八年级数学算术平方根2

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附件2：
微课教学设计模板
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优秀教育教学资源 2)2(22-=-）（ 〔 〕
2)2(32-=-）（ 〔 〕
2)2(42-=--）（ 〔 〕
设计：通过本环节的设置，加深学生对结论1、结论2的理解、记忆和稳固.
第六环节 课堂小结
平方根的概念与性质；
平方根与算术平方根的区别与联系
第七环节课堂练习
1. 4的平方根是〔 〕
A. ±2
B. 2
C. －2 D . 16
2.以下表达正确的是〔 〕
A.任何数都有两个平方根
B.只有正数才有平方根
C.一个正数的平方根的平方就是这个正数
D.不是正数的数都没有平方根
2
16 D. 的平方根 93 B. 4-2 C. 1的平方根是 1 A. ）
是（3.±±的平方根是是的平方根是下列说法正确的.
4.一个数的算术平方根是它本身，则这个数是〔 〕
A . 0
B . 1
C . 0或1
D . 0或±1
5. 以下各式中，正确的是〔 〕
A.
33-2±=）（ C.332-=- B. 332±=±）（ D.
332±=
6.一个正数M 的平方根为 2a +1 和 3-a ，则M =________.
7. 实数a 在数轴上的位置如下图，则化简
22(1)a a -+-的结果是________.
8. ()363132=-x ，求x 的值．。

