《矩形的性质》同步练习题

初中数学试卷矩形的性质和判定同步练习1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。

3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．如图,已知在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A（10,0）、C（0,4）,点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为。

7.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角相等9.下列叙述错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A.测量两条对角线是否相等B.用曲尺测量对角线是否互相垂直C.用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分11.矩形ABCD对角线相交于点O,如果△ABC周长比△AOB周长大10cm,则AD长是（）A.5cmB.7.5cmC.10cmD.12.5cm12.下列图形中对称轴有2条的图形是（）A.平行四边形B.等边三角形C.矩形D.直角三角形二、解答题:13.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOD=120°,AB=4cm，求此矩形的面积.14.平行四边形ABCD,E是CD的中点,△ABE是等边三角形.求证：四边形ABCD是矩形.15.如图,矩形ABCD中，EF⊥EB,EF=EB,ABCD周长为22cm,CE=3cm.求：DE的长.16.如图,矩形ABCD中,DE=AB，CF⊥DE.求证:EF=EB.17.如图,矩形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,BF//DE,若AD=12cm,AB=7cm,且AE:EB=5:2,求阴影部分.18.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD,垂足为E,已知AB=3,AD=4,求△AEO的面积.19.矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G.求证：FH+FG=AD.20.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC.求证：四边形AFCE是矩形21.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点Ｏ,点Ｐ是四边形外一点,且PA⊥PC，PB⊥PD,垂足为Ｐ.求证：四边形ABCD为矩形.参考答案1.相等；互相平分；相等；直角；轴对称；中心对称；2.12；3.48；4.22或26；5.10,5；6.（2，4），（3,4），（8,4）；7.6.5；8.A 9.B 10.C 11.C 12.C 13.163cm 2；14.证明：∵AE ＝BE （等边△）,∠DEA ＝∠EAB ＝60º＝∠ABE ＝∠CEB （内错角相等）. DE ＝CE （E 中点）；∴△ADE ≌△BCE （两边夹一角相等）,∠C ＝∠D （对应角相等）, ∠C ＋∠D ＝180º（同旁内角互补）,∠C ＝∠D ＝90º,同理∠A ＝∠B ＝90º;所以 平行四边形ABCD 是矩形.（四个角是直角）.15.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，DC=AB ，∠D=∠C=90°，∵EF ⊥EB ，∴∠FEB=90°，∴∠DEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∴∠DEF=∠CBE ， 在△DEF 和△CBE 中，∠D ＝∠C ，∠DEF ＝∠CBE ，EF ＝EB ，∴△DEF ≌△CBE （AAS ）， ∴DE=BC ，DF=CE=3cm ，∵矩形ABCD 的ABCD 周长为22cm ，∴2（BC+DE+EC ）=22，∴DE+DE+3=11，∴DE=4．16.∵∠AED=∠FDC ，∠DAE=∠DFC=90°∴∠ADE=∠FCD又∵DE=AB=CD ∴△ADE ≌△FCD ∴DF=AE ∴EF=DE-DF=AB-AE=BE 。

