高考数学二轮复习：04 平面向量

三、填空题 20．(2021·全国乙卷)已知向量 a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则 λ＝________．
答案
3 5
解析 解法一：由题设知 a－λb＝(1－3λ，3－4λ).由(a－λb)⊥b，得(a－ λb)·b＝(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝15－25λ＝0，解得 λ＝35.
15．(2021·湖南岳阳第一次模拟)已知等边三角形 ABC 的边长为 4，O 为 三角形内一点，且O→A＋O→B＋2O→C＝0，则△AOB 的面积是( )
A．4 3 B．833 C．433 D．2 3
答案 D
解析 根据题意，设 AB 的中点为 D，连接 CD，则O→A＋O→B＝2O→D，又 O→A＋O→B＋2O→C＝0，则O→C＝－O→D，则 O 是 CD 的中点，又△ABC 是边长为 4 的等边三角形，则 CD⊥AB，AD＝2，CD＝2 3，则 OD＝ 3，则 S△AOB ＝12×4× 3＝2 3.故选 D.
14．(2021·福建三明期末)设非零向量 a，b 的夹角为 θ，若|b|＝2|a|，且 (a＋2b)⊥(3a－b)，则 θ 等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B 解析 ∵非零向量 a，b 的夹角为 θ，|b|＝2|a|，且(a＋2b)⊥(3a－b)，∴ (a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3a2＋5|a|·|2a|cos θ－8a2＝0，∴cos θ＝12， ∴θ＝60°.故选 B.
19．(2021·辽宁铁岭六校高三模拟)下列说法中错误的是( ) A．已知 a＝(1，2)，b＝(1，1)且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是－53，＋∞ B．向量 e1＝(2，－3)，e2＝12，－34不能作为平面内所有向量的一组基 底 C．非零向量 a，b，满足|a|>|b|且 a 与 b 同向，则 a>b D．非零向量 a 和 b，满足|a|＝|b|＝|a－b|，则 a 与 a＋b 的夹角为 30° 答案 AC

高考数学第二轮专题复习平面向量教案一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用〔在B类教材中〕.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法那么、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

第四讲平面向量[高考导航]1．平面向量的基本定理及基本运算，即向量的有关概念，加、减法的几何意义，线性表示以及坐标运算等．2．平面向量的数量积的基本运算及其应用，这也是历年高考命题的热点．3．向量的工具性作用，在三角函数、不等式、解析几何解答题中用来描述题目的条件和结论．考点一平面向量的概念与线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．1．(2019·泉州模拟)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若|a|>|b|，则a>bC．若a＝b，则a∥bD．若|a|＝0，则a＝0[解析]对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.[答案] C2．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→＝( ) A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →[解析] ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又∵D 为BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →，故选A.[答案] A3．(2019·河北三市联考)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2 [解析] ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎨⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn ＝－2.[答案] C4．(2019·泉州四校第二次联考)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1[解析] 由题图可设CG→＝xCE →(x >0)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB→.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.[答案] B5．(2019·河南郑州质检)已知P 为△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2PD →＋PC →＝(λ＋1)P A →＋PB →，且△PBA 与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为________．[解析] ∵D 为AB 的中点，∴2PD →＝P A →＋PB →， 又∵2PD →＋PC →＝(λ＋1)P A →＋PB →. ∴P A →＋PB →＋PC →＝(λ＋1)P A →＋PB→ ∴PC →＝λP A →，又△PBA 与△PBC 的面积相等， ∴P 为AC 的中点，∴λ＝－1. [答案] －16．(2019·江苏盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为________．[解析]因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.[答案] 33平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．考点二 平面向量的数量积1．平面向量的数量积有两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)． (2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.2．投影向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b|b |＝|a |cos θ(θ为向量a ，b 的夹角)．1．(2019·安徽黄山一模)已知|a |＝1，b ＝(－1,1)且a ⊥(a ＋b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.3π4[解析] 设向量a 与向量b 的夹角为θ，因为a ⊥(a ＋b )，所以a ·(a ＋b )＝0，即|a |2＋a ·b ＝1＋|a ||b |cos θ＝1＋2cos θ＝0，cos θ＝－22，θ＝3π4，故选D.[答案] D2．(2019·陕西西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD→在BA →方向上的投影是( ) A ．－3 5 B ．－322 C ．3 5 D.322[解析] 依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5,5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD →在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－35，选A.[答案] A3．