薄板的屈曲课程课件
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第九章弹性薄板弯曲问题
∂ 2 ∂ 2 FSx = − D ∇ w, FSy = − D ∇ w ∂x ∂y
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，
《薄膜屈曲力学分析》课件
02
在受到不同方向和大小的外力时，薄膜呈现出的不同屈曲形态
。
屈曲与稳定性关系
03
屈曲形态与薄膜的稳定性之间的关系，以及如何通过改变结构
参数来提高稳定性。
03
薄膜屈曲的实验研究
实验设备与材料
实验设备
高精度薄膜拉伸机、激光测距仪、高速摄像机、力传感器等。
实验材料
聚乙烯薄膜、聚丙烯薄膜、聚酯薄膜等。
实验方法与步骤
将连续的求解域离散为有限个单元，并对 每个单元进行编号和属性分配。
施加载荷和边界条件
求解方程
根据实际情况对每个单元施加相应的载荷 和边界条件。
利用有限元方法的基本步骤，建立离散化 方程并进行数值求解。
模拟结果与分析
结果输出
结果评估
将计算结果输出到计算机屏幕上或文 件中，以便进行后续的分析和处理。
将模拟结果与实验结果进行对比和分 析，评估模拟的准确性和可靠性，并 根据需要对模型进行修正和改进。
屈曲的临界条件
屈曲定义
薄膜在达到某一临界状态 时发生的弯曲现象。
能量守恒原理
屈曲临界状态时，薄膜的 弹性能和外力做功达到平 衡。
屈曲准则
根据薄膜的具体形状和受 力情况，推导出的屈曲发 生的条件或准则。
屈曲的形态分类
薄膜屈曲形态
01
根据屈曲程度和形状，可以将薄膜屈曲分为不同的类型。
不同受力状态下的屈曲形态
结果分析
对计算结果进行分析和处理，包括应 力分布、应变分布、位移分布等，以 及薄膜屈曲的临界载荷和屈曲模态等 。
05
薄膜屈曲的应用案例
建筑膜结构的屈曲分析
总结词
建筑膜结构是一种轻质、大跨度的空间结构，其稳定性是设计中的关键问题。薄膜屈曲分析能够评估膜结构的稳 定性，为设计提供依据。
薄板的屈曲
115第六章 薄板的屈曲钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。
因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。
板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。
设板的最小宽度为b ，厚度为t 。
当t /b >1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。
当1/80~1/100<t /b <1/5~1/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
当板极薄，t /b <1/80~1/100时，称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
平分板的厚度且与板的两个面平行的平面称为中面。
本章只介绍等厚度薄板中面内受力的板的弹性失稳。
与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点： ⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩x M 、y M 和扭矩xy M 以及板的挠度w 都与此点的坐标（x ，y ）有关。
⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。
可以用能量法（如瑞利—里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。
⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。
对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。
如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。
薄膜屈曲力学分析PPT课件
3.薄膜在纳米尺度上的变形和损伤直接影响到器件的 性能和寿命。
第4页/共17页
•薄膜屈曲的研究方法
由于薄膜的厚度极薄，只能采用特殊的实验技巧来测定薄膜的性质，其中主要的 方法有划痕法、压入法和接触疲劳法，
第5页/共17页
薄膜屈曲的力学分析
基本定理：
如果引致能量释放率（induced energy release rate）超过界面韧性 （toughness），那么屈曲就会扩展，反之屈曲就呈稳定状态。
刚性基底上膜层褶皱直线边缘的能量释放率随褶皱 的横向扩展而上升，但是扩展过程中尖端II型裂纹成分 的增长导致局部韧性增加（称为韧性的模态依 赖,mode-dependent toughness），因此阻止褶皱 脱层的横向扩张
第8页/共17页
1.直线型薄膜屈曲
模态依赖的内部机制：随着滑移型裂纹取代张开型 裂纹，裂纹表面闭合导致的界面摩擦力上升。
第1页/共17页
屈曲模式
典型屈曲模式
直线型褶皱 圆形屈曲
电话线型屈曲
第2页/共17页
屈曲模式
直线型屈曲
圆形 屈曲
第3页/共17页
电话线型屈曲
薄膜屈曲研究的意义
1.薄膜材料的重要利用价值和涂层技术的广泛 应用 2.薄膜中均存在残余应力
薄膜/ 基底结构通常是工作在残余应力和外加应力的联合作用 下，破坏形式断裂和屈曲、散裂。
力及冲击力下的屈曲扩展，为今后的计算提供了理 论基础。
第15页/共17页
Thanks for joining
See you next time
第16页/共17页词解释
屈曲：力学名词(buckling)。结构的一种失效。表现为当结
构受到很高、但小于他所能承受的极限压应力的应力时，会 失效。这种失效常归结于弹性不稳定性。