矩形的性质专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在矩形ABCD中，AF=DE，求证：BE=CF．2．如下图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，作BE∥AC交DC的延长于点E．（1）请判断△DEB的形状，并说明理由；（2）若AD=8，DC=6，试△DEB的周长．3．如图，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O，以OB、OC为邻边作平行四边形OBB1C，求平行四边形OBB1C的面积．4．如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，四边形AFCE为菱形，求菱形的面积．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2cm（1）求证：△AOB是等边三角形；（2）求矩形ABCD的面积．6．如图，四边形ABCD是矩形，△EAD是等腰直角三角形，△EBC是等边三角形．已知AE=DE=2，求AB的长．7．如图，已知在矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=3cm，BC=7cm．（1）求证：△AEF≌△DCE；（2）请你求出EF的长．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，CE平分∠BED．（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？（2）若AB=1，∠DCE=22.5°，求BC长．9．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．（1）试说明四边形AECG是平行四边形；（2）若矩形的一边AB的长为3cm，当BC的长为多少时，四边形AECG是菱形？10．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．11．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OB=6（1）求∠BOC的度数；（2）求△DOC的周长．12．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，E是边AD的中点．（1）OE与AD垂直吗？说明理由；（2）若AC=10，OE=3，求AD的长度．13．如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足．（1）求证：AN=CM；（2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积．14．如图，矩形ABCD中，角平分线AE交BC于点E，BE=5，CE=3．（1）求∠BAE的度数；（2）求△ADE的面积．15．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，CE=AE，F是AE的中点，AB=4，BC=8．求线段OF的长．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，沿AE对折，点D恰好落在BC边上的F点处．17．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．18．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC=2AB．求证：∠AOD=120°．19．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6cm，AC=8cm．（1）求BC的长；（2）画出△AOB沿射线AD方向平移所得的△DEC；（3）连接OE，写出OE与DC的关系？说明理由．20．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？21．如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．22．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，AH=2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长．23．设E，F分别在矩形ABCD边BC和CD上，△ABE、△ECF、△FDA的面积分别是a，b，c．求△AEF的面积S．24．如图，过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG=30°，求证：OG=DC．25．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD边上一点（点E与A、D不重合）．BE的垂直平分线交AB 于M，交DC于N．（1）设AE=x，试把AM用含x的代数式表示出来；（2）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式．（1）求∠COE的度数．（2）若AB=4，求OE的长．27．如图，在矩形ABCD中，AB=b，AD=a，过D和B作DE⊥AC，BF⊥AC，且AE=EF，试求a与b之间的关系．28．如图，设在矩形ABCD中，点O为矩形对角线的交点，∠BAD的平分线AE交BC于点E，交OB于点F，已知AD=3，AB=．（1）求证：△AOB为等边三角形；（2）求BF的长．29．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，G是边AB上的一点，过点G作GE∥DC交BC边于点E，F是EC 的中点，连接GF并延长交DC的延长线于点H．求证：BG=CH．30．已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF．求证：（1）∠ADF=∠BCF；（2）AF⊥CF．参考答案：1．连接BF 、CE ，已知矩形ABCD ，∴AB=CD ，∠BAF=∠CDE=90°， 又AF=DE ，∴△AFB ≌△DEC ， ∴BF=CE ，∠AFB=∠DEC ， ∵矩形ABCD ，AD ∥BC ，∴∠CBF=∠AFB ，∠BCE=∠DEC ， ∴∠CBF=∠BCE ， BC=BC ，∴△BCF ≌△CBE ， ∴BE=CF2．（1）△DEB 的形状为等腰三角形． 理由：∵矩形ABCD ， ∴DC ∥AB ，AC=BD ． ∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 为平行四边形． ∴AC=BE ． ∴BE=BD ．∴△DEB 的形状为等腰三角形． （2）∵AD=8，DC=6， ∴AC==10．∴BD=BE=10．∵BC ⊥DE ， ∴CD=DE=6．∴△DEB 的周长=2（CD+BD ）=2（6+10）=32 3．在Rt △ABC中，，∴，∵矩形ABCD 对角线相交于点O ， ∴，∵四边形OBB 1C 是平行四边形， ∴．4．∵四边形AFCE 为菱形， ∴AF=CF=EC=AE ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=90°，设AE=x ，则BE=BC ﹣EC=4﹣x ，∴x=，∴S 菱形AFCE =EC •AB=×2=5．∴菱形的面积为55．1）证明：在矩形ABCD 中，AO=BO ， 又∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形．