二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
中考压轴题:二次函数中的面积问题学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题课型一对一/一对N教学目标1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。
3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．重、难点割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。
课首沟通1、上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？2、在初中学习二次函数过程中，是否还存在思维障碍和知识点？3、面对二次函数图象中的图形平移得到面积问题能不能自我总结出一般法则呢？知识导图导学一：二次函数中求面积的最值知识点讲解 1：直接公式法求解图形面积S△ = a ha d (d表示已知点到直线的距离)2、割补（和差）法以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。
S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：或S△ =3、平行线等积变换①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC= S△DBC，S△AOB =S△COD例 1. （2015潍坊中考改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2－8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2－x1＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．【学有所获】图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)(2)(3)[学有所获答案] (1) 直接公式求法(2) 割补法(3) 平行线等积变换法我爱展示1.（2014海珠一模）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧）与轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE＝90°时，求出点P的坐标；（3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标．2.（2015越秀期末考试）如图，已知抛物线y＝x2＋ax＋4a与x轴交于点A，B，与y轴负半轴交于点C且OB＝OC，点P为抛物线上的一个动点，且点P位于x轴下方，点P与点C不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC的面积为，求点P的坐标；（3）若以A，B，C，P为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，对应的点P有且只有2个?导学二：二次函数中的图形平移、折叠问题知识点讲解 1：二次函数、一次函数图象平移法则将（）的图像如何平移到的图像。
考向3.10 二次函数-面积问题例1、（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数223y x bx b =+-． （1）当该二次函数的图象经过点1,0A 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ,点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值;（3）若对满足1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，求实数b 的取值范围．解：（1）把1,0A 代入223y x bx b =+-， 得：20123b b =+-，解得：b =1，∴该二次函数的表达式为：223y x x =+-； （2）令y =0代入223y x x =+-， 得：2023x x =+-， 解得：11x =或23x =-，令x =0代入223y x x =+-得：y =-3， ∴A (1，0)，B (-3，0)，C (0，-3)， 设运动时间为t ，则AP =2t ，BQ =t ， ∴BP =4-2t ，过点M 作MQ ⊥x 轴， ∵OB =OC =3， ∴∠OBC =45°，∴BMQ 是等腰直角三角形，∴MQ =22BQ =22t ， ∴△BPQ 的面积=()11222242BP MQ t t -⋅=⋅=()222122t --+，∴当t =1时，△BPQ 面积的最大值=22；（3）抛物线223y x bx b =+-的对称轴为：直线x =-b ，开口向上， 设2()23y f x x bx b ==+-，∵对1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，∴()110b f -≤⎧⎨≥⎩或()10b f b ->⎧⎨-≥⎩，∴-1≤b ≤1或-3≤b ＜-1， ∴-3≤b ≤1．1、二次函数面积问题的几种形式（1）直接用面积公式；（2）三角形的面积等于铅直高度与水平宽度积的一半；(3)平行线等面积法（通过做平行线辅助线完成）。
二次函数与面积求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；如图：抛物线与x 轴交于A 、B 两点，P 是抛物线上一点。
则S △ABP=21AB •PE（2）割补法；如图：直线MN 与抛物线交于M 、N ，与y 轴交于E ， 则S △MON=S △OEM+S △OEN（3）铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
BC铅垂高水平宽 haA1、如图，抛物线经过A（-1,0），B（3,0），C（0，-3）三点，点P在第二象限的抛物线上，S△POB=S△PCO，求P点的坐标。
2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，- 3）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB。
3、如图，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B 重合），连接PA、PB，S△PAB=6，求P点的坐标。
4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()0 3，-。
（1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使△ABC面积有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；7、如图，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．。
