)A ，(4)B ，(5)F ，(6)E ．9．(1)向下，(2)y 轴．(3)(0，0)．(4)减小．(5)＝0(6)＝0，大，0．10．略．11．(1)②、③；①、④．(2)③；②．(3)①、④；③．(4)①，0；④，0． 12．(1)a ≠0，(2)a ＝0且b ≠0，(3)a ＝c ＝0且b ≠0． 13．y ＝4x 2；(0，0)；x ＝0；向上． 14．(1)2；y ＝2x 2；抛物线；一、二，(2)0；y ＝－2x ；直线；二、四． 15．－2或1；1；－2．16．C 、B 、A ． 17．C ． 18．D ． 19．C ． 20．(1)m ＝4，y ＝x 2；(2)m ＝－1，y ＝－4x 2． 21．(1)a ＝－1，b ＝－1；(2));2,2().2,2(---C B(3)S △OBC ＝22．22．(1)241x y =； (2)B(－2，1)；(3)S △OAB ＝2；(4)设C 点的坐标为),41,(2m m 则.221|141|4212⨯=-⨯⨯m 则得6±=m 或.2±=m∴C 点的坐标为).21,2(),21,2(),23,6(),23,6(--二次函数y ＝a(x －h)2＋k 及其图象 一、填空题1．已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a(x －m)2的顶点坐标为______，对称轴为______． 2．若函数122)21(++-=m m x m y 是二次函数，则m ＝______．3．抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y 随x 增大而减小；当x______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______．4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x 2向______平移______个单位得到． 二、选择题7．要得到抛物线2)4(31-=x y ，可将抛物线231x y =( )A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位D ．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2 B ．2212+=x y 与2122+=x yC ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2D ．y ＝x 2与y ＝x 2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )A ．2)5(31-=x yB ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x yD ．2)5(31+=x y三、解答题10．在同一坐标系中画出函数=+=221,321y x y 3212-x 和2321x y =的图象，并说明y 1，y 2的图象与函数221x y =的图象的关系．11．在同一坐标系中，画出函数y 1＝2x 2，y 2＝2(x －2)2与y 3＝2(x ＋2)2的图象，并说明y 2，y 3的图象与y 1＝2x 2的图象的关系．填空题12．二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x ＝______时，y 有最值______；当a ＞0时，若x______时，y 随x 增大而减小． 13．填表．14．抛物线1)3(212-+-=x y 有最______点，其坐标是______．当x ＝______时，y 的最______值是______；当x______时，y 随x 增大而增大． 15．将抛物线231x y =向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．选择题16．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为( )A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋317．要得到y＝－2(x＋2)2－3的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移( )A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位解答题18．将下列函数配成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．(1)y＝x2＋6x＋10 (2)y＝－2x2－5x＋7(3)y＝3x2＋2x (4)y＝－3x2＋6x－2(5)y ＝100－5x 2(6)y ＝(x －2)(2x ＋1)19．把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象．(1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．1．(1)(0，0)，y 轴； (2)(0，c)，y 轴； (3)(m ，0)，直线x＝m ． 2．m ＝－13．(0，0)，y 轴，x ≤0，x ＞0，0，小，0． 4．向下，相同，(0，0)，y 轴．5．(0，3)，y 轴，x ≤0，0，小，3，上，3．6．向上，(2，0)，直线x ＝2，x ≥2，2，小，0，右，2． 7．C ． 8．D ． 9．C ．10．图略，y 1，y 2的图象是221x y =的图象分别向上和向下平移3个单位．11．图略，y 2，y 3的图象是把y 1的图象分别向右和向左平移2个单位． 12．(h ，k)，直线x ＝h ；h ，k ，x ≤h ． 13．14．高．(－3，－1)，－3，大，－1，≤－3． 15．.52312)3(3122+-=+-=x x x y 16．B ． 17．D ．18．(1)y ＝(x ＋3)2＋1，顶点(－3，1)，直线x ＝－3，最小值为1．(2),881)45(22++-=x y 顶点),881,45(-直线,45-=x 最大值为⋅881(3),31)31(32-+=x y 顶点),31,31(--直线,31-=x 最小值为⋅-31(4)y ＝－3(x －1)2＋1，顶点(1，1)，直线x ＝1，最大值为1． (5)y ＝－5x 2＋100，顶点(0，100)，直线x ＝0，最大值为100． (6),825)43(22--=x y 顶点),825,43(-直线,43=x 最小值为⋅-82519．(1)；5,1,21-===k h a(2)开口向上，直线x ＝1，顶点坐标(1，－5)．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 及其图象 一、填空题1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)配方成y ＝a(x －h)2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x______时，y 随x 增大而减小；x______时，y 随x 增大而增大．2．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x______时，y 随x 增大而减小，当x______时，y 随x 增大而增大．