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高考数学压轴专题新备战高考《坐标系与参数方程》技巧及练习题含答案

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【最新】数学《坐标系与参数方程》高考知识点

一、13

1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2sin42a，曲线2C的参数方程为cossinxy（为参数，0剟）.若1C与2C有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是（ ）

A．2 B．(2,2) C．[1,1) D．[1,1)或2

【答案】D

【解析】

【分析】

先把曲线1C，2C的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C与2C有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a的范围即得解.

【详解】

因为曲线1C的极坐标方程为2sin,42a即222(sincos)222a

故曲线1C的直角坐标方程为：0xya.

消去参数可得曲线2C的一般方程为：221xy，由于0剟，故0y≥

如图所示，若1C与2C有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a

当直线与半圆相切时||122Olada

由于为上半圆，故02aa

综上：实数a的取值范围是[1,1)或2

故选：D

【点睛】

本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

2．221xy经过伸缩变换23xxyy后所得图形的焦距（ ） A．25 B．213 C．4 D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

用x′，y表示出x，y，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距．

【详解】

由23xxyy得2

3xxyy，代入221xy得22 149xy，

∴椭圆的焦距为29425，故选A．

【点睛】

本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．

3．已知直线1:1xtlyat（t为参数）与曲线221613sin的相交弦中点坐标为(1,1)，则a等于（ ）

A．14 B．14 C．12 D．12

【答案】A

【解析】

【分析】

根据参数方程与普通方程的互化，得直线l的普通方程为1yaxa，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线C普通方程为221164xy，再利用“平方差”法，即可求解．

【详解】

由直线1:1xtlyat（t为参数），可得直线l的普通方程为1yaxa，

由曲线221613sin，可得曲线C普通方程为221164xy，

设直线l与椭圆C的交点为11,Axy，22,Bxy，则22111164xy，2221164xy，

两式相减，可得1212121214yyyyxxxx.

所以1212114yyxx，即直线l的斜率为14，所以a14，故选A．

【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4．若直线l：ykx与曲线C：2cossinxy（为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（）

A．33 B．33 C．3 D．33

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，将曲线C的参数方程消去，得到曲线C的普通方程22(2)1xy，可知曲线C为圆，又知圆C与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k。

【详解】

Q曲线C：2cossinxy，消去，得

曲线C： 22(2)1xy

又知圆C与直线相切。可得，

2211kk

解得33k，给故答案选D。

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程的转化以及圆与直线的关系的几何关系表达。

5．在极坐标系中，已知圆C经过点236P，，圆心为直线sin24与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为

A．4cos B．4sin C．2cos D．2sin

【答案】A

【解析】

【分析】

求出圆C的圆心坐标为（2，0），由圆C经过点236P，得到圆C过极点，由此能求出圆C的极坐标方程．

【详解】 在sin24中，令0，得2，

所以圆C的圆心坐标为（2，0）.

因为圆C经过点236P，，

所以圆C的半径222322223cos26r，

于是圆C过极点，

所以圆C的极坐标方程为4cos.

故选A

【点睛】

本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．

6．记椭圆221441xnyn围成的区域（含边界）为n（12nL，，），当点()xy，分别在1，2，…上时，xy的最大值分别是1M，2M，…，则limnnM（ ）

A．0 B．14 C．2 D．22

【答案】D

【解析】

分析：先由椭圆221441xnyn得到这个椭圆的参数方程为：214xcosysinn（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．

详解：把椭圆221441xnyn得，

椭圆的参数方程为：214xcosysinn（θ为参数），

∴x+y=2cosθ+14nsinθ，

∴（x+y）max=2124n=18n．

∴nlimMn=18nlimn=22．

故选D． 点睛：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．

7．已知点1,2A，2,0B，P为曲线2334yx上任意一点，则APABuuuvuuuv的取值范围为（ ）

A．1,7 B．1,7 C．1,323 D．1,323

【答案】A

【解析】

【分析】

结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解．

【详解】

解：设,Pxy则由2334xy可得221043xyy，

令2cos,3sinxy，(0,，

1,2APxyuuuv，1,2ABuuuv，

124232cos23sin34sin36APABxyxyuuuvuuuv，

0Q，

7666，

1sin126，

14sin376，

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.