(2019·河南平顶山一模)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，－6)，若向量c 满足c 与b 的夹角为120°，c ·(4a ＋b )＝5，则|c |＝( )A ．1 B. 5 C ．2 D ．25[解析] 依题意可得|a |＝5，|b |＝35，a ∥b .由c ·(4a ＋b )＝5，可得4a ·c ＋b ·c ＝5.由c 与b 的夹角为120°，可得c 与a 的夹角为60°，则有b ·c ＝|b ||c |cos120°＝|c |×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－352|c |，a ·c ＝|a ||c |cos60°＝|c |×5×12＝52|c |，所以4×52|c |－352|c |＝5，解得|c |＝25，故选D.[答案] D4．(2019·青岛二模)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3[解析] 因为A ，B 是圆x 2＋y 2＝4上的两个动点，且|AB →|＝2，所以|AB→|＝|OA →|＝|OB →|＝2，即△OAB 是等边三角形．点M 是线段AB 的中点，所以OM ⊥AB ，|OM→|＝ 3. 所以OC →·OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫53OA →－23OB →·OM →＝53OA →·OM →－23OB →·OM →＝53×2×3cos30°－23×2×3cos30°＝3.[答案] A5．(2019·武汉调研)已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，若t b －a 与a 垂直，则实数t ＝________.[解析] 由已知可得a ·b ＝1×2×22＝1.因为t b －a 与a 垂直，所以(t b －a )·a ＝0，得t a ·b －a 2＝0，即t －2＝0，故t ＝2.[答案] 26．(2019·太原二模)如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD＝2，∠BAD ＝π4，若AB→·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.[解析] 因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB→·DC →＝AB →·AD →. 因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD→|＝2 2. 故AD→·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝ (22)2＋22×2cos π4＝12.[答案] 12平面向量数量积的2种运算方法(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．考点三 平面向量的应用1．基本原理及公式(1)向量平行(共线)的充要条件 a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)向量的夹角公式： cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 (4)向量的模|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2或|AB |＝|AB →| ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法(1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．1．(2019·赣州五校协作体期中)已知向量a ＝(－3cos α，2)与向量b ＝(3，－4sin α)平行，则锐角α＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6[解析] ∵a ∥b ，∴(－3cos α)·(－4sin α)－6＝0，即sin2α＝1.∵α为锐角，∴0<2α<π，∴2α＝π2，α＝π4.[答案] C2．(2019·河北邯郸联考)已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部(不含边界)．若AP →＝xAB →＋yAD →，则实数对(x ，y )可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎝⎛⎭⎪⎫14，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，15 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫37，57 [解析] 点P 在△COD 的内部(不含边界)，且AP →＝xAB →＋yAD →，所以当点P 在OD 上时，x ＋y ＝1是最小值；当点P 在点C 处时，x ＋y ＝2是最大值．所以x ＋y 的取值范围为(1,2)，且x <y ，故选D.[答案] D3．(2019·贵阳一模)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB →－2BC→)·(3BC →＋4CA →)＝( ) A ．－132 B ．－112 C ．－6－32D ．－6＋32[解析] (AB→－2BC →)·(3BC →＋4CA →)＝3AB →·BC →－6BC →2＋4AB →·CA →－8BC→·CA →＝3|AB →|·|BC →|·cos120°－6|BC →|2＋4|AB →|·|CA →|cos120°－8|BC →|·|CA →|·cos120°＝3×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6×12＋4×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－8×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32－6－2＋4＝－112，故选B. [答案] B4．(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D ．3[解析] 如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)，令E (0，t )，t ∈[0，3]，∴AE →·BE →＝(－1，t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，t －32＝t 2－32t ＋32，∵t ∈[0，3]，∴当t ＝－－322×1＝34时，AE →·BE →取得最小值，(AE →·BE →)min ＝316－32×34＋32＝2116.故选A.[答案] A5．(2019·天津六校联考)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE→＝BC →，设向量AE →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________. [解析] 解法一：因为2BE→＝BC →， 所以E 为BC 中点．设正方形的边长为2，则|AE→|＝5， |BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.解法二：因为2BE →＝BC →， 所以E 为BC 中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (2,1)，所以AE →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.[答案] －10106．