《第二章2 平方根》讲解与例题1．平方根(1)平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，因此3是9的平方根．(－3)2＝9，因此－3也是9的平方根，因此9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方式：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2. (3)平方根的性质：假设x 2＝a ，那么有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都可不能是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．我明白了，一个数a 的平方根能够表示成±a .你可要警惕哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子a 只有当a ≥0时才成心义,因为负数没有平方根.【例1－1】 求以下各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549. 分析：依照平方根的概念，求一个数a 的平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，确实是找出平方后等于a 的数．解：(1)∵(±9)2＝81，∴81的平方根是±9，即±81＝±9.(2)∵(－7)2＝72＝49，∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449，又⎝ ⎛⎭⎪⎫±872＝6449， ∴11549的平方根是±87， 即±11549＝±87. 【例1－2】 以下各数有平方根吗？若是有，求出它的平方根；假设没有，请说明理由．(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 分析：序号存在情况 原因 (1)有2个 正数有两个平方根 (4)有2个 (3)无 负数没有平方根 (5)无 (2) 有1个 0的平方根是它本身解：(1)∵94是正数，∴94有两个平方根． 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝94，∴94的平方根是±32. (2)0只有一个平方根，是它本身．(3)∵－9是负数，∴－9没有平方根．(4)∵|－0.81|＝(±0.9)2，是正数，∴|－0.81|的平方根是±0.9.(5)∵－22＝－4，是负数，∴－22没有平方根．2.算术平方根(1)算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 就叫做a 的算术平方根．(2)算术平方根的表示方式：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，固然也没有算术平方根．淡重点 算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a 的正的平方根确实是它的算术平方根．若是明白一个数的算术平方根，就能够够写出它的负的平方根．【例2】 求以下各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169. 分析：依照算术平方根的意义，求一个非负数a 的算术平方根，第一要找出平方等于a 的数，写出平方式；从平方式中确信a 的算术平方根的值．解：(1)∵0.32＝0.09，∴0.09的算术平方根是0.3，即0.09＝0.3；(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝121169， ∴121169的算术平方根是1113. 析规律 如何确信一个数的算术平方根 求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应专门注意数的符号．3．开平方求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻觅一个数的平方根，也能够利用平方验算所求平方根是不是正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0能够进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才能够，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)关于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一样可用开平方加以解决．【例3】 小明家打算用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m 2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？解：设正方形的地板砖的边长为x m ，由题意，得80x 2＝20，那么x 2＝0.25.故x ＝±0.5.∵地板砖的边长不能为负数，∴x ＝0.5.∴小明家应购买边长为0.5 m 的地板砖．4.a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的概念，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的概念，假设a ≥0，那么a 2的算术平方根为a ；假设a ＜0，那么a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0. (1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2. 点技术 巧用(a )2＝a 将(a )2＝a 反过来确实是a ＝(a )2，利用此式可使某些运算更为简便．【例4】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________. 解析：(－7)2＝|－7|＝7.答案：6 75．平方根与算术平方根的关系(1)区别：①概念不同平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 叫做a 的平方根．算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 叫做a 的算术平方根． ②表示方式不同平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 能够看成是正数a 的算术平方根的相反数．③读法不同a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且必然为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包括了算术平方根，确实是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个确实是它的算术平方根，如此要求一个正数a的平方根，只要先求出那个正数的算术平方根a，就能够够直接写出那个正数的平方根±a了．