8．参数方程21,11xtytt（t为参数）所表示的曲线是（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

【分析】

消参化简整理得221xy，即得方程对应的曲线.

【详解】

将1tx代入211ytt，化简整理得221xy，同时x不为零，且x，y的符号一致，

故选:D. 【点睛】

本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．点(,)满足223cos2sin6cos，则2的最大值为（ ）

A．72 B．4 C．92 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

将223cos2sin6cos化成直角坐标方程，则2的最大值为22xy 的最大值。

【详解】

223cos2sin6cos两边同时乘，化为22326xyx，得22332yxx，则2222211919369(3)22222xyxxxxx.由223302yxx…，可得02x剟，所以当2x时，222xy取得最大值4．

故选B

【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。

10．在正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APxAByADuuuvuuuvuuuv，则xy的最大值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

设正方形ABCD的边长为2，以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xAy，可得出圆C的方程为22222xy，可设点P的坐标为22cos,22sin，根据向量的坐标运算可将xy用的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出xy的最大值.

【详解】

设正方形ABCD的边长为2，以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy，

则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D，直线BD的方程为221xy，即20xy，

点C到直线BD的距离为222211d，

则以点C为圆心且与直线BD相切的圆C的方程为22222xy，

设点P的坐标为22cos,22sin，由APxAByADuuuruuuruuur，

得22cos,22sin2,00,22,2xyxy，21cos221sin2xy，

所以，22sincos2sin2224xy，

因此，xy的最大值为3.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

11．在直角坐标系xOy中，曲线1cos:sinxtCyt（t为参数，0t），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:3sinC，3:cosC，若1C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，则线段||AB的最大值为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．22

【答案】B

【解析】

【分析】

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高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)

高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)

高考数学-坐标系与参数方程

（含22年真题讲解）

1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=2+𝑡6𝑦=√𝑡 （t为参数），曲线𝐶2的参数方程为{𝑥=−2+𝑠6𝑦=−√𝑠 （s为参数）．

(1)写出𝐶1的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶3的极坐标方程为2cos𝜃−sin𝜃=0，求𝐶3与𝐶1交点的直角坐标，及𝐶3与𝐶2交点的直角坐标．

【答案】(1)𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)；

(2)𝐶3,𝐶1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，𝐶3,𝐶2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．

【解析】

【分析】

(1)消去𝑡，即可得到𝐶1的普通方程；

(2)将曲线𝐶2,𝐶3的方程化成普通方程，联立求解即解出．

(1)

因为𝑥=2+𝑡6，𝑦=√𝑡，所以𝑥=2+𝑦26，即𝐶1的普通方程为𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)．

(2)

因为𝑥=−2+𝑠6,𝑦=−√𝑠，所以6𝑥=−2−𝑦2，即𝐶2的普通方程为𝑦2=−6𝑥−2(𝑦≤0)，

由2cos𝜃−sin𝜃=0⇒2𝜌cos𝜃−𝜌sin𝜃=0，即𝐶3的普通方程为2𝑥−𝑦=0．

联立{𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)2𝑥−𝑦=0 ，解得：{𝑥=12𝑦=1 或{𝑥=1𝑦=2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；

联立{𝑦2=−6𝑥−2(𝑦≤0)2𝑥−𝑦=0 ，解得：{𝑥=−12𝑦=−1 或{𝑥=−1𝑦=−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．

2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线C的参数方程为{𝑥=√3cos2𝑡𝑦=2sin𝑡 ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为𝜌sin(𝜃+𝜋3)+𝑚=0．

(新课标)备战高考数学“3+1”保分大题强化练(三)理

(新课标)备战高考数学“3+1”保分大题强化练(三)理

1 “3＋1”保分大题强化练三

前3个大题和1个选考题不容有失

1．设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝44－an(n∈N*)．

(1)求证：数列1an－2是等差数列；

(2)设bn＝a2na2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)证明：∵an＋1＝44－an，∴1an＋1－2－1an－2＝144－an－2－1an－2＝4－an2an－4－1an－2＝2－an2an－4＝－12.

