上海高考数学函数压轴题解析详解

上海市2021年高考数学压轴卷（含解析）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合{}|A x y x R==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则AB =________.2．函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 3．已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012nna n S -=-，则1a =___ 5．从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.6．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________7．已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.8．计算：13(2)lim 32n nn nn +→∞--=+_________.9．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.10．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈也是“C 类集”; ②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”; ③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”.其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)11．已知a 、b 、2c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则4232a c a b c +++-的最小值是________12．已知数列{}n a 的通项公式为52nn a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+ ，设,(),()n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩，若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是_____;二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒14．已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，且12n x x x <<⋅⋅⋅<，则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( ) A ．2πB ．113π C ．4π D ．223π 15．若实数x ，y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．9B ．12C ．3D ．616．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( ) A ．若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =- C ．()()()A BA B f x f x f x =⋅ D ．()()()ABA B f x f x f x =+三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是在底面上的射影，6PO =，Q 是AC 上的一点，过Q 且与PA 、BD 都平行的截面为五边形EFGHL ．（1）在图中作出截面EFGHL ，并写出作图过程； （2）求该截面面积的最大值．18．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c . （1）若2,3c C π==，且ABC 的面积3S =，求,a b 的值；（2）若()()sin sin sin 2A B B A A ++-=，试判断ABC 的形状.19．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过定点21,2E ⎛ ⎝⎭，其左右集点分别为1F ，2F 且1222EF EF +=2F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圈交于P ，Q 两点.（1）求椭圆C 的方程：（2）若O 为坐标原点，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3nn n b S =-，*n ∈N .（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值；（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t （t ，*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.参考答案及解析1．【答案】{}1【解析】 由A中y =10x -，解得：1x ，即{|1}A x x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．2．【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩， 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 3．【答案】1【解析】因为11zi z -=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则||1z ==.故答案为：1. 4．【答案】1-【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

上海市数学高考压轴题研究——解析几何撰文/大罕上海市高考系独立命题，试题有别于全国卷。

大罕现身居上海市，与上海教育息息相关，有必要研究其高考题。

压轴题，作为高端的数学问题，它的特点、深度、广度及走向等，是本文研究的重点。

我们的视野，放在2002年至今的历届高考题上。

一、命题范围比全国卷狭窄，容易做到“火力”集中。

上海教材中对圆锥曲线的性质作了简化处理，省去了一些概念，例如统一定义（第二定义）、离心率和有心曲线的准线，内容少了，出题的范围集中了----曲线方程的求出，基本性质，及直线与曲线的位置关系，例如弦长，交点个数的讨论，等。

这一特点，让应试的师生容易捕捉到题型，同时，势必让命题者不得不十分慎重地把握问题的难度。

例1.(03年理科第21题)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.⑴求向量AB的坐标；⑵求圆关于直线OB对称的圆的方程；⑶是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.二、试题一般采用三问制，第一问重在基础，第二问重在灵活，第三问重在发散思维。

这样的制式，四平八稳，从专家到应试师生均无可挑剔。

压轴题设计成阶梯式，这也告诉我们，摆在学生面前的并非一座不可愈越的突兀的山峰，而是一个诱你渐入佳境的连环套。

例2.(05年文科第21题) 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5。

过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M。

⑴求抛物线方程；⑵过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；⑶以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。

三、上海“十一五”国民经济发展规划的清晰主线是提高城市的国际竞争力，其根本途径是科学创新，这一战略思想在数学高考题中也得到了体现。

压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题命题预测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题 （2）零点问题（3）导数的同构思想 （4）双重最值问题 （5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为()t g x =与()y f t =的零点.(2)依次解方程,令()0f t =,求t ,代入()t g x =求出x 的值或判断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数()f x 是2024届高考数学专项练习定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()()3πcos 1,012211,12xx x f x x ⎧⎡⎤−≤≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()()()()25566g x f x a f x a a ⎡⎤=−++∈⎣⎦R 有且仅有6个不同的零点，则实数a 取值范围 .【答案】(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为()()()()()()25566560g x f x a f x a f x f x a =−++=−⋅−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由()0g x =，可得()65f x =或()f x a =， 由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()3πsin ,012211,12xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩， 当01x ≤≤时，ππ022x ≤≤，如下图所示：因为1112x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由图可知，直线65y =与函数()f x 的图象有4个交点，所以，直线y a =与函数()f x 的图象有2个交点，由图可得(]30,12a ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭.综上所述，实数a 的取值范围是(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩，()22g x x ax =++，若函数()()y g f x =有6个零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】(3,2−−【解析】画出()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下：因为()22g x x ax =++最多两个零点，即当280a ∆=−>，2a >22a <−时，()22g x x ax =++有两个不等零点12,t t ，要想()()y g f x =有六个零点，结合函数图象，要()1f x t =和()2f x t =分别有3个零点， 则()12,0,2t t ∈且12t t ≠，即()22g x x ax =++的两个不等零点()12,0,2t t ∈，则要满足()()2Δ800222000a a g g ⎧=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得322a −<<− 故实数a 的取值范围为(3,2−− 故答案为：(3,22−−【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+−>⎩，若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=−+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（ ） A ．1− B ．2−C ．3−D ．4−【答案】C【解析】由题可得，()()330f f =−=，()f x 在()(),0,3,−∞+∞上单调递减，在()0,3上单调递增，则据此可作出函数()f x 大致图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at −+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈−，则()()2121212Δ80601122203331130a t t a a t t t t a ⎧=−>⎪−<+=<⎪⇒−<<−⎨=>⎪⎪++=+>⎩3a =−满足题意. 故选：C ．【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m =−++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m −++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=−+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =−++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m −++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m −++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=−+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B02 零点问题（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】令()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =−的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======， 结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,. 故选：C【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数()2e xf x kx =−大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为（ ） A ．4 B ．2e C ．e 2D ．2e 4【答案】D【解析】函数()f x 有且仅有一个正零点，即方程2ex k x=有且仅有一个正根，令()2e xg x x =，则()()3e 2x x g x x ='−，当0x <时，()0g x '>，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(),0∞−和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()2e24g =，0x →时，()g x ∞→+，x →−∞时，()0g x →，x →+∞时，()g x ∞→+，可作出图象如下，方程2e x k x =有且仅有一个正根，所以2e 4k =.故选：D.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ） A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,2【答案】B【解析】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =， 0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x −=−，有()3200023x x x −=−，整理可得301x =−，即01x =−，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x −=−++， 有()()000l 2g elg 11x x x −+=−+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++−++=， 令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++−++>， 则()()2lg 1g x x '=−+， 令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增， 当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减， 由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+−=>，()02020g =−=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点， 又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+−⨯=−<， 故()g x 在()99,999上必有唯一零点， 即当00x >时，亦可有一条切线符合要求， 故2n =.故选：B.【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象， 所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”， 即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题． 因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+， 所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'， 所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−． 当0x =时，2112xx x−+⨯=−+； 当02x <<时，2ln2xx x−<−+； 当20x −<<的，2ln2xx x−>−+， 作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+的图象有3个交点．故实数a 的取值范围是(),1∞−−． 故选：C.03 导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点的横坐标为.）若数列的通项公式为, 求数列的前项和；）设数列满足:，设，）中的满足对任意不小于, 恒成立已知函数．）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；）当时，试比较与的大小；）求证：（）．设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：．已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．列满足，为数列的前）求、和；）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若（本小题满分分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．分）已知圆的圆心为，半径为，：和直线的如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点, 的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点）写出抛物线的标准方程；）若，求直线的方程；）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴已知函数（为自然对数的底数）．）求的最小值；）不等式的解集为，若且求实数的取值范围；）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于列，使得？若存在，请求出数列的通项公已知函数当时，求函数的最值；求函数的单调区间；试说明是否存在实数使的图象与无公共点对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数例如：.平面内，若满足，则的取值范围已知二次函数的导函数为，与轴恰有一个交点，则的最小值为对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N为的阶差分数列，其中．（Ⅰ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列，若数列是等差数列，使得对一切正整数N都成立，求；在（Ⅱ）的条件下，令设若成立，求最小正整数的值．如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．设函数，其中为常数．）当时，判断函数在定义域上的单调性；）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；的正整数，不等式都成立已知函数）、若函数在处的切线方程为，求的值；）、若函数在为增函数，求的取值范围；）、讨论方程解的个数，并说明理由。

上海高考数学好题赏析全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：上海高考数学是我国高考数学水平最高的一批考生，他们在高考数学中展现出了极高的技术水平和解题能力。

在这里，让我们一起来欣赏一些上海高考数学中的好题，领略他们的数学风采。

在上海高考数学中，有一道经典好题是关于函数的题目。

题目如下：已知函数f(x) = 3x^2 + 5x - 2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。

这道题目考察了考生对函数极值的求解方法以及区间的边界值的运用，需要考生运用导数的知识来解题。

通过求解导数为0的方程，可以得出函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值，同时还需要验证边界值。

