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第四章 非稳态导热(5)14

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传热学第四章非稳态导热1125

传热学第四章非稳态导热1125

2 sin( n ) ( x, ) x a 2 cos( n ) exp( 2 n ) 0 n 1 n sin n cos n
Fo a 2
傅里叶准则
2 2 单位时间通过 面积厚为的导热量 2 Fo a 3 c 单位时间体积为 3的内能变化
(b) (c)
边界条件（3）代入(b) 得

将 右端整理成：
y h
tg ( )
h


h 1


Bi

注意，这里Bi数的尺度为 平板厚度的一半。 显然，β是两曲线交点 对应的所有值。式(c) 称为特征方程。 β称 为特征值。分别为β1、 β2…… βn。
至此，我们获得了无穷个特解：
( x, ) 2 sin 1 x cos( 1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
( x, ) 2 sin 1 x F cos( 1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
以上两式的通解为：
C1e
于是
a 2
X C2 cos( x) C3 sin( x)
( x, ) e
a 2
[ A cos( x) B sin( x)]
( x, ) e
a 2
[ A cos( x) B sin( x)]
（ a）
此处Bn为离散面(特征值)
2 n a
n n 若令 则上式可改写为：
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n

(20、21)第四章 4.3 非稳态导热

(20、21)第四章 4.3 非稳态导热

1主要内容本节介绍非稳态导热的分析解法，最后简要介绍导热问题的数值解法。

4.3 非稳态导热 4.3非稳态导热：温度场随时间变化的导热过程。

2非稳态导热非稳态导热的类型：（1）周期性非稳态导热：（2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。

在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工件的加热或冷却等。

讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。

了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。

本节主要内容：主要目的： 1.一维非稳态导热问题的分析解3第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。

（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介假设：厚度为δ、热导率λ、热扩散率a 为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t 0。

两侧流体温度突然降低为t ∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h 为常数。

考虑温度场的对称性，选取坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。

这是一维的非稳态导热问题。

41)数学模型：（对称性）引进无量纲过余温度、无量纲坐标，Fo 是无量纲特征数，称为傅里叶数称为毕渥数令过余温度5傅里叶数的物理意义：Fo 为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。

毕渥数的物理意义：Bi 为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。

由无量纲数学模型可知，Θ是Fo 、Bi 、X 三个无量纲参数的函数确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。

2）求解结果：6解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn 是下面超越方程的根根有无穷多个，是Bi 的函数。

无论Bi 取任何值，β1,β2,···，βn 都是正的递增数列，Θ的解是一个快速收敛的无穷级数。

2y 由解的函数形式可以看出，Θ确实是Fo 、Bi 、X 三个无量纲特征数的函数7（2）分析解的讨论1）傅里叶数Fo 对温度分布的影响分析解的计算结果表明，当Fo ≥0.2时，可近似取级数的第一项，对工程计算已足够精确，即因为，所以将上式左、右两边取对数，可得，m 为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。

传热学第四章

传热学第四章

第四章 非稳态导热
第一节 概 述
a)温度分布；b)两侧表面上导热量随时间的变化
图4-1
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
（1）温度场：【如图4-1a）所示】 ①首先，紧挨高温表面部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的温度t0，如图中曲线FBC所示； ②其次，随着时间的推移，温度变化波及的范围不断扩大， 以致在一定时间以后，右侧表面的温度也逐渐升高， 如图中曲线FC、FD所示； ③最后，达到一个新的稳态导热时，温度分布保持恒定， 如图中曲线FE所示。（λ为常数时，FE 为直线。）
t f ( x, y, z, )
dt （3）物体在非稳态导热过程中的温升速率： d
（4）某一时刻物体表面的热流量Φ(W) 或从某一时刻起经过一定时间后表面传递的总热量Q(J)。 要解决以上问题，必须首先求出： 物体在非稳态导热过程中的温度场。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
※求解非稳态导热过程中物体的温度场，通常可采用
第四章 非稳态导热
第一节 概 述 一、基本概念
非稳态导热即指温度场随时间而变化的导热过程 1、定义（P53）
t f ( x, y, z, )
※在自然界和工程中有许多非稳态导热问题。 例如，锅炉、蒸汽轮机和内燃机等动力机械在起动、停机和变 工况运行时的导热； 又如，在冶金、热处理和热加工等过程中，工件被加热或冷却 时的导热； 再有，大地和房屋等白天被太阳加热、夜晚被冷却时的导热。 ※由此可见，研究非稳态导热具有很大的实际意义。
l
—— 导热物体的某一尺寸，详见后述。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
1、毕渥数Bi （P55）
有时用引用尺寸l
e
l ——导热物体的某一尺寸