（2）解：∵△AOB 是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2（cm ）， ∴BD=2OB=4cm ， 在Rt △ABD ，（cm ）∴S 矩形ABCD =2×2=4（cm 2），答：矩形ABCD 的面积是4cm 2．6．过点E 作EF ⊥BC ，交AD 于G ，垂足为F ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴EG ⊥AD ．（1分）∵△EAC 是等腰直角三角形，EA=ED=2， ∴AG=GD ，AD=．∴EG==．（1分）∵EB=EC=BC=AD=2，∴BF=，（1分）∴EF=．（1分） ∴AB=GF=EF ﹣EG=7. （1）证明：在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°，∴∠ECD+∠CED=90°， ∵EF ⊥EC ，∴∠AEF+∠CED=90°， ∴∠ECD=∠AEF ， 在△AEF 与△DCE 中，，∴△AEF ≌△DCE （AAS ）；∴AF=DE，∵DE=3cm，BC=7cm，∴AF=3cm，AE=AD﹣DE=BC﹣DE=7﹣3=4cm，在Rt△AEF中，EF===5．故答案为：58．（1）△BEC是等腰三角形，理由是：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠ECB，∵CE平分∠BED，∴∠DEC=∠CEB，∴∠CEB=∠ECB，∴BE=BC，∴△BEC是等腰三角形．（2）解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，∵∠DCE=22.5°，∴∠DEB=2×（90°﹣22.5°）=135°，∴∠AEB=180°﹣∠DEB=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AE=AB=1，由勾股定理得：BE=BC==，答：BC 的长是9．（1）由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE，又∵AE∥CG∴四边形AECG是平行四边形；（2）∵四边形AECG是菱形，∴F、H重合，∴AC=2BC，在Rt△ABC中，设BC=x，则AC=2x，在Rt△ABC中AC2=AB2+BC2，即（2x）2=32+x2，解得x=，即线段BC 的长为cm．10．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，∵EF垂直平分AC，∴AO=CO，FE⊥AC，又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，又∵FE⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形；（2）在Rt△ABC中，由AB=5，BC=12，根据勾股定理得：AC===13，又EF=6，∴菱形AFCE的面积S=AC•EF=×13×6=3911．（1）∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，∴∠1+∠ABD=∠ADB+∠ABD=∠2+∠ABD=90°，∴∠ACB=∠ADB=∠2=∠1=30°，又AO=BO，∴△AOB为等边三角形，∴∠BOC=120°；（2）由（1）知，△DOC≌△AOB，∴△DOC为等边三角形，∴OD=OC=CD=OB=6，∴△DOC的周长=3×6=1812．（1）解：OE⊥AD，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC，DO=BO，∴AO=DO，又∵点E是AD的中点，∴OE⊥AD．（2）解：由（1）知OE⊥AD，AO=5，在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE===4，∵E是边AD的中点，∴AD=2AE=8．答：AD的长度是813．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAC=∠BCA，又∵DN⊥AC，BM⊥AC，∴∠DNA=∠BMC，∴△DAN≌△BCM，∴AN=CM．（2）连接BD交AC于点O．∵AN=NM=2，∴AC=BD=6，又∵四边形ABCD是矩形，∴DN=，∴矩形ABCD的面积=，答：矩形ABCD的面积是12．14．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠BAD=×90°=45°．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BAD=∠B=90°，∴∠DAE=∠AEB∵∠BAE=∠DAE=45°，∴∠AEB=45°，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5，∴BC=3+5=8=AD，∴S△ADE =AD×AB=×8×5=2015．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AD=BC=8，CD=AB=4．（1分）设DE=x，那么AE=CE=8﹣x，（1分）∵在Rt△DEC中，CE2=DE2+CD2，（1分）∴（8﹣x）2=x2+42，（1分）∴x=3．（1分）∴CE=8﹣x=5．（1分）∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC中点．（1分）又∵F是AE 的中点，∴．16．（1）设BF=x，CE=y，则CF=10﹣x，EF=DE=8﹣y，在Rt△ABF中根据勾股定理可得x2+82=102，在Rt△CEF中根据勾股定理可得y2+（10﹣x）2=（8﹣y）2，解得x=6，y=3，即BF=6，CE=3；（2）△ABF 的面积为×8×6=24，△ADE 的面积为×10×5=25，∴四边形AFCE的面积为8×10﹣24﹣25=31，答：BF的长为6，CE的长度为3，四边形AFCE的面积为31∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在△GFE和△GCE中，，∴△GFE≌△GCE（HL），∴GF=GC；（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=18．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角），∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD=BD，OC=OA=AC，AC=BD，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴∠BOC=120°，∴∠AOD=∠BOC=120°19．（1）∵矩形ABCD，∴∠CBA=90°，AB=6cm，AC=8cm，由勾股定理：BC===2（cm），答：BC的长是2cm．（2）解：如图所示（3）答：OE与DC的关系是互相垂直平分．理由是：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OD=OC=DE=CE，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，OG=EG，CG=DG，即OE与DC的关系是互相垂直平分20．