这道题目不仅考察了考生的计算能力，还要考察考生的逻辑思维能力和解题方法。

上海高考数学中的函数题目往往具有一定的难度，考验考生的数学功底和解题能力。

另外一道好题是关于概率的题目。

题目如下：一个袋子里有4个红球和6个白球，分别编号为1到10，随机取出一个球，求取出的球的编号为偶数的概率。

这道题目考察了考生对概率计算的掌握程度，需要考生分析取出偶数号球的可能性与总取球的可能性之比来求解。

通过计算出符合条件的取球情况数目和总的取球情况数目，就可以求得概率。

这道题目要求考生具有逻辑性思维和计算能力，是一道典型的概率计算题目。

除了函数和概率题目外，上海高考数学中还有很多其他类型的好题，包括几何题目、数列题目、方程题目等等。

这些好题要求考生具有广泛的数学知识储备和灵活的解题思路，是对考生综合数学能力的综合考核。

通过欣赏上海高考数学中的好题，我们不仅可以感受到考生们的数学才华和解题能力，还可以了解到数学在高考中的重要性和广泛性。

数学是一门智慧的艺术，需要我们用心去理解和掌握。

希望广大学生们能够在数学的道路上不断努力，充实自己的数学知识，挑战高难度题目，展现自己的数学风采，为自己的未来奠定坚实的基础。

【注：本文参考了相关资料，如有雷同纯属巧合】。

上海市2021年高考数学压轴卷（含解析）第I 卷（选择题）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若集合{|13}A x x =-<<，{1,2,3,4}B =，则AB =____.2．若复数z 满足(34)|(2)(12)|i z i i -=+-(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部是___________.3．行列式123456789中，6的代数余子式的值是______． 4．已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.5．在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.6．已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____. 7．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 8．函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3，则实数m =______.9．设F 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P ､Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点.若PQ OF =，则b =___________. 10．从以下七个函数：221,,,2,log ,sin ,cos x y x y y x y y x y x y x x=======中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x =____.11．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）． 12．已知1a ､2a 与1b ､2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程121||||||+x a x a x b -+-=-2||x b -的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设(0,),(0,)a b ∞∞∈+∈+，则a b <“”是“11a b -<-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为455. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．在ABC 中，若2sin A =，则cos 2cos B C +的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5]C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x +=，()13f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则()()56f a f a +=（ ） A ．3-B ．2-C ．3D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.(1)求三棱锥111C O A B -的体积；(2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小. 18．已知函数1()lg()f x a x=+（1）设1()f x -是()f x 的反函数，当1a =时，解不等式11()2f x -<； （2）若关于x 的方程2()lg()0f x x +=的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值；（3）设0a ＞，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过lg 2，求a 的取值范围.19．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠.当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.21．若数列{}n a 满足11n na a λλ+≤≤(1λ>，且λ为实常数)，*n ∈N ，则称数列{}n a 为()B λ数列.（1）若数列{}n a 的前三项依次为12a =，2a x =，39a =，且{}n a 为(3)B 数列，求实数x 的取值范围；（2）已知{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，且10a >，记21321||||||n n n T a a a a a a +=-+-++-.若存在数列{}n a 为(4)B 数列，使得1lim0n nn nT tT T +→∞-≤成立，求实数t 的取值范围；（3）记无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，证明：“110da λ≤≤-”是“{}n a 为()B λ数列”的充要条件.2021上海市高考压轴卷数学参考答案1．【答案】{1,2} 【解析】解：{}|13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，∴{1,2}AB =．故答案为：{1,2}． 【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．【答案】45【解析】由题意，复数z 满足(34)|(2)(12)|i z i i -=+-， 可得()()()43534|(2)(12)|343434343455i i i i z i i i i i -⨯++-====+---+，所以复数z 的虚部为45. 故答案为：45. 3．【答案】6【解析】由题意，可得6的代数余子式2312(1827)678A =-=-⨯-⨯=．故答案为6． 【点睛】本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题． 4．【答案】9π【解析】因为球的体积为36π，设球的半径为r ，则34363r ππ=，解得：3r =， 因为球的大圆即是过球心的截面圆， 因此大圆的面积为29S r ππ==. 故答案为：9π. 【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型. 5．【答案】240【解析】解：在622 x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，通项公式为 123162r r r r T C x -+=⋅⋅， 令1230r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为 4462240C ⋅=，故答案为：240． 【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项，一般利用二项展开式的通项研究求解.6．【解析】解：∵||||a b =，且12a b ⋅=， ∴a 与b 的夹角为60︒， 设(1,0)a =，则13(,2b =， ∵c xa yb =+，∴12c x y y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又||1c =，∴221122x y y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得221x xy y ++=，∴22()()14x y x y xy ++-=，当且仅当x y ==时，等号成立，∴233x y+．故答案为：3． 7．【答案】79-【解析】因为1sin 3α=， 所以()2227cos(2)cos 212sin 12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-． 故答案为： 79- 8．【答案】2 【分析】由反函数的图象经过点()1,3，得原函数的图象经过点()3,1，代入解出答案即可. 【详解】解：因为函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3 所以函数()2log 1y x m =-+的图象经过点()3,1 所以()21log 31m =-+，解得2m = 故答案为2. 【点睛】本题考查了函数与反函数图像的关系，属于基础题. 9．【答案】1【解析】由已知PQ OF =可得(,)22c cp ，又点p 在渐近线b y x a = 上，22c b ca b a ∴=⋅⇒= 又1a = ，1b ∴= 10．【答案】2sin x x +【解析】由图象可知，函数()F x 的定义域为R ，故排除1y x=，2log y x =， 又由()F x 的图象过定点(0,1)，由函数()F x 图象，可得当0x >时，()1F x >且为增函数， 当0x <时， ()F x 大于0与小于0交替出现，若()2F x x x =+时，此时函数()F x 的图象不过定点(0,1)，因为2xy =过(0,1)，且当0x >时，1y >，当0x <时，01y <<，若包含cos y x =，当0x =时，1y =，2cos xy x =+不满足过点(0,1)，若包含y x =，此时函数()2xF x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，若包含2yx ，此时函数()22x F x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，所以只有()2sin xF x x =+满足条件． 故答案为：2sin x x +． 11．【答案】1115【解析】共43310++=本不同的数，任取2本包含21045C =种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有11111143433333C C C C C C ⋅+⋅+⋅=，所以这2本书属于不同学科的概率33114515P ==. 故答案为：111512．【答案】{1}【解析】转化为12()||||f x x a x a =-+-和12()||||g x x b x b =-+-图像交点， 为了简化问题，我们可以研究|||1|||||x x x a x b +-=-+-，21,0()11,0121,1x x f x x x x x x -+<⎧⎪=+-=≤≤⎨⎪->⎩，设a b <，2,(),2,x a b x a g x x a x b b a a x b x a b x b -++<⎧⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-->⎩，设(0,1)A ，(1,1)B ，(,)C a b a -，(,)D b b a -， ①由图像易知，1个交点容易得到， 如1,22a b ==时，可求得唯一一个交点为53(,)42而0个交点和2个交点都是不可能的. ②假设有0个交点，由题意|1|||2||AC b a k a --=>，|1|||2|1|BD b a k b --=>-，∴||1|1|2a b a <--，|1|1|1|2b b a -<--，∴|||1|1|1||1|a b b a b a -+<----，而由三角不等式，|||1||1|1|1||1||1|a b b a b a b a b a ---+≥=------，故矛盾，∴不可能有0个交点； ③假设有2个交点，1(2,0)AC b a k a --=∈-，1(0,2)1BD b a k b --=∈-， ∴112a b a ->--，1112b b a ->--，∴111b a b a -->--，明显矛盾，∴不可能有2个交点.其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.综上所述，解集A 不是无限集时，集合A 的元素个数只有1个. 故答案为：{}1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况. 13．【答案】C【解析】若a b <“”，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以， a b <“”成立，则“11a b -<-”成立，充分性成立； “11a b -<-”成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，“11a b -<-”成立，则a b <“”成立，必要性成立； 所以，a b <“”是“11a b -<-”的充要条件 故选C 14．【答案】B 【解析】①点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为==，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)4代入可得242p =，解得p =∴抛物线中焦点到准线的距离p ，④不正确， 故选B . 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 15．【答案】B【解析】由题意，在ABC 中，若sin A = 因为(0,)A π∈，可得4A π=或34A π=， 当4A π=时，可得34B C π+=，则34B C π=-，可得3cos cos()sin()4224B C C C C C C ππ+=-=+=+， 因为3(0,)4C π∈，所以(,)44C πππ+∈，所以sin()(0,1]4C π+∈； 当34A π=时，可得4B C π+=，则4B C π=-，可得cos cos())422B C C C C C C πϕ+=-=+=+， 其中tan 3ϕ=，设())g x x ϕ=+在区间[0,]2πϕ-上单调递增，在[,]24ππϕ-上单调递减，又由()02()24g g π=>=，()2g πϕ-=，所以()g x ∈)C ϕ+∈，综上可得，cos B C +的取值范围是(0,1](2,5].故选：B. 【点睛】解答与三角函数有关的范围问题的求解策略：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 16．【答案】C【解析】对任意的n *∈N ，2n n S a n =+. 当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =-； 当2n ≥时，由2n n S a n =+可得1121n n S a n --=+-，上述两式作差得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以，()1121n n a a --=-， 所以，数列{}1n a -是首项为112a -=-为首项，以2为公比的等比数列，所以，11222n n n a --=-⋅=-，即12nn a =-，531a ∴=-，663a =-，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 函数()f x 满足()()3f x f x +=，()13f =-，所以，()()()()5313113f a f f f =-=-=-=，()()()66300f a f f =-==， 因此，()()563f a f a +=. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.17．【答案】4π.【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 由11A B 的长为π3，可知1113π∠A O B =．11111111111sin 2SA O AB =O A ⋅O B ⋅∠O B =，1111111V 312C O A B Sh -O A B =⋅=（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//BB AA ， 所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角．由AC 长为2π3，可知2π3C ∠AO =， 又111π3∠AOB =∠A O B =，所以π3C ∠OB =，从而C OB 为等边三角形，得1C B =． 因为1B B ⊥平面C AO ，所以1C B B ⊥B ．在1C B B 中，因为1π2C ∠B B =，1C B =，11B B =，所以1π4C ∠B B =， 从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为π4．【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.18．【答案】（1）(,0)(lg3,)-∞+∞；（2）0a =或14a =-；（3）23a ≥.【解析】（1）因为()1()lg y f x x a -==+，所以110y x a -+=，所以101y x a=-，所以11()10x f x a-=-，当1a =时，11011()12xf x -=-＜，故解集为(,0)(lg3,)-∞+∞； （2）方程2()lg()0f x x +=即()2lg 0ax x +=，即21ax x +=的解集中恰好有一个元素，当0a =时，1x =，符合题意， 当0a ≠时，140a ∆=+=，解得14a =-， 综上所述，0a =或14a =-； （3）当0a ＞时，设120x x <<，则1211a a x x +>+，1211lg lg a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值为(),(1)f t f t +， 所以11()(1)lg lg lg 21f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以1211(1)ta t t t t -≥-=++设1t r -=，则102r ≤≤，21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032rr r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r=-++-， 因为2y r r =+在上递减，所以219422r r +≥+=，所以211229323332r r r r r =≤=-++--， 所以实数a 的取值范围是23a ≥. 【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用反函数定义，得到11011()12x f x -=-＜，进而用单调性解不等式；（2）解题关键在于利用二次函数性质进行求解；（3）解题关键在于得出()f x 的单调性后，分类讨论，并利用均值不等式求解；本题难度属于中档题 19．【答案】（1）证明见解析 （2）k ≥（3）存在，4T ≥【解析】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=， 因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≥= ⎪⎪⎝⎭.（3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥， 而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立.（Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥， 即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立， 所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.20．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，m =.【解析】（1）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由DM m DA =，(0m >且1)m ≠ 可得0x x =，0y m y =，所以0x x =，01y y m=① ， 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=② ，将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2221y x m+=(0m >且1)m ≠，因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，201m <<，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(，； 当1m 时，21m >，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,. （2）存在，理由如下：如图2､3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=，③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+，④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+， 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+， 而PQ PH ⊥等价于1PQ PHk k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得2m =， 故存在2m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.21．【答案】（1）[3,6]；（2）(1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）因为{}n a 为B （3）数列，所以1133n na a +， 则13321933xx⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得36x ， 即x 的取值范围是[3，6]；（2）由数列{}n a 为B （4）数列，可得1114n na q a +=<或14q <， 当114q <时，由10a >，111(1)0n n n a a a q q -+-=-<，所以11||n n n n a a a a ++-=-． 则12231111(1)n n n n n T a a a a a a a a a q ++=-+-+⋯+-=-=-，所以11()lim lim 101nn n nn n n T tT t q t q t T q +→∞→∞----==--，即1t ； 当14q <时，由10a >，111(1)0n n n a a a q q -+-=->，所以11||n n n n a a a a ++-=-．则21321111(1)n n n n n T a a a a a a a a a q ++=-+-+⋯+-=-=-，所以11()1lim lim lim 0111nnn n n n n n n ntq t T tT q t q tq q t T q q+→∞→∞→∞------+===---，即t q ，所以1t >， 则t 的取值范围是(1,)+∞； （3）先证充分性．因为11da λ-，所以10a ≠，{}n a 为等差数列， 所以当0d =时，10n a a =≠，此时11n na a +=， 由1λ>，所以111n na a λλ+=成立，所以{}n a 为()B λ数列； 当0d ≠时，1111111(1)111(1)(1)(1)1n n a a nd a n d d d a a a n d a n d a n dn d+++-+===+=++-+-+-+-， 因为101d a λ-，所以111a dλ-，所以1110(1)(1)11a n n dλλ---++-， 即有1(1)11(1)(1)1n na n a n λλ+-+--+，因为1λ>，所以(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)1n n n n λλλλλ-+--+-+=--+--+11111111(1)(1)1111n n λλλλλ-=+=++=--+-+--， 所以111n na a λλ+恒成立，所以{}n a 为()B λ数列， 综上可得，{}n a 为()B λ数列；再证必要性．因为{}n a 为()B λ数列，所以11n na a λλ+恒成立，所以10a ≠， 当0d =时，11da λ-显然成立； 当0d ≠时，因为110n n a a λ+>，所以{}n a 的每一项同号，所以1a 与d 也同号， 所以10da ，因为11n n a a λλ+恒成立，所以1n =时，211a a λλ成立， 因为{}n a 为等差数列，21a a d =+，211111a a d d a a a +==+， 所以111d a λλ+，即为111da λλ--，101d a λ-， 综上可得，“101da λ-”是“{}n a 为B ()λ数列”的充要条件． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第3小问，证明“101da λ-”是“{}n a 为B ()λ数列”的充要条件，先证明充分性，利用不等式证明111n na a λλ+恒成立，所以{}n a 为()B λ数列；再证明必要性，证明11da λ-成立.。

上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ³ a , 证明证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] , ∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x 的减函数, ∴ 当n ³ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n £ n n– ( n + a)n. 2分 又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n– ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分 ( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v Î[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +Î-ìí-Îî，是否满足题设条件？，是否满足题设条件？解：解： (1) 若u ,v Î [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u = 43Î[–1，1]，v = 21Î[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：）分三种情况讨论：10. 若u ,v Î [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；，满足题设条件； 20. 若u ,v Î [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；，满足题设条件； 30. 若u Î[–1，0]，v Î[0，1]，则：，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u Î[0，1]，v Î[–1，0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分) 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x +(x ¹ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ¹ 0 ). (1) 求证：| ac | ³ 4; (2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ÎR, t ¹–1, ∴ ⊿ = (–c 22a)22– 16c 22 = c 44a 22– 16c 22³ 0 ， ∵ c ¹ 0, ∴c 2a 2 ³ 16 , ∴| ac | ³ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 – 1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 , ∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ³ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) = 2)1x (1+> 0 得x ¹–1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增. （3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ³|a |4> 0 , ∴f (| c | ) ³ f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．）对称． （1） 求f (x)的表达式；的表达式；（2） 试在函数f f (x)(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2éù-ëû上；上；（3） 若+212(13),(N )23nnn n n nx y n --==Î，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分（2）()20,0,2,3æö-ç÷ç÷èø或()20,0,2,.3æö-ç÷ç÷èø…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分5．（本小题满分13分）分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ¹则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ì+=ïïíï+=ïî ………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ·=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ×=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =- (10)分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=¹此即为所求的轨迹方程.………………13分6．（本小题满分12分）分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=×PB PA（1）求点P 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数l 使得0)(2=+×FP FB FA l 若存在，？若存在，求出求出l 的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ¹由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==\ 4,,021-=\^\=×x x PB PA PB PA ………………………………3分直线P A 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ①同理，直线PB 的方程是：42222x xx y -=②由①②得：ïîïíìÎ-==+=),(,142212121R x x x x y x x x∴点P 的轨迹方程是).(1R x y Î-=……………………………………6分 （2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+xx P4),2,2(2121-=-+=x x xx FP 42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=× …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+×FP FB FA故存在l =1使得0)(2=+×FP FB FA l …………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线P A 、PB 与抛物线相切，且,0=×PB PA ∴直线P A 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ^ 设P A 的直线方程是)0,,(¹Î+=k R m k m kx y由îíì=+=y x m k x y 42得：0442=--m kx x016162=+=D \m k 即2k m -=…………………………3分即直线P A 的方程是：2k k x y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由ïîïíì--=-=2211k x k y k k x y 得：ïîïíì-=Î-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y Î-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA )2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk k k FB FA +--=--+-=×………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k FP ++=+-=故存在l =1使得0)(2=+×FP FB FA l …………………………………………12分 7．（本小题满分14分）分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+¥上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围；的取值范围；（2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bb a b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'³-=axax x f 对),1[+¥Îx 恒成立，恒成立， xa 1³\对),1[+¥Îx 恒成立恒成立又11£x1³\a 为所求.…………………………4分 （2）取b ba x +=，1,0,1>+\>>b b a b a ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+¥上是增函数，上是增函数，0)1()(=>+\f b b a f0ln 1>+++×+-\bb a bb a a bb a 即ba b ba +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G∴)(x G 在),1(+¥上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即b b a b ba +>+ln综上所述，.ln 1b b a b b a b a +<+<+………………………………………………14分8．(本小题满分12分) 如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C Ð= ，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．两点．(1) 求双曲线E 的方程；的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN l=，问在x 轴上是否存在定xyDO CAB点G ，使()BC GM GN l^- ？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =． ∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ì-=ï+=-íï-=î（3分）解之得1a =，∴2,3c b ==． ∴双曲线E 的方程为2213y x -=． （5分）分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN l ^-．设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN l = ，得120y y l +=．即12y y l =-① （6分）分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y l l l l -=--+-， ∴()BC GM GN l^- 12()x t x t l Û-=-． 即12()ky m t ky m t l +-=+-． ② （8分）分）把①代入②，得把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+= ③（9分）分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -¹且0D >，即213k ¹且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--． （10xyDO CAB NBCOyxGMP(m 1C C C n n n nn a a a ++++11p p ++1211n n p p 1p +)())êú222(1)(1)2(1)2(1)k n kk k n k n kp p p p ---++×--…212(1)12(1)(1)nnkn k p p p p --+--222(1)121n nnkn k p p p p -+--+n n…。