非稳态导热微分方程

非稳态导热微分方程

非稳态导热微分方程非稳态导热问题是研究物体内部或者在不同温度环境下的温度分布变化的数学模型。

其核心是通过非稳态导热微分方程来描述温度随时间和空间的变化规律。

本文将从导热微分方程的基本概念、一维问题和二维问题等方面进行论述。

一、非稳态导热微分方程的基本概念非稳态导热问题是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。

在一维情况下，我们可以将问题简化为描述物体内部温度分布随空间变化的微分方程。

非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度随空间和时间的变化，α是导热系数。

二、一维非稳态导热问题在一维情况下，我们考虑物体的温度分布只与空间变量x有关。

根据非稳态导热微分方程，我们可以通过分析边界条件和初始条件来求解问题。

具体的求解方法包括分离变量法、格林函数法等。

例如，我们考虑均匀杆的一维非稳态导热问题。

初始时刻杆上各点的温度分布u(x,0)已知，杆的两端分别与两个恒温热源接触。

边界条件可以表示为u(0,t)=T1和u(L,t)=T2，其中T1、T2为两个恒温热源的温度。

通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,t)。

三、二维非稳态导热问题在二维情况下，物体的温度分布与空间变量x和y都有关。

同样地，我们需要给定边界条件和初始条件来求解问题。

二维非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)例如，我们考虑矩形板的二维非稳态导热问题。

初始时刻板上各点的温度分布u(x,y,0)已知，板的边界上的温度分布也已知。

通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,y,t)。

结论非稳态导热微分方程是研究温度随时间和空间的变化规律的重要数学模型。

通过分析边界条件和初始条件，可以求解一维和二维非稳态导热问题，并得到随时间变化的温度分布。

传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析

传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析

10
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热
❖ 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可 以通过数学分析的方法获得分析解
❖ 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热 过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和 过程
❖ 定性地、定量两个方面
11
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
问题描述： ❖ 厚为2δ、无内热源的常物性平壁 ❖ 初始时刻温度分布均匀，为t0 ❖ 某时刻突然投入到温度为t∞的高
conduction）：物体内任意位置的温度随时间持续升高 （加热过程）或连续下降（冷却过程） 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个 新的稳定温度场
6
4.1 概述
研究目的：
❖ ——确定非稳态过程中的温度场：在此基础上确定物体中
某个部位到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间 内可以达到的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。
8
4.1 概述
研究方法与过程：与稳态导热的完全相同 （1）简化假设给出物理模型 （2）给出数学模型（方程＋定解条件） （3）采用适当的数学方法求解 （4）分析讨论
9
4.1 概述
❖ 非稳态导热的控制方程：
τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
❖ t=f（x,y,z,t）
❖ 控制方程：偏微分方程，数学求解难度很大
❖ 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁中
心推进
16
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
17
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
❖ 当温度扰动刚刚传到平壁对称 面的那个时刻，称为穿透时间， 记作τc

第四章 非稳态导热(5)14

第四章 非稳态导热(5)14

④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
5
2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。 本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种：
一维非稳态导热问题：
无限大平壁 无限长圆柱体
一、概 述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。
其数学表达式为：t f (x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种：
（1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地 变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时 间不断的 升高或降低。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
大平壁非稳态导热分析
由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。
② 正常情况阶段。
当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达
到新的平衡状态的这段时间。
4
B）大平壁两侧被加热过程
一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温
1.3 求解的目的和方法
1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个：
① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值；
② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率；
二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体
三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体

第四章 非稳态导热..




