2021年高考数学精英备考专题讲座第四讲概率与统计第一节概率文在近六年新课程试卷高考中, 概率与统计试题的题量大致为一道解答题和一道客观题，约占全卷总分的12％左右，试题的难度为中等或中等偏易，难度值在0.5～0.8.考试要求：（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.② 了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.题型一古典概率例1 已知集合在平面直角坐标系中，点M (,) 的坐标.（1）求点M不在轴上的概率；（2）求点M正好落在区域50x yxy+-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率.点拨: 本题主要考查概率的概念和古典概率的求法以及不等式组表示平面区域的考查.解. 集合A＝{-2,0,1,3}, 点M (,) 的坐标，点M的坐标共有：个，分别是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）（1）点M不在轴上的坐标共有12种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）所以点M不在轴上的概率是.（2）点M正好落在区域50x yxy+-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）.故M正好落在该区域上的概率为易错点:事件总数及所求事件个数的计算不准确.变式与引申1：曲线C的方程为=1，其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=｛方程=1表示焦点在x轴上的椭圆｝，那么= ．例2 一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：（1）连续取两次都是白球的概率；（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．点拨:本题主要考查古典概率,注意用列举法计算随机事件所含的基本事件数.解：（1）设连续取两次的事件总数为：(红,红)，(红,白1)，(红,白2)，(红,黑)，（白1,红），（白1,白1），（白1,白2），（白1,黑）；（白2,红），（白2,白1），（白2,白2），（白2,黑），(黑,红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以．设事件A：连续取两次都是白球，（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个，所以，.（2）连续取三次的基本事件总数为N：（红，红，红），（红，红，白1），（红，红，白2），（红，红，黑），有4个；（红，白1，红），（红，白1，白1），等等也是4个，如此，个；设事件B：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，则连续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：（红，白1，白1），（红，白1，白2），（红，白2，白1），（红，白2，白2），（白1，红，白1），（白1，红，白2），（白2，红，白1），（白2，红，白2），（白1，白1，红），（白1，白2，红），（白2，白1，红），（白2，白2，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），共15个基本事件, 所以，．易错点:事件总数及所求事件个数的计算不准确.变式与引申2： 111先后随机投掷 2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数．⑴求点在直线上的概率；⑵求点满足的概率．例3 某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖.则（1）中三等奖的概率＝；（2）中奖的概率＝ .点拨:本题主要考查古典概率和互斥事件有一个发生的概率.解：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B,从四个小球任选两个共有(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的方法.（1）两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：、，故中三等奖的概率.（2）方法一: 两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：、；两个小球号码相加之和等于4的取法有1种：；两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：；故中奖的概率.方法二: 两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：；两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：；故中奖的概率.易错点: 对中奖的情况考虑不清.变式与引申3：甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．题型二 几何概率例4 在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为( ).A .B .C .D .点拨 : 本题考查了三角函数的值域和几何概型长度型问题, 由自变量的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.解: 在区间 上随机取一个数, 即时, 要使的值介于0到之间, 需使或， 区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为313=ππ故选A. 易错点: 的值介于0到之间时, 值的计算.变式与引申5： 设有关于的一元二次方程．（1）若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率 ．（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则上述方程有实根的概率 ．变式与引申 6. 已知{}(,)10,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)5,0,0A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域上随机投1个点，求这个点落入区域的概率= ．本节主要考查: (1)古典概型及其概率计算公式; (2) 几何概型的意义及其计算公式; (3)互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.点评：（1）古典概型应注意用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；（2）几何概型应注意题目中求的是相应的长度比，还是面积比，体积比；习题4-11. 在一个袋子中装有标注数字1、2、3、4、5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相 同， 现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9（cm ），从中任取三根，能搭成三角形的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）A . B. C. D.4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A . B. C. D.5. 在集合}10,,3,2,1,6|{ ==n nx x x 中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率 是6. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 _ __7. 向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S 2的概率为________． 8. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；（3）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率．9. 已知直线：，直线：，其中，．（1）求直线的概率；改为：求直线与没有交点的概率；（2）求直线与的交点位于第一象限的概率．【答案】变式与引申1 解：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，则，又只剩下一半情况，即15种，因此．变式与引申3：解：（I ）甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：（A ，D ）（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共9种。
