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2zx =0
由 zx ( x, y)
x zy ( x, y ) y 0
2zy =0
zx ( x, y) ( zy ( x, y)) x y
根据多元函数全微分的定理，上式为一个函数（x，y）全微 分 存在的条件： 这是 zy dx zx dy 为全微分的条件，设： zy dx zx dy d ( x, y ) dx dy x y 于是得：
则应力函数在扭杆侧边应该为常数 :s =C1 由剪应力分量为的一阶偏导数，知当增加或减少一个常量 时对剪应力分量无影响。为简便起见，令应力函数的边界值取 为零，即沿截面周边的 对于单连域（实心杆）：可取 s = 0 对于复连域（空心杆）：可取一条边界线上 s为零，而其它 边界s为非零常数：s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3
第六章 柱体的自由扭转问题
除圆截面杆以外，柱体扭转变形时横截面将不再是保持 为平面，截面将发生翘曲，其对扭转变形与应力的影响不 可忽略，必须用弹力方法来得到满意的结果。 柱体扭转变形时截面发生翘曲，如果端面约束限制这种翘 曲，或者相邻截面翘曲不一致，引起对翘曲的约束，截面 之间就会产生轴向应力。不过大多数实际应用中这种约束 效应是不大的，为使问题简化可以忽略约束效应。
代入侧面边界条件 边界条件可写成: 方向导数
ds:
MT o -dx
dy ds
y
y
n
x
x
x Y为正 相应的： dx 为“负”
dy 为“正”
d dx dy ly mx dn x dn y dn
在横截面的周边上,扭转函数需满足的边界条件
2)端面约束条件： （次要边界）
在扭杆端面（如z = 0)法线的方向余弦 ： （l,m,n)=(0,0, -1) 杆端截面法线方向面力：
且在基本方程中不出现k。k的确定当然也应通过边界 条件来确定。 5、边界条件
1）考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界） 侧边上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) 面力
MT o dx
X Y Z 0
-dy
y
X i n j ij X 0 l x m xy n zx 0
自由扭转：截面可以自由翘曲的扭转问题。
约束扭转：考虑对翘曲的约束效应的扭转问题。
经典弹性理论中的反平面问题：其平行平面的变形可以通过一个平面的
变形来表征，但不是面内变形而是离面变形（区别与平面问题）。
如柱体自由扭转，其垂直于柱体轴线的平面（横截面），发生 相同的翘曲，同时伴随着截面间绕轴线的相对的刚体转动。
kG ( x 2 y 2 x
x)m ds 0 y
y x )dA M z
结论 ：
由
——扭矩MT与k和(x,y)的关系。
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数(x,y)和单位扭转角k。
2
= 0
在V上
在杆侧边上
l( y ) m( x) 0 x y
v cos xz
1、故可设位移分量：
u= -kyz , v= kxz ,
其中
K ；
w= k(x,y)
为待求未知量
(x,y)
2、求（工程）应变分量：
u= -kyz , v= kxz ,
xy
zx
u v 0 y x
w= k(x,y)
u x 0 x
或：
l( y ) m( x) 0 x y
边界条件用(x,y)的偏微分表示
dx dy 由于 l cos( n , x ) dn ds dy dx m cos(n , y ) dn ds 则: d dx dy l m dn x dn y dn x y
x( y ) x( x) dxdy A zx dA kG y y x x 利用格林公式
上式= kG x ( s
A
x
y )l (
y
而第三个方程为：
C 2Gk
2
边界条件
将应力函数代入杆侧边的边界条件
lzx+mzy = 0
dy dx dy dx m 而 l dn ds dn ds zy zx 代入边界条件，得 x y
dy dx 0 y ds x ds
zx
A
zy
dA 0
Hale Waihona Puke (Ay zy x)dA M z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主要边界上力边界条件满足时，
A
zx
dA 0
和
A
zy
dA 0
自然满足
证明：
2 dA kG ( y ) dA kG ( y x )dA A zx A x x kG x( y ) x) dxdy x( y y x x
A
zx
dA XdA 0
1 ij ,ij 0 1
2
由于设x=y=z=0， = 0 则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个控制方程
2zx =0
和
2zy =0
按应力法求解基本方程为三个：
zx ( x, y) zy ( x, y ) 0 x y
2zx =0
2zy =0
d 0 ds
S2
再将(x,y)代入端面上的边界条件： 方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力： Z z 0 满足
S0 S1 y x
在x,y方向面力应用圣维南原理 , 应满足
A zx dA A y dxdy ( y dy)dx ( A B )dx 0
A
zx
dA XdA 0
A
A
zy
dA Y dA 0
A
o
MT
A
(Y x Xy )dA
(
A
zx
y zy x)dA M z
x
2 按应力函数(x,y)求解
按应力法求解基本方程为三个：
zx ( x, y ) zy ( x, y ) 0 x y
zy
( x, y ) x
zx
( x, y ) y
函数（x，y）称为扭转应力函数或普朗特（Prandtl）应力函数
由应力分量与应力函数的关系为
zx
( x, y ) y
zy
( x, y ) x
则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自然满足。 将上式代入应力法的其它两个基本方程，得
同圆杆扭转类似，设x=y=z=xy=0，仅存在zx(x,y)=xz
和zy(x,y)=yz两个应力分量，将应力分量代入应力法的基本方程
九个（三个平衡和六个相容方程）
三个平衡方程：
zx 0 z
zy z
0
和
zx zy 0 x y
前两个自然满足
无体力相容方程为：
( 2 ) 0 y y
2
2 ( ) ( 2 ) 0 x x
2 = C
泊松方程
基本方程用应力函数表示
确定常数C是什么？
由应力函数法和位移法可知
x = y = z = x y =0 ，
zx
zx
zy
( x, y ) Gk ( y) y x
n
Y 0 l xy m y n zy 0
满足
x
Z 0 l zx m zy n z l zx m zy
即:
lGk (
l zx m zy 0
y ) mGk ( x) 0 x y
在柱体的侧面边界上,τxz和τyz的法向投影之和等于 零⇒在截面的边界上,任一点处的总剪应力均应与边 界相切. (代入应力表达式)
应满足的边界条件： 1）侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0)，
面力：
X Y Z 0
lzx+mzy = 0
z
MT
前两个方程满足，第三个力边界条件：
2）在端面： 方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力：
Z z 0
满足
在,x,y方向面力应用圣维南原理
2
Gk ( y) x
y x)
zx zy z 0 x y z
2
Gk (
2 y
2
)0
或：
= 0
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由基本方程可见 (x,y)为一个调合函数。
扭曲函数(x,y)除了满足
2
= 0外还需要满足边界条件，
Gk ( x) y
zx
Gk ( y) x
所有物理量均由k和(x,y) 表示。
4、代入基本方程 按位移法求解，基本方程为：
平衡微分方程（三个），代入应力分后 前两个自然满足 而第三个方程为：
x=y=z=xy=0，
zx
zy Gk (
2 x
第一节 位移法求解 任意实体截面杆端部受扭矩作用 根据其变形特点可假设：
z
MT
1）截面发生转动但不发生 面内（xoy面）变形。 2）截面在与其垂直方向允许 自由翘曲。 为方便，可设z=0截面转动为零， 其余截面的转角与Z成正比。
任取一截面绕z轴转动，其上的 点产生的位移： u sin y v cos x 若引入杆单位长度的扭转角k 则 z