工程中：
机器启动、停机、变工况时部件的导热过程； 冶金、热加工、热处理工艺中工件的加热及冷却过程等； 石油工程中钻井、焖井、采油等过程中热量在地层内的扩散过程。

具有实际意义。
2
第三节
本节讨论:
非稳态导热
——基本概念和特点
——非稳态导热问题的求解及诺模图
——集总参数法
3
m (0, ) f1 ( Fo，Bi) 0
( x, ) ( x, ) m 0 m 0
意味着初始条件的影响已经消失， 这是正规状况阶段。
( x, ) x f 2 ( Bi， ) m (0, )

工程上常采用两种简化的计算方法：


诺模图方法——由海斯勒(Heisler)提出；
13
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
t 2t a 2 0 x , 0 x
初始条件： t | 0 t 0
0 x
边界条件： t | 0 （对称性） x 0
x
t |x h t |x t f x
物体内部各点在同一时刻的温度趋于一 致，温度场与空间位置无关，只是时间 的单值函数。
这样的物体称为集总热容系统。
工程中取Bi<0.1
25
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响
h Bi数的影响： Bi 1h

—出现在特征数中的几何尺度 —不同情况下，不同形状的物体特征长度是不同的。 Fo 数 、 Bi数称为特征数，习惯上又称准则数， 具有特定的物理意义。

第四章 非稳态导热


−l
l
l
∫l sin kπ x s= in nπ x 0 (k ≠ n)
−l
l
l
利用三角函数族是正交的，可求得f(x)展开为傅里叶级 数表达式中的展开系数为：
任意时刻平壁温度分布在壁面处的变
化率为：
- ∂t
= t x=δ − t∞
∂x x=δ
λh
- ∂t
= t x=δ − t∞
∂x x=δ
λh
∴ x' =λ =δ
h Bi
点O’距离壁面的距离为λ/h或δ/Bi
任何时刻，壁表面温度分布的切线都通过坐标
为(δ +λ/h，t∞)或(δ +δ/Bi，t∞)的O’点——第三类边
物体处于恒温介质中非稳态导热过程与物 体外表面的对流换热热阻和内部导热热阻有关。 表征这两个热阻比值的无量纲数称为毕渥数 （Biot number）。
δ
= Bi
物体内部导热热阻 =
物体表面对题 1分
初始温度为t0的平壁(厚度为2δ)浸没在温度为t∞的流体 中进行冷却，当Bi→0时，平壁中的温度分布为：
得： X ( x) ⋅ Γ' (τ ) = aΓ (τ ) ⋅ X '' ( x)
令：
1 Γ' = X '' = ±β 2
aΓ X
其中，β为待定常数，称为特征值。 偏微分方程转化为两个常微分方程为：
dΓ
dτ
β
2aΓ
=0
d2X dx2
β2X
=
0
（3） （4）
( ) 方程（3）的解为：Γ (τ=) C exp ±aβ 2τ
界条件的定向点。
4.2 有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法

非稳态导热分析解法课件

复杂边界条件和几何形状
非稳态导热问题常常涉及到复杂的边界条件和几何形状，给分析带来很大挑战。未来发展需要研究更高效的数值方法 ，以处理更复杂的导热问题。
多物理场耦合
许多实际导热问题涉及到多物理场的耦合，如热-力、热-流体等。未来发展需要研究多物理场耦合的非稳态导热问题 ，以提高对复杂系统的理解和预测能力。
高效能材料和新能源技术
随着高效能材料和新能源技术的发展，非稳态导热问题将更加复杂和多样化。未来发展需要加强与相关 领域的交叉融合，以应对不断出现的新的挑战和机遇。
核能利用
在核能利用中，非稳态导热分析可用于研究反应堆的冷却系统、核废料的处理和存储等。 通过优化导热性能，可以提高核能系统的安全性和稳定性。
风能利用
在风能利用中，非稳态导热分析可用于研究风力发电机的散热性能和风能转换效率。通过 改进导热设计，可以提高风能发电的经济性和可靠性。
非稳态导热面临的挑战和未来发展方向
物理模拟实验
物理模拟实验是通过模拟实际系统的物理过程来研究其行为的方法。
在非稳态导热分析中，物理模拟实验通常采用加热棒、散热片等模拟导热过程，通 过测量温度场、热流密度等参数来研究非稳态导热规律。
物理模拟实验具有直观、可重复性高等优点，但实验条件和操作难度较高，且难以 模拟复杂实际系统的非稳态导热过程。
有限体积法
有限体积法是一种将连续的求解域离散化为 有限个小的体积，通过求解每个体积的近似 解来逼近原问题的数值解法。
有限体积法的基本思想是将导热问题分解为 若干个小的体积，每个体积具有简单的几何 形状和边界条件，然后通过求解每个体积的 近似解来逼近原问题的解。这种方法在处理 复杂的几何形状和边界条件时具有较高的精
度和可靠性。
CHAPTER