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=13cm，∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm，∴OA+OB+AB+OB+OC+BC+OC+OD+DC+OD+OA+A D=86cm，∴AB+BC+CD+DA=86﹣2（AC+BD）=86﹣4×13=34（cm）．答：矩形ABCD的周长等于34cm．21．∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，∴∠AFE+∠AEF=90°（2分）∵F在AD上，∠EFC=90°，∴∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC，（3分）∴．（4分）∵BE：EA=5：3设BE=5k，AE=3k∴AB=DC=8k，由勾股定理得：AF=4k ，∴∴DF=6k∴BC=AD=10k（5分）在△EBC中，根据勾股定理得BE2+BC2=EC2∵CE=15，BE=5k，BC=10k∴∴k=3（6分）∴AB=8k=24，BC=10k=3022．∴HG=HE，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS）∴DG=AH=2（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF．在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG．∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．因此S△FCG =GC=1，解得GC=1，DG=6．（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7﹣x，又在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，x ≤，∴S△FCG 的最小值为，此时DG=23．设AB=x1，BE=x2，EC=x3，CF=x4，则FD=x1﹣x4，AD=x2+x3，由题意得x1•x2=2a，x3•x4=2b，（x1﹣x4）×（x2+x3）=2c，即x2•x3﹣x2•x4=2（b+c﹣a），又x1x2x3x4=4ab代入x2x4=x1x3﹣2（b+c﹣a）得关于x1x3的一元二次方程，即（x1x3）2﹣2（b+c﹣a）x1x3﹣4ab=0解之得x1x3=（b+c﹣a）+又S矩形=x1（x2+x3）=2a+（b+c﹣a）+=（a+b+c）+∴S△AEF=S矩形﹣S△ABE﹣S△CEF﹣S△ADF=（a+b+c）+﹣a﹣b﹣c=∴△AOE是直角三角形∴OG=AG=GE，∴∠BAC=∠AOG=30°，∠AEO=60°，∠GOE=∠AOE ﹣∠AOG=60°，∴△OEG是正三角形，∴OG=OE=GE，∴∠ABO=∠BAC=30°，∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°，∴∠BOE=∠AOB﹣90°=30°，∴△OEB是等腰三角形，∴OE=EB，∴OG=AG=GE=EB=OE，∴OG=AB=DC．25．（1）连接ME．∵MN是BE的垂直平分线，∴BM=ME=6﹣AM，在△AME中，∠A=90°，由勾股定理得：AM2+AE2=ME2，AM2+x2=（6﹣AM）2，AM=3﹣x．（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6﹣b，因MN垂直平分BE，则ME=MB=6﹣a，NE=NB，所以由勾股定理得AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2即a2+x2=（6﹣a）2，b2+（4﹣x）2=42+（6﹣b）2，解得a=3﹣x2，b=x2+x+3，所以四边形ADNM的面积为S=×（a+b）×4=2x+12，即S关于x的函数关系为S=2x+12（0＜x＜2），答：S关于x的函数关系式是S=2x+1226．（1）∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠CED=45°；∴EC=DC，又∵∠ADB=30°，∴∠CDO=60°；又∵因为矩形的对角线互相平分，∴OD=OC；∴△OCD是等边三角形；∴∠DCO=60°，∠OCB=90°﹣∠DCO=30°；∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO；∴∠COE=（180°﹣30°）÷2=75°；（2）过O作OF⊥BC于F，∵AO=CO，∴BF=CF，∴OF=AB=2，∵∠ADB=30°，AB=4，∴AC=8，∴BC==4，∴BF=CF=2，∵CD=CE=4，∴EF=CE﹣CF=4﹣2，在Rt△OFE中，OE==4．27．：a与b的关系是b=a，理由是：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED=∠CFB=90°，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF，∵AE=EF，∴AE=EF=CF，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°=∠BFC，∴∠BCF+∠CBF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，∴∠ABF=∠BCF，∵∠AFB=∠CFB=90°，∴△ABF∽△BCF，∴==，矩形的性质专项练习--11设AE=EF=CF=c，则BF2=AF•CF=2c2，∴BF=c，∵AB=b，BC=a，∴==，∴b=a，即a与b之间的关系是b= a28．（1）证明：在Rt△ABD中，BD===2，∵矩形ABCD，∴OA=OB=BD=，∴△AOB为等边三角形；（2）解：∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，△BEO是等腰三角形，又∠EBO=90°﹣60°=30°，∴∠BOE=（180°﹣30°）÷2=75°，在△BOC中∠COE=180°﹣30°×2﹣75°=45°，所以，在△BEF和△COE 中，∴△BEF≌△COE（ASA），∴BF=CE，又CE=BC﹣BE=3﹣，∴BF=3﹣．29．在△GEF和△HCF中，∵GE∥DC，∴∠GEF=∠HCF，∵F是EC的中点，∴FE=FC，而∠GFE=∠CFH（对顶角相等），∴△GEF≌△HCF，∴GE=HC，四边形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠DCB，∵GE∥DC，∴∠GEB=∠DCB，（2分）∴∠GEB=∠B，∴GB=GE=HC，∴BG=CH30．（1）在矩形ABCD中，∵AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，∵F为DE中点，∴DF=CF，∴∠FDC=∠DCF，∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，即∠ADF=∠BCF；（2）连接BF，∵BE=BD，F为DE的中点，∴BF⊥DE，∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，在△AFD和△BFC 中，∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD=∠BFC，∵∠AFD+∠BFA=90°，∴∠BFC+∠BFA=90°，即∠AFC=90°，∴AF⊥FC．矩形的性质专项练习--12。

矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一．选择题（共15小题）1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm22．下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、P D．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．184．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2D．36．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形；B．对角线互相垂直的四边形是矩形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC=∠ACB；B．∠BAC=∠ACD；C．∠BAC=∠DAC；D．∠BAC=∠ABD9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC10．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°C．AB=CD，∠B=∠C=90°D．AB=CD，AC=BD11．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形12．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．13．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．414．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC15．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形二．填空题（共6小题）16．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=，矩形的面积为．17．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）18．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1S2．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=cm．20．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．21．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三．解答题（共5小题）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．23．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．24．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，C A．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．25．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．26．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC+S△PAD=BC•PF+AD•PE=BC（PF+PE）=BC•EF=S矩形ABC D．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．参考答案一．选择题（共15小题）1．B．2．D．3．C．4．D．5．C．6．C．7．C．8．D．9．B．10．D．11．D．12．D．13．C．14．D．15．A．二．填空题（共6小题）16．5，12．17．AC=BD18．=．19．．20．AC⊥B D．21．．三．解答题（共5小题）22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ADO=30°∴AB=B D．在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD===3∴S=AB•AD=3×3=9．矩形ABCD23．（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=A C．∵DB=AC，∴DB=E C．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）证明：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC，∵BC=DE，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．24．证明：（1）∵BF=BA，BE=BC，∴四边形AEFC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，∴BE=BF，∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，∴四边形AEFC为矩形；（2）连接DB，由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，∴四边形AEBD为平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形AEBD为菱形，∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，∴AG=2，AE=4，∴在Rt△AEG中，EG=2，∴ED=4．25．（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．26．证明：（1）∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PC D．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF=AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PC D．矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一、填空题：1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第一课时矩形的性质）精选练习一．选择题（共10小题）1．如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．122．如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠DBC＝30°，BE＝1cm，则AE的长为（）A．3cm B．2cm C．2cm D．cm3．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）A．70°B．60°C．80°D．45°4．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为16cm，则这个矩形较短边的长为（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A的坐标为（0，2），顶点B在第二象限．若长方形OABC的面积为6，则点B的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（）A．16 B．20 C．29 D．347．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为（）A．10 B．5 C．2.5 D．2.258．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（）A．B．C．﹣D．﹣9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（）A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD 10．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6 B．6.5 C．10 D．13二．填空题（共5小题）11．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF ＝6，则GH的长为．12．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为________．13．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形对角线BD的长为cm．14．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，ED平分∠AEC，则DE 长为．15．矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为．三．解答题（共2小题）16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝12，P，Q分别为AO，AD的中点，求PQ的长度．17．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为．。