又a1＝1，∴1a1－2＝－1，∴数列1an－2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．

(2)由(1)知1an－2＝－1＋(n－1)－12＝－n＋12，

∴an＝2－2n＋1＝2nn＋1，

∴bn＝a2na2n－1＝4n2n＋122n－12n＝4n22n－12n＋1＝1＋12n－12n＋1＝1＋1212n－1－12n＋1，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝n＋121－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1

＝n＋121－12n＋1＝n＋n2n＋1，

∴数列{bn}的前n项和Tn＝n＋n2n＋1.

2.如图所示多面体ABCDEF，其底面ABCD为矩形，且AB＝23，BC＝2，四边形BDEF为平行四边形，点F在底面ABCD内的投影恰好是BC的中点．

(1)已知G为线段FC的中点，证明：BG∥平面AEF；

(2)若二面角F­BD­C的大小为π3，求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．

解：(1)证明：如图，连接AC交BD于H，连接GH，则GH为△ACF的中位线， 2 ∴GH∥AF.

∵GH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，

∴GH∥平面AEF.

又BD∥EF，BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，

∴BD∥平面AEF.

连接DG，∵BD∩GH＝H，BD⊂平面BDG，GH⊂平面BDG，∴平面BDG∥平面AEF，

高中数学选修参数方程练习题(附答案)

高中数学选修参数方程练习题(附答案)

高中数学选修参数方程练习题

学校：_____姓名：___班级：___考号：___

题号 一 二 三 总分

得分

一．填空题

1．直线l：（t为参数）的倾斜角为______．

2．若P（m，n）为椭圆（θ为参数）上的点，则m+n的取值范围是______．

3．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（其中t为参数），以Ox为极值的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心到直线的距离为______．

4．在直角坐标系xOy 中，M是曲线C1：（t为参数）上任意一点，N是曲线C2：（θ为参数）上任意一点，则|MN|的最小值为______．

5．（坐标系与参数方程选做题）过点A（2，3）的直线的参数方程（t为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交于点B，则|AB|=______．

6．已知曲线C的参数方程为（t为参数），若点P（m，2）在曲线C上，则m=______．

7、A．将参数方程（e为参数）化为普通方程是______．

B．不等式|x-1|+|2x+3|＞5的解集是______．

C．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，|DC|=|BE|，DG⊥CE于G，且|EC|=8，则|EG|=______．

8．椭圆的离心率是______．

三．简答题

9．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．

10．已知曲线C1：（t为参数，C2：（θ为参数）．

（Ⅰ）C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．

11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．

（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．

（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

高考坐标系与参数方程知识点及习题

高考坐标系与参数方程知识点及习题

坐标系与参数方程

 极坐标系的相关概念

1、极坐标系的建立

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。

3、特别强调：

（1）由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系

（2）极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.

4、负极径的规定：在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角；当＜0时，点M （，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=；M （，）也可以表示为))12(,()2,(kk或 )(zk

练习：

1、在极坐标系里描出下列各点

A（3，0） C（3，2） D（5，34）

E（3，65） F（4，） G（6，35） 2、在极坐标系中，已知两点P（5，45），Q)4,1(，求线段PQ的长度；

3、若ABC的的三个顶点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状CBA

 极坐标与直角坐标互化

1、互化公式

直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为),(yx和),(，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：

{sincosyx {

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