图解法求线性规划的最优解和最优值

引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法

D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10

2.2线性规划的图解法我们先用图解法来解含有两个决策变量的线性规划问题，并从中受到启发，再去解决一般的线性规划问题。

例３ 求解线性规划ｍａｘ Ｚ＝０.７ｘ1＋０.９ｘ2约束于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,1278212121x x x x x x 解：１．先在平面直角坐标系ｘ1Ｏｘ2里画出上述线性规划的可行域Ｒ。

事实上在约束条件中，每个线性等式代表平面上一条直线，这直线将坐标平面分成两部分，于是每个线性不等式代表一个半平面。

本例中五个线性不等式代表的五个半平面的交，就是可行域Ｒ，它是一个凸多边形，这个凸多边形有五个顶点，它们分是Ｏ（０，０），Ａ（０，７），Ｂ（５， ７），Ｃ（８，４），Ｄ（８，０），如图2－１。

图2－１２．求解线性规划，就是要在上述凸多边形Ｒ中找一点12(,)x x ，使目标函数０.７ｘ1＋０.９ｘ2取最大值。

对任意固定的常数Ｃ，直线０.７ｘ1＋０.９ｘ2＝Ｃ上的每点都有相同的目标函数值Ｃ，故该直线也称为“等值线”。

当Ｃ变化时，得出一族相互平行的等值线，这些等值线中有一部分与可行域相交。

我们要在凸多边形即可行域Ｒ中找这样的点，使它所在的等值线具有最大值Ｃ。

当Ｃ<０时，直线120.70.9x x C +=与Ｒ不相交；当Ｃ＝０时，直线120.70.9x x C +=与Ｒ有唯一交点，即顶点（０，０）；当Ｃ由０增大时，等值线平行向右上方移动，与Ｒ相交于一线段；当Ｃ增至一定程度时，等值线与可行域Ｒ只有唯一交点，即顶点（５，７），这时Ｃ＝９ ８；若Ｃ继续增大，等值线与Ｒ将不再有交点。

由此可见，顶点（５，７）是使Ｒ中目标函数达到最大值的点，于是线性规划有唯一解7,5*2*1==x x 这时Ｚ*＝ｍａｘ Ｚ＝９.８若将例３中求目标函数的最大值改为求最小值，即求ｍｉｎ ｗ＝０.７ｘ1＋０.９ｘ2约束条件不变。

这时，令直线族120.70.9x x C +=中的Ｃ不断减小，等值线将向左下方平行移动。

A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念

第二十四页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—

7.2.1 线性规划简介
1. 基本概念
未知数 x j 称为决策变量； 目标函数经常记为 z 或 w，称为目标变量； 目标函数的变量系数 c j 称为价值系数； 约束条件的变量系数 aij 称为工艺系数； 约束条件右端的常数 bi 称为资源限量； 约束条件前的记号 “s.t.” “subject to” 是 的缩写， 意即“受约束于”.
7.2.1 线性规划简介
1. 基本概念
没有可行解的线性规划模型称为不可行 （infeasible）. 不可行的线性规划模型没有最优解. 如果最大（小）化线性规划模型的目标函数可以 在可行域取得任意大（小）的值，则称为无界 （unbounded）. 无界的线性规划模型也没有最优解. 由于严格不等式约束有可能导致线性规划模型 虽然具有非空的可行域，但是目标函数却不存在最大 （小）值（例如 max z=x, s.t. x<1） ，所以不考虑严格 不等式约束.
x1 2 x2 6 之间，最优解就保持在点 C（但是最优值
会有所改变）.
7
6 6x 1+4x 2=24 5 5x 1+4x 2=21 4 4x 1+5x 2=19.5 3
x2
2
E
D C
最 优 解 : x 1=3, x 2=1.5 x 1+2x 2=6 B
1
F A 0
0
1
2
3 x1
4
5
6
7
图7.5 例7.2.1的价值系数的灵敏度分析
7.2.1 线性规划简介
3. 灵敏度分析
在线性规划模型(7.2.1)中，可以考虑以下的灵敏 度分析问题： （1）价值系数 c j 的变化对最优解的影响. 事实 上，价值系数能够在一定的范围内变化而不引起最优 解的改变（但最优值会变化）.