1.2.3矩形的性质与判定的运用 同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1.如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝2 cm ，则AB 与CD 之间的距离为_____cm.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为_____.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，则BG ＝_____.4.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，延长AD 到E ，使DE ＝BD ，连接BE.若∠EBC ＝27°，则∠ABD ＝_____度.二、选择题5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为()A.4B.5C.6D.76.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为()A.103B.4C.4.5D.57.如图，在矩形钟面示意图中，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为40 cm ，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为____cm() A.80B.60C.50D.40 38.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，以AE ，DE 为边作▱AEDF ，当点E 从点B 运动到点C 的过程中，▱AEDF 的面积()A.先变小后变大B.先变大后变小C.保持不变D.一直变大三、解答题9.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE ，DE 相交于点E. (1)求证：四边形DOCE 是矩形.(2)若四边形DOCE 的面积是3，AC ＋BD ＝10，求AB 的长.B 组(中档题)四、填空题10.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形OABC 的对角线相交于点P ，顶点C 的坐标是(0，3)，∠ACO ＝30°，将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转150°后点P 的对应点P′的坐标是_____.11.如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，CD ＝2，点E 在边AB ，且AD ＝AE ，BE ＝BC ，则AE·BE 的值为_____.12.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝8，点O ，P 分别是边AB ，AD 的中点，点H 是边CD 上的一个动点，连接OH ，将四边形OBCH 沿OH 折叠，得到四边形OFEH ，连接PE ，则PE 长度的最小值是_____.五、解答题13.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于点H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M ，MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连接PR 交QM 于点S. (1)求证：四边形PQRM 为矩形.(2)若OP ＝12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由.C组(综合题)14.如图1，一张菱形纸片EHGF，点A，D，C，B分别是EF，EH，HG，GF边上的点，连接AD，DC，CB，AB，DB，且AD＝3，AB＝6；如图2，若将△FAB，△AED，△DHC，△CGB分别沿AB，AD，DC，CB对折，点E，F都落在DB上的点P处，点H，G都落在DB上的点Q处.(1)求证：四边形ADCB是矩形.(2)求菱形纸片EHGF的面积和边长.参考答案1.2.3矩形的性质与判定的运用 同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1.如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝2 cm ，则AB 与CD 之间的距离为2cm.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，则BG ＝95.4.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，延长AD 到E ，使DE ＝BD ，连接BE.若∠EBC ＝27°，则∠ABD ＝36度.二、选择题5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A.4B.5C.6D.76.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为(D)A.103B.4C.4.5D.57.如图，在矩形钟面示意图中，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为40 cm ，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为____cm(D) A.80B.60C.50D.40 38.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，以AE ，DE 为边作▱AEDF ，当点E 从点B 运动到点C 的过程中，▱AEDF 的面积(C)A.先变小后变大B.先变大后变小C.保持不变D.一直变大三、解答题9.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE ，DE 相交于点E. (1)求证：四边形DOCE 是矩形.(2)若四边形DOCE 的面积是3，AC ＋BD ＝10，求AB 的长.(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥DB ， ∴四边形DOCE 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD. ∴∠COD ＝90°. ∴四边形DOCE 是矩形.(2)设OD ＝x ，OC ＝y ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD.∵AC ＋BD ＝10，四边形DOCE 的面积是3， ∴x ＋y ＝5，xy ＝3.∴x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝52－2×3＝19. ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝x 2＋y 2＝19.B 组(中档题)四、填空题10.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形OABC 的对角线相交于点P ，顶点C 的坐标是(0，3)，∠ACO＝30°，将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转150°后点P 的对应点P′11.如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，CD ＝2，点E 在边AB ，且AD ＝AE ，BE ＝BC ，则AE·BE 的值为1.12.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝8，点O ，P 分别是边AB ，AD 的中点，点H 是边CD 上的一个动点，连接OH ，将四边形OBCH 沿OH 折叠，得到四边形OFEH ，连接PE ，则PE 长度的最小值是五、解答题13.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于点H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M ，MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连接PR 交QM 于点S. (1)求证：四边形PQRM 为矩形.(2)若OP ＝12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由.解：(1)证明：∵PH ⊥OB ，MD ⊥OB ， ∴PH ∥MD.∵PM ∥OB ，QR ∥OB ， ∴PM ∥QR.∴四边形PQRM 是平行四边形. ∵PH ⊥OB ，∴∠PHO ＝90°. ∵PM ∥OB ，∴∠MPQ ＝∠PHO ＝90°. ∴四边形PQRM 为矩形. (2)∠AOB ＝3∠BON.理由如下： ∵四边形PQRM 为矩形， ∴PS ＝SR ＝SQ ＝12PR.∴∠SQR ＝∠SRQ. 又∵OP ＝12PR ，∴OP ＝PS. ∴∠POS ＝∠PSO. ∵QR ∥OB ， ∴∠SQR ＝∠BON.在△SQR 中，∠PSO ＝∠SQR ＋∠SRQ ＝2∠SQR ＝2∠BON ， ∴∠POS ＝2∠BON.∴∠AOB ＝∠POS ＋∠BON ＝2∠BON ＋∠BON ＝3∠BON ，即∠AOB ＝3∠BON.C 组(综合题)14.如图1，一张菱形纸片EHGF ，点A ，D ，C ，B 分别是EF ，EH ，HG ，GF 边上的点，连接AD ，DC ，CB ，AB ，DB ，且AD ＝3，AB ＝6；如图2，若将△FAB ，△AED ，△DHC ，△CGB 分别沿AB ，AD ，DC ，CB 对折，点E ，F 都落在DB 上的点P 处，点H ，G 都落在DB 上的点Q 处. (1)求证：四边形ADCB 是矩形. (2)求菱形纸片EHGF 的面积和边长.解：(1)证明：由对折可知∠FAB＝∠PAB，∠EAD＝∠PAD，∴2(∠PAB＋∠PAD)＝180°，即∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝90°.同理：∠ADC＝∠ABC＝90°.∴四边形ADCB是矩形.(2)由对折可知：△AFB≌△APB，△AED≌△APD，△CHD≌△CQD，△CGB≌△CQB. ∴S菱形EHGF＝2S矩形ADCB＝2×3×6＝6 2.又∵AE＝AP＝AF，∴A为EF的中点，同理：C为GH的中点，即AF＝CG，且AF∥CG.连接AC，∴四边形ACGF为平行四边形.∴FG＝AC＝BD.∴FG＝BD＝（3）2＋（6）2＝3.。