传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热

Lctptw
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
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t
t a 大 大 。 a 以上二方面合起来，表示成 导温系数， c
2）通过重直于热流方向各截面的热流 量不相等，且随时间变化，即 , 1 a b ....... 2 。 当非稳态导热过程结束，达到新的 稳态导热过程时，物体的内部温度 分布不再发生变化时，通过重直于 热流方向各截面的热流量才相等。 3）过程可划分为二个阶段： ① 不规则情况阶段（初始阶段）； 大平壁非稳态导热分析 由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。 ② 正常情况阶段。 当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达 到新的平衡状态的这段时间。
12
Q f ( Bi, Fo) f ( Bi, Bi2 Fo)， Q0
2
其中，Q0 2c0
Q 同理，以 Bi Fo 为横坐标（对数坐标）， 为纵坐标， Bi 为参量，绘出如下线算图。 Q0
Q0 是平壁从初始温度 t 0 变为周围流体温度 t 加热所吸收（冷却所放出）的热量。
2.1 无限大平壁的分析解和诺谟图 对于无限大平壁、无限长圆柱体的非稳态导热 的分析解，即使是一维，表达式也很复杂。为工程 计算方便，把计算结果绘制成线图，称为诺谟图。 问题：如图所示，一厚为 2δ 的无限大平壁，无内热源， 物性参数等均为常量（常物性，与温度无关）； 初始温度均匀分布为 t0。现将它放入温度恒为 tf 的流体中进行冷却，对流传热系数为常量 h 。 要求确定，平壁内的温度分布表达式（温度场） 及所放出的热流量。
(3)
7
方程求解思路: 采用分离变量法进行求解。
2 式（1） a 2 x
中含有两个变量
, x ，可以将该式的解表示成为两个函数的乘
积，即： （x, ) ( x) T ( ) (4) 2 dT d X 将式（4）代人式（1），得： aT d dx2
5
2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。
本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种： 无限大平壁 一维非稳态导热问题： 无限长圆柱体 二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体 三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体
热处理钢板，从加热炉 中出来时温度为 840℃， 经过 20min 后钢板温度 降为多少？在这 20min 内钢板散去多少热量？ 在 20min 末了时的热流 密度是多少？
进行淬火处理的钢件， 在冷却油中经过多长时 间才能使钢件中心温度 由 800℃ 降 到 320℃ 下 。
1
作业 思考4-3 习题 4-2（142.6,557.2）
1
2
3
4

( x, ) e 0 1 sin 1 cos 1
其中 是与 Bi 有关的量，令
x 2 sin 1 cos(1 )
12
a

2
2
2
3 2
5 2
7 2
(10) 参数Fo叫傅里叶准则或傅里叶数
a
( x, ) x x f ( Bi ， Fo ， ) 式（10）可以表示成： ( x, )是Bi 、Fo 、 的函数， 0
右图(b)中阴影部分面积的大小表 示平壁在非稳态导热过程中所获得的 热量，它是以内能的形式贮存平壁内。
大平壁非稳出以下三个特点 1）过程中物体内各点温度随时间变化，即 t f ( x, )， 0 t 影响温度变化 快慢的因素主要有二个： ① 物体的导热系数的大小。 大 导热快 各点温度变化就快； ② 材料的比热容量 c 值，c 小温度变化快。
无限大平壁突然被加热
② 正常情况阶段。 当两侧表面导入的热量到达中心表面之后，使中心对称面温度不断升高，直 到中心对称面的温度达到热流体的温度，即达到新的平衡状态的这段时间。 1.3 求解的目的和方法 1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个： ① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值； ② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率； ④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
4
B）大平壁两侧被加热过程 一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温 度分布、表面温度和中心温度的变化、表 面热流量的变化如图所示。
同样，过程可划分为二个阶段：
① 不规则情况阶段（初始阶段）； 由两侧表面开始导入的热量到达中心对称面 之前的一段时间。
所需要的时间
得非稳态导热过程中大平壁内任意时刻任意一点的温度分布。
o
m
后，利用
m ，就可以求 0 m o