(2019·河南开封质检)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ的值为________．[解析] 如图，以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))．∵BQ →·CP →＝－32，∴(－1－λ，3(1－λ))·(2λ－1， －3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12. [答案] 12平面向量的应用技巧(1)平面向量的综合题常把角度与长度结合在一起考查，在解题时注意运用向量的运算法则，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化．(2)要注意数形结合，要掌握依据模、数量积设向量坐标的方法，模的问题往往可以从平方入手．(3)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0[解析] 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.故选B.[答案] B2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22 C. 5D ．2[解析] 分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)．∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，∴可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ.则AB→＝(0，－1)，AD →＝(－2,0)， AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ－2，25sin θ－1.又AP→＝λAB →＋μAD →， ∴λ＝－25sin θ＋1，μ＝－15cos θ＋1，∴λ＋μ＝2－25sin θ－15cos θ＝2－sin(θ＋φ)，其中tan φ＝12，∴(λ＋μ)max ＝3. [答案] A3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.[解析] 由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.[答案] 124．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE→·BF →的最小值为________． [解析] 设E (0，m )，F (0，n )， 又A (－1,0)，B (2,0)，∴AE→＝(1，m )，BF →＝(－2，n )． ∴AE→·BF →＝－2＋mn ， 又知|EF→|＝2，∴|m －n |＝2. ①当m ＝n ＋2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2＋2n －2＝(n ＋1)2－3.∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →取得最小值－3.②当m ＝n －2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2－2n －2＝(n －1)2－3.∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →取得最小值－3.综上可知，AE →·BF →的最小值为－3. [答案] －35．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．[解析] 解法一：如图，由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →， 所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB→·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →＝2DC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233， 所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而AE →＝λAC →－AB →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.[答案] 3111.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．专题强化训练(十)一、选择题1．(2019·福建漳州一中月考)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B.[答案] B2．(2019·山东日照期中)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |＝( )A.15B.17 C ．2 2D ．25[解析] 由已知得(a －b )2＝5，∴a ·b ＝0，∴(2a －b )2＝4a 2＋b 2＝8，|2a －b |＝22，故选C.[答案] C3．(2019·广东省六校联考)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB→＝4EC →，则ED →＝( ) A.56AB →－43AC → B.43AB →－56AC → C.56AB →＋43AC →D.43AB →＋56AC →[解析] 因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.[答案] A4．(2019·南昌测试)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π4，若a －λb 与b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－12 B.12 C ．－24D.24[解析] 因为a ·b ＝1×2×cos π4＝2，所以(a －λb )·b ＝2－λ·4＝0⇒λ＝24，故选D.[答案] D5．(2019·江南十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( )A ．x －2y ＋5＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋2y ＋5＝0D ．x －2y －5＝0[解析] 由投影的定义知－5＝OP →·OA →|OA →|＝x ＋2y 5，化简得x ＋2y＋5＝0，所以点P 的轨迹方程为x ＋2y ＋5＝0，故选C.[答案] C6．(2019·黄冈一模)在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (1,3)，O 为坐标原点，且OM →＝αOA →＋βOB →(α＋β＝1)，N (1,0)，则|MN →|的最小值为( )A.22B.322C.92D.32[解析] ∵OM→＝αOA →＋βOB →(α＋β＝1)，∴A ，B ，M 三点共线，∵A (－2,0)，B (1,3)，∴直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，∵N (1,0)，设点N到直线AB 的距离为d ，∴d ＝|1－0＋2|1＋1＝322，∴|MN →|的最小值为N 到直线AB 的距离322，故选B.[答案] B7．(2019·合肥调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则下列说法正确的是( )A ．a ·b ＝－2B ．(a ＋b )⊥(a －b )C ．a 与b 的夹角为π3D ．|a －b |＝7[解析] 解法一：因为|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝1－4＝－3，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，所以a ·b ＝－1.