欢迎阅读上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1.(本小题满分12分)已知常数a>0,n 为正整数，f n (x)=x n –(x+a)n (x>0)是关于x 的函数. (1)判定函数f n (x)的单调性，并证明你的结论. (2)对任意n ?a,证明f`n+1(n+1)<(n+1)f n `(n) n –1n –1n –1n –1解：(1)若u,v ?[–1，1]，|p(u)–p(v)|=|u 2–v 2|=|(u+v)(u –v)|，取u=43?[–1，1]，v=21?[–1，1],则|p(u)–p(v)|=|(u+v)(u –v)|=45|u –v|>|u –v|， 所以p(x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10.若u,v ?[–1，0]，则|g(u)–g(v)|=|(1+u)–(1+v)|=|u –v|，满足题设条件； 20.若u,v ?[0，1]，则|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1–v)|=|v –u|，满足题设条件； 30.若u ?[–1，0]，v ?[0，1]，则：|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1+v)|=|–u –v|=|v+u|≤|v –u|=|u –v|，满足题设条件; 40若u ?[0，1]，v ?[–1，0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3.(本小题满分14分)（3）（仅理科做）∵f(x)在x>–1时单调递增，|c|?|a |>0, ∴f(|c|)?f(|a |4)=1|a |4|a |4+=4|a |4+f(|a|)+f(|c|)=1|a ||a |++4|a |4+>4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f(|a|)+f(|c|)>1.4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x=－1时，f(x)取得极大值23，并且函数y=f(x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1） 求f(x)的表达式；221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ∙=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-……10分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分由①②得：⎪⎩⎨∈-==),(,142121R x x x x y ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+xx P42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅…………………………10分所以0)(2=+⋅故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y（1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分（2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ， 一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，即b a b b a +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）xx解之得1a =，∴2,c b ==∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2)设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．1y λ=-GM GN λ-(BC GM GN λ⊥-12(ky m t ky m λ+-=+-2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =． 当1t m=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN λ⊥-．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=．(1)求n a ； (2)试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）； 2C na a ++(1)np +(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-． 而1()2p f n p+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->．∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）．（8分） (3)由(2)知1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)(2222n np p p p f n f n f n f p pp p-++++<-<-<<=． 111(21)222p p p f n p p p ⎛⎫⎛⎫+++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2,,21n -时，1)n+⎣⎦分）。

绝密★启封前KS5U2018上海高考压轴卷数学I1.1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2.若（x+a）7的二项展开式中，含x6项的系数为7，则实数a= ．3.不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是________.4.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为．5.设i|z|= ．6.已知P是抛物线y2=4x上的动点，F是抛物线的焦点，则线段PF的中点轨迹方程是．7.底面ABC（不包括端点）.8.若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）= ．9.某企业有甲、乙两个研发小组，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．10.已知首项为1公差为2的等差数列{a n}，其前n项和为S n= ．11.已知函数y=Asin（A＞0，ω＞0，|φ|≤π函数取得最小值﹣22，由上面的条件可知，该函数的解析式为．12.数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1n∈N*），从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，试写出S n= ．13.关于x、y D=0是该方程组有解的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件14.数列{a n}满足：a1a2a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则）A．5032 B．5044 C．5048 D．505015.某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A BC D16.（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（0D+∞）三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