第4页/共17页
•薄膜屈曲的研究方法
由于薄膜的厚度极薄，只能采用特殊的实验技巧来测定薄膜的性质，其中主要的 方法有划痕法、压入法和接触疲劳法，
第5页/共17页
薄膜屈曲的力学分析
基本定理：
如果引致能量释放率（induced energy release rate）超过界面韧性 （toughness），那么屈曲就会扩展，反之屈曲就呈稳定状态。
刚性基底上膜层褶皱直线边缘的能量释放率随褶皱 的横向扩展而上升，但是扩展过程中尖端II型裂纹成分 的增长导致局部韧性增加（称为韧性的模态依 赖,mode-dependent toughness），因此阻止褶皱 脱层的横向扩张
第8页/共17页
1.直线型薄膜屈曲
模态依赖的内部机制：随着滑移型裂纹取代张开型 裂纹，裂纹表面闭合导致的界面摩擦力上升。
第1页/共17页
屈曲模式
典型屈曲模式
直线型褶皱 圆形屈曲
电话线型屈曲
第2页/共17页
屈曲模式
直线型屈曲
圆形 屈曲
第3页/共17页
电话线型屈曲
薄膜屈曲研究的意义
1.薄膜材料的重要利用价值和涂层技术的广泛 应用 2.薄膜中均存在残余应力
薄膜/ 基底结构通常是工作在残余应力和外加应力的联合作用 下，破坏形式断裂和屈曲、散裂。
力及冲击力下的屈曲扩展，为今后的计算提供了理 论基础。
第15页/共17页
Thanks for joining
See you next time
第16页/共17页词解释
屈曲：力学名词(buckling)。结构的一种失效。表现为当结
构受到很高、但小于他所能承受的极限压应力的应力时，会 失效。这种失效常归结于弹性不稳定性。
弹性力学 薄板弯曲55页PPT
弹性力学 薄板弯曲
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
第十四讲薄板小挠度弯曲(一)课件资料
第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。
荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。
横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。
中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。
薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。
放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。
只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。
（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。
弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。
钢结构板的屈曲理论PPT课件
11
对于单项均匀受压狭长
的板，通过使用横向加劲肋
来 改 变 比 值 a/b从 而 提 高 屈 曲
系数并无明显效果，把加劲
肋 的 间 距 取 得 小 于 2b又 很 不
经济。对于很宽的薄板，可
以采用纵向加劲肋来减少宽
边 b。
精品ppt
12
2）单向纯弯曲简支板
采用瑞利-里兹法求解板的屈曲荷载。
令 a / b，屈曲荷载为
M
x
t
2
t 2
x
zd
z
D
2w x 2
2w y2
M
y
t
2
t 2
yzdz
D
2w x2
2w y2
M
xy
t
2
t 2
xy zd z
D
1
2w xy
式
中
：
D
E t3 1 2 (1
2)
,为
单
位
宽
度
板
的
抗
弯
刚
度
6)板 受 弯 的 挠 曲 微 分 方 程 式 ， 将 内 力 的 公 式 代 入
a4
2
a 2b 2
b4
x D
a 2 sin
a
sin
b
0
精品ppt
10
板的屈曲条件：
m 4 4 a4
2
m 2n 2 a 2b 2
4
n 4 4 b4
p x m 2 2 D a2
0
px
a 2 2 D m2
m2 a2
n2 b2
2
2D b2
mb a
n 2a mb
板壳理论chapter 弹性薄板弯曲的基本理论ppt课件
(1.3.1) (1.3.2)
(1.3.3)
3
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
固支边界
ww0 (y0) y
(1.3.4)
自由边界
边界上没有外载荷作用
M y M yx Q y 0(y b )
(1.3.5)
4
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的 后两个条件合并为一个。
0
w y
4m b2
y
x2 a2
y2 b2
1
0
wwxwy n xn y n
(1.4.3) (1.4.4)
可见挠曲函数同样满足了在边界上 w 0的条件。 14
n
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（4）确定挠度函数 将式(1.4.2)代入薄板的微分方程中，得
微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a, y=b
处 2w 0 xy
(1.3.12)
如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有 下述角点条件,即在x=a, y=b处
w0
(1.3.13)
此时反力大小由(1.3.11)式给出。
9
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
边界条件
固支边界
