2.4平面向量的数量积

2.4 平面向量的数量积教案A第1课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．三、情感、态度与价值观通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的定义．教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学关键：平面向量数量积的定义的理解．教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算．教学过程一、创设情境，导入新课在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W 可由下式计算：W=| F | | s | cosθ，其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）．故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念．二、主题探究，合作交流提出问题①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？师生活动:已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ（0≤θ≤π）．其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:（1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘12积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0=0；（3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4）当0≤θ<2π时cosθ>0，从而a ·b >0；当2π<θ≤π时，cosθ<0，从而a ·b <0．与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a （交换律）；②（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）（数乘结合律）；③（a +b ）·c =a ·c +b ·c （分配律）．特别是:（1）当a ≠0时，由a ·b =0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0．注意：已知实数a 、b 、c （b ≠0），则ab =bc ⇒a =c ．但对向量的数量积，该推理不正确，即a ·b =b ·c 不能推出a =c ．由上图很容易看出，虽然a ·b =b ·c ，但a ≠c ．对于实数a 、b 、c 有（a ·b ）c =a （b ·c ）；但对于向量a 、b 、c ，（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．这是因为（a ·b ）c 表示一个与c 共线的向量，而a （b ·c ）表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究．教师给出图形并作结论性的总结，提出注意点“投影”的概念，如下图．定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影．并引导学生思考.A . 投影也是一个数量，不是向量；B . 当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为|b |；当θ=180°时投影为-|b |．教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积．让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量，θ为两向量的夹角，e 是与b 同向的单位向量．A . e ·a =a ·e =|a |cos θ．B . a ⊥b ⇔a ·b =0．C . 当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |．3特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙．D . cosθ=||||a b a b ∙． E . |a ·b |≤|a ||b |．上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质．讨论结果:①略．②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积．三、拓展创新，应用提高例1 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求a ·b活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解．解: a ·b =|a ||b |cosθ=5×4 ×cos120°=5×4×（21-） =-10．点评: 确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解．例2 我们知道，对任意a ，b ∈R ，恒有（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2．对任意向量a 、b ，是否也有下面类似的结论？（1）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2；（2）（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2．解：（1）（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b=a 2+2a ·b +b 2；（2）（a +b ）·（a -b ）=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b=a 2-b 2．例3 已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）．解: （a +2b ）·（a -3b ）=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72．例4 已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直？解: a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是（a +k b ）·（a -k b ）=0，即a 2-k 2b 2=0．∵a 2=32=9，b 2=42=16，∴9-16k 2=0．∴k =±43．也就是说，当k =±43时，a +k b 与a -k b 互相垂直．点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，数量积的运算律．2．教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多解．第2课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量数量积运算规律.2．能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题.3．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．二、过程与方法教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础．三、情感、态度与价值观通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示．教学难点：向量数量积的坐标表示的应用．教学关键：平面向量数量积的坐标表示的理解．教学突破方法：教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．并通过练习，使学生掌握数量积的应用．教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：主动探究，练习巩固．教学过程一、创设情境，导入新课前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，那么，能否用坐标表示平面向量的数量积呢？若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？本节课我们就来研究这个问题．（板书课题）二、主题探究，合作交流提出问题：①已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用a与b的坐标表示a·b呢？②怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？③你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？师生活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究．提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示．教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充．推导过程如下：∵a=x1ｉ+y1j，b=x2ｉ+y2j，∴a·b=（x1ｉ+y1j）·（x2ｉ+y2j）=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2．45又∵ｉ·ｉ=1，j ·j =1，ｉ·j =j ·ｉ=0，∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2．教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：A . 平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ·b =x 1x 2+y 1y 2．B . 向量模的坐标表示若a =（x ，y ），则|a |2=x 2+y 2，或|a |=22y x +．如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），那么a =（x 2-x 1，y 2-y 1），|a |=.)()(212212y y x x -+-C . 两向量垂直的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0．D . 两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cos θ=121222221122||||x x y y a b a b x y x y +=++三、拓展创新，应用提高例1 已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），试判断△ABC 的形状，并给出证明．活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．解：在平面直角坐标系中标出A （1，2），B （2，3），C （-2，5）三点，我们发现△ABC 是直角三角形．下面给出证明．∵AB =（2-1，3-2）=（1，1），AC =（-2-1，5-2）=（-3，3）， ∴AB ·AC =1×（-3）+1×3=0．∴AB ⊥AC ．∴△ABC 是直角三角形．点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状．当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明．例2 设a =（5，-7），b =（-6，-4），求a ·b 及a 、b 间的夹角θ（精确到1°）．解：a ·b =5×（-6）+（-7）×（-4）=-30+28=-2．6|a |=74)7(522=-+，|b |=22(6)(4)52-+-=，由计算器得cos θ=52742⨯-≈-0．03．利用计算器得θ≈1．6rad=92°．四、小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．。