又a ·b ＝1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1，所以〈a ，b 〉＝2π3，故|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7，所以|a －b |＝7.故选D.解法二：因为|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝1－4＝－3，以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线与a 垂直，且a ，b 的夹角为2π3，所以a ·b ＝1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1，故|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.故选D.[答案] D8．(2019·湖南省五校联考)已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA→·OB →＝0，存在实数λ，μ满足OC →＋λOA →＋μOB→＝0，则实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1μ＝1 C ．λμ＝1D ．λ＋μ＝1[解析] 解法一：取特殊点，取C 点为优弧AB 的中点，此时易得λ＝μ＝22，只有A 符合．故选A.解法二：依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A.[答案] A9．(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12 C.34D.32[解析] ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ， ∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2. ∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12， ∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D. [答案] D10．(2019·山西四校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF→＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →[解析] 解法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG 、CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF→＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝⎛⎭⎪⎫23AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C.解法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →) ＝－23AB →＋13AD →. [答案] C11．(2019·东北三校联考)已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，N 是边BC 上的点，且BN →＝2NC →，O 为△ABC 的外心，则AN→·AO →的值为( ) A ．8 B ．10 C ．18D ．9[解析] 由于BN →＝2NC →，则AN →＝13AB →＋23AC →，取AB 的中点为E ，连接OE ，由于O 为△ABC 的外心，则EO→⊥AB →，∴AO →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋EO →·AB →＝12AB →2＝12×62＝18，同理可得AC→·AO →＝12AC →2＝12×32＝92，所以AN →·AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·AO →＝13AB →·AO →＋23AC →·AO →＝13×18＋23×92＝6＋3＝9，故选D.[答案] D12．(2019·南宁调研)如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 上的动点(与点C ，D 不重合)，CE→＝λCD →(0<λ<1)，过点E 作EF ⊥BE 交∠ADC 的外角平分线于点F ，若ED →·DF →≤316，则实数λ的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 [解析] 以C 为坐标原点，BC→，CD →的方向分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0,0)，B (－1,0)，D (0,1)，因为CE→＝λCD →，所以E (0，λ)．设点F 的横坐标为－t ，因为射线DF 为∠ADC 的外角平分线，所以F (－t ，t ＋1)．由EF ⊥BE ，得EF→·BE →＝0，即(－t ，t ＋1－λ)·(1，λ)＝0，得t ＝λ.所以ED →·DF →＝(0,1－λ)·(－λ，λ)＝λ－λ2≤316，解得λ≤14或λ≥34.又0<λ<1.所以0<λ≤14或34≤λ<1.故选B.[答案] B 二、填空题13．(2019·开封模拟)设点A (1,2)，B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到的向量A ′B ′→＝________.[解析] 因为A (1,2)，B (3,5)，所以AB →＝(2,3)，向量平移后向量的坐标不变，故A ′B ′→＝AB→＝(2,3)． [答案] (2,3)14．(2019·湖南长郡中学4月月考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．[解析] ∵(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝3e 21＋3λe 1·e 2－e 1·e 2－λe 22＝3－λ，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝2，|e 1＋λe 2|＝(e 1＋λe 2)2＝e 21＋2λe 1·e 2＋λ2e 22＝1＋λ2，∴3－λ＝2×1＋λ2×cos60°＝1＋λ2，解得λ＝33.[答案] 3315．(2019·郑州模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC→，则x 的取值范围是________．[解析] 依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有 AO →＝AB →＋BO →＝AB→＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →. 又AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 16．(2019·河北衡水二中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD→|的最小值为________．[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系．则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM→＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)，故MD→＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)，则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)，|MB→＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255.[答案] 255。