思维拓展新高考压轴题中函数的新定义问题①定义新性质②定义新概念③定义新运算一、必备知识整合一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、新定义问题的方法和技巧1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.二、考点分类精讲1(2024·福建泉州·模拟预测)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为y=c e x c+e-x c2，其中c为参数．当c=1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为cosh x=e x+e-x2，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：sin x=cos x cos x=-sin x；②二倍角公式：cos2x=2cos2x-1；③平方关系：sin2x+cos2x=1．定义双曲正弦函数为sinh x=e x-e-x2．(1)写出sinh x，cosh x具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；(2)任意x>0，恒有sinh x-kx>0成立，求实数k的取值范围；(3)正项数列{a n }(n ∈N *)满足a 1=a >1，a n +1=2a 2n -1，是否存在实数a ，使得a 2024=178若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)(-∞，1](3)存在实数a =122122022+2-122022，使得a 2024=178成立．【详解】(1)①导数：sinh x =cosh x ，cosh x=sinh x ，证明如下：sinh x =e x -e-x2=e x +e -x2=cosh x cosh x =e x +e -x 2 =e x -e -x2=sinh x，②二倍角公式：cosh 2x =2cosh x 2-1，证明如下：2cosh x 2-1=2×e x +e -x 2 2-1=e 2x +2+e -2x 2-1=e 2x +e -2x 2=cosh 2x ；③平方关系：(cosh x )2-(sinh x )2=1，证明如下：cosh x 2-sinh x 2=e x +e -x 2 2-e x -e -x 2 2=e 2x +2+e -2x 4-e 2x -2+e -2x4=1；(2)令F x =sinh x -kx ，x ∈(0,+∞)，F x =cosh x -k ，①当k ≤1时，由cosh x =e x +e -x2≥e x ⋅e -x =1，又因为x >0，所以e x ≠e -x ，等号不成立，所以F x =cosh x -k >0，即F (x )为增函数，此时F (x )>F (0)=0，对任意x >0，sinh x >kx 恒成立，满足题意；②当k >1时，令G (x )=F ′(x )，x ∈(0,+∞)，则G x =sinh x >0，可知G (x )是增函数，由G (0)=1-k <0与G ln2k =14k>0可知，存在唯一x 0∈0,ln2k ，使得G (x 0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时，F (x )=G (x )<G (x 0)=0，则F (x )在(0,x 0)上为减函数，所以对任意x ∈(0,x 0)，F (x )<F (0)=0，不合题意；综上知，实数k 的取值范围是-∞,1 ；(3)方法一、由a 1=a >1，函数cosh x =e x +e -x 2的值域为1,+∞ ，对于任意大于1的实数a 1，存在不为0的实数m ，使得cosh m =a 1，类比双曲余弦函数的二倍角公式cosh 2x =2cosh x 2-1，由cosh m =a 1，a 2=2cosh m 2-1=cosh 2m ，a 3=cosh 22m ，猜想：a n =cosh 2n -1m ，由数学归纳法证明如下：①当n =1时，a 1=a =cosh 21-1m =cosh m 成立；②假设当n =k (k 为正整数)时，猜想成立，即a k =cosh (2k -1m )，则a k +1=2a 2k -1=2cosh 2k -1m 2-1=cosh 2×2k -1m =cosh 2k m ，符合上式，综上知，a n =cosh 2n -1m ；若a 2024=cosh 22023m =178，设t =22023m ，则cosh t =e t +e -t 2=178，解得：e t =4或14，即t =±ln4，所以m =±ln222022，即a 1=cosh m =e m +e -m 2=122122022+2-122022．综上知，存在实数a =122122022+2-122022，使得a 2024=178成立．方法二、构造数列x n (x n >0)，且a n =cosh x n ，因为a n +1=2a 2n -1，所以a n +1=2cosh x n 2-1=cosh 2x n ，则a n +1=cosh x n +1 =cosh 2x n ，因为cosh x 在(0,+∞)上单调递增，所以x n +1=2x n ，即{x n }是以2为公比的等比数列，所以x 2024=x 122023，所以ex 2024=e x 122023，所以e x 1=ex 2024122023，又因为a 2024=cosh x 2024 =12e x 2024+e -x 2024=178，解得e x 2024=4或14，所以a =a 1=cosh x 1 =12e x 1+e -x 1=124122023+4-122023=122122022+2-122022，综上知，存在实数a =122122022+2-122022，使得a 2024=178成立．【点睛】方法点睛：对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点，解题不是事.2(2024·山东滨州·二模)定义：函数f (x )满足对于任意不同的x 1,x 2∈[a ,b ]，都有f x 1 -f x 2 <k x 1-x 2 ，则称f (x )为a ,b 上的“k 类函数”．(1)若f (x )=x 23+1，判断f (x )是否为1,3 上的“2类函数”；(2)若f (x )=a (x -1)e x-x 22-x ln x 为[1,e ]上的“3类函数”，求实数a 的取值范围；(3)若f (x )为[1,2]上的“2类函数”，且f (1)=f (2)，证明：∀x 1，x 2∈[1,2]，f x 1 -f x 2 <1．【答案】(1)f (x )为1,3 上的“2类函数”(2)1e 3,e +5e e +1(3)证明见详解【详解】(1)对于任意不同的x 1,x 2∈1,3 ，不妨设x 1<x 2，即1≤x 1<x 2≤3，则f x 1 -f x 2 =x 213+1-x 223+1=x 1+x 23x 1-x 2 <2x 1-x 2 ，所以f (x )为1,3 上的“2类函数”.(2)因为f (x )为[1,e ]上的“3类函数”，对于任意不同的x 1,x 2∈1,e ，不妨设x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 <3x 1-x 2 =3x 2-x 1 恒成立，可得3x 1-3x 2<f x 1 -f x 2 <3x 2-3x 1，即f x 1 +3x 1<f x 2 +3x 2，f x 2 -3x 2<f x 1 -3x 1均恒成立，构建g x =f x +3x ，x ∈1,e ，则g x =f x +3，由f x 1 +3x 1<f x 2 +3x 2可知g x 在1,e 内单调递增，可知g x =f x +3≥0在1,e 内恒成立，即f x ≥-3在1,e 内恒成立；同理可得：f x ≤31,e 内恒成立；即-3≤f x ≤3在1,e 内恒成立，又因为f (x )=axe x -x -1-ln x ，即-3≤axe x -x -1-ln x ≤3，整理得x +ln x -2xe x ≤a ≤x +ln x +4xe x ，可得x +ln x -2e x +ln x≤a ≤x +ln x +4e x +ln x，即x +ln x -2e x +ln x≤a ≤x +ln x +4e x +ln x 在1,e 内恒成立，令t =x +ln x ，因为y =x ,y =ln x 在1,e 内单调递增，则t =x +ln x 在1,e 内单调递增，当x =1，t =1；当x =e ，t =e +1；可知t =x +ln x ∈1,e +1 ，可得t -2e t ≤a ≤t +4e t在1,e +1 内恒成立，构建F t =t -2e t,t ∈1,e +1 ，则F t =3-te t ，当1≤t <3时，F t >0；当3<t ≤e +1时，F t <0；可知F t 在1,3 内单调递增，在3,e +1 内单调递减，则F t ≤F 3 =1e3，构建G t =t +4e t ,t ∈1,e +1 ，则Gt =-3-t et <0在1,e +1 内恒成立，可知G t 在1,e +1 内单调递减，则G t ≥G e +1 =e +5e e +1；可得1e 3≤a ≤e +5ee +1，所以实数a 的取值范围为1e 3,e +5e e +1 .(3)(i )当x 1=x 2，可得f x 1 -f x 2 =0<1，符合题意；(ⅱ)当x 1≠x 2，因为f (x )为[1,2]上的“2类函数”，不妨设1≤x 1<x 2≤2，①若0<x 2-x 1≤12，则f x 1 -f x 2 <2x 1-x 2 ≤1；②若12<x 2-x 1≤1，则f x 1 -f x 2 =f x 1 -f 1 +f 1 -f x 2 =f x 1 -f 1 +f 2 -f x 2 ≤f x 1 -f 1 +f 2 -f x 2 ≤2x 1-1 +22-x 2 =2-2x 2-x 1 <1；综上所述：∀x 1，x 2∈[1,2]，f x 1 -f x 2 <1.3(23-24高三下·浙江·开学考试)置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A=1,2,⋯,n,n ∈N+的函数称为n次置换.满足对任意i∈A,f i =i的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作S n.对于f i ∈S n，我们可用列表法表示此置换：f i =12⋯nf1 f2 ⋯f n，记f i =f1i ,f f i =f2i ,f f2i=f3i ,⋯,f f k-1i=f k i ,i∈A,k∈N+.(1)若f i ∈S4,f i =12344213，计算f3i ；(2)证明：对任意f i ∈S4，存在k∈N+，使得f k i 为恒等置换；(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.【答案】(1)f3i =1234 1234(2)证明见解析(3)最少8次就能恢复原来的牌型，理由见解析【详解】(1)f i =1234 4213 ，由题意可知f2i =12343241,f3i =12341234；(2)解法一：①若f i =12341234，则f1i 为恒等置换；②若存在两个不同的i，使得f i =i，不妨设i=1,2，则f i =1234 1243 .所以f2i =12341234，即f2i 为恒等置换；③若存在唯一的i，使得f i =i，不妨设i=2，则f i =12343241或f i =12344213.当f i =12344213时，由(1)可知f3i 为恒等置换；同理可知，当f i =12343241时，f3i 也是恒等置换；④若对任意的i,f i ≠i，则情形一：f i =12342143或f i =12343412或f i =12344321；情形二：f i =12342341或f i =12342413或f i =12343142或f i =12343421或f i =12344123或f i =12344312；对于情形一：f2i 为恒等置换；对于情形二：f4i 为恒等置换；综上，对任意f i ∈S4，存在k∈N+，使得f k i 为恒等置换；解法二：对于任意i∈1,2,3,4，都有f1i ,f2i ,f3i ,f4i ∈1,2,3,4，所以f1i ,f2i ,f3i ,f4i 中，至少有一个满足f k i =i，即使得f k i =i的k的取值可能为1,2,3,4.当i分别取1,2,3,4时，记使得f k i =i的k值分别为k1,k2,k3,k4，只需取k为k1,k2,k3,k4的最小公倍数即可.所以对任意f i ∈S4，存在k∈N+，使得f k i 为恒等置换；(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对1,2,⋯,52作一次如下置换：f i=12345⋯521272283⋯52，即f i =k,i=2k-1,26+k,i=2k,其中k=1,2,⋯,26.注意到各编号在置换中的如下变化：1→f1，2→f27→f14→f33→f17→f9→f5→f3→f2，4→f28→f40→f46→f49→f25→f13→f7→f4，6→f29→f15→f8→f30→f41→f21→f11→f6，10→f31→f16→f34→f43→f22→f37→f19→f10，12→f32→f42→f47→f24→f38→f45→f23→f12，18→f35→f18，20→f36→f44→f48→f50→f51→f26→f39→f20，52→f52，所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.【题型训练-刷模拟】①定义新性质一、解答题4(2024·浙江绍兴·三模)若函数f x 在区间I上有定义，且∀x∈I，f x ∈I，则称I是f x 的一个“封闭区间”．(1)已知函数f x =x+sin x，区间I=0,rr>0且f x 的一个“封闭区间”，求r的取值集合；(2)已知函数g x =ln x+1+34x3，设集合P=x g x =x．(i)求集合P中元素的个数；(ii)用b-a表示区间a,ba<b的长度，设m为集合P中的最大元素．证明：存在唯一长度为m的闭区间D，使得D是g x 的一个“封闭区间”．【答案】(1)2k-1π,2kπk∈N*(2)(i)2；(ii)证明见解析【分析】(1)根据“封闭区间”的定义，对函数f x =x+sin x求导并求出其值域解不等式可得r的取值集合；(2)(i)对h x =ln x+1+34x3-x x>-1求导得出函数h x 的单调性，利用零点存在定理即可求得集合P中元素的个数为2个；(ii)根据区间长度的定义，对参数a进行分类讨论得出g x 的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.【详解】(1)由题意，∀x∈0,r，f x ∈0,r，∵f′x =1+cos x≥0恒成立，所以f x 在0,r上单调递增，可得f x 的值域为0,r+sin r，因此只需0,r+sin r⊆0,r，即可得r+sin r≤r，即sin r≤0r>0，则r的取值集合为2k-1π,2kπk∈N*．(2)(i)记函数h x =g x -x=ln x+1+34x3-x x>-1，则h′x =1x+1+94x2-1=4+9x2x+1-4x+14x+1=9x2x+1-4x4x+1=x3x+43x-14x+1x>-1，由h′x >0得-1<x<0或x>13；由h′x <0得0<x<13；所以函数h x 在-1,0和13,+∞上单调递增，在0,13上单调递减．其中h0 =0，因此当x∈-1,0∪0,1 3时，h x <0，不存在零点；由h x 在0,1 3单调递减，易知h13 <h0 =0，而h1 =ln2-14>0，由零点存在定理可知存在唯一的x0∈13,1使得h x0 =0；当x∈1,+∞时，h x >0，不存在零点．综上所述，函数h x 有0和x0两个零点，即集合P中元素的个数为2．(ii)由(i)得m=x0，假设长度为m的闭区间D=a,a+x0是g x 的一个“封闭区间”a>-1，则对∀x∈a,a+x0，g x ∈a,a+x0，当-1<a<0时，由(i)得h x 在-1,0单调递增，∴h a =g a -a <h 0 =0，即g a <a ，不满足要求；当a >0时，由(i )得h x 在x 0,+∞ 单调递增，∴h a +x 0 =g a +x 0 -a +x 0 >h x 0 =0，即g a +x 0 >a +x 0，也不满足要求；当a =0时，闭区间D =0,x 0 ，而g x 显然在-1,+∞ 单调递增，∴g 0 ≤g x ≤g x 0 ，由(i )可得g 0 =h 0 +0=0，g x 0 =h x 0 +x 0=x 0，∴g x ∈0,x 0 =D ，满足要求．综上，存在唯一的长度为m 的闭区间D =0,m ，使得D 是g x 的一个“封闭区间”．【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.5(2024·上海普陀·二模)对于函数y =f (x )，x ∈D 1和y =g (x )，x ∈D 2，设D 1∩D 2=D ，若x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2，皆有f x 1 -f x 2 ≤t g x 1 -g x 2 (t >0)成立，则称函数y =f (x )与y =g (x )“具有性质H (t )”.(1)判断函数f (x )=x 2，x ∈[1,2]与g (x )=2x 是否“具有性质H (2)”，并说明理由；(2)若函数f (x )=2+x 2，x ∈(0,1]与g (x )=1x “具有性质H (t )”，求t 的取值范围；(3)若函数f (x )=1x 2+2ln x -3与y =g (x )“具有性质H (1)”，且函数y =g (x )在区间(0,+∞)上存在两个零点x 1，x 2，求证x 21+x 22>2.【答案】(1)答案见解析(2)2,+∞ (3)证明见解析【分析】(1)根据条件，结合性质H (t )的定义判断即可；(2)根据f (x )=2+x 2，x ∈(0，1]与g (x )=1x“具有性质H (t )”，可得t ≥x 1x 2(x 1+x 2)对x 1，x 2∈(0,1]恒成立，再求出t 的范围即可；(3)根据条件，得到1x 21+2ln x 1-3=1x 22+2ln x 2-3，再构造函数，结合条件证明不等式即可．【详解】(1)由x 1,x 2∈1,2 ，且x 1≠x 2，得2<x 1+x 2<4，即x 1+x 2 <4，则x 1+x 2 ⋅x 1-x 2 <4x 1-x 2 ，即 x 21-x 22 <22x 1-2x 2 ，即 f x 1 -f x 2 ≤2g x 1 -g x 2 ，则函数f (x )=x 2,x ∈1,2 与g (x )=2x “具有性质H (2)”.(2)由函数f x =2+x 2,x ∈0,1 与g x =1x “具有性质H (t )”，得f x 1 -f x 2 ≤t g x 1 -g x 2 ，x 1,x 2∈0,1 ，且x 1≠x 2，即2+x 12-2-x 22 ≤t1x 1-1x 2，整理得(x 1+x 2)(x 1-x 2) ≤tx 2-x 1x 1x 2，则t ≥x 1x 2(x 1+x 2)对x 1,x 2∈0,1 恒成立，又x 1,x 2∈0,1 ，x 1≠x 2，则0<x 1+x 2<2，0<x 1x 2<1，即0<x 1x 2(x 1+x 2)<2，则t ≥2，即所求的t 的取值范围为2,+∞ .(3)由函数y =g x 在0,+∞ 有两个零点x 1,x 2，得g x 1 =g x 2 =0，又函数f x =1x 2+2ln x -3与y =g (x )“具有性质H (1)”，则f x 1 -f x 2 ≤g x 1 -g x 2 =0，即f x 1 =f x 2 ， 即1x 21+2ln x 1-3=1x 22+2ln x 2-3，令x 21=t 1,x 22=t 2，即1t 1+ln t 1-3=1t 2+ln t 2-3，记h x =1x+ln x -3，即h t 1 =h t 2 ，因为h x =-1x 2+1x =x -1x 2，当0<x <1时，h x <0；当x >1时，h x >0，所以函数y =h x 在区间0,1 是减函数，在1,+∞ 上是增函数.要证x 21+x 22>2，即证t 1+t 2>2，不妨设0<t 1<1<t 2，即证t 2>2-t 1>1，只需证h t 2 >h 2-t 1 ，即证h t 1 >h 2-t 1 ，设H x =h x -h 2-x ，即H x =1x +ln x -12-x-ln 2-x ，因为Hx =-1x 2+1x -12-x 2+12-x =-41-x 2x 22-x 2≤0，所以函数y =H x 在0,+∞ 是减函数，且H (1)=0，又0<t 1<1，则H t 1 >H 1 =0，即h t 1 -h 2-t 1 >0，则h t 1 >h 2-t 1 得证，故 x 21+x 22>2.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式．6(2024·上海·模拟预测)已知A 、B 为实数集R 的非空子集，若存在函数y =f x 且满足如下条件：①y =f x 定义域为A 时，值域为B ；②对任意x 1、x 2∈A ，x 1≠x 2，均有f x 1 -f x 2x 1-x 2>0. 则称f x 是集合A 到集合B 的一个“完美对应”.(1)用初等函数构造区间0,1 到区间0,+∞ 的一个完美对应f x ；(2)求证：整数集Z 到有理数集Q 之间不存在完美对应；(3)若f x =x 3-kx 2+1，k ∈R ，且f x 是某区间A 到区间-3,2 的一个完美对应，求k 的取值范围.【答案】(1)f (x )=tan π2x(2)证明见解析(3)-∞,-3322∪{0}∪[3,+∞)【详解】(1)f (x )=tan π2x，当x ∈0,1 时，π2x ∈0,π2 ，则其值域为0,+∞ ，满足条件①，根据复合函数单调性知f (x )在0,1 单调递增，则其满足条件②，故可取f (x )=tan π2x.(2)假设有f (x )是集合Z 到Q 的一个完美对应，则有f (0)=a ,f (1)=b ，其中a <b ∈Q ，于是，a +b2∈Q ，由完美对应的定义，存在整数k ，使得f (k )=a +b2且0<k <1，这与k 为整数矛盾，故假设不成立.所以，整数集Z 到有理数集Q 之间不存在完美对应.(3)f x =x 3-kx 2+1，f x =3x 2-2kx =0，得x =0或2k3，若k =0，则f (x )=x 3+1严格递增，且f (1)=2,f (-34)=-3，此时A =[-34,0]；满足题意;若k >0，则x ∈(-∞,0)时，f (x )>0；x ∈0,2k 3 时，f(x )<0；x ∈2k 3,+∞ 时，f (x )>0；则y =f (x )在(-∞,0)上单调递增，在0,2k 3 上单调递减，在2k 3,+∞ 上单调递增;又f (0)=1<2，故只有极小值f 2k3≤-3才满足题意，即2k 33-k 2k 3 2+1≤-3，k ≥3，若k <0，则x ∈-∞,2k 3 时，f (x )>0；x ∈2k3,0 时，f (x )<0；x ∈(0,+∞)时，f (x )>0；则y =f (x )在-∞,2k 3单调递增，在2k 3,0 单调递减，在(0,+∞)单调递增；又f (0)=1>-3，故只有极大值f 2k3≥2才满足题意，即2k33-k2k3 2+1≥2，即k≤-3322.综上, k 的取值范围是 -∞,-332 2∪0 ∪[3,+∞).【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求导得f (x)=3x2-2k=0，然后求出导函数零点x=0或2k 3，最后对k进行合理分类讨论即可.7(2024·上海黄浦·二模)若函数y=f(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=f(x)的图象的“自公切线”，称这两点为函数y=f(x)的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数f1(x)=sin x与f2(x)=ln x的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若a∈R，求证：函数g(x)=tan x-x+a x∈-π2,π2有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设n∈N*，h(x)=tan x-x+nπx∈-π2,π2的零点为x n，t∈-π2,π2，求证：“存在s∈(2π,+∞)，使得点(s,sin s)与(t,sin t)是函数y=sin x的图象的一对‘同切点'”的充要条件是“ t是数列{x n}中的项”.【答案】(1)函数f1(x)的图象存在“自公切线”； 函数f2(x)的图象不存在“自公切线”，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】(1)显然直线y=1切y=sin x的图象于点π2,1,5π2,1，直线y=1是y=sin x的图象的一条“自公切线”，因此函数f1(x)的图象存在“自公切线”；对于f2(x)=ln x,f 2(x)=1x(x>0)是严格减函数，则f2(x)在不同点处的切线斜率不同，所以函数f2(x)的图象不存在“自公切线”.(2)由g (x)=1cos2x -1=sin2xcos2x=tan2x≥0恒成立，且仅当x=0时g (x)=0，则y=g(x)是-π2 ,π2上的严格增函数，可得它至多有一个零点，令g1(x)=sin x-(x-a)cos x x∈-π2 ,π2，由y=g1(x)的图象是连续曲线，且g1-π2g1π2 =-1<0，因此g1(x)在-π2 ,π2上存在零点，即在-π2,π2上g(x)=g1(x)cos x存在零点，所以g(x)有唯一零点；假设g(x)的图象存在“自公切线”，则存在x1,x2∈-π2 ,π2且x1≠x2，使得g(x)的图象在x=x1与x=x2处的切线重合，即tan2x1=tan2x2，有x2=-x1，不妨设x1∈0,π2，切线l1:y-tan x1+x1-a=tan2x1⋅(x-x1)，l2:y-tan x2+x2-a=tan2x2⋅(x-x2)，有相同截距，即-x1tan2x1+tan x1-x1+a=-x2tan2x2+tan x2-x2+a，而x2=-x1，则-x1tan2x1+tan x1-x1=x1tan2x1-tan x1+x1，即x1(1+tan2x1)=tan x1，则有x1=sin x1cos x1，即2x1=sin2x1，令φ(x)=x-sin x,0<x<π，φ (x)=1-cos x>0，即函数φ(x)在(0,π)上单调递增，φ(x)>φ(0)=0，因此当x∈(0,π)时，x>sin x，即2x1=sin2x1在0,π2上无解，所以g(x)的图象不存在“自公切线”.