ww0 (y0) y
a
x
b
y
图1.6 周边固支的椭圆板
12
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
解：（1）薄板的微分方程
D 2 2wD 4 x w 42x 2 4 w y2 4 yw 4 q
（2）边界条件 w w 0
n
（3）取满足边界条件挠度函数
其边界方程可以表示为
薄板弯曲问题最全PPT
薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用─ 平面应力问题；
薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用─ 薄板的弯曲问题。
第九章 薄板弯曲问题
特点
薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根 据其内力及变形的特征，又提出了三个计 算假定，用以简化空间问题的基本方程， 并从而建立了薄板的弯曲理论。
第九章 薄板弯曲问题
定义
当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面， 称为薄板弹性曲面。
变分量 x,;主x,要xy应力分量 ；次σx,要σx应,x力y
分量 及最次 z要x ,应zy 力 均用w来表示σ z 。
3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度ww (x,y)为基本未知函数。
应用几何方程及计算假定1，
εz
w0,ww(x,y). z
Ez
1 2
( 2w y 2
2w x2
),
(c)
xy
Ez
1
2w . xy
第九章 薄板弯曲问题
5.次要应力 zx ,用 zy 表w 示。
应用平衡微分方程的前两式（其中纵
向体力 fx）fy，0有
zx σxy,x zy σyx,y
z x y z y x
代入式(c) ，并对z积分，得：
3.主要应变 x,x用,xy表示w。
应用其余三个几何方程，并代入式(a) 得：
x 2 xw 2z,y 2 yw 2z,xy2 x2 w yz.(b)
第九章 薄板弯曲问题
4.主要应力 σx,σ用x,xy表示w。
应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：
σx
1
Ez
2
2w ( x2
2w
薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用─ 薄板的弯曲问题。
第九章 薄板弯曲问题
特点
薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根 据其内力及变形的特征，又提出了三个计 算假定，用以简化空间问题的基本方程， 并从而建立了薄板的弯曲理论。
第九章 薄板弯曲问题
定义
当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面， 称为薄板弹性曲面。
变分量 x,;主x,要xy应力分量 ；次σx,要σx应,x力y
分量 及最次 z要x ,应zy 力 均用w来表示σ z 。
3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度ww (x,y)为基本未知函数。
应用几何方程及计算假定1，
εz
w0,ww(x,y). z
Ez
1 2
( 2w y 2
2w x2
),
(c)
xy
Ez
1
2w . xy
第九章 薄板弯曲问题
5.次要应力 zx ,用 zy 表w 示。
应用平衡微分方程的前两式（其中纵
向体力 fx）fy，0有
zx σxy,x zy σyx,y
z x y z y x
代入式(c) ，并对z积分，得：
3.主要应变 x,x用,xy表示w。
应用其余三个几何方程，并代入式(a) 得：
x 2 xw 2z,y 2 yw 2z,xy2 x2 w yz.(b)
第九章 薄板弯曲问题
4.主要应力 σx,σ用x,xy表示w。
应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：
σx
1
Ez
2
2w ( x2
2w
薄板的屈曲ppt课件
D
4
1 a2
9 b2
2
px1
2 0 2
a
2 2
A13
0
由系数行列式为零，即可求出屈曲荷载。
19
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
单向非均匀受压板的弹性失稳
0 2 时，令 a/b ，则纯弯曲板的屈曲荷载为：
临界应力为：
k 2D px1,cr b2
主要内容:
薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
能量法计算板的弹性失稳荷载
不同面内荷载作用下板的弹性失稳 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件
板稳定理论在钢结构设计中的应用
1
第6章 薄板的屈曲
钢结构中板的分类：
厚板：t / b 1/ 5 ~1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
不同边界条件单向均匀受压板的屈曲系数
对于单向均匀受 压的狭长板，用 横向加劲肋减小 比值a/b从而提 高屈曲系数并无 明显效果； 如把加劲肋间距 取得小于2b又很 不经济。
屈曲系数 k 与 的关系
对于很宽的薄 板，采用纵向加 劲肋减小宽度b 是有效的。
4
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：
4w 4w 4w 2w
2w 2w
D
x4
2 x22 y
工程弹塑性力学课件：第八章薄板弯曲
何方程及计算假定1，
εz
w z
0, w
w( x,
y).
