【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》导学案设计 第二章 2.3.1

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2.3.1 直线与平面垂直的判定

[学习目标] 1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题.

知识点一 直线与平面垂直

定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法 l⊥α

有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们惟一的公共点P叫做垂足

图示

画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

思考 直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？

答 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.

知识点二 直线与平面垂直的判定定理

文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α

图形语言

第2页 共12页 思考 线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？

答 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.

知识点三 直线和平面所成的角

有关概念 对应图形

斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA 斜足

斜线和平面的交点，图中点A

射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO

直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角

取值范围 [0°，90°]

思考 若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？

答 不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α.

题型一 直线和平面垂直的定义

例1 直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )

A.l和平面α平行 B.l和平面α垂直

C.l在平面α内 D.不能确定

答案 D

解析 如图所示，直线l和平面α平行，或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故正确答案为D.

反思与感悟 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.

2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.

第3页 共12页 A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C.若l∥α，m⊂α，则l∥m

D.若l∥α，m∥α，则l∥m

答案 B

解析 对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.

题型二 线面垂直的判定

例2 如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.

证明 ∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC.

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.

而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.

∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，

∴AE⊥平面PBC.

反思与感悟 证线面垂直的方法有：

(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.

(2)平行转化法(利用推论)：

①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.

跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.

证明 ∵ABCD为正方形，

∴AC⊥BO.

又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BB1，

第4页 共12页 又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，

又EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.

题型三 直线与平面所成的角

例3 如图所示，已知正四面体ABCD的棱长a，E为AD的中点，连接CE.

(1)求AD与平面BCD所成角的余弦值；

(2)求CE与平面BCD所成角的正弦值.

解 (1)如图所示，过点A作AO⊥底面BCD，垂足为点O，连接OB，OC，OD.

则OB，OC，OD分别是AB，AC，AD在平面BCD上的射影.

∴∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.

又∵AB＝AC＝AD，∴OB＝OC＝OD.

∴O为△BCD的外心.

∵△BCD为正三角形，∴点O为重心.

又正四面体棱长为a，∴OD＝32a×23＝33a.

∴cos∠ADO＝ODAD＝33，

∴AD与平面BCD所成角的余弦值为33.

(2)取OD的中点F，连接EF，CF.

∵E，F分别为△DAO的边AD，OD的中点，

∴EF为△DAO的中位线.

∴EF∥AO.

又AO⊥平面BCD，∴EF⊥平面BCD.

∴FC为EC在平面BCD上的射影.

∴∠ECF为CE与平面BCD所成的角.

在Rt△EFC中，EF＝12AO.

而AO＝AD2－OD2＝ a2－33a2＝63a，

∴EF＝66a.

∵E为AD的中点，∴CE＝32AD＝32a.

第5页 共12页 ∴sin∠ECF＝EFCE＝66a32a＝23.

∴CE与平面BCD所成角的正弦值为23.

反思与感悟 1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.

跟踪训练3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点.

(1)求D1B与平面AC所成的角的余弦值；

(2)求EF与平面A1C1所成的角的大小.

解 (1)如图所示，连接DB.

因为D1D⊥平面AC，

所以DB是D1B在平面AC内的射影.

所以∠D1BD即为D1B与平面AC所成的角.

在Rt△D1DB中，

DB＝2AB，D1B＝3AB，

所以cos∠D1BD＝DBD1B＝63.

故D1B与平面AC所成的角的余弦值为63.

(2)因为E是A1A的中点，A1A⊥平面A1C1，

所以∠EFA1是EF与平面A1C1所成的角.

在Rt△EA1F中，因为F是A1D1的中点，

所以∠EFA1＝45°.

故EF与平面A1C1所成的角的大小为45°.

分类讨论思想

第6页 共12页 例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，问：BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？并说明理由.

分析 由于矩形是变动的，在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD与a有关，故应对a进行分类讨论.

解 因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，

所以PA⊥QD.

又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，

所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD.

①当0＜a＜2时，由四边形ABCD是矩形，且AB＝1，知以AD为直径的圆与BC无交点，即对于BC上任一点Q，都有∠AQD＜90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；

②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；

③当a＞2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.

解后反思 应注意到矩形是变动的，所以应对a进行分类讨论.分类的依据是直线与圆的位置关系的几种情况，从而划分a的取值范围，然后进行讨论.

线面垂直

例5 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.

分析 根据线面垂直的判定定理，要证明OE⊥平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直即可.

证明 如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，易证AE＝CE.

因为AO＝OC，所以OE⊥AC.

在正方体中易求出：

D1O＝DD21＋DO2＝a2＋22a2＝62a，

OE＝BE2＋OB2＝a22＋22a2＝32a，

D1E＝D1B21＋B1E2＝2a2＋a22＝32a.

因为D1O2＋OE2＝D1E2，所以D1O⊥OE.