(3)对给定的n∈N*，由(2)知h(x)有唯一零点，即x n唯一确定，又h(x)在点(t,sin t)处的切线方程为y-sin t=cos t(x-t)，即y=x cos t+sin t-t cos t，h(x)在点(s,sin s)处的切线方程为y=x cos s+sin s-s cos s，若存在s∈(2π,+∞)，使得点(s,sin s)与(t,sin t)是函数y=sin x图象的一对“同切点”，则cos s=cos t s≠tsin s-s cos s=sin t-t cos t，又t∈-π2,π2，则cos t>0，所以cos s=cos t s≠ttan s-s=tan t-t，cos s=cos t且tan s=-tan t，从而存在n∈N*，使得s=2nπ-t，代入tan s-s=tan t-t，可得tan t-t+nπ=0，则x n=t，即t是数列x n中的项；反之，若t是数列x n中的项，则存在n∈N*，使得x n=t，即tan t-t+nπ=0，由(2)中的g(x)严格增，可知h(x)严格增，又h(0)=nπ>0且h(t)=0，可知t<0，令s=2nπ-t，则s∈(2π,+∞)且cos s=cos t,tan s-s-(tan t-t)=2(t-tan t-nπ)=0，即tan s-s=tan t-t，可得sin s-s cos s=sin t-t cos t，所以存在s∈(2π,+∞)，使得点(s,sin s)与(t,sin t)是函数y=sin x的图象的一对“同切点”.所以存在s∈(2π,+∞)，使得点(s,sin s)与(t,sin t)是函数y=sin x图象的一对“同切点”的充要条件是“t 是数列x n中的项”.【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))(x0∈D)处的切线方程为：y-f(x0)=f (x0)(x-x0).8(2024·浙江绍兴·三模)若函数α(x)有且仅有一个极值点m，函数β(x)有且仅有一个极值点n，且m >n，则称α(x)与β(x)具有性质α-β⎳m>n．(1)函数φ1(x)=sin x-x2与φ2x =e x-x是否具有性质φ1-φ2⎳x0>0？并说明理由．(2)已知函数f x =ae x-ln x+1与g x =ln x+a-e x+1具有性质f-g⎳x1>x2．(i)求a的取值范围；(ii)证明：g x1>x2 ．【答案】(1)具有，理由见解析(2)(i)a∈0,1∪1,+∞；(ii)证明见解析【详解】(1)函数φ1(x)=sin x-x2与φ2x =e x-x具有性质φ1-φ2⎳x0>0，理由如下：φ1 (x)=cos x-2x，令h x =φ1 x =cos x-2x，则h x =-sin x-2<0，故φ1 x 单调递减，水不撩不知深浅又φ1 0 =cos0-0=1>0，φ1 1 =cos1-2<0，故存在x0∈0,1，使φ1 x0=0，则φ1x 在-∞,x0上单调递增，在x0,+∞上单调递减，故φ1(x)有且仅有一个极值点x0∈0,1，φ2 x =e x-1，则当x<0时，φ2 x <0，当x>0时，φ 2x >0，故φ2(x)在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故φ2(x)有且仅有一个极值点0，故函数φ1(x)=sin x-x2与φ2x =e x-x具有性质φ1-φ2⎳x0>0；(2)(i)f x =ae x-1x+1， 又x+1>0，故x>-1，当a≤0时，f x =ae x-1x+1<0，此时f x 没有极值点，故舍去，当a>0时， 令m x =f x =ae x-1x+1，则m x =ae x+1x+12>0恒成立，故f x 在-1,+∞上单调递增，g x =1x+a-e x，x+a>0，故x>-a，由a>0，令n x =g x =1x+a-e x，则n x =-1x+a2-e x<0恒成立，故g x 在-a,+∞上单调递减，当a∈0,1时，有f 0 =ae0-10+1=a-1<0，又x→+∞时，f x →+∞，故此时存在x1∈0,+∞，使f x 在-1,x1上单调递减，在x1,+∞上单调递增，则f x 有唯一极值点x1∈0,+∞，有g 0 =1a-e0=1a-1>0，又x→+∞时，g x →-∞，故此时存在x2∈0,+∞，使g x 在-a,x2上单调递增，在x2,+∞上单调递减，则g x 有唯一极值点x2∈0,+∞，即有f x1=ae x1-1x1+1=0，g x2=1x2+a-e x2=0，即e x1=1a x1+1，e x2=1x2+a，此时需满足x1>x2>0，则e x1>e x2，故有1a x1+1>1x2+a，即x2>ax1，即a<x2x1<1，故a∈0,1符合要求；当a∈1,+∞时，f 0 =ae0-10+1=a-1>0，又x→-1时，f x →-∞，故此时存在x1∈-1,0，使f x 在-1,x1上单调递减，在x1,+∞上单调递增，则f x 有唯一极值点x1∈-1,0，有g 0 =1a -e 0=1a-1<0，又x →-a 时，g x →+∞，故此时存在x 2∈-a ,0 ，使g x 在-a ,x 2 上单调递增，在x 2,+∞ 上单调递减，则g x 有唯一极值点x 2∈-a ,0 ，同理可得1a x 1+1>1x 2+a ，此时需满足0>x 1>x 2，即x 2>ax 1，则a >x 2x 1，由x 2x 1<1，a ∈1,+∞ ，故该不等式成立，故a ∈1,+∞ 符合要求；当a =1时，有f 0 =ae 0-10+1=a -1=0，g 0 =1a -e 0=1a-1=0，此时x 1=x 2=0，即f x 、g x 的极值点都为0，不符合要求，故舍去；综上，故a ∈0,1 ∪1,+∞ ；(ii )当a ∈0,1 时，有x 1>x 2>0，则e x 2=1x 2+a>e 0=1，故0<x 2+a <1，g x 在-a ,x 2 上单调递增，在x 2,+∞ 上单调递减，则g x 1 <g x 2 =ln x 2+a -e x 2+1=ln x 2+a -1x 2+a+1，令t =x 2+a ∈0,1 ，则g x 2 =ln t -1t +1，令μt =ln t -1t+1，t ∈0,1 则μ t =1t +1t2>0，故μt 在0,1 上单调递增，则g x 2 =ln t -1t +1<μ1 =ln1-11+1=0，故g x 1 >g x 2 ，要证g x 1 >x 2 ，只需证g x 1 +x 2<0，g x 1 +x 2<g x 2 +x 2=ln x 2+a -e x 2+1+x 2=ln 1ex 2-e x 2+1+x 2=1-e x 2<0，即当a ∈0,1 ，有g x 1 >x 2 ；当a ∈1,+∞ 时，有0>x 1>x 2，则e x 2=1x 2+a<e 0=1，即x 2+a >1，g x 在-a ,x 2 上单调递增，在x 2,+∞ 上单调递减，则g x 1 >g 0 =ln 0+a -e 0+1=ln a >0，即要证g x 1 >x 2 ，只需证g x 1 +x 2>0，g x 1 +x 2=ln x 1+a -e x 1+1+x 2>ln x 2+a -e x 1+1+x 2=ln1ex 2-e x 1+1+x 2=-x 2-e x 1+1+x 2=1-e x 1>1-e 0=0，即当a ∈1,+∞ ，有g x 1 >x 2 ；综上所述，g x 1 >x 2 .【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于分a ∈0,1 及a ∈1,+∞ 进行讨论，从而可得不同的a 的情况下不同的x 1、x 2的范围，结合放缩进行推导.②定义新概念一、解答题9(2024·江西·二模)随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φn.(1)试求φ1 +φ9 ，φ7 +φ21的值；(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示φp k(k∈N*)，并探究φpq与φp 和φq 的关系；(3)设数列a n的通项公式为a m=5m-32φ3m(m∈N*)，求该数列的前m项的和T m.【答案】(1)φ1 +φ9 =7，φ7 +φ21=18 (2)φp k=p-1p k-1，φpq=φp ⋅φq(3)T m=114+5m2-114⋅3m.【详解】(1)易得φ1 =1，不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则φ9 =6，不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则φ7 =6，不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则φ21=12，所以φ1 +φ9 =7，φ7 +φ21=18.(2)在不大于p k的正整数中，只有p的倍数不与p k互素，而p的倍数有p k-1个，因此φp k=p k-p k-1=p-1p k-1.由p，q是两个不同的素数，得φp =p-1，φq =q-1，在不超过pq-1的正整数中，p的倍数有q-1个，q的倍数有p-1个，于是φpq=pq-1-p-1-q-1=pq-p-q+1=p-1q-1，所以φpq=φp ⋅φq .(3)根据(2)得a m=5m-3×3m-1，所以T m=2×30+7×3+12×32+⋯+5m-3⋅3m-1，3T m=2×31+7×32+12×33+⋯+5m-3⋅3m，两式相减，得-2T m=2+5×3+5×32+⋯+5⋅3m-1-5m-3⋅3m，所以-2T m=151-3m-11-3-5m-3⋅3m+2，故T m=114+5m2-114⋅3m.10(2024·安徽合肥·三模)把满足任意x,y∈R总有f x+y+f x-y=2f x f y 的函数称为和弦型函数.(1)已知f x 为和弦型函数且f1 =54，求f0 ,f2 的值；(2)在(1)的条件下，定义数列：a n=2f n+1-f n n∈N+，求log2a13+log2a23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅log2a20243的值；(3)若g x 为和弦型函数且对任意非零实数t，总有g t >1．设有理数x1,x2满足x2 >x1 ，判断g x2与g x1的大小关系，并给出证明．【答案】(1)f0 =1；f2 =187(2)2047276(3)g x2>g x1，证明见解析【详解】(1)令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，可得f0 =1，令x=1,y=1，则f2 +f0 =2f1 f1 ，则f2 =187；(2)令x=n,y=1,n∈N+，则f n+1+f n-1=2f nf1 =52f n ，2f n+1-f n =22f n -f n-1，即a n=2a n-1，又a1=3，所以数列a n为以2为公比，3为首项的等比数列，即a n=3.2n-1，则log2a13+log2a23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅log2a20243=0+1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2023=0+2023×20242=2047276；(3)由题意得：函数f x 定义域为R，定义域关于原点对称，令x=0,y为任意实数，则f y +f-y=2f0 f y =2f y ，即f y =f-y，g x 是偶函数，x2 ,x1 为有理数，不妨设x1 =p1q1,x2 =p2q2，令N为x2,x1 ，分母的最小公倍数，且x1=aN,x2 =bN,a,b均为自然数，且a<b，设C n=gnN,g0 =1<g n-1N，则c0<c1，令x=nN,y=1N，则gn+1N+g n-1N>2g n N ，即C n+1+C n-1>2C n，C n+1>2C n-C n-1=C n+C n-C n-1>C n，故数列C n单调递增，则g x2>g x1，又g x 是偶函数，所以有g x2>g x1.【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令x1=aN,x2 =bN，将问题转化为判断C n=g nN的增减性.11(2024·黑龙江·三模)若函数y=f x 满足：对任意的实数s,t∈0,+∞，有f s+t>f s +f t 恒成立，则称函数y=f x 为“∑增函数”.(1)求证：函数y=cos x不是“∑增函数”；(2)若函数y=3x-1-x-a是“∑增函数”，求实数a的取值范围；(3)设g x =e x -ln x +1 -1，若曲线y =g x 在x =x 0处的切线方程为y =0，求x 0的值，并证明函数y =g x 是“∑增函数”.【答案】(1)证明见解析(2)a ≥13(3)x 0=0，证明见解析【详解】(1)取s =t =π3，则cos π3+π3 =-12,cos π3+cos π3=1，因为-12<1，故函数y =cos x 不是“∑增函数”.(2)因为函数y =3x -1-x -a 是“∑增函数”，故任意的s ,t ∈0,+∞ ，有3s +t -1-s +t -a >3s -1-s -a +3t -1-t -a 恒成立，即3s +t -1-3s -1-3t -1>-a 恒成立，所以133s -1 3t-1 >13-a 恒成立，又s ,t ∈0,+∞ ，故3s ,3t ∈1,+∞ ，则133s -1 3t -1 ∈0,+∞ ，则13-a ≤0，即a ≥13.(3)g x =e x -ln x +1 -1,g x =e x -1x +1，根据题意，得g x 0 =e x 0-1x 0+1=0，可得方程的一个解x 0=0，令μx =g x ，则μ x =e x +1(x +1)2>0，故g x 在0,+∞ 上是严格增函数，所以x 0=0是唯一解，又g 0 =0，此时在x 0,g x 0 处的切线方程即为y =0，故x 0=0；设w s =g s +t -g s -g t ，其中s >0,t >0，w s =g s +t -g s ，由y =g x 在0,+∞ 上是严格增函数以及s +t >s >0，得g s +t >g s ，即w s =g s +t -g s >0，所以w s =g s +t -g s -g t 在0,+∞ 上是严格增函数，因为s >0，则w s >w 0 =g t -g 0 -g t =0，故g s +t >g s +g t ，得证，所以函数y =g x 是“∑增函数”.【点睛】关键点点睛：本题时给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键是要理解函数的新定义，明确其含义，依此取判断解决问题.12(2024·河北唐山·二模)数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当n =n 0(n 0∈N )时命题成立；2．假设n =k (k ∈N ，且k ≥n 0)时命题成立，推导出在n =k +1时命题也成立．用模取余运算：a mod b =c 表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数=除数×商+余数，即a =b ×r +c ，整数r是商．如7=3×2+1，则7mod3=1；再如3=7×0+3，则3mod7=3．当a mod b=0时，则称b整除a．现从序号分别为a0，a1，a2，a3，⋯，a n的n+1个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m(m≥2)时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为f n+1,m=0表示当只有1个人时幸运．如f1,m者就是a0；f6,2=0表示当有6个人而m=3时幸运 =4表示当有6个人而m=2时幸运者是a4；f6,3者是a0．(1)求10mod3；(2)当n≥1时，f n+1,m，求f5,3；当n≥m时，解释上述递推关系式的mod n+1=f n,m+m实际意义；(3)由(2)推测当2k≤n+1<2k+1(k∈N)时，f n+1,2的结果，并用数学归纳法证明．【答案】(1)10mod3=1(2)f5,3=3，答案见解析(3)f n+1,2，证明见解析mod2k=2n+1【详解】(1)因为10=3×3+1，所以10mod3=1．(2)因为f6,3<5，mod6=0，且f5,3=f5,3+3所以f5,3=3．+3=6，故f5,3当n≥m时，递推关系式的实际意义：当从n+1个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为f n+1,m，而从n个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为f n,m．如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，当然还要重新排序，由于退出来的是a m-1，则原环的a m就成了新环的a0，也就是说原环的序号下标要比新环的大m，原环的a n就成了新环的a n-m．需要注意，新环序号a n-m后面一直到a n-1，如果下标加上m，就会超过n．如新环序号a n-m+1对应的是原环中的a0，⋯，新环序号a n-1对应的是原环中的a m-2．也就是说，得用新环的序号下标加上m再减去n+1，才能在原环中找到对应的序号，这就需要用模取余，即f n+1,mmod n+1．=f n,m+m(3)由题设可知f1,2=0，由(2)知：f2,2mod2=2mod2=0；=f1,2+2f3,2mod3=2mod3=2；=f2,2+2f4,2=f3,2mod4=4mod4=0；+2f5,2mod5=2mod4=2；=f4,2+2f6,2+2mod6=4mod6=4；=f5,2f7,2mod7=6mod7=6；=f6,2+2f8,2mod8=8mod8=0；=f7,2+2由此推测，当2k ≤n +1<2k +1(k ∈N )时，f n +1,2 =2n +1 mod2k ．下面用数学归纳法证明：1．当n +1=1=20时，f 1,2 =0=21mod20 ，推测成立；2．假设当n +1=2k +t (k ∈N ，t ∈N ，且0≤t <2k )时推测成立，即f 2k +t ,2 =22k +t mod2k =2t ．由(2)知f 2k +t +1,2 =f 2k +t ,2 +2 mod 2k +t +1 =2t +2 mod 2k +t +1 ．(ⅰ)当0≤t <2k -1时，f 2k +t +1,2 =2t +2=22k +t +1 mod2k ；(ⅱ)当t =2k -1时，f 2k +t +1,2 =0，此时2k +t +1=2k +1，即f 2k +1,2 =22k +1mod2k +1 ．故当n +1=2k +t +1时，推测成立．综上所述，当2k ≤n +1<2k +1(k ∈N )时，f n +1,2 =2n +1 mod2k ．推测成立.13(2024·河北沧州·模拟预测)对于函数f x 和g x ，设α∈x ∣f x =0 ,β∈x ∣g x =0 ，若存在α,β使得α-β ≤1，则称f x 和g x 互为“零点相邻函数”.设f x =ln a +x a ∈R ，g x =x x +1 ，且f x 和g x 互为“零点相邻函数”.(1)求a 的取值范围；(2)令h x =g x -f x (g x 为g x 的导函数)，分析h x 与g x 是否互为“零点相邻函数”；(3)若a =1,x >0，证明：f 1x-1g x<0.【答案】(1)0,3 (2)答案见解析(3)证明见解析【详解】(1)令f x =ln a +x =0，得x =1-a ，令g x =x x +1 =0，得x 1=-1,x 2=0，①1-a --1 ≤1，解得1≤a ≤3，②1-a -0 ≤1，解得0≤a ≤2，所以a 的取值范围为0,3 .(2)h x =2x +1-ln x +a (x >-a )，则h x =2-1x +a =2x +2a -1x +a，令h x =0，得x =12-a ，当-a <x <12-a 时，h x <0,h x 单调递减，当x >12-a 时，h x >0,h x 单调递增，所以h (x )min =h 12-a =2-2a -ln 12=2+ln2-2a ，又a ∈0,3 ，当a ∈0,1+ln22时，h (x )min >0,h x 无零点，所以h x 与g x 不互.为“零点相邻函数”；当a =1+ln22时，h (x )min =0，函数h x 的零点为x =12-a =-1+ln22∈-1,0 ，所以h x 与g x 互为“零点相邻函数”；当a ∈1+ln22,52时，h (x )min <0，又因为h 1 >0，所以此时在区间12-a ,1 ⊆-2,1 内存在零点，所以h x 与g x 互为“零点相邻函数”；当a ∈52,3时，h (x )min <0，又因为h -1 <0,h 1 >0，所以在区间-1,1 ⊆-2,1 内存在零点，所以h x 与g x 互为“零点相邻函数”.综上，当a ∈0,1+ln22时，h x 与g x 不互为“零点相邻函数”，当a ∈1+ln22,3时，h x 与g x 互为“零点相邻函数”.(3)当x >0,a =1时，f 1x-1g x<0⇔ln 1+1x -1x x +1<0，设t =1x ，则t >0，则ln 1+1x-1x x +1<0⇔ln 1+t -tt +1<0⇔1+t ln 1+t -t <0，设F t =1+t ln 1+t -t (t >0)，则F t =ln 1+t +2-21+t21+t，令p t =ln 1+t +2-21+t ,t >0，则p t =11+t-11+t=1-1+t1+t <0，所以p t 在0,+∞ 上单调递减，又p 0 =0，所以p t <0，即F t <0，所以F t 在0,+∞ 上单调递减，又F 0 =0，所以F t <0，得证.③定义新运算一、解答题14(2024·湖北·一模)我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形(如图1所示阴影部分)的面积A =∫baf (x )d x ,f (x )>0 -∫b af (x )d x ,f (x )<0，其中baf (x )d x =F (b )-F (a )，F(x )=f (x )．如果平面图形由两条曲线围成(如图2所示阴影部分)，曲线C 1可以表示为y =f 1x ，曲线C 2可以表示为y =f 2x ，那么阴影区域的面积A =∫baf 2x -f 1x d x ，其中∫baf 2(x )-f 1(x ) d x =∫baf 2(x )d x -∫baf 1(x )d x ．(1)如图，连续函数y =f x 在区间-3,-2 与2,3 的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间-2,0 与0,2 的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设F x =∫xf (t )dt ．求54F 2 -F 3 的值；(2)在曲线f x =x 2(x ≥0)上某一个点处作切线，便之与曲线和x 轴所围成的面积为112，求切线方程；(3)正项数列b n 是以公差为d (d 为常数，d >0)的等差数列，b 1=1，两条抛物线y =b n x 2+1b n，y =b n +1x 2+1b n +1n ∈N + 记它们交点的横坐标的绝对值为a n ，两条抛物线围成的封闭图形的面积为S n ，求证：S 1a 1+S 2a 2+⋯+S n a n <43．【答案】(1)π4(2)y =2x -1(3)证明见解析【详解】(1)由题意可知F 2 =2f t dt =π2，F 3 =3f t dt=π2-π8=38π，∴54F (2)-F (3)=54⋅π2-38π=π4.(2)设切点为 A x 0,x 20 ，C x 0,0 ，切线的斜率为y =2x 0，则切线方程为y -x 20=2x 0x -x 0 ，所以切线与轴的交点为B x 02,0，所以由题意可知围成的面积：S =x 0x 2d x-S △ABC =13x 30-12x 0⋅x 20=112⇒x 0=1,所以切点坐标为A 1,1 ，切线方程为y =2x -1.(3)联立y =b n x 2+1bny =b n +1x 2+1b n +1⇒a n =1b n b n +112，由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为S n =2a nb n x 2+1b n -b n +1x 2+1b n +1 d x=2-d x 2+d b n b n +1d x ,令f x =-d x 2+d b n b n +1，F x =f x ⇒F x =-d 3x 3+d xb n b n +1+C (C 为常数),∴a nf xd x =F a n -F 0 =-d 3a 3n +da n b n b n +1=2d 31b n b n +132，∴S n =4d 31b n b n +132，∴S n a n =4d 3⋅1b n b n +1=431b n -1b n +1，则S 1a 1+S 2a 2+⋯+S n a n =431b 1-1b 2+1b 2-1b 3+⋯+1b n -1b n +1 =431b 1-1b n +1<43.15(22-23高三下·上海闵行·阶段练习)设函数f x =x 2+ax +2a e x ，其中a 为常数．对于给定的一组有序实数(k ,m )，若对任意x 1、x 2∈R ，都有kx 1-f (x 1)+m ⋅kx 2-f (x 2)+m ≥0，则称(k ,m )为f (x )的“和谐数组”．(1)若a =0，判断数组(0,0)是否为f (x )的“和谐数组”，并说明理由；(2)若a =42，求函数f (x )的极值点；(3)证明：若(k ,m )为f (x )的“和谐数组”，则对任意x ∈R ，都有kx -f (x )+m ≤0．【答案】(1)是f (x )的“和谐数组”，理由见解析；(2)x =-2-22为函数f x 的一个极大值点,x =-22为f x 的一个极小值点.(3)见解析【详解】(1)是f (x )的“和谐数组”,理由如下：当a =0时,f x =x 2e x .根据幂函数、指数函数的性质,对任意x ∈R ,都有f x =x 2e x ≥0.对任意x 1、x 2∈R ,代入k =m =0,得:kx 1-f x 1 +m ⋅kx 2-f x 2 +m =f x 1 ⋅f x 2 ≥0. ∴0,0 是f x 的“和谐数组”.(2)当a =42,f x =x 2+42x +8 e x ,∴f x =x 2+2+42 x +8+42 e x =x +22 x +2+22 e x 于是可列表如下:x -∞,-2-22 -2-22-2-22,-22 -22-22,+∞f x +0-0+f x↗极大值↘极小值↗。