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u， 用v 表w示。
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
得
u w 0, v w 0.
z x
z y
对 z积分，
w
w
u x z f1(x, y), v y z f2 (x, y).
z
x y
zy σ y xy ,
z
y x
代入式(c) ，并对z积分，得：
zx
Ez2
2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y),
zy
Ez2
2(1 2 )
y
2w
F2 (x,
y),
其中
2
2 x2
2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应
变分量 x;,主 x要, x应y 力分量
；σ次x ,要σ x应, x力y
分量 及最次 要zx ,应zy 力 均用w来表示σ z 。
3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度 w w(为x基, y本) 未知函数。应用几
取 ε，z 0由
， 得w 0
z z
w w(x, y).
故中面法线上各点，都具有相同的横向 位移，即挠度w。
第九章 薄板弯曲问题
2. 次要应力分量 zx , zy和远小z 于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。
薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：
弯应力 σx ,σ（y 合成弯矩 M x ,M y）
及扭应力
（合成扭矩
εz
w z
0, w
w( x,
y).
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u， 用v 表w示。
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
得
u w 0, v w 0.
z x
z y
对 z积分，
w
w
u x z f1(x, y), v y z f2 (x, y).
z
x y
zy σ y xy ,
z
y x
代入式(c) ，并对z积分，得：
zx
Ez2
2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y),
zy
Ez2
2(1 2 )
y
2w
F2 (x,
y),
其中
2
2 x2
2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要 应
变分量 x;,主 x要, x应y 力分量
；σ次x ,要σ x应, x力y
分量 及最次 要zx ,应zy 力 均用w来表示σ z 。
3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度 w w(为x基, y本) 未知函数。应用几
取 ε，z 0由
， 得w 0
z z
w w(x, y).
故中面法线上各点，都具有相同的横向 位移，即挠度w。
第九章 薄板弯曲问题
2. 次要应力分量 zx , zy和远小z 于其他应力 分量，它们引起的形变可以不计。
薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：
弯应力 σx ,σ（y 合成弯矩 M x ,M y）
及扭应力
（合成扭矩
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
PPT课件
z2(E 1 4 w 2)t4 2(z2 t)1 3(z38 t3 6(1E t3 2)(1 2zt)21zt4w
在薄板的上边界代入外荷载q
z
q
zt 2
Et3
12(1 2
)
4w
q
D
Et3
12(1
2)
称为薄板的弯曲刚度，量纲为[力][长度]
D4w q
薄板的弹性曲面微分方程
24
PPT课件
z z 2 ( 1 E 2 )(z 2 t4 2 ) ( x 4 w 4 x 2 4 w y 2 ) ( y 2 4 w x 2 y 4 w 4 )
z E (z2 t2) (4 w 2 4 w 4 w ) z 2 (1 2) 4 x4 x2 y2 y4
u w v w 积分 z x z y
uwz x
f1(x,
y)
vwz y
f2(x,
y)
13
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
uwz x
f1(x,
y)
w
v y
z
f2(x,
y)
u 0, z0
u w z x
v 0 z0 v w z y
14
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
弹性力学第八章薄板弯曲(完整版)ppt资料
( ) 6 M 由于沿边界的挠度为常值0，故2 沿x后的导数恒为零，边界条件又可表示为 t 6 Q t z 中面的任意一x局z 部，虽然3 x弯曲成弹性曲2 面的一局部，但它在xy面上投影的形状却保持不变。
t 4 可求得F3(x,y), 最后得到：
xy
z 0
xy 2
3 Q 由于薄板不受横向荷载，所以特解可取零。 ( ) 2
1Ez2
2w x
zy y xyx
z
y x
zy
z
Ez
12
3w 3w
y3
yx2
Ez
12
2w y
积分得
zx
Ez2
2(1
2)
x
2w
F1(x,
y)
zy
Ez2
2(1 2 )
y
2w Βιβλιοθήκη F2 (x,y)根据薄板上下面内的边界条件：
0 0 zxz t 2
z yz t 2
可求得F1(x,y), F2(x,y) , 最后得到：
zx
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
x
2w
zy
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
y
2w
另由平衡方程可得
y xz yx
z x y
即 积分得
z
z
Ez t2
2(12) 4
z2
4w
z
Ez
2(12)
t2 4
zz3 3
4wF3(x,
y)
根据薄板下面内的边界条件： z zt 0 2
可求得F3(x,y), 最后得到：
12 M z 否那么板中心〔R=0〕处内力x 及挠度将无限大〔参考前内力公式〕。
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✓薄板：1/80 ~1/100 t / b 1/ 5 ~1/8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
✓薄膜：t / b 1/80 ~1/100
受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
第6章 薄板的屈曲
➢ 板失稳的特点：