②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【例5－1】(1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．错解(1)因为(－3)2＝9，故(－3)2的平方根是－3；(2)因为(±12)2＝144，所以144＝±12；(3)(π－3.142)2的算术平方根是(π－3.142)2＝π－3.142；〔或±(π－3.142)〕(4)16的平方根是±4.剖析(1)一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里(－3)2的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根；(2)混淆了平方根与算术平方根的概念，144表示144的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解－12；(3)错在忽视了π＜3.142，即π－3.142＜0；或混淆了平方根与算术平方根的概念；(4)这里错误地将16的平方根当成16的平方根，其实这里是求16的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中.正解(1)±(－3)2＝±9＝±3；【例(1)±81；(2)－16；(3)925；(4)(－4)2.分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；925表示925的算术平方根，故其结果是正数；(－4)2表示(－4)2的算术平方根，故其结果必为正数． 解：(1)∵92＝81，∴±81＝±9. (2)∵42＝16，∴－16＝－4.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝925，∴925＝35. (4)∵42＝(－4)2，∴(－4)2＝4. 释疑点 与平方根相关的三种符号 弄清与平方根有关的三种符号±a ，a ，－a 的意义是解决这种问题的关键．±a 表示非负数a 的平方根，a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根．注意a ≠±a .在具体解题时，“ ”的前面是什么符号，其计算结果确实是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．6．巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根a 具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a ≥0. (2)a 本身具有非负性，即a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，假设能认真观看、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可幸免用常规方式造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的成效．由于初中时期学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一样情形下都是它们的和等于0的形式．此类问题能够分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋＝0〕，乃至同一道题目中同时显现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕．(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例6－1】假设－x2＋y＝6，那么x＝__________，y＝__________.解析：由－x2成心义得x＝0，故y＝6.答案：0 6【例6－2】假设|m－1|＋n－5＝0，那么m＝__________，n＝__________.解析：依照题意，得m－1＝0，n－5＝0，因此m＝1，n＝5.答案：1 5注：假设几个非负数的和为0，那么每一个数都为0.【例6－3】若是y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013成立，求x2＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x2－4≥0，4－x2≥0，因此，x2－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，因此x＝2，y＝2 013，于是得解．解：由题可知x2－4≥0，且4－x2≥0，∴x2－4＝0，即x＝±2.又∵x＋2≠0，即x≠－2，∴x＝2.将x＝2代入y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013，可得y＝2 013.∴x2＋y－3＝22＋2 013－3＝2 014.点评：解答这种问题时，先确信题目中非负数的类型，然后依照类型“对症下药”．不要误以为x＝±2.。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

6.1平方根教学设计（第二课时）【教学目标】知识与能力：1.会用平方法比较两个数的大小。

2.了解用夹逼法估无理数的值。

3.会用估值法比较两个数的大小。

过程与方法：1.通过拼图活动发展学生的形象思维。

2.在探究活动中，让学生经历发现无理数的过程，认识到无理数的存在。

情感、态度与价值观：通过教学激发学生的参与性和求知欲，使学生体验小组合作学习的快乐，充分认识到社会生活与数学的密切联系，感受生活处处皆数学。

【教学重点】利用平方法和估值法比较数的大小。

【教学难点】 探究的大小【教学过程】课前交流：模拟购物街：一台笔记本价值在4000~5000元之间，给你三次机会你来估一下它的实际售价。

如果你猜中的价格与实际价格差距在50元范围内，这台电脑就送给你。

学生活动设计：学生估价，一名学生负责提示估价是高了还是低了。

教师活动设计：引导学生分析估价的方法，关注学生不要只顾活动，而忽略了情境里面蕴含的数学问题。

设计意图：从现实生活中提出估值的技巧，让学生在活动中体会夹逼法（二分法）在生活中的应用，同时唤起学生的生活经验，为后面利用夹逼法估的值作迁移准备。

本着从学生的生活经验出发，在做中学的理念，让学生在轻松的氛围中积极参与对数学问题的讨论，使学生感受到生活处处皆数学。

一、复习导入1、 什么叫算术平方根？2、 算术平方根的大小与被开方数的关系3、 判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们。