高考数学复习压轴题归类解析 第06讲妙用洛必达法则【典型例题典型例题】】 例1．已知()(1)f x x lnx =+． （1）求()f x 的单调区间；（2）若对任意1x …，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()1f x lnx x′=++，令1()1(0)g x lnx x x=++>，则22111()x g x xx x−′=−= 所以当01x <<时，()0g x ′<；当1x >时，()0g x ′>，所以()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以0x >时，()g x g >（1）20=>， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间．（2）对任意1x …，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立等价于对任意1x …，1(0lnx a x x−−…恒成立．当1x =，a R ∈对任意1x >，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立等价于对任意1x >，21xlnx a x −…恒成立．记2()(1)1xlnx m x x x =>−，则22222222222212(1)(1)(1)21(1)11()(1)(1)(1)lnx lnx x x lnx x x lnx x x m x x x x −−+−−−−+++′===−−−，记22()1(1)1t x lnx x x =−−>+， 则22222222222414(1)(1)()0(1)(1)(1)x x x x t x x x x x x x −+−′=−==−<+++，所以()t x 在(1,)+∞单调递减，又t （1）0=， 所以，1x >时，()0t x <，即()0m x ′<， 所以()m x 在(1,)+∞单调递减．所以1122110111()(1)lim lim ()||111(1)2maxx x x x xlnxxlnx xlnx x lnx x m x m x x x x ′==→→−+−+<=====−−++， 综上所述，a 的取值范围是1[,)2+∞．例2．设函数2()(1)()f x ln x a x x =++−，其中a R ∈．（1）1a =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （3）若0x ∀>，()0f x …成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（1）当1a =时，切点为(1,2)ln ，则1()211f x x x ′=+−+，所以3(1)2f ′=， 切线方程为32(1)2y ln x −=−，即322230x y ln −+−=， 所以切线方程为：322230x y ln −+−=；（2）由题意可知，函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，则2121()(21)11ax ax a f x a x x x +−+′=+−=++，令2()21g x ax ax a =+−+，(1,)x ∈−+∞， ①当0a =时，()0f x ′>，函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增，无极值点， ②当0a >时，△(98)a a =−，当809a <…时，△0…，()0g x …，()0f x ′…， 所以()f x 在(1,)−+∞上单调递增，无极值点，当89a >时，△0>，设方程2210ax ax a +−+=的两个根，1x ，2x ，且1x =，2x =，此时12x x <，因为1212x x +=−，114x <−，214x >−，(1)10g −=>，所以1114x −<<−， 因为1(1,)x x ∈−，2(x ，)+∞时，()0g x >，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，1(x x ∈，2)x 时，()0g x <，()0f x ′<，函数()f x 单调递减，所以函数有两个极值点，当0a <时，△0>，设方程2210ax ax a +−+=的两个根，1x ，2x ，且1x =，2x =，此时12x x >，因为(1)10g −=>，所以21x <−，所以，1(1,)x x ∈−时，()0g x >，()0f x ′>，函数()f x 单调递增， 当2(x x ∈，)+∞时，()0g x <，()0f x ′<，函数()f x 单调递减， 所以函数有一个极值点，综上可知，当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a剟时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点；（3）当809a剟时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(0)0f =，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意， 当819a <…时，(0)0g >，得20x <， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为(0)0f =，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意， 当1a >时，由(0)0g <，得20x >， 所以2(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递减，因为(0)0f =，所以2(0,)x x ∈时，()0f x <时，不符合题意， 当0a <时，设()(1)h x x ln x =−+， 因为(0,)x ∈+∞时，1()1011x h x x x ′=−=>++，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增， 所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=，即(1)h x x +<， 可得22()()(1)f x x a x x ax a x <+−=+−，当11x a>−时，2(1)0ax a x +−<，此时()0f x <，不合题意， 综上，a 的取值范围为[0，1]． 例3．已知函数2()1x f x x mx e =−−+．（1）若函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线l 经过点(2,4)，求实数m 的值； （2）若关于x 的方程|()|f x mx =有唯一的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）()2x f x x m e ′=−−，∴在点(1，f （1）)处的切线l 的斜率k f ′=（1）2e m =−−，又f （1）2e m =−−，∴切线l 的方程为(2)(2)(1)y e m e m x −−−=−−−， 即:(2)l y e m x =−−，由l 经过点(2,4)， 可得42(2)e m m e =−−⇒=−．（2）证明：易知|(0)|000f m x ==×⇒=为方程的根， 由题只需说明当0x >和0x <时原方程均没有实数解即可．①当0x >时，若0m <，显然有0mx <，而|()|0f x …恒成立，此时方程显然无解， 若0m =，2()1()2x x f x x e f x x e ′=−+⇒=−，()2x f x e ′′=−，令()02f x x ln ′′>⇒<，故()f x ′在(0,2)ln 单调递增，在(2,)ln +∞单调递减， 故()(2)2220()f x f ln ln f x ′′<=−<⇒在(0,)+∞单调递减()(0)0f x f ⇒<=， 从而|()|0f x >，00mx x =×=，此时方程|()|f x mx =也无解．若0m >，由1|()|||xe f x mx m x m x x =⇒=+−−，记1()x e g x x m x x=+−−，则2(1)(1)()x x x e g x x −+−′=， 设()1x h x x e =+−，则()10x h x e ′=−<有(0,)+∞恒成立，()(0)0h x h ∴<=恒成立，故令()001()g x x g x ′>⇒<<⇒在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减()g x g ⇒…（1）20|()|2e m g x e m m =−−<⇒−+>…，可知原方程也无解，由上面的分析可知0x >时，m R ∀∈，方程|()|f x mx =均无解．②当0x <时，若0m >，显然有0mx <，而|()|0f x …恒成立，此时方程显然无解， 若0m =，和①中的分析同理可知此时方程|()|f x mx =也无解．若0m <，由1|()|||xe f x mx m x m x x =⇒−=+−−，记1()x e g x x m x x =+−−，则2(1)(1)()x x x e g x x −+−′=，由①中的分析知()10x h x x e =+−<，故()0g x ′>在(,0)−∞恒成立，从而()g x 在(,0)−∞上单调递增，当0x →时，200012()lim ()lim lim 11x xx x x x e x e g x g x m m m x−−−→→→+−−→=−=−=−−， 如果10m −−…，即1m −…，则|()|1g x m >+，要使方程无解，只需112m m m −+⇒−剠，即有102m −<…如果10m −−>，即1m <−，此时|()|[0g x ∈，)+∞，方程|()|m g x −=一定有解，不满足． 由上面的分析知0x <时，1[,)2m ∀∈−+∞，方程|()|f x mx =均无解，综合①②可知，当且仅当1[,)2m ∈−+∞时，方程|()|f x mx =有唯一解，m ∴的取值范围为1[,)2−+∞．【同步练习同步练习】】1．设函数2()1x f x e x ax =−−−， （1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）0a =时，()1x f x e x =−−，'()1x f x e =−．当(,0)x ∈−∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(,0)−∞单调减少，在(0,)+∞单调增加．（2）当0x =时，()0f x =，对于任意实数a ，()0f x ≥恒成立；当0x >时，()0f x ≥等价于21x e x a x−−≤， 令21()(0)x e x g x x x −−=>，则322()x x xe e x g x x −++′=， 令()22(0)x x h x xe e x x =−++>，则()1x x h x xe e ′=−+，()0x h x xe ′′=>， 所以()h x ′在(0,)+∞上为增函数，()(0)0h x h ′′>=，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，()(0)0h x h >=， 所以()0g x ′>，()g x 在(0,)+∞上为增函数．而0lim (1)0x x e x +→−−=，20lim ()0x x +→=，由洛必达法则知，2000111lim lim lim 222x x x x x x e x e e x x +++→→→−−−===，故21≤a ． 综上得a 的取值范围为1(,2−∞．2．设函数2()ln(1)()f x x a x x =++−，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 【解析】（1）2()ln(1)()f x x a x x =++−，定义域为(1,)−+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x −++++−′=+−==+++， 当0a =时，1()01f x x ′=>+，函数()f x 在(1,)−+∞为增函数，无极值点． 设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++−−=∆=−−=−，当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．若(98)0a a ∆=−≤，即809a <≤时，()0g x ≥，()0f x ′≥函数在(1,)−+∞为增函数，无极值点．若(98)0a a ∆=−>，即89a >或0a <，而当0a <时(1)0g −≥此时方程()0g x =在(1,)−+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点；当89a >时方程()0g x =在(1,)−+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时，()f x 的极值点个数为2．（2）函数2()ln(1)()f x x a x x =++−，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++−≥恒成立，设()2ln 1()x h x x x−+=−，则2222221(21)ln(1)()(21)ln(1)(21)(1)1()()()x x x x x x x x x x x h x x x x x −−−++ −−+−+−+ +′==−−， 设2()ln(1)(21)(1)x x x x x x ϕ−=−++−+，则222()(41)()(21)(1)x x x x x x ϕ−+′=−+，所以1(0,)2x ∈和1(,1)2x ∈时，()0x ϕ′<，所以()x ϕ在对应区间递减，(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ′>，所以()x ϕ在对应区间递增，因为(0)0ϕ=，212lim 0(21)(1)x x x x x →+−−>−+，(1)ln 20ϕ=>， 所以(0,1)x ∈和(1,)x ∈+∞时，()0h x ′>，所以()h x 在(0,1)与(1,)+∞上递增． 当()0,1x ∈时，20x x −<，所以()2ln 1x a x x−+≤−，由()h x 的单调性得，()()()20001ln 111lim lim lim 121211x x x x x a x xx x x →→→−−+−+≤===−−−+； 当1x =时，()0f x =，恒成立； 当()1,x ∈+∞时，20x x −>，所以()2ln 1x a x x −+≥−，由()h x 的单调性得，所以()()()()221ln 1ln 111lim lim lim 021211x x x x x x a x x x xx x x →+∞→+∞→+∞−−+−+−+≥====−−−−+，综上，[]1,0∈a3．已知函数()x f x e =，()1g x bx =+，若()()f x g x ≥对于任意x R ∈恒成立，求b 的取值集合． 【解析】1x e bx ≥+恒成立，即1x e bx −≥． 当0x =时显然成立，即b R ∈．当0x >时，1x e b x −<，令1()x e F x x −=，则2(1)1()x e x F x x−+′=，令()(1)1x G x e x =−+， 则()0x G x xe ′=>，所以()G x 递增，所以()(0)0G x G >=，所以()F x ′在(0,)+∞上恒成立． 所以()F x 在(0,)+∞上递增，根据洛必达法则得，001lim lim 11x xx x e e x ++→→−==，所以1b ≤． 同理，当0x <时，1b ≥． 综上所述，b 的取值集合为{}1．4．设函数()ln(1)f x x =+，()()g x xf x ′=，0x ≥，其中()f x ′是()f x 的导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】已知()()f x ag x ≥恒成立，即ln(1)1axx x +≥+恒成立． 当0x =时，a 为任意实数，均有不等式恒成立． 当时0x >，不等式变形为(1)ln(1)x x a x++≤恒成立． 令(1)ln(1)()x x h x x ++=，则2ln(1)()x x h x x −+′=，再令()ln(1)x x x ϕ=−+，则()1xx x ϕ′=+．因为0x >，所以()0x ϕ′>，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增，从而有()(0)0x ϕϕ>=． 进而有()0h x ′>，所以()h x 在(0,)+∞上递增． 当0x +→时，有(1)ln(1)0x x ++→，0x →， 由洛必达法则得000(1)ln(1)ln(1)1lim ()limlim 11x x x x x x h x x +++→→→++++===，所以当0x +→时，()1h x →．所以(1)ln(1)x x a x++≤恒成立，则1a ≤． 综上，实数的取值范围为(,1]−∞．5．若不等式3sin x x ax >−对于0,2x π∈ 恒成立，求a 的取值范围．【解析】当0,2x π ∈时，原不等式等价于3sin x x a x −>．记3sin ()x x f x x −=，则43sin cos 2()x x x x f x x′−−=． 记()3sin cos 2g x x x x x =−−，则()2cos sin 2g x x x x ′=+−． 因为()cos sin cos (tan )g x x x x x x x ′′=−=−，()sin 0g x x x ′′′=−<，所以()g x ′′在0,2π上单调递减，且()0g x ′′<，所以()g x ′在0,2π上单调递减，且()0g x ′<．因此()g x 在0,2π上单调递减， 且()0g x <，故4()()0g x f x x ′=<，因此3sin ()x x f x x −=在0,2π上单调递减．由洛必达法则有320000sin 1cos sin cos 1lim ()limlim lim lim 3666x x x x x x x x x x f x x x x →→→→→−−===== 即当0x →时，1()6g x →，即有1()6f x <． 故16a ≥时，不等式3sin x x ax >−对于0,2x π ∈恒成立．。