(一)选择题（12*5=60分）1.【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知平面向量a ()1,2=-，b()4,m =，且a b ⊥ ，则向量53a b -=( )A. (7,16)--B.(7,34)--C.(7,4)--D.(7,14)-2. 【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】已知点(6,2)A ，(1,14)B ，则与AB共线的单位向量为（ ）A ．125(,)1313-或125(,)1313- B ．512(,)1313- C ．512(,)1313-或512(,)1313- D ．512(,)1313-3. 【河南中原名校2013－2014学年上学期期中联考】已知向量a r＝（cosθ，sinθ），向量b r1）,则｜2a r －b r｜的最大值与最小值的和是（ ）A ．B ．6C ．4D ．16 【答案】C 【解析】因为|2|a b -===，故其最大值为416=，最小值为088=+-，它们的和为4，选C.4．【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学】 已知()211||1,22a ab a b=⋅=-= ，,则a 与b 的夹角等于（ ） A ．30°B.45°C. 60°D. 120°5．【山东省青岛市2014届高三上学期期中考试】向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos()2πα+=（ ）A.13 B. 13-C. 3-D. 3-6．【河北衡水中学2014届高三上学期期中考试】平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ）B. C.4D.127．【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学】在平面直角坐标系中，A ，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．【山东省青岛市2014届高三上学期期中考试】设a 、b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ）A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥9．【河北衡水中学2013～2014学年度上学期二调高三数学试卷】在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则⋅的值等于（ ）A ．0B ．49C ．4D ．49-10．【江西省2014届新课程高三第三次适应性测试】在等比数列{}n a 中，7a 是89,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：OAB ∆（O 为原点）中，(1,1)OA = ，(2,)OB q =，A∠为锐角，则公比q 等于（ ）A ．1B ．－1C ．－2D ．12-11．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学】已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++= ，则 OC AB ⋅的值为（ ）A. 15-B. 15C. 65-D.6512．【浙江省温州八校2014届高三上学期期初联考数学试题】ABC ∆的三个内角A 、B 、C成等差数列，()0BA BC AC +⋅=，则ABC ∆一定是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．非等边锐角三角形D ．钝角三角形（二） 填空题（4*5=20分）13．【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足→PC ＝2→BP ，则→AB ·→AP ＝ ．14．【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学】P 是ABC ∆所在平面上的一点，满足02=++PC PB PA ，若ABC ∆的面积为1，则ABP ∆的面积为__________.15．【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学】在平面四边形ABCD 中，点F E ,分别是边BC AD ,的中点，且2=AB ，1=EF ，3=CD ．若15=⋅BC AD ，则BDAC ⋅的值为____ ．16．【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____________.因2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=- 可求得1<24BC AD -≤⋅ .（三）解答题（10+5*12=70分）17. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||c =//c a ，求：c 的坐标（2）若||b = 2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角18. 【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题】 已知)),1(),-1,0(),1,-1(R m mOC OB OA ∈===（． （1）若C B A ,,三点共线，求实数m 的值；（2）证明：对任意实数m ，恒有 1CA CB ⋅≥成立所以恒有1CA CB ⋅≥.19．【山东省文登市2014届高三上学期期中统考】已知()2c o s ,2s i n a αα= ，()cos ,sin b ββ=，02αβπ<<<. （1）若a b ⊥，求2a b - 的值；（2）设()2,0c = ，若2a b c +=，求α、β的值.20．【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，0βαπ<<<.（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求α，β的值.21．【苏州市2014届高三暑假自主学习测试】已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．22.【2013---2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考】已知向量22,cos )m x x =+ ，(1,2cos )n x =，设函数n m x f ⋅=)(，x ∈R .（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期与最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中， c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为23，求a 的值.（四）附加题（15分）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上两点，直线AB 过焦点F ，交抛物线与,A B 两点（1） 求OA OB ⋅的值；（2） 过点,A B 分别作抛物线的切线，设两切线交点为P ，求FP AB ⋅ ；第11 页共11 页。