微分中值定理的推广及应用

微分中值定理的推广及应用

摘要

本文讲述了微分中值定理的定义及其证明方法,讨论了四大微分中值定理之间的关系,并对中值定理进行了适当的推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.

关键词微分中值定理；新证法；推广；费马定理；考研；

The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its

Application

Abstract

This paper describes the definition of differential mean value theorem and its proof

method, discusses the relationship between the three differential mean value theorem, and

the mean value theorem in the proper promotion, at the same time, the specific analysis of

the differential mean value

theorem in proving the equality, inequality and discuss the root of equation in some

aspects.

Key words:Differential mean value theorem; new method; generalized Fermat's theorem;

examination;

目 录 1引言……………………………………………………………………………………

2微分中值定理的定义………………………………………………………………

3微分中值定理及其证明方法………………………………………………………

费马引理…………………………………………………………………………

3.2 罗尔中值定理……………………………………………………………………

3.3 拉格朗日中值定理………………………………………………………………

3.4 柯西中值定理……………………………………………………………………

3.5 泰勒中值定理…………………………………………………………………………

4 微分中值定理的推广………………………………………………………………………

4.1 罗尔中值定理的推广……………………………………………………………………

4.2 拉格朗日中值定理的推广………………………………………………………………

4.3 柯西中值定理的推广……………………………………………………………………

4.4 泰勒中值定理的推广…………………………………………………………………

5 微分中值定理的应用…………………………………………………………………

5.1 利用微分中值定理证明等式……………………………………………………

5.2 利用微分中值定理证明不等式………………………………………………

5.3 讨论方程根的存在性…………………………………………………………

5.4. 考研微分中值定理的运用…………………………………………………………

结束语……………………………………………………………………………………

参考文献…………………………………………………………………………………

致谢……………………………………………………………………………………… 附录………………………………………………………………………………………

1引言

在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学基础而又举足轻重的内容.

2 微分中值定理的定义

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。也就是说微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.

定义1 (函数单调性) 函数)(xf在定义域内,当21xx时,有

则称)(xf单调递增(严格单调递增).当21xx时,有

定义2 (极限的局部保号性) 若)(lim)(lim00xgxfxxxx,则存在,0任意,(0xx

),0x使得)()(xgxf.

)()(21xfxf)((1xf))(2xf,

则称)(xf单调递减(严格单调递减).

定义3 (最小值或最大值) 设)(xf在I上有定义,若存在Ix0使任意Ix,

)(0xf)(xf()(0xf)(xf),则)(0xf称为)(xf的最小值(最大值).0x为最小值点(最大值点). 定义4 (极小值或极大值) 设)(xf在任意Ix上有定义,若存在,0,0Ix任意

x),(00xx,都有)()(0xfxf ()()(0xfxf),则)(0xf称为)(xf的一个极小值(极大值),0x称为极小值点(极大值点).

定义5(凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).

定义6(凹性) 若)(xfy的一阶导数)(xf在ba,上单调递增(或递减),则称)(xf

在ba,是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).

3微分中值定理证明方法

3.1 费马引理

定理内容：设函数)(xf在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对于任意的x∈U(x0)，都有)(xf≤0()fx(或)(xf≥0()fx),那0'()0fx

费马定理的几何意义:若将函数)(xf的曲线置于平面直角坐标系XOY,则费马定理具有几何意义:对曲线)(xfy上,若有一点00(,())xfx存在切线,且0x为)(xf极值点.则这一点处的切线平行于x轴.

证明0x为)(xf的极值点.设0x为极小值点,则存在,0任意,(0xx)0x,有)()(0xfxf,

若0xx,则

0)()(00xxxfxf;

若0xx,则

0)()(00xxxfxf;

取极限00)()(lim0xxxfxfxx与00)()(lim0xxxfxfxx分别为P、T,由于)(xf在0x处可导,则 P=T=00)()(lim0xxxfxfxx

由极限的局部保号性有0T, 0S.故P=T=0.所以有

0)()(lim000xxxfxfxx,

即0)(0xf.

3.2 罗尔中值定理

定理内容：如果函数()fx满足：

在闭区间[a,b]上连续；

在开区间(a,b)内可导；

在区间端点处的函数值相等，即(a)(b)ff，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<𝜉<𝑏)，使得 f′(ξ)=0.

罗尔定理的几何意义:若)(xf满足罗尔定理的条件,则在曲线()yfx上至少存在一点))(,(fP,使得点P处的切线平行于x轴(如图), 其中))(,(afaA,))(,(bfbB.

证明因为ba,且)()(afbf.

（1）若)()()(afbfxf为常数,则必有0)(xf，所以,存在),(ba,使得0)(f;

（2）若)(xf不是常数,则)(xf非单调,又有)(xf在ba,上连续在ba,内可导,根据引理1,存在),(ba,使得

0)(f.

证毕.

3.3 拉格朗日中值定理

定理3如果函数)(xf满足

(1) 在闭区间ba,上连续; (2) 在开区间ba,内可导;则至少存在一点),(ba使等式

abafbff)()()(.

证法利用罗尔中值定理

)()()()()()(axabafbfafxfxF.

证明（方法一）引进辅助函数

)()()()()()(axabafbfafxfxF,

显然,)(xF在ba,上连续, 在ba,内可导,且0)()(bfaf,由罗尔定理可知,存在一点),(ba使得0)(F即

abafbff)()()(.

证明（方法二）（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在),(ba使得

成立，即证,存在),(ba使得

0)()()(abafbff (1)

0)()()(xxabafbfxf (2)

记

baxxabafbfxfxF,,)()()()(,

则由)(xF满足罗尔定理的条件知,存在),(ba使得(2)成立,进而(1)成立.从而拉格朗日中值定理成立.

3.4 柯西中值定理

定理4 设函数)(xf、)(xg满足:(1) 在闭区间ba,上连续;(2) 在开区间ba,内可导,且0)(xg，则至少存在一点),(ba使得 )()()()()()(agbgafbfgf.

证明（方法一）由定理条件可知)()(agbg,则任意),(ba都有0)(g,因此,只需证

0)()()()()()(afbfgagbgf,

为此,构造函数

)()()()()()()(afbfxgagbgxfxF,bax,,

显然,)(xF在ba,上连续,在ba,内可导,且)()(bFaF,根据罗尔定理,存在),(ba,使得

0)(F,

即

0)()()()()()(afbfgagbgf,

所以

)()()()()()(agbgafbfgf.

2.1 泰勒中值定理

定理5 若函数xf在0xU内存在1n阶导数，0xUx，函数tG在以x与0x为端点的闭区间I连续，在其开区间可导，且0tG，则x与0x之间至少存在一点，使

其中GxGxxGnfxRnnn01!.

证明xf的泰勒多项式

nnnxxnxfxxxfxxxfxfx00200000!!2.

我们记nntxntftxtftxtftftF!!22,则