2018 年数学全国1 卷 已知函数 f ( x) 1 x a ln x ．x（ 1）讨论 f (x) 的单调性；f x 1 f x 2 a 2 ．（ 2）若 f (x) 存在两个极值点 x 1 , x 2 ，证明：x 1 x 2解 :（1） f ( x) 的定义域为 (0, ) ， f ( x )1 a x 2ax 1 x 2 1 x 2.x （ i ）若 a 2 ，则 f ( x) 0 ，当且仅当 a 2， x 1 时 f ( x) 0 ，所以 f (x) 在(0, ) 单调递减 .（ ii ）若 a 2 ，令 f( x)0 得， x a a 24或 x aa 24 .22当 xaa 24 aa 24, ) 时， f ( x) 0；(0, 2 ) U (2当aa 24 aa 24时 ， f (x ) . 所 以 f( x) 在 x (2 ,2 )(0, aa 24),( aa 24 ,) 单调递减，在 ( aa 24 , a a 24)单调递22 2 2 增 .（ 2）由（ 1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当a 2.由于 f ( x) 的两个极值点 x 1 , x 2 满足x 2 ax 1 0，所以 x 1x 2 1 ，不妨设 x 1 x 2 ，则 x 2 1 .由于f ( x 1 ) f ( x 2 ) 1 ln x 1 lnx 2 ln x 1 ln x 22ln x 2 ，x 1 x 2 x 1x 2 1 a x 1 x 2 2 a x 1 x 2 2 a 1 x 2 x 2所以f ( x1 )f( x 2 )a 2等价于x 2 2ln x 2 0 .1x1x2x2设函数 g ( x) 1 ) 单调递减，又 g(1) 0，从x 2ln x ，由（ 1）知， g ( x) 在 (0,x而当 x (1, ) 时， g( x) 0.所以1x22ln x20，即 f ( x1 )f(x2 ) a 2 .x2x1x2 2017 年数学全国 1 卷已知函数（f x) ae2x+(a﹣2) e x﹣ x.（1）讨论 f (x) 的单调性；（ 2）若 f ( x)有两个零点，求a 的取值范围 .（1） f ( x)的定义域为(, )， f (x) 2ae2 x(a 2)e x 1 (ae x1)(2e x1) ，（ⅰ）若a0，则f(x) 0 ，所以 f ( x) 在 (, )单调递减 .（ⅱ）若a0，则由f (x)0得 x ln a .当x ( , ln a) 时， f( x ) 0；当 x ( ln a, ) 时， f ( x) 0 ，所以 f ( x) 在( , ln a) 单调递减，在(lna, )单调递增 .（2）（ⅰ）若a0，由（ 1）知， f (x)至多有一个零点 .（ⅱ）若 a 0，由（ 1 ）知，当x ln a 时， f (x)取得最小值，最小值为f ( ln a)1ln a 1a.①当a1时，由于f ( ln a)0 ，故 f ( x)只有一个零点；②当a (1,11ln a 0lna)0 ，故 f (x)没有零点；a) 时，由于，即 f (11③当aln a，即 f (0. (0,1) 时， a ln a)又 f ( 2) ae 4(a 2)e 2 2 2e 220 ，故 f ( x) 在 (,ln a)有一个零点 .n ln( 3 1) n0n0n0n0设正整数n0满足0 a，则f (n0) e ( aea 2) n 0e n 0 2 n 0 0.ln( 31)ln a )有一个零lna, 点 .由于 a ，因此 f ( x) 在 (综上， a 的取值范围为(0,1)2016 年数学全国 1 卷已知函数 f ( x) (x 2)e x a( x 1)2有两个零点 . （ I ）求 a 的取值范围；（ II ）设 x 1， x 2 是 f ( x) 的两个零点，证明： x 1x 2 2 . 【答案】 (I)(0,) ；（ II ）见解析【解析】试题分析： (I) 求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类） ； (II)借助 (I) 的结论来证明，由单调性可知x 1 x 2 2 等价于 f (x 1) f (2 x 2 ) ，即 f (2 x 2 ) 0 ．设g( x) x e 2 x(x 2)e x，则 g '(x) ( x 1)(e 2 xe x ) ．则当 x 1时， g '(x)0，而 g(1) 0 ，故当 x 1 时， g ( x)0 ．从而 g ( x 2 ) f (2x 2 )0 ，故 x 1 x 2 2 ．'( ) ( 1)e x 2( 1) x 2 )．试题解析：（Ⅰ） ( 1)(e xx a x x af （ i ）设a0 ，则 f ( x) (x 2)e x， f (x) 只有一个零点．时 f (x) 0 ，所以 f (x) 不存在两个零点．若 ae1 ，故当 x (1,ln(2a)) 时， f '(x)0 ；当 x(ln( 2a), )，则ln( 2a) 2时， f '(x)0 ．因此 f ( x) 在(1,ln(2a)) 单调递减，在 (ln( 2a), ) 单调递增．又当 x 1时， f (x) 0，所以 f ( x) 不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0,) ．（Ⅱ） 不妨设 x 1 x 2 ，由（Ⅰ）知x 1( ,1), x 2 (1, ) ，2 x 2 (,1) ， f( x)在 ( ,1)单调递减，所以 x 1 x 2 2 等价于 f ( x 1) f (2 x 2 ) ，即 f(2x 2 ) 0 ． 由于f (2 x 2 ) x2 e 2 x 2 a( x 2 1)2 ，而 f (x 2 ) (x 2 2)e x2 a( x 2 1)2 0 ，所以f (2x 2 ) x2 e 2 x 2 ( x 22)e x2． 设 g (x) x e 2 x ( x 2)e x，则 g '(x) ( x 1)(e 2 xe x ) ． 所以当 x 1 时， g'(x) 0 ，而g(1) 0 ，故当 x 1 时，g( x) 0．从而 g(x 2 )f (2 x 2 ) 0 ，故 x 1 x 22 ． 2013 年数学全国 1 卷设函数 ＝ ， ＝ ，若曲线 和曲线 都过点P(0 ， 2) ，且在点 P 处有相同的切线 （Ⅰ）求， ， ， 的值；（Ⅱ）当 ≥－2时， ≤ ，求 的取值范围。

