几何体的表面积与体积

空间几何体的体ｊ手｛　例１　若某空间几何体　的三视图如图１所示．则该几　何体的体积是　Ａ．２　Ｂ．１　ｃ　Ｄ．　一　－）　Ｊ　解根据已知条件中的　三视图，我们可以得到对应的　直观图，如图２所示．由于该　立体图形为直三棱柱，所以其　体积为　１　ｘｌＸ、／　×　一＝１．　图２　选Ｂ．　小结　已知空间几何体的三视图求体积，是高　考命题的热点．求解此类问题的关键在于准确想到　几何体的直观图（即将三视图还原）．在想象直观图　时．我们可根据三视图首先想到我们所熟悉的几何　体．其次想到由几何体组成的组合几何体．　模拟题１某几何体　的三视图如图３所示（单１　位：ｃｍ），则该几何体的体　积为　Ａ．（１６＋＇ｒｒ）ｃｎｌ　Ｂ．（１６＋３，ｒｒ）ｃｍ。　Ｃ．（２０＋４竹）ｃｍ。　Ｄ．ｆ　１８＋７ｒ）Ｃｌｌｌ　参考答案Ｂ　四邋　正视图　俯视图　图３　空闯几何体的表面积　例２若一个底面是正三角　形的三棱柱的正视图如图４所示，　则其表面积等于解由正视图可知，三棱柱是　图４　底面边长为２、高为１的正三棱柱．由于底面积为２×　×２×２×　：２￣＇３－，侧面积为３ｘ２ｘｌ＝６，所以其　二　表面积为６＋２Ｘ／３．　小结本题考查立体几何中的三视图问题，考　查学生的识图能力、空间想象能力等基本能力．在复　习时．同学们要熟练掌握各种几何体的表面积公式　及通过三视图确定原几何体的形状．　模拟题２　四棱锥　Ｐ－ＡＢＣＤ的顶点Ｐ在底　面Ａ　ｃＤ中的投影恰好　是　，其三视图如图５所　示．则四棱锥　ＣＤ的　图　表面积为　．　参考答案　（２＋、／２）ｎ２　图５　已知体积（表面积）或体积关系求某一几何量　侧视图　例３圆柱形容器内部盛有高度　为８　ｃｍ的水，若放人３个相同的球（球　的半径与圆柱的底面半径相同）后，水　恰好淹没最上面的球，如图６所示，则　球的半径是　～ｃｍ．　竞争是压力，也是生命的动力。　——湖南株洲市十八中瞿麒麟　侧　视　图　