矩形的性质相关练习题矩形的性质相关练习题矩形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质和特点。

在数学学习中，我们经常会遇到与矩形相关的练习题，通过解答这些问题，我们可以更好地理解和应用矩形的性质。

在本文中，我将为大家分享一些与矩形相关的练习题，并解答这些问题，帮助大家更好地掌握矩形的性质。

第一题：已知一个矩形的长为12 cm，宽为8 cm，求其周长和面积。

解答：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，所以周长为（12 + 8）× 2 = 40 cm。

矩形的面积等于长乘以宽，所以面积为12 × 8 = 96cm²。

第二题：一个矩形的周长为30 cm，面积为84 cm²，求其长和宽。

解答：设矩形的长为x cm，宽为y cm。

根据题意，2x + 2y = 30，xy = 84。

解这个方程组可以得到x = 12 cm，y = 7 cm。

所以该矩形的长为12 cm，宽为7 cm。

第三题：一个矩形的长是宽的2倍，且周长为30 cm，求其长和宽。

解答：设矩形的宽为x cm，则长为2x cm。

根据题意，2(2x) + 2x = 30，解这个方程可以得到x = 5 cm。

所以该矩形的长为10 cm，宽为5 cm。

第四题：一个矩形的长和宽的比为5:3，且面积为120 cm²，求其长和宽。

解答：设矩形的长为5x cm，宽为3x cm。

根据题意，5x × 3x = 120，解这个方程可以得到x = 4 cm。

所以该矩形的长为20 cm，宽为12 cm。

通过解答以上练习题，我们可以看出，矩形的性质与其周长、面积之间存在一定的关系。

矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，面积等于长乘以宽。

通过利用这些性质，我们可以解决与矩形相关的各种问题。

除了上述练习题，我们还可以进一步探索矩形的其他性质，如对角线的长度、内角和等。

通过不断练习和思考，我们可以更加深入地理解矩形的性质，并能够灵活地运用到实际问题中。

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

矩形的性质练习题及答案
练题
1. 矩形是一种特殊的四边形，具有哪些特点？
2. 矩形的四边分别叫什么？
3. 矩形的对角线有什么特点？
4. 如何判断一个四边形是否为矩形？
5. 下列哪个形状不是矩形？
- (A) 正方形
- (B) 长方形
- (C) 梯形
- (D) 菱形
6. 一个矩形的长和宽分别为8cm和6cm，求他的面积和周长。

答案
1. 矩形具有以下特点：
- 四个角都是直角（90°）
- 两对相邻边相等
- 对角线相等
2. 矩形的四边分别叫：
- 上边（或上底）
- 下边（或下底）
- 左边（或左底）
- 右边（或右底）
3. 矩形的对角线有以下特点：
- 对角线长度相等
- 对角线互相垂直（成直角）
4. 判断一个四边形是否为矩形，需满足以下条件：- 四个角都是直角
- 两对相邻边相等
5. 下列哪个形状不是矩形？
- (C) 梯形
6. 长为8cm，宽为6cm的矩形的面积和周长计算如下：
- 面积：8cm × 6cm = 48cm²
- 周长：2 × (8cm + 6cm) = 28cm
注意：矩形的面积单位为平方单位，周长单位为长度单位。

