三角形三线合一的用法

等腰三角形的“三线合一”

一、证明线段相等

例1（1） 如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.

（2）如图，∠A=∠D=90°，AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点.

求证：∠BFE=∠CFE.

二、证明两条线垂直

例2 如图2，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD.

三、证明角的倍半关系

例3 如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝12∠BAC.

C D E F

图1 B A

F D

图2 B E

C A

F

E

图3 D

C B A 四、证明线段的倍半关系

例4 如图4，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D.求证：BF＝2CD.

五、证明一个角是直角

例5 如图5，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.

六、证明线段的和差关系

例6 如图6，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB+BD.

图5 A

B C D E 图4 B F D E

C A

D

图6 C E B A

共 7 页，第 1 页 1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD."

（1）求证：△BCE≌△DCF

（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.

2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,

求证：（1）BD平分∠ABC；

（2）△BCD为等腰三角形.

3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F．

⑴试说明：BE=CF；

⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长． 共 7 页，第 2 页 4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD

求证：(1) △BEF为等腰直角三角形 ；（2) ∠ADC＝∠BDG.

5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

（1）试说明AH＝BH

（2）求证：BD＝CG．

（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系

6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.

（1）求证：△ABC≌△EDC；

（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H.

①求∠DHF的度数；

②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC. 共 7 页，第 3 页

参考答案

1、（1）证明见解析（2）1

2、（1）证明见解析（2）证明见解析

3、(1)证明详见解析；(2)10．

4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.

5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析

6、（1）略 （2）①∠DHF="60°" ② 略

共 7 页，第 1 页1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD."

（1）求证：△BCE≌△DCF

（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.

2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,

求证：（1）BD平分∠ABC；

（2）△BCD为等腰三角形.

3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足

分别为E，F．

⑴试说明：BE=CF；

⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．

共 7 页，第 2 页4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线

AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD

求证：(1) △BEF为等腰直角三角形；（2) ∠ADC＝∠BDG.

5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，

BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

（1）试说明AH＝BH

（2）求证：BD＝CG．

（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系

6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分

∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.

（1）求证：△ABC≌△EDC；

（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝

CF，连接DG交BE于H.

①求∠DHF的度数；

②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.共 7 页，第 3 页

参考答案

1、（1）证明见解析（2）1

2、（1）证明见解析（2）证明见解析

3、(1)证明详见解析；(2)10．

4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.

5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析

6、（1）略（2）①∠DHF="60°" ②略

【解析】

1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE," 在证明就可以得出DF=BE；

三角形三线合一的用法

三角形三线合一通常是指三角形的垂心、重心和外心三个点合在一起。这三个点是三角形的重要特征，它们之间有很多重要的联系和性质。

以下是三角形三线合一的一些用法：

1. 确定一个三角形的外接圆：三角形三线合一点是三角形的外接圆心。

2. 确定一个三角形的垂直平分线：三角形的垂心是三角形三线合一点，因此从它到三边的垂线即为垂直平分线。

3. 确定一个三角形的中心：三角形的重心是三角形三线合一点，因此从它到三边的中线即为中心线。

4. 确定一个三角形的高线：三角形的垂心是三角形三线合一点，因此从它到底边的线即为高线。

5. 确定一个三角形的内切圆：三角形的垂心到三边的距离相等，这个距离刚好等于三角形的内切圆半径。

6. 判断一个三角形的形状：如果三角形的垂心在三角形内部，那么这个三角形是锐角三角形；如果垂心在直角三角形的直角处，那么这个三角形是直角三角形；如果垂心在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形。

总之，三角形三线合一是三角形内的一个非常重要的点，它能够帮助我们推导出很多三角形的性质和公式，对于学习三角形的人来说是非常重要的。