。黼

　解　设球的半径为ｒ，则由３　球＋　水＝Ｖ±Ｅ，可得　３×　ｒ　＋Ｔｒｒ　×８＝，ｒｒｒ２￣６ｒ，解得ｒ＝４．所以球的半径是　４　ｃｎ１．　小结　此类问题考查表面积或体积公式的逆　用．同学们除了能灵活运用公式外，还要善于发现几　何体的表面积或体积的数量关系．　模拟题３一个直径为３２　ｃｍ的圆柱形水桶中　放入１个铁球，球全部没入水中后，水面升高９　ＣＩＴＩ，　则此球的半径为　Ａ．１６　ｃａｎ　Ｂ．１４　ＣＩ／１　Ｃ．１２　ｅｎｌ　Ｄ．１０（　ｌｎ　参考答案　Ｃ　有关体积ｌ『９最值问题　例４在正四棱锥ｓ　ＢＣＤ中，　＝２、／３，则　当该棱锥的体积最大时．它的高为　Ａ．１　Ｂ．、／了一　Ｃ．２　Ｄ．３　解设正四棱锥Ｓ　ＢＣＤ的底面边长为Ｃｔ．则　高＾＝、／ｓＡ　一（一　）　＝、／ｌ２一手，所以体积Ｖ＝　｝　＝　１・、／１２　一　．设ｙ＝ｌ２“４一　，则ｙ　＝　４８　一３　．当Ｙ取最值时，Ｙ　＝４８（／３—３ａ５＝０，解得ｎ：０或　ｃｚ：４．当。＝４时，体积最大，此时厶＝、／１２一等　２・选Ｃ．　小结　最值问题常见的处理方法有：①几何　法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意　义，则考虑利用图形性质来解决．②代数法．若题目　的条件和结论能体现一种明　确的函数关系，则可先建立目　标函数，再求这个函数的最　值．求函数最值常用的方法有　配方法、判别式法、重要不等　式法、三角函数的值域法、导　数法等．　模拟题４如图７所示．　△△　俯视图　图７　一个几何体的正视罔和侧视图是腰长为ｌ的等腰二三　角形．俯视图是一个圆及其网心．当这个几何体的体　积最大时．圆的半径是　字　Ｂ．争　ｃ．　３　Ｄ号　参考答案　Ｃ　球ｆ『ｇ相接问题　例５　直二三棱柱ＡＢＣ＿／｛　Ｂ　Ｃ。的各顶点都在同　一球面上，若ＡＢ＝Ａ　Ｃ＝ＡＡ　＝２，　Ｃ＝１２０。，则此球　的表面积等于　．　解　在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝Ａ　Ｃ＝２，　Ｃ＝１２０。，可　得ＢＣ＝２、／３．由正弦定理得△ＡＢＣ的外接圆的半　径ｒ＝２．设此圆的圆心为Ｄ　．球心为０，在Ｒｔ△０ＢＯ　中，易得球的半径　＝、／５．故此球的表面积为４７ｒＲ　：　２０可．　小结　多面体内接于球的实质是球心到多面　体的顶点的距离等于球的半径．同学们在解题时要　紧紧抓住内接这个性质．一般情况下，求解这类问题　时要认真分析“接”的位置．通常过多面体的一条侧　棱、球心和“接点”作截面图形．从而将空间图形问　题转化为平面图形问题来解决．在本题中，直三棱柱　内接于球．球心与直三棱柱的一个顶点的连线段为球　的半径，进而根据球的半径、球心到截面的距离以及　

- 1 - 课题：空间几何体的表面积和体积

【学习目标】：

知识点、考点：

1、掌握柱体、锥体、台体的侧面积与体积的计算公式．

2、球的体积和表面积公式．

重点、难点：

表面积、体积公式

【知识网络详解】

知识点一、空间几何体的表面积

1．多面体的侧面积和表面积：

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．

2．旋转体的侧面积和表面积

(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．

(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)．

(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．

(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.

知识点二、空间几何体的体积

1、棱(圆)柱的体积：V＝Sh(S为底面面积，h为高)

2、棱(圆)锥的体积：V＝13Sh(S为底面面积，h为高)

3、棱(圆)台的体积：V＝13(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)

4、球的体积：V＝4π3R3(R为球半径) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积转换法或割补法进行求解．其中，等积转换法多用来求锥体的体积．

- 2 - 【经典例题解析】

知识点一、空间几何体的表面积

例1、若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（ ）

A、π B、2π C、3π D、4π

例2、用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )

A．8 B．8π C．4π D．2π

例3、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )

A．1＋2π2π B．1＋4π4π C．1＋2ππ D．1＋4π2π

空间几何体的表面积与体积

一、基础知识

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r＋r′)l

①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.②圆台、圆柱、圆锥的转化

当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆

锥，由此可得：

2．空间几何体的表面积与体积公式名称

几何体表面积体积

柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh

台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h

球S＝4πR2V＝43πR3

二、常用结论

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算

11.1 四种常见几何体的平面展开图

1.正方体

沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

2.长方体

沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。

4.（直）圆锥体

沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6—4。

11.2 四种常见几何体表面积与体积公式

1.长方体

长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）

长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。

2.正方体

正方体的表面积=6×a2

正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。

3.圆柱体

圆柱体的侧面积=2πRh

圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）

圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。 4.圆锥体

圆锥体的侧面积=πRl

圆锥体的全面积=πRl+πR2

母线长与高）。

11.3 例题选讲

例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。