价值系数向量或 目标函数系数向量
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
x1 x2 X x n
决策变量向量
b1 b2 b b模型的一般形式（推广）

设决策变量 x1 ，x2 ，… ，xn 目标函数：max（min）z = c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件 s.t.：a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤（=, ≥）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤（=, ≥）b2 …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（=, ≥）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥0
主要内容
问题的提出（建模）
线性规划模型的标准化
图解法
灵敏度分析
线性规划（Linear Programming）
规划问题：生产和经营管理中经常提出如何合理安 排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得 最大的效益。
线性规划是运筹学的一个重要分支。它是现代科学管 理的重要手段之一，是帮助管理者作出最优决策的一 个有效的方法。
线性规划问题的数学模型

例 如图所示，如何截取x使铁皮所围成 的容积最大？
x
v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
2.1 问题的提出（建模）

例1：某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗以及资源的限制，如 下表所示，问：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、 Ⅱ产品才能使工厂获利最多？

任务二 图解法求解线性规划问题情境导入：我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质 任务引入：现在我们要想办法求解例1的数学模型MaxZ=2x 1+3x 2⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥⋅≤≤≤+012416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。

是求解线性规划的一种几何解法。

只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。

这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。

[1]图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。

针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。

2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。

3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。

4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。

以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。

因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。

由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。

bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域

第二步：对约束条件加以图解。
第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解：最优生产方案。
第四步：最优解带入目标函数，得出最优值。
4
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中 都代表一个半平面，只要先画出该半平面的 边界，然后确定是哪个半平面。
怎麽画边界
?
怎麽确定 半平面
以第一个约束条件: x1 2x2 ≤8 为例, 说明图解过程。
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
17
无界解
max Z x1 x2
x12x1x2
x2 ≤
≤ 2
4
x1, x2 ≥ 0
x2
6
4
2 x1
0
1
2
3
4
5
18
如图中可行域是一个无界区域，如阴影区所示。 虚线为目表函数等值线，沿着箭头指的方向平移可 以使目标函数值无限制地增大，但是找不到最优解。
12
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 ≤ 8
4 4
x1 x2
≤16 ≤12
x1, x2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x1 2x2 8
A
D
x1
0
1 2345 678
13
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
可行域有几种可能 ? 讨论
解有几种可能 ?
这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优 解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规划 模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某 些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应重 新检查和修改模型，否则就没有实际意义。

第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0

适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)

y 10
� 10000
x 12 � x 11 � 2000 � x 10 � y 10 � y 11 � 10000
y 10 � 2000 � x 10
y 11
�
x 11
�
2000
�x �y
10
10
y 12
�
x 12
�
x 11
� 2000
�x �y �y
10
10
11
�
x 11
�
2000
�
x 10
�
y 10
若每个月仅在1号进货1次且要求年底时商品存量达到3000件在以上条件下建立该问题的线性规划模型使公司获得最大利润注不考虑库存费用表29进货和销售价格月份进货价格元件销售价格元件12为每月购进的货物109010011951001298115解1110ixi121110iyi为每月销售的货物
1�用图解法求解两个变量线性规划问题的最优解和最优值。
�1 �
解�由题意知�A= � 1
1
1�
�2�
2
4
� �
=�
p 1,
p
2,
p
3
�
��
b= � 6 �
c=�3�1�3�
�1� B 1 =� p 1 , p 2 ��� B 1 � ≠0� B 1 是基� x 1 � x 2 是基变量� x 3 是非基变量�令
� x1 �
��
� x2 �
x 3 =0�得 x 1 =-2� x 2 =4
号进货 1 次�且要求年底时商品存量达到 3000 件�在以上条件下�建立该问题的线性
规划模型�使公司获得最大利润��注�不考虑库存费用�

. ..
x2 .3 .
. x1 2x2 2 . . . . .
0
x1
解： （1）在直角坐标系上画出可行域
x1 4
x1 2x2 8
（2）做目标函数的等值线 x1 2x2 2
(3)最优值z* 8
求交点：
x1 x2
2x2 3
8
x1 x1
2x2 4
8
(x1, x2 ) (2,3)
(x1, x2 ) (4,2)
max z 7x1 x2
x1 2x2 6
s.t
x1 x2 1 x1 2
x1 , x2 0
其标准型为
max z 7x1 x2
x1 2x2 x3 6
s.t
x1 x2 x4 1 x1 x5 2
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
1 2 1 0 0
系数矩阵A
2x1 x2 3
可行域为空集
无可行解
该问题无最优解
图解法的基本步骤：
1、在直角坐标系x1ox2上做出可行域S的图形
（一般是一个凸多边形）
2、令目标函数值取一个给定的常数k,
做等值线Z c1x1 c2 x2 k 3、对max 问题，令目标函数值k由小变大, 即让等值线向上平移，
若它与可行域S最后交于一个点（一般是S的一个顶点）， 则该点就是所求的最优点， 若与S的一条边界重合，此时边界线上的点均是最优点
退化基本可行解：基本可行解中，存在取0值的基变量
对应的基称为退化基
非退化基本可行解：基本可行解中，基变量的取值均>0
对应的基称为非退化基
线性规划问题
退化的线性规划问题：存在退化基 非退化的线性规划问：题 所有基均非退化

1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

２。

将下述线性规划问题化成标准形式。

（1)解:令,3。

分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题,并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中的可行域的哪个顶点。

