2020届湖南省长沙市第一中学高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)
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第 1 页 共 17 页 2020届湖南省长沙市第一中学高三上学期第三次月考数学（文）试题
一、单选题
1．设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是（ ）
A．A⊆B
B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1，2，3，4，5}
D．A∩（UCB）＝{1}
【答案】D
【解析】试题分析：因为1A但1B，所以A不对，因为2,3AB，所以B不对，因为1,2,3,4AB，所以C不对，经检验，D是正确的，故选D．
【考点】集合的运算．
2．已知复数z，则“34iz”是“5z”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分性和必要性定义，判断两边能否推出，即可求解.
【详解】
若复数34zi，则22345z，但满足5z不一定得到34zi
即“34iz”是“5z”的充分非必要条件
故选：A
【点睛】
判断充分必要条件的方法，当条件能推出结论时为充分性，当结论推出条件时为必要性，本题属于基础题.
3．实数数列21,,4,ab为等比数列，则a（ ）
A．-2 B．2 C．2 D．22
【答案】B
【解析】由等比数列的性质计算，注意项与项之间的关系即可． 第 2 页 共 17 页 【详解】
由题意2144a，2a，又a与2b同号，∴2a．
故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题时要注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号．
4．下图是证明勾股定理的一种方法所构造的图形，分别以直角三角形的三条边长构造正方形.若直角三角形中较小的锐角6，则在该图形区域内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A．383 B．38 C．3163 D．316
【答案】C
【解析】根据勾股定理，确定各边长的比值，设较小直角边为1，则另两边长为3和2，根据几何概型定义，黑色部分面积比整体面积，即是所求.
【详解】
由题意，直角三角形中较小的锐角6，设较小的直角边长为1，则另一直角边为3，斜边长为2，131322S黑，222331(3)2822S总
根据几何概型332()316382SPS黑总取自黑色
故选：C
【点睛】
本题考查几何概型，利用面积比求概率，属于基础题.
5．下列各函数中，最小值为2的是（ ）
A．1yxx B．1sin,0,sin2yxxx 第 3 页 共 17 页 C．2232xyx
D．1yxx
【答案】A
【解析】利用基本不等式的性质判断选项即可．
【详解】
对于A,12yxx，当且仅当x＝1取等号，故最小值为2，
对于B，当0,2x时，sinx>0,所以1sinsinyxx≥2，当且仅当sinx=1，即x＝2时取等号，而0,2x，等号不能取到，故取不到2；
对于C，y=222231222xxxx≥2，当且仅当x2+2＝1取等号，此时x无解，等号不能取到，故取不到2；
对于D,1yxx,当x>0时，12yxx，当x=1时取到2，当x<0时，12yxx，当x=-1时取到-2，故不成立；
故选A．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
6．已知cosα＝－45，且α∈（2，π），则tan（4－α）＝（ ）
A．－17 B．－7 C．17 D．7
【答案】D
【解析】试题分析：由cosα＝－45，且α∈（2，π），所以故选D.
【考点】1、正、余弦值的互化；2、两角差的正切值.
7．已知双曲线222:10yCxbb的离心率为2，则该双曲线左焦点到渐近线的距离为（ ） 第 4 页 共 17 页 A．3 B．23 C．2 D．22
【答案】A
【解析】根据双曲线方程基本量abc，，，利用离心率列出等式，求解基本量，再根据点到直线距离公式，即可求解.
【详解】
由题意，1a，2cea，22ca，则2223bca
则双曲线方程为22:13yCx，渐近线3yx，左焦点2,0，
则左焦点到渐近线的距离230331d
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线中基本量abc，，的求法，即点到直线距离，属于基础题.
8．如图所示，直线PA垂直于Oe所在的平面，ABCV内接于Oe，且AB为Oe的直径，点M为线段PB的中点，点Q是线段PC上异于端点的动点.现有结论：①BCPC；②//OM平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长；④异面直线BC与AQ所成的角为定值.其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③④ C．① D．②③
【答案】B
【解析】根据题意，判断垂直关系和平行关系，逐个分析，即可求解.
【详解】
对于①，PAQ平面ABC，PABC.ABQ为Oe的直径，BCAC.
BC平面PAC.又PC平面PAC，BCPC；
对于②，Q点M为线段PB的中点，//OMPA，
PAQ平面PAC，//OM平面PAC；
对于③，由①知BC⊥平面PAC， 第 5 页 共 17 页 线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，
对于④，BCAQ.
故①②③④都正确.
故选：B
【点睛】
本题考查由直径所对圆周角是直角，判断垂直关系，典型题，属于中等题型.
9．如图，AB为圆O的一条弦，且AB4，则·OAABuuuvuuuv
A．4 B．-4 C．8 D．-8
【答案】D
【解析】分析：设AB的中点为M，连接OM，运用圆的垂径定理，可得OM⊥AB，运用向量的数量积的定义和解直角三角形的知识，即可得到．
详解：设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB，
则·OAABuuuvuuuv=2AMuuuur•OAuuuv
=2|AMuuuur|•|OAuuuv|•cosOAB=-2×2•|AOuuur|•cosOAB
=-4|AMuuuur|=-8．
故选D．
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cosababvvvv；二是坐标公式1212abxxyyvv；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
10．已知点3,3Q，P是抛物线24yx上的动点，点P在直线1x上的射影为R，则PQPR+的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B 第 6 页 共 17 页 【解析】根据抛物线定义，转化PRPF，由两点间线段最短，即可求解.
【详解】
抛物线24yx的焦点坐标为1,0F，准线方程为1x，
且PRPF，则PQPR+的最小值为5QF，
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线定义，直观想象判断最近距离，属于中等题型.
11． 将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移π4个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝π2对称
B．在π(0,)4上单调递增，为奇函数
C．在3ππ(,)88上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点3π(,0)8对称
【答案】B
【解析】依题意，得g(x)＝cos＝cos＝sin 2x，故函数g(x)图象的对称轴为x＝＋ (k∈Z)，故A错误；因为g(－x)＝－sin 2x＝－g(x)，故函数g(x)为奇函数，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，故B正确，C错误；因为g＝sinπ＝≠0，故D错误．综上所述，故选B.
12．已知1x是方程320xaxbxc的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则22ab的取值范围是（ ）
A．5, B．5, C．5, D．5,
【答案】D
【解析】由题意，求出1cab，分解函数的表达方式为一个一次因式与一个二次因式的乘积，通过函数的零点即可推出a，b的关系利用线性规划求解22ab的取值范围即可.
【详解】 第 7 页 共 17 页 依题意得10abc，故1cab，
所以2111fxxxaxab.另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故211gxxaxab有两个分别属于0,1和1,的零点.
故有00g且10g，即10ab且230ab.
运用线性规划知识，以横轴为a，以纵轴为b，
作出不等式组10230abab所表达平面区域,为阴影部分
可求得225,ab.
故选D.
【点睛】
椭圆离心率0,1e，双曲线离心率1,e，本题考查函数零点问题，线性规划问题，综合性比较强，有一定难度.
二、填空题
13．已知点1,1和3,1在直线20xya的两侧，则实数a的取值范围为________.
【答案】3,1
【解析】根据线性规划知识，点在直线两侧，则代入直线方程符号相反，可乘积为负求解.
【详解】
由题意，点1,1和3,1在直线20xya的两侧，
(12)(32)0aa，即(3)(1)0aa