100,1， ，0，—0.0025,4， 师： 的算术平方根是多少？生：。

师：你是怎么想的。

师：你发现与我们前面求出的平方根有什么不一样的地方？ 师：那么对于这样的数你有什么疑问吗？1211644二、 新课师：是呀，这样的数到底存不存在呢？如果存在到底有多大呢？今天我们就来研究这样的数。

板书：《平方根》1、拼一拼：首先我们来研究一下能否用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？ 师：直接拼行不行？为什么？那面积符合吗？那看来要通过拼剪的方法。

第二章 实数2. 2 平方根第 2 课时 教学设计平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点.学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此，在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，引导学生建立清晰的概念系统，有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中.1. 能说出平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；知道开平方与平方表示的是非负数a 的平方根.2. 通过对比体会平方根、算术平方根的联系和区别；在学习开平方运算求一个数的平方根、算术平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.3. 进一步感受到所学数学知识之间的内在联系. 【教学重点】 平方根和算术平方根的概念和求法.【教学难点】弄清平方根与算术平方根的意义有两个边长为1的正方形，剪刀.一、复习回顾1. 什么叫算术平方根？2. 我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？思考：乘方有没有逆运算？二、合作交流，探究新知（一）平方根的概念及性质(1) 3 的平方等于9，那么9 的算术平方根就是_____.(2)25的平方等于425，那么425的算术平方根就是____.(3) 展厅地面为正方形，其面积49 m2，则边长为___m.问题：平方等于9，425，49 的数还有吗？平方根的定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）.平方根的表示方法、读法试一试：1. 144 的平方根是什么？2. 0 的平方根是什么？3. 425平方根是什么？ 4. -4 有没有平方根？为什么？平方根的性质：1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2. 0 的平方根还是 0.3. 负数没有平方根.平方根与算术平方根的联系与区别：开平方的定义：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数.平方与开平方有什么关系？可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根.（二） 2(0)a ≥与 (0)a ≥的性质思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由.2(0)a≥的性质：一般地，2＝a(a ≥0).思考2：根据前面得出的性质填一填，并说明理由.(0)a≥的性质：＝a(a ≥0).思考：当a＜0=？三、运用新知例1 求下列各数的平方根:(1)64 ；(2)49121(3)0.0004；(4)（- 25）2(5) 11.例2 计算：（1（2）2（例3：化简（1（2四、巩固新知1. 下列说法正确的是_________.①-3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③-36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8.2. 下列说法不正确的是______.A. 0 的平方根是0B. 22-的平方根是2C. 非负数的平方根互为相反数D. 一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数五、归纳小结略.第二章实数2. 2 算术平方根第 1 课时学生对数的认识由有理数扩展到实数范围,而本课是学习无理数的前提,是学习实数的衔接与过度,通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维,算术平方根的学习为后面的平方根学习以及立方根的学习奠定坚实的基础.1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根；了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质.2.加强概念形成的教学，提高学生的思维水平；鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.3.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲；训练学生动脑，动口和动手的能力.【教学重点】算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.【教学难点】算术平方根的概念，性质.多媒体课件，白板.一. 情境导入从身边小事儿说起，请同学们欣赏本课导图，并回答问题.学校为了趣味接力比赛,要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地,这个正方形场地的边长应为多少?1.学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴，她想裁出一块面积为25分米2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？（谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？）二.合作探究1.完成下表：这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.（通过解决这个问题，我们就引出了算术平方根的概念.）正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根.正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根.说说6和36这两个数？……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正）说说1和1这两个数？（师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生任意抽一张卡片，让其他学生回答平方或算术平方根.）说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？揭示课题.2.什么是算术平方根呢？（出示算术平方根的定义）请大家把算术平方根概念理解着读两遍.（生读）3.讲解算术平方根的双重非负性.探究a：（1）a可以取任何数吗？（2）a是什么数？目的：进一步明确a在什么情况下有意义，什么情况下无意义，理解算术平方根的双重非负性.4.练一练（1）下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？（2）如果3b-6没有算术平方根,则b; （3）下列各式有意义的条件是什么？();3;3;3;52---5.小结 以上我们学习了算术平方根，会用跟号表示出算术平方根，并且能求出一个非负数 的算术平方根.接下来我们做一些习题.三.巩固提高1.小游戏，记忆1—20的平方.2.能力提升（1）判断题①41的算术平方根是21± . （ ） ②5是 ()25-的算术平方根. （ ）③一个正数的算术平方根总小于它本身. （ ）④-64的算术平方根是8. ( )（2）填空题① 正数的算术平方根是（ ）数，0的算术平方根是( )，算术平方根等于它 本身的数是( ).② ( -4 )2的算术平方根是( ). ③ 491的算术平方根的相反数的绝对值是( ). （3）回答下列各数的算术平方根0.000 0013.强化练习（1）若x ²=16，则5-x 的算术平方根是_______ .（2）若4a +1的算术平方根是5，则a ²的算术平方根是______.（3）的算术平方根等于______ .4.综合运用已知（x -2）2+3-y +4-z =0，求2x -3y +z 的值.5.能力提高36（1）64 -36的算术平方根是 .（2）若9-a +41-b =0，则a =_____,b =_____. (3)已知y =x -2+2-x +3=0,求xy 的算术平方根.四.总结同学们，这节课你学会了什么？（学生总结，进一步梳理知识）五.布置作业略.。

