下载文档原格式
2.2线性规划的图解法我们先用图解法来解含有两个决策变量的线性规划问题，并从中受到启发，再去解决一般的线性规划问题。
例３ 求解线性规划ｍａｘ Ｚ＝０.７ｘ1＋０.９ｘ2约束于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,1278212121x x x x x x 解：１．先在平面直角坐标系ｘ1Ｏｘ2里画出上述线性规划的可行域Ｒ。
事实上在约束条件中，每个线性等式代表平面上一条直线，这直线将坐标平面分成两部分，于是每个线性不等式代表一个半平面。
本例中五个线性不等式代表的五个半平面的交，就是可行域Ｒ，它是一个凸多边形，这个凸多边形有五个顶点，它们分是Ｏ（０，０），Ａ（０，７），Ｂ（５， ７），Ｃ（８，４），Ｄ（８，０），如图2－１。
图2－１２．求解线性规划，就是要在上述凸多边形Ｒ中找一点12(,)x x ，使目标函数０.７ｘ1＋０.９ｘ2取最大值。
对任意固定的常数Ｃ，直线０.７ｘ1＋０.９ｘ2＝Ｃ上的每点都有相同的目标函数值Ｃ，故该直线也称为“等值线”。
当Ｃ变化时，得出一族相互平行的等值线，这些等值线中有一部分与可行域相交。
我们要在凸多边形即可行域Ｒ中找这样的点，使它所在的等值线具有最大值Ｃ。
当Ｃ<０时，直线120.70.9x x C +=与Ｒ不相交；当Ｃ＝０时，直线120.70.9x x C +=与Ｒ有唯一交点，即顶点（０，０）；当Ｃ由０增大时，等值线平行向右上方移动，与Ｒ相交于一线段；当Ｃ增至一定程度时，等值线与可行域Ｒ只有唯一交点，即顶点（５，７），这时Ｃ＝９ ８；若Ｃ继续增大，等值线与Ｒ将不再有交点。
由此可见，顶点（５，７）是使Ｒ中目标函数达到最大值的点，于是线性规划有唯一解7,5*2*1==x x 这时Ｚ*＝ｍａｘ Ｚ＝９.８若将例３中求目标函数的最大值改为求最小值，即求ｍｉｎ ｗ＝０.７ｘ1＋０.９ｘ2约束条件不变。
这时，令直线族120.70.9x x C +=中的Ｃ不断减小，等值线将向左下方平行移动。
任务二 图解法求解线性规划问题情境导入：我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质 任务引入：现在我们要想办法求解例1的数学模型MaxZ=2x 1+3x 2⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥⋅≤≤≤+012416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。
是求解线性规划的一种几何解法。
只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。
这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。
[1]图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。
针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。
2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。
3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。
4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。
以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。
因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。
由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。