3．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．4．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．5．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝______时，函数y 有最值______，当x______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0． 6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______．7．抛物线y ＝2x 2先向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4． 二、选择题8．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x xy +=③④y ＝5－2x 2，是二次函数的有( ) A ．②B ．②③④C ．②③D ．②④9．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4)10．抛物线x x y --=221的顶点坐标是( )A ．)21,1(- B ．)21,1(-C ．)1,21(-D ．(1，0)11．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点( )A ．(0，a)B ．(－1，－a)C ．(－1，a)D ．(0，－a)三、解答题12．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．(1)将其化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式； (2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线y ＝x 2的关系； (6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小； (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时，－4＜x ＜0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．填空题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；(2)若抛物线经过原点，则____________；(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．选择题20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜022．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞023．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则( )A．b＞0，c＞0，＝0B．b＜0，c＞0，＝0C．b＜0，c＜0，＝0D．b＞0，c＞0，＞024．二次函数y＝mx2＋2mx－(3－m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜325．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )26．函数x aby b ax y =+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )解答题27．已知抛物线y ＝x 2－3kx ＋2k ＋4．(1)k 为何值时，抛物线关于y 轴对称；(2)k 为何值时，抛物线经过原点．28．画出23212++-=x x y 的图象，并求：(1)顶点坐标与对称轴方程；(2)x取何值时，y随x增大而减小?x取何值时，y随x增大而增大?(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?(4)x取何值时，y＞0，y＜0，y＝0?(5)当y取何值时，－2≤x≤2?29．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；(2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．30．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c ＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)1．).44,2(,44)2(222a b ac ab a b ac a b x a y ---++= ⋅-<-≥--=-=ab x a b x a b ac a b x a b x 2,2,44,2,22 2．,43),849,43(-小，⋅>≤---43,43),5,0(),0,1()0,25(,849x x 、 3．(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)．4．y ＝(x －2)2＋1，低，(2，1)．5．－2，－7，x ≥－2，.72±-=x6．±2． 7．右，3，上，4．8．D ． 9．B. 10．B ． 11．C ．12．(1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)开口向上，直线x ＝－1，顶点(－1，－8)；(3)与x 轴交点(－3，0)(1，0)，与y 轴交点(0，－6)；(4)图略；(5)将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到y ＝2x 2＋4x －6的图象；(6)x ≤－1；(7)当x ＜－3或x ＞1时，y ＞0；当x ＝－3或x ＝1时，y ＝0；当－3＜x ＜1时，y ＜0；(8)x ＝－1时，y 最小值＝－8；(9)－8≤y ＜10；(10)S △＝12．13．(1)b ＝c ＝0；(2)c ＝0；(3)b ＝0；(4)b 2－4ac ＝0．14．原． 15．2，y ＝2x 2－3x ． 16．4．17．－1． 18．1． 19．一、二、三．20．C. 21．B ． 22．D ． 23．B ． 24．C ． 25．B ． 26．C ．27．(1)k ＝0；(2)k ＝－2．28．,2)1(212+--=x y ①顶点(1，2)，直线x ＝1；②x ≥1，x ＜1； ③x ＝1，y 最大＝2；④－1＜x ＜3时，y ＞0；x ＜－1或x ＞3时y ＜0；x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；.225≤≤-y ⑤ 29．(1)y 1＝－x 2＋2x ＋3，y 2＝3x ＋1．(2)①当－2＜x ＜1时，y 1＞y 2．②当x ＝－2或x ＝1时，y 1＝y 2．③当x ＜－2或x ＞1时y 1＜y 2．30．①，④．二次函数的图像和性质 习题精选1．二次函数2y ax =的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。