2023高考数学压轴题解析2023高考数学压轴题解析近年来，随着互联网的发展和智能化技术的提升，高考数学的难度越来越高，给广大考生带来了极大的挑战。

今天，小编将为大家解析2023年高考数学压轴题目，希望对广大考生有所帮助。

第一部分：题目解析本次考试的数学压轴题目为：设函数$f(x)=2^{x^2}+\frac{3}{2}^x+1$，则$f(x)$的定义域是（）。

A、$R$B、$[1,+\infty)$C、$(0,+\infty)$D、$[0,+\infty)$解析：首先要分析$f(x)$的定义，只有在$x$满足一定条件时$f(x)$才能有意义。

我们发现，在函数$f(x)$中，存在指数函数的形式，因此需要对指数函数的定义进行分析。

当底数为2时，指数必须为实数集才能有意义，即$2^{x^2}$的定义域为$R$。

而底数为$\frac{3}{2}$时，指数同样需为实数集才能有意义，即$\frac{3}{2}^x$的定义域为$R$。

又因为两个实数相加仍然是实数，所以整个函数$f(x)$的定义域为实数集$R$，即答案为A。

第二部分：解题思路从上面的解析过程可以看出，需要对指数函数的定义进行分析，从而得出函数的定义域。

在考试中，经常会遇到这种需要分析函数定义域的问题，因此考生需要充分掌握该类题型的解题方法。

在解答此类题型时，一般需要分情况讨论底数的正负以及指数的奇偶性，在这个基础上确定函数的定义域。

当底数为正数时，指数的奇偶性对函数的定义域会产生影响；而当底数为负数时，则需要满足指数为整数才能有意义。

同时，在解答此类题型时，考生要注意函数的简化问题，有些函数可以进行简化，从而简化解题过程，提高解题效率。

第三部分：解题技巧解题技巧是考生在考试中必不可少的一部分。

在解答数学题时，需要考虑的问题有很多，如做题步骤、解题思路等等。

下面，小编为大家总结了解题技巧。

1、审题要精准。

在考试中，考生需仔细理解题目，准确把握题目所给条件，并确定解题思路，避免偏离方向。

2019上海高考压轴卷数学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A. 3B. 3C. 23D. 3【答案】D【解析】【分析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ，①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a =-- ，②,联立①②可解得. 【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ．【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】 “a＞1”⇒“11a ＜”，“11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a ＞1”⇒“11a ＜”， “11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.已知三棱锥S ABC -，ABC △是直角三角形，其斜边8AB =，SC ⊥平面ABC ,6SC =,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. 100πB. 68πC. 72πD. 64π 【答案】A【解析】如图所示，直角三角形ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点D ，过D 作面ABC 的垂线，球心O 在该垂线上，过O 作球的弦SC 的垂线，垂足为E ，则E 为SC 的中点，球半径R OS =114,3,522CD AB SE SC R ====∴=，棱锥的外接球的表面积为24100R ππ=，故选A. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4.定义：若整数m 满足：1122m x m -<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1；③函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2k x k Z =∈对称. 其中所有的正确命题的序号为（）A. ①③B. ②③C. ①②④D. ①②③【答案】B【解析】【分析】①中,根据题意易得11(){}(,]22f x x x =-∈-,故①错误; ②中,由(1)()f x f x +=可知小正周期为1，故②正确, ③中，()f x 在11(,]22-和13(,)22上是增函数, 故命题③正确, ④中,()()f k x f x -≠, 故命题④错误. 【详解】∵①中，显然(){}f x x x =- 的定义域为R,由题意知，11{}{}22x x x -<≤+，则得到(){}f x x x =-11(,]22∈-，故①错误； ②中，由题意知:(1)(1){1}1{}1f x x x x x +=+-+=+--={}()x x f x -=,所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于11{}{}22x x x -<≤+,则得(){}f x x x =-为分段函数，且在1113,,,2222⎛⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，()(){}(){}()f k x k x k x x x f x -=---=---=-()f x ≠所以函数y =f （x ）的图象关于直线x =2k （k ∈Z ）不对称，故命题④错误； 由此可选择②③，故选B .【点睛】本题考查了函数的值域,周期性,对称轴,属难题.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若42021xx =，则x =___ 【答案】1【解析】4221xx =422022,1x x x x -⋅=∴==6.已知双曲线22121x y m m -=++m = ______. 【答案】2或5-【解析】 双曲线22121x y m m -=++，当焦点在x 轴时，a 2=m+2，b 2=m+1，可得c 2=a 2+b 2=3+2m ，双曲线22121x y m m -=++的离心率为2，所以327224m m m +=∴=+ 当焦点在y 轴时，a 2=-m-1，b 2=-m-2，可得c 2=a 2+b 2=-3-2m ，所以327514m m m --=∴=--- 故答案为2或-5． 点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，所以讨论两种情况，要抓住双曲线方程的特征得出22,a b ，2c 即可得解7.62(x -的展开式中常数项为______ ．【答案】60【解析】【分析】先求出展开式的通项公式,再令x 的指数为0,解出r ,进而可求出常数项.【详解】62(x 的展开式中的通项公式：366621662()((1)2r r r r r r r r T C C x x ---+==-. 令32r -6=0，解得r =4．∴62(x的展开式中常数项为:4246(1)2C -⨯=60． 故答案为60．【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.8.函数2()42x x f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．【答案】-4【解析】分析】 换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值. 【详解】2()(2)42x x f x =-⋅ ,令2x t =, 因为12x -≤≤ ,所以1[,4]2t ∈,则224(2)4y t t t =-=--, y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增， 所以当t =2时函数取得最小值-4．故答案为-4．【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.9.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z|==．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭复数为a bi -．【10.若数列{a n }满足a 11=152，11n a +-1na =5（n ∈N *），则a 1=______ ． 【答案】12【解析】【分析】 根据111n na a +-5=,可得1{}n a 是以5为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得. 【详解】因为111n na a +-5=,所以1{}n a 是以5为公差的等差数列, 所以1115(1)n n a a =+-, 所以111115(111)a a =+-, 所以111115052502a a =-=-=, 所以112a =. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,属基础题.11.已知()()()()2211a a x a x f x log x x ⎧+-⎪=⎨≥⎪⎩，＜，是R 上的增函数，则a 的取值范围是______ ． 【答案】[2，+∞）【解析】【分析】因为分段函数为R 上的增函数,所以分段函数在两段上也是增函数,且1x < 时的函数值恒小于等于1x ≥ 时的函数值.【详解】首先，y =log a x 在区间[1，+∞）上是增函数且函数(2)2y a x a =+-在区间（-∞，1）上也是增函数∴a ＞1 ①其次在x =1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a +2）-2a ≤log a 1⇒a ≥2 ②联解（1）、（2）得a ≥2．故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属中档题.12.已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．【答案】【解析】【分析】因为经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积.【详解】∵圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，∴圆心坐标为M （1，1），半径r =3．∵P （2，2）是该圆内一点，∴经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦．∵|PM =∴由垂径定理，得|BD ．因此，四边形ABCD 的面积是S =12|AC |•|BD |=12．故答案 【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题.13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________． 【答案】23【解析】从袋中一次随机摸出2个球,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4的事件为 (1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，四种基本事件数，因此概率为4263=14.已知各项为正数的等比数列{}n a 中，2316a a =，则数列{}2log n a 的前四项和等于_____．【答案】8.【解析】各项为正的等比数列{a n }中，a 2a 3=16，可得a 1a 4=a 2a 3=16，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4=log 2（a 1a 2a 3a 4）=log 2256=8．故答案为：8．点睛：这个题目考查是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。

2023年高考数学模拟试卷 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A．1⎛ ⎝⎭ B．( C．1⎛ ⎝⎦ D． 2．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b+=-”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:4．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥” D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）A ．35B ．710C ．45D ．9106．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2e B ．4e CD7．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．{|10}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|10}x x -≤≤D ．{|101}x x x -≤≤=或8．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C、圆2C 上的动点，P为x 轴上的动点，则PN PM-的最大值是（ ）A ．254+B ．9C ．7D ．252+9．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．111．设点(,0)A t ，P 为曲线xy e =上动点，若点A ，P 间距离的最小值为6，则实数t 的值为（ ）A ．5B ．52C ．ln 222+ D ．ln 322+12．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。