第七章波动

波函数为：

B
x1

A
u

x
P
x 1 y ( x, t ) A cos[ 4π (t )] u 8
x1 1 (2) B 点振动方程为：yB (t ) A cos[ 4π (t )] u 8 x x1 1 y ( x, t ) A cos[ 4π (t )] 波函数为: u 8 x 1 (3) 以 A 为原点： y ( x, t ) A cos[ 4π (t )] u 8 x x1 1 )] 以 B 为原点： y ( x, t ) A cos[ 4π (t u 8
2
y (cm)
2
u
2 4
6 t (s)
2
O
（2）令 t = 3 s
y t 3 2 10 cos x 10 x 2 2 10 cos 2 20
2
t = 3 s 时的波形曲线：
y (cm)
2
u
10 20
2
O

30 x (m)
体变
定义：一块物质受到的压强改变时，其体积也会发生改变，称 为体应变。 实验表明：在弹性限度内，压 强增量 p正比于体应变V V，即
p p
V V V
p K (V V )
其中 K——体变模量
1 单位体积弹性势能： p K (V V ) 2 2
E,G,和K决定于材料的特性
例 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为
y 0.04 cos (50t 0.10 x) m
求 (1) 波的振幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度。 解 (1)
比较法(与标准形式比较）

2.波源是否一定在原点?
如下图已知一沿X 轴正向传播，波速为u的波,p点振动方程为 yp=Acos(ωt+φ),求波函数
Yl
O
P
X
yAco s(txl)
u
yy A A cco o sst( t l)2 x l)
u 鞍山科技大学 姜丽娜
14
四、 波函数的意义
波线和波面是为形象描述波的传播而引入的假想的线和面。
⑴波线： 沿波的传播方向所画出的有向线段称波线。
⑵波面: 波在传播过程中，每一时刻，振动位相相同点的轨 迹的统称。波线垂直于波面。
波前：某一时刻振动位相所到达的各点连成的面。
平面波：波阵面为平面的波动称平面波。见(图a）
波面
波线
图（a） 鞍山科技大学 姜丽娜
3．问题： 波动传播的是什么？
波动是振动状态的传播，既{x、v}或 (ωt+φ) 的传播；也是 振动能量的传播。振动传播时，振动的质点并不沿振动的传播 方向移动，而是在各自的平衡位置附近作振动（如死水潭中漂 浮的树叶）。
鞍山科技大学 姜丽娜
5
二、波动的概念
1.行波：扰动的传播。
2.脉冲：抖动一次的扰动。
意义：当波沿X轴正向传播时x>0的点位相落后于原点;x<0的 点位相超前于原点。
当波沿X 轴负向传播时
y y A A ccoo s (stt (u x) 鞍山2 科 技大 学 x姜A )丽c娜 o2 s(T t x)13
问题:
1. 2πx /λ 的物理意义是什么? x点与原点的位相差。
4
6
0.0c 2o3st (x1)
3 12
鞍山科技大学 姜丽娜

y
u
x
x = u t
O
t
t + t
x
y
O
u t + t
x y A cos[ ( t ) ] u
x
★ 波函数的物理意义
t
— 波函数既描述了波线上各质点振动状态及相位差异， 又描述了随着时间的推移，波形以波速 u 沿传播方向传播的
情况，具有完整的波动意义。
★ 简谐波具有空间和时间周期性：


2
①
t x y 1.0 cos[ 2 ( ) ] 2.0 4.0 2
(2) 将 t = 1.0 s 代入 ①式得出此时刻波形方程:
1.0 x y 1.0 cos[2 ( ) ] 1.0 cos( x ) 2.0 4.0 2 2 2 y /m u ② y 1.0 sin x 1.0 2 由②式可画出 t = 1.0 s 的波形图：
2、横波和纵波
1） 横波: 振动方向⊥传播方向的波。 2）纵波: 振动方向∥传播方向的波。
固体中的波源可以产生横波和纵波。 液体和气体中的波源只能产生纵波。 水面波既不是纵波，也不是横波。
任一波(如水波、地表波)都能分解为横波与纵波进行研究。
3、波的几何描述
1） 波面 — 振动相位相同的各点连成的面(同相面)。
空间上每隔λ的距离出现振动状态相同的点； 时间上每隔 T 的时间波形重复一次。
★ 平面简谐波的波函数既适用于横波，也适用于纵波。
3.波沿着x轴负方向传播
y A cos [ t 2
4.波函数的复数表示
波函数
x

]
]
y A cos [ t 2

利用傅里叶变换可以得到： 2 2 U tt a ik U U k , t Ak cosakt Bk sin akt U k , t 0 k ; U t k , t 0 k ; 再用初始条件得： U k , t k cosakt k sin akt / ak 通过反变换可得 1 1 x at u x, t x at x at x at d 2 2a 达朗贝尔公式：
x at 0 0; 1 x at d x at / 2a; 0 x at 1 2a 1 / 2a; x at 1
%ex602; (p159) 无限长弦波动的解析解(初位移为0, 初速不为0) clear; M=100; N=80; a=1.0; L=10; T1=8; dx=L/M; dt=T1/N; x=-L:dx:L; t=0:dt:T1;[X,T]=meshgrid(x,t); xp=X+a*T; xp(find(xp<=0))=0; xp(find(xp>=1))=1; xm=X-a*T; xm(find(xm<=0))=0; xm(find(xm>=1))=1; S=(xp-xm)/(2*a); figure(1); h=plot(x,S(1,:),'linewidth',3); axis([-L L 0 .6]); set(h,'erasemode','xor'); for k=2:N+1; pause(0.01); set(h,'ydata',S(k,:)); drawnow; end;
2l Bn 2 2 cos3nπ / 7 cos4nπ / 7 nπa An 0;