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以上为矩形的性质练习题及答案。

了解矩形的特点和计算方法能够帮助我们更好地理解和应用矩形的性质。

如果还有其他问题，欢迎继续咨询。

矩形的性质与判定练习题矩形是几何学中常见的形状之一，具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将通过一些练习题来探讨和判定矩形的性质。

请阅读以下练习题并回答。

练习题一：判断矩形1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个矩形。

练习题二：矩形的性质1. 一条直线分割一个矩形，使其成为两个等面积的小矩形。

证明这条直线必定是通过矩形的中心点。

2. 如果一条直线沿着矩形的一条边切割，那么它将会切成两个全等的小矩形。

3. 证明：一个矩形的对角线相等。

练习题三：矩形的判定1. 给定四个点A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)，请判断这四个点能否构成一个正方形。

2. 如果一条矩形的两条对边相等且平行，则它必定是一个正方形。

练习题四：矩形的角度1. 一个矩形的四个内角的和是多少度？2. 证明：一个矩形的内角都是直角（90度）。

练习题五：矩形的边长关系1. 一个矩形的两条对边的长度分别是a和b，它的对角线的长度是多少？2. 如果一个矩形的一边的长度是a，另一条边的长度是b，那么它的面积是多少？练习题六：矩形的面积1. 已知一个矩形的长为5cm，宽为3cm，求它的面积。

2. 如果一个矩形的面积是24平方单位，且长比宽多2个单位，求矩形的长和宽。

根据上述练习题，我们可以通过判断和计算来了解矩形的性质和特点。

矩形具有对角线相等、相对边平行、内角为直角等特点，这些性质可以帮助我们对矩形进行判定和计算。

答案：练习题一：可以构成一个矩形；练习题二：1. 通过矩形的对角线可以证明；2. 正确；3. 通过矩形的对角线可以证明；练习题三：1. 不能构成一个正方形；2. 正确；练习题四：1. 360度；2. 通过矩形的对角线可以证明；练习题五：1. 对角线的长度可以通过勾股定理计算：√(a^2 + b^2)；2. 面积可以通过长乘宽计算：a * b；练习题六：1. 面积等于长乘宽：5cm * 3cm = 15平方厘米；2. 设矩形的宽为x，则长为x+2，根据面积的计算公式得到：(x+2) * x = 24，解得x=4，所以矩形的长为6，宽为4。

矩形的性质练习题矩形的性质练习题矩形是我们学习几何学时经常遇到的一种形状。

它有很多有趣的性质，通过解决一些练习题，我们可以更好地理解和掌握这些性质。

1. 假设矩形的长为a，宽为b，周长为20，求矩形的面积。

解析：根据矩形的性质，周长等于长和宽的两倍之和。

即2a + 2b = 20。

由此可得a + b = 10。

我们可以将这个方程表示为b = 10 - a。

矩形的面积等于长乘以宽，即ab。

将b的值代入，得到a(10 - a)。

展开后得到10a - a^2。

为了求得最大的面积，我们需要找到这个二次函数的顶点。

顶点的横坐标是a = -b/2a，即a = -10/(-2) = 5。

将a = 5代入原方程，得到b = 10 - 5 = 5。

所以矩形的长和宽都是5，面积为25。

2. 若一个矩形的面积是36，它的长和宽之间的差是3，求矩形的周长。

解析：设矩形的长为a，宽为b。

根据题意，ab = 36，a - b = 3。

我们可以将第二个方程表示为a = b + 3。

将这个值代入第一个方程，得到(b + 3)b = 36。

展开后得到b^2 + 3b - 36 = 0。

这是一个二次方程，可以因式分解为(b + 9)(b- 4) = 0。

所以b = -9或b = 4。

由于矩形的长和宽不能为负数，所以b = 4。

将b = 4代入a = b + 3，得到a = 7。

矩形的周长等于长和宽的两倍之和，即2a + 2b = 2(7) + 2(4) = 14 + 8 = 22。

3. 一个矩形的周长是32，它的长是宽的3倍，求矩形的面积。

解析：设矩形的宽为b，则长为3b。

根据矩形的性质，周长等于长和宽的两倍之和，即2(3b) + 2b = 32。

展开后得到8b = 32，解得b = 4。

将b = 4代入长的表达式，得到长为3(4) = 12。

矩形的面积等于长乘以宽，即12(4) = 48。

4. 一个矩形的周长是24，它的面积是16，求矩形的长和宽。