2.2《平方根》第一课时教学设计（一）创设情境，引入新知活动一：复习旧知问题1：老师手中有一正方形图片，若已知边长是3时，同学们说其面积是多少呢？生：32=9 并在黑板上写出.问题2：以上算式属于我们学过的什么运算？在此算式中存在几个量？分别是什么？生：乘方运算；存在三个量；底数、指数和幂.问题3：乘方运算是知道了哪些量求哪个量的运算？生：底数、指数求幂的运算.活动二：探究新知问题4：若正方形的面积是9时，同学们说其边长是多少呢？师：同学们我们比较这两种运算，有什么区别？生：第一种运算,是知道了底数、指数求幂的运算即乘方运算；第二种运算，是知道了幂、指数求底数的运算.师：很好，第二种运算就是今天我们要学习的一种新运算---求一个正数的算术平方根的运算.（板书1）§2.2算术平方根设计意图：通过利用旧知，引入新知.学生乐于去做，敢于发言，同时，让学生感受到，通过自己的探究，“玩”出了很多意想不到的收获，使数学课不再枯燥.注重了用数学的方法去研究问题，从数学的角度去思考问题，使数学课更具有数学味，同时，也揭示了本节课的教学重点.问题5：若正方形的面积是3时，同学们说其边长m又是多少呢？师：通过上节课的学习我们知道它的范围是多少？它具体是多少，你知道吗？生：1.7＜m＜1.8，1.73＜m＜1.74，…；是无限不循环小数.师：同学们，这是我们在小学遇到过“π”的基础上，又一次遇到不能准确，读作“根号”.m，这就好比小学中我们学过的圆周率3.1415926…，它就是一个无限不循环小数，为了能表示它，就用一个符号“π”来表示一样的道理.设计意图：通过自主探索，让学生亲身体验概念的形成过程, 感受到概念引入的必要性，充分体现了学生的主体作用.结论：像以上算式m2=3中，我们就把正数m叫做3的算术平方根.记作：”，即问题6：请仿照上面表示“若m2=3，则”的办法，试着分别表示出下列正数x.(1)x2=3 (2) x2=5 (3) x2=7 (4) x2=a（a＞0）设计意图：算术平方根的概念是由具体到抽象、由特殊到一般而形成的．通过问题6的尝试，培养学生抽象概括的能力.（二）多方联动、理解新知师：现在我们一起来概括算术平方根的定义：（板书2）：一般的，一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“a”读作“根号a”.（板书3）：0的算术平方根是0，即0=0.问题1：用含根号的式子表示下列各数的算术平方根.(多媒体出示)(1) 16 (2) 25 (3) 7 (4) 14（学生独立完成后交流，并不失时机地追问）师：通过此问题，你会有什么新的发现？生：象16=4，25=5一样，这些正数可以写成有理数平方的形式，其算术平方根就可以用一个非负有理数表示，而有些正数写不成有理数平方的形式，其算术平方根只能用根号表示，如上面的7和14，它们的算术平方根只能分别写成7、14.设计意图：强化对算术平方根概念的认识，当细则细，为求出数的算术平方根搭建引桥，目的在于慢中求进，扎实有效.师：根据同学们的认识，我们一起来完成例题1.例题1:求下列各数的算术平方根：(多媒体出示)(1)1 (2)900解：（2）（老师板演第2题的解题过程）∵302=900∴900的算术平方根是30900即=30设计意图：规范学生解题的格式，让学生明确解题的思路.49(3)106 (4)64解：(4) （老师板演第4题）∴的算术平方根是即(5)10设计意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，摸索利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如：10的算术平方根是10．同时，突出了本节课的教学重点.思考：通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？(多媒体出示)设计意图：让学生感知平方运算和求正数的算术平方根是互逆的关系．问题2：仿照“例题1”，请同学们自己编写两道类似的题目，供其他同学解答.设计意图：要把所学的新知识，融入到自己已有的知识结构中来，通过编题，增进学生对概念的理解，力求做到学以致用，举一反三.师：同学们，我们都能编题了，真了不得！看来下面的实际问题已不在话下.（出示例题2）例题2：自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h= 4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？(多媒体出示) （多媒体演示解题过程）解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4，所以t=4=2(秒)，即铁球到达地面需要2秒.设计意图：用算术平方根的知识解决实际问题，把数学与生活实施了链接，以增进学生对数学价值的体悟．问题3：7-有意义吗? 为什么? (多媒体出示)分析：7-无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0，故7-无意义.（板书4）：性质算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a(a≥0)为非负数，这是算术平方根的一条很重要的性质.设计意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，a的算术平方根a也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．师：现在，同学们对算术平方根的认识可以说已经较为全面，事实到底如何呢？小试牛刀，看看自己的身手吧！（三）自主运用、强化新知1.填空：(多媒体出示)4的算术平方根是_________.(1)9(2)719的算术平方根为_________. (3)81的算术平方根为_________.设计意图：通过三个递进式的填空题，检测学生对算术平方根概念的把握情况，并通过（3）小题突出审题意识、优化学生的思维习惯.2.若一个正方形的边长为3时，当面积扩大原来的4倍后，其大正方形的边长b 变为原来的多少倍？(多媒体出示)解：∵b 2 = 4×32 =362倍.3．请同学们写出一些数的算术平方根，使它分别是整数、分数、无限不循环小数.(多媒体出示)设计意图：通过这样的开放式训练，使学生对算术平方根概念的认识和理解得到升华，让学生再一次品尝到成功的喜悦.在师生互动的过程中，将课堂推向了高潮，把难以理解的知识，像剥竹笋一样一层一层的剥开，使学生眼前豁然一亮.同时，也突破了本节课的教学难点.师：同学们说的都很好，看来我们通过今天的学习，有了很多的收获.（四）合作交流、归纳总结同学们，通过本节课的共同学习，请你从知识、方法与情感等方面谈一谈自己的认识.师：这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,•求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方正好是互逆的过程，因此，求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的平方运算. 只不过，只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根.设计意图：通过回顾、梳理、反思，使学生对所学知识得到充分的消化和吸收，理顺了各知识点间的关系.老师重点从以下几个方面进行强调：1.算术平方根概念引入的重要性，尤其是让学生经历概念的形成过程以及里6b ∴==面所蕴含的数学思想；2.算术平方根概念应用的广泛性；3.倡导学生善于发现、勇于探索、敢于创新.（五）布置作业，自我巩固1.必做题：P40习题1、2、3.2.选做题：（1）一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？（2）一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对“公式”的进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有舒展的舞台.附课外阅读材料:“根号的由来”现在，我们都习以为常地使用根号（如等等），并感到它使用起来既简明又方便，那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根；印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka；阿拉伯人用表示；1840年前后，德国人用一个点“.”来表示平方根，两点“..”表示4次方根，三个点“...”表示立方根，比如,.3、..3、 (3)就分别表示3的平方根、4次方根、立方根。