。
已知平壁内的温度分布，计算平壁加热所吸收（冷却所放出）的热量Q 在0～τ时间内每平方米平壁加热所吸收（冷却所放出）的热量等于平壁焓的变化。
Q＝ c(t t0 )dx c( 0 )dx
(0, ) m 以 Fo 为横坐标， 为纵坐标（对数坐标）， 为参量，绘制出如下线算图。 o Bi
(0, ) m f ( Bi，Fo) 1 o
10
1 sin 1 cos 1 x x / e cos(1 ) f ( Bi, ) 2 sin 1 1 x 同理，以 为横坐标（对数坐标）， 为纵坐标， 为参量，绘制出如下线算图。 m Bi
（1）对无限大平板问题的分析是以平板被加热的情况为例的，上述结果对物体被冷 却的情况同样适用； （2）从无限大平板问题的数学描述式可以看出，分析解也适用于一侧绝热、另一侧 为第三类边界条件的厚为δ 的平板情形； （3） 当固体表面与流体间的表面传热系数趋于无穷大时，固体的表面温度就趋近于流 体温度，因而 Bi 时的上述分析解就是物体表面温度发生突然变化然后保 持不变时的解， 即第一类边界条件的解。
2 n
2 sin n cos( n
x
a
2
(9)
或毕渥数 Bi 设：y1 tan ，y2 有无穷多个解：1 , 2 , 3 ,......... .. n
实际计算表明：当
a
tan
Bi

，其中Bi
h
， 参数Bi叫毕渥准则
y2 Bi
o

0 .2 时， 2 该无穷级数为收敛级数，从第二项起可以忽略不 计，仅取第一项即可满足精度要求，即解为：
1 dT 1 d 2 X 将函数与变量合并，得： aT d X dx2
(5)
该式成立的条件就是两边都等于某一常数，令该常数 为 2， 则式（5）改写为：
1 dT 1 d2X 2 aT d X dx2
dT 1 dT 2 aT 0 2 d aT d
14
Bi、Fo数的物理意义和对温度分布的影响
a 式中，分子具有时间量纲；分母也具有时间量纲，因此，将Fo看作是
非稳态导热过程的无量纲时间。这就是Fo准则的物理意义。
傅里叶准则： Fo
a

2

2
Fo值越大，即加热或冷却时间越长，物体内各点温度越趋近于周围流体的温度。
同样长的时间，分母越小的物体，其内部各点温度越快趋近于周围流体的温度。
(6) (7)
d2X 1 d2X 2 2 X 0 2 2 dx X dx
(8)
8
) ( x, ) e 解得偏微分方程式（1）的特解为： 0 n 1 n sin n cos n 这是一个无穷级数，式中 n 是解方程（1）过程中 y1 tan y 出现的特征方程的根，即：
6
求解思路 物理模型：为第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，即 t f ( x, )。 2 2 2 2 q t t t t t t V 数学模型：由导热微分方程式 a( 2 2 2 ) a 2 x y z c x

(a)
定解条件：初始条件 0，t ( x, ) t 0 t x 0 ， 0， x x 0 边界条件 t x ， h t ( , ) t f x x
(b)
(c)


引入过余温度 ( x, ) t ( x, ) t f 以上各式改写为
2 a 2 微分方程： x
(1) (2)
0 （t0 t f ) 初始条件： （x,0）
( x, ) 0 x x 0 边界条件： h x x
9

2
＝Fo
这个函数中有三个变量，其解有无穷多组，但是如果给某一个变量定值后，函数就变 成两个变量的函数，再给一个变量定值就可以确定另一个变量与θ 的关系式，这样在 选x=0的中心截面，令其过余温度为 m (0，）则：
一个数据图中就可以画出无数条曲线，当需要的时候可以查得，这个过程图叫诺谟图。
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注
意
① 图4-4纵坐标为对数坐标，而图4-5和图4-6横坐标为对数坐标。三个图均为半 对数坐标系。 ② 图4-4中为直线关系，只在 Fo 0.2 时才是这样，即当过程进入正规状态阶段， 求解的无穷级数只取第一项（ n 1）即满足精确要求。因此，成简单的指数函数 关系，它们在半对数坐数上为线性关系。否则，第二项以后的余项不能舍去，结果 就不是简单的指数函数关系，线图就不是图4-4的形式。 当 Fo 0.2 时会是什么样？例如：取数据： a 1.489105 m2 s， 100mm,求 得 134 s ，相对时间很短，一般工程上都不会加热或冷却这样短的时间，由图 4-4可见，数据集中在左上角很小的范围内，在整个图上占的份额很小。 如果确实需要计算 Fo 0.2 时，可用式（4－13）计算，即无穷级数解多取几级。 上述分析解的应用范围可以作三点推广：