✓板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一
2w xy
Ny
2w y 2
D
4w x4
2
4w x22 y
4w y4
Nx
2w x2
0
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
x 0 、x a 时：w 0
2w 2x
0
y 0 、 y b 时：w 0
2w 2 y
0
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：
A11
0
A12
0
系数行列式为零
Amn
0
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和
一个非加载边简支，另一非加载边自由。
由 py pxy 0 ，有总势能为：
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：
D
4w x4
24wBiblioteka x22 y4w y4Nx
2w x2
2Nxy
2w xy
Ny
2w y2
D Et3 12 1 2
为板的抗弯刚度；
2w y2
2w xy
2
dxdy
V 1 2
a 0
b 0
Nx
w x
2
Ny
w y
2 N xy
w x
w
y
dxdy
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。 假定挠曲面函数为：
w Amn x, y m1 n1
✓按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
基本假定：
✓垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
2
0
或 Nx
2a2D m2
m2 a2
n2 b2
2
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
N x,cr
2a2D m2
m2 a2
1 b2
2
2D
b2
a2b2 m2
m2
a2
1 b2
2
4 2D b2
a
b kmin 4
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
板件屈曲系数（四边简支）
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
板在微弯状态时的总势能为：
U V
U D
2
a 0
b 0
2w x2
2w y2
2
2 1
2w x2
点的弯矩
M
x
、M
y
和扭矩
M
以及板的挠度
xy
w
都与此点的坐标有关。
✓板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理
想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条
件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。
✓理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会 产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。
m2 2
a2
ab3
由势能驻值原理，有：A
Dm2
a
2b
m2 2b2
a2
1
px
m2 2b3
a
0
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
A0
px
m2 2b2
a2
6
1
D b2
2D
b2
1
2
m2 2b2
a2
61
令 m 1，可得px的最小值：
k
2D
b2
x,cr
N x,cr t
12
k
1 2
2E
b/t 2
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
k
ab
m
m2 a2
1 b2
2
b a
m
a mb
2
m
m
2
由
dk dm
0，有
2
m
m
1
m2
0
m
N x,cr ,min
主要内容:
薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
➢ 不同面内荷载作用下板的弹性失稳 ➢ 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件
➢ 板稳定理论在钢结构设计中的应用
第6章 薄板的屈曲
➢ 钢结构中板的分类：
✓厚板：t / b 1/ 5 ~1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。
Nx、Ny 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力；
Nxy 为板中面单位长度上的剪力。
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，N y =Nxy 0 由
D
4w x4
2
4w x22 y
4w y4
Nx
2w x2
2 N xy
✓应力分量 z 、 zx 和 zy 远小于 x、 y 和 xy ，故可以忽略他们产生的 正应变 z 、剪应变 zx 和 zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应
力问题。
✓薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上 的投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。
✓板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
m x n y
w
Amn sin
m1 n1
a
sin
b
代入平衡方程有：
m1
n1
Amn
m4 4
a4
2
m2n2 4
a2b2
n4 4
b4
Nx D
m2 2
a2
sin
m x sin
a
n y
b
0
满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m4 4
a4
2
m2n2
a2b2
4
n4
b4
4
Nx D
m2
a2
D
2
a 0
b 0
2w x2
2w y2
2
2
1
2w x2
2w y2
2w xy
2
dxdy
1 2
a 0
b 0
px
w x
2
dxdy
假定挠曲面函数为： w Ay sin m x
a
代入总势能公式，积分后有：
D 2
A2
m2
a2
2
m2 2b2
6a2
1
ab
px 12
A2
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
✓薄膜：t / b 1/80 ~1/100
受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
第6章 薄板的屈曲
➢ 板失稳的特点：