解:①图解法:单纯型法步骤：转化为标准线性规划问题;找到一个初始可行解,列出初始单纯型表；最优性检验，求cｊ－zj,若所有的值都小于0，则表中的解便是最优解,否则,找出最大的值的那一列，求出ｂi／aiｊ,选取最小的相对应的ｘij,作为换入基进行初等行变换,重复此步骤。

4.写出下列线性规划问题的对偶问题。

（1)（2)5。

给出线性规划问题要求:（１)写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为,试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

解：(１)(２)因为,第四个约束取等号,根据互补松弛定理得:求得对偶问题的最优解为：，最优值min ｗ＝1６。

弱对偶性的推论：(１) 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界;反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界(２) 如原问题有可行解且目标函数值无界(具有无界解）,则其对偶问题无可行解;反之对偶问题有可行解且目标函数值无界,则其原问题无可行解。

注意：本点性质的逆不成立,当对偶问题无可行解时,其原问题或具有无界解或无可行解，反之亦然。

(3）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解,则原问题目标函数值无界;反之对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。

强对偶性(或称对偶定理)若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解,且它们最优解的目标函数值相等。

互补松弛性在线性规划问题的最优解中,如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式;反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。

影子价格资源的市场价格是其价值的客观体现,相对比较稳定,而它的影子价格则有赖于资源的利用情况,是未知数。

P11.3（1）将下列线性规划模型化成标准形式：⎩⎨⎧=+≤+--=10352..3max 212121x x x x t s x x z 解：令"2'22"1'11,,'x x x x x x z z -=-=-=，代入上面的线性规划，得标准形式⎪⎩⎪⎨⎧≥=-+-=+-++--++-=0,,,,1033522..33'min 3"2'2"1'1"2'2"1'13"2'2"1'1"2'2"1'1x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z P14:1、用图解法求解下列线性规划问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤-≤+-≤++-=0,013721042242..23min 212121212121x x x x x x x x x x t s x x f 利用图解法：于是得最优解为(4,1),最优值为-10。

P15：2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥-≥+-=06063222..26max 21212121x x x x x x t s x x z 解：利用图解法于是最优解为（6，0），最优值为36。

P15.3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+≤+--=0,0121272172..27min 21212121210x x x x x x x x t s x x x 解：利用图解法求得有无穷多最优解，都落在一个线段上，该线段的两个端点是：)3/7,3/7(),0,3()2()1(==x x于是全部的最优解可以表示成)1(x与)2(x的凸组合，即.10,)1()2()1(*≤≤-+=αααx x x最优值都是-21。

P16:1、 解：设ij x 表示第i 台机床加工第j 类产品的产量，于是可得数学模型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+≤++++++++++++++++=.6,5,4,3,2,1,0900600700850..)(80)(64)(72)(32)(28)(40max 464335322421161514131211461635152414431332122111j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x x x f j P16:2、 解：设j x 表示第j 食品的采购量，于是可得数学模型13、某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料0.5公斤，其中动物饲料占的比例不得少于1/5。

设备能力(h)
3 2 0 1500
65 40 75
2.2.1 线性规划的图解法
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的 总利润？用图解法求解。
解：设变量xi 为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2
2.2.1 线性规划的图解法
(1)建立直角坐标系： 分别取决策变量x1 ,x2 为坐标 向量，建立平面直角坐标系。
2.2.1 线性规划的图解法
（2）绘制可行域： 对每个约束（包括非负约束）条 件，作出其约束半平面（不等式）或 约束直线（等式）。
各半平面与直线交出来的区域若 存在，其中的点为此线性规划的可行 解。称这个区域为可行集或可行域。 然后进行下步。否则若交为空，那么 该线性规划问题无可行解。
线性规划的图解法
2.2.1 线性规划的图解法
对于只有两个决策变量的线性 规划问题，可以二维直角坐标平 面上作图表示线性规划问题的有 关概念，并求解。 图解法求解线性规划问题的步 骤如下：
例题
目标函数 Max z =1500x1+2500x2
约束条件 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x1 ,x2 ≥ 0
2.2.1 线性规划的图解法
(3) 绘制目标函数等值线，并移动求解：
目标函数随着取值不同，为一族相 互平行的直线。 首先，任意给定目标函数一个值， 可作出一条目标函数的等值线（直线）； 然后，确定该直线平移使函数值增 加的方向； 最后，依照目标的要求平移此直线。
2.2.1 线性规划的图解法
结果
若目标函数等值线能够移动到 既与可行域有交点又达到最优的位 置，此目标函数等值线与可行域的 交点即最优解（一个或多个），此 目标函数的值即最优值。 否则，目标函数等值线与可行 域将交于无穷远处，此时称无有限 最优解。