✓板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一
2w xy
Ny
2w y 2
D
4w x4
2
4w x22 y
4w y4
Nx
2w x2
0
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
x 0 、x a 时：w 0
2w 2x
0
y 0 、 y b 时：w 0
2w 2 y
0
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：
A11
0
A12
0
系数行列式为零
Amn
0
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和
一个非加载边简支，另一非加载边自由。
由 py pxy 0 ，有总势能为：
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：
D
4w x4
24wBiblioteka x22 y4w y4Nx
2w x2
2Nxy
2w xy
Ny
2w y2
D Et3 12 1 2
为板的抗弯刚度；
2w y2
2w xy
2
dxdy
V 1 2
a 0
b 0
Nx
w x
2
Ny
w y
2 N xy
w x
w
y
dxdy
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。 假定挠曲面函数为：
w Amn x, y m1 n1
✓按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
基本假定：
✓垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
2
0
或 Nx
2a2D m2
m2 a2
n2 b2
2
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
N x,cr
2a2D m2
m2 a2
1 b2
2
2D
b2
a2b2 m2
m2
a2
1 b2
2
4 2D b2
a
b kmin 4
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
板件屈曲系数（四边简支）
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
板在微弯状态时的总势能为：
U V
U D
2
a 0
b 0
2w x2
2w y2
2
2 1
2w x2
点的弯矩
M
x
、M
y
和扭矩
M
以及板的挠度
xy
w
都与此点的坐标有关。
✓板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理
想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条
件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。
✓理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会 产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。
m2 2
a2
ab3
由势能驻值原理，有：A
Dm2
a
2b
m2 2b2
a2
1
px
m2 2b3
a
0
第6章 薄板的屈曲
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
✓瑞利-里兹法
A0
px
m2 2b2
a2
6
1
D b2
2D
b2
1
2
m2 2b2
a2
61
令 m 1，可得px的最小值：
k
2D
b2
x,cr
N x,cr t
12
k
1 2
2E
b/t 2
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
k
ab
m
m2 a2
1 b2
2
b a
m
a mb
2
m
m
2
由
dk dm
0，有
2
m
m
1
m2
0
m
N x,cr ,min
主要内容:
薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
➢ 能量法计算板的弹性失稳荷载
➢ 不同面内荷载作用下板的弹性失稳 ➢ 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件
➢ 板稳定理论在钢结构设计中的应用
第6章 薄板的屈曲
➢ 钢结构中板的分类：
✓厚板：t / b 1/ 5 ~1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。
Nx、Ny 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力；
Nxy 为板中面单位长度上的剪力。
第6章 薄板的屈曲
➢ 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
✓单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，N y =Nxy 0 由
D
4w x4
2
4w x22 y
4w y4
Nx
2w x2
2 N xy
✓应力分量 z 、 zx 和 zy 远小于 x、 y 和 xy ，故可以忽略他们产生的 正应变 z 、剪应变 zx 和 zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应
力问题。
✓薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上 的投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。
✓板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
m x n y
w
Amn sin
m1 n1
a
sin
b
代入平衡方程有：
m1
n1
Amn
m4 4
a4
2
m2n2 4
a2b2
n4 4
b4
Nx D
m2 2
a2
sin
m x sin
a
n y
b
0
满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m4 4
a4
2
m2n2
a2b2
4
n4
b4
4
Nx D
m2
a2
D
2
a 0
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2w x2
2w y2
2
2
1
2w x2
2w y2
2w xy
2
dxdy
1 2
a 0
b 0
px
w x
2
dxdy
假定挠曲面函数为： w Ay sin m x
a
代入总势能公式，积分后有：
D 2
A2
m2
a2
2
m2 2b2
6a2
1
ab
px 12
A2