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灰色预测GM(1,1)模型实现过程.docx

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1 ⑹

Yn= (X(0)(2), X (0)(3)，…,X°)( n ))T ⑺

灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程

灰色系统预测模型 GM(1,1)

1. GM(1,1)的一般形式

设有变量X(0) = {X (0) (i) , i=l,2 , ..., n}为某一预测对象的 非负单调原始数据列 ，为

建立灰色预测模型：首先对 X(0)进行一次累加(1 — AGO, Acumulated Generating Operator)

生成一次累加序列:

X(1) = {X (1)(k), k= 1 , 2 ,…,n}

其中

k

X⑴(k)= X(0)(i)

i =4

X(1)(k) = (X(0)(1) — u)e」(k‘) a

式中：k为时间序列，可取年、季或月。

2. 辩识算法

记参数序列为a , a = [a,u]T,a可用下式求解：

T -1 T ” a = (B B) B Yn

式中:B —数据阵；Yn—数据列

1 (1) , (1) 卜 2(X (1) +X (2))

—1 (X (1) (2) +X (1) (3)) 2

—2(X(1)(n -1) +X(1)(n))=X⑴(k—1)+ X(°)(k)

对X(1)可建立下述白化形式的微分方程

dX (1)

dt 十 aX (1) = u

即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为 (离散响应)：

(1) (0) U _ak , U

X ()(k+1) = (X()(1) — )e + a a (1)

⑵

⑶ 3. 预测值的还原

由于GM模型得到的是一次累加量， k・{n+1,n+2,…}寸刻的预测值， 必须将GM模型 所得数据X⑴(k+1)(或X⑴(k))经过逆生成即累减生成(I — AGO)还原为X(0)(k+1)(或

X(0)(k))，即：

k

X ⑴(k)八 X (0)(i)

i 4

k J

八 X (0)(i) + X(0)(k)

i 4

、 r k / 、

X (0)(k) = X(1)(k)_ 7 X (0)(i)

i 二

X (0)(i)，所以 X(0)(k)= X ⑴(k) - X(1)(k -1)。

4. 灰色系统模型的检验

检验方法一：残差合格(相对误差)

定义：设原始序列

X(j(0)(1),x('0)(2)，…，X(0)( n)1

相应的模型模拟序列为

X>(0) 凶)(1),?(0)(2), ,00)(n)1

残差序列

；(0)「；(1), ；(2), ；(n)1

=歩0)(1) —X>(0)⑴公(0)(2)_炉0)(2)，…，x(0)(n)_X>(0)(n)} 相对误差序列

1 n

称厶二1、：〉k为平均模拟相对误差；

n k丘

2.称1 - 了为平均相对精度，1 -厶n为滤波精度；

3.给定〉，当•>：：：〉，且< :-成立时，称模型为 残差合格模型

检验方法二：关联合格

定义：设X (0)为原始序列， 乂(0)为相应的模拟误差序列， ；为X(0)与£(0)的绝对关

联度，若对于给定的；。0^ 0，则称模型为 关联合格模型。

检验方法三：均方差比合格、小误差概率合格 \ kA

因为X⑴(k-1)=、

i 二

；(1)

x(0)(1) 42) x(0)(2) 软n)

x(0)( n)

，称心n = 一浮 为滤波相对误差, x (n) 1.对于k v n,称耳 为k点模拟相对误差 定义：设x(0)为原始序列，)?(0)为相应的模拟误差序列， ；(0)为残差序列。

1 n

—―、x(0)(k)为 X(0)的均值，

n k:—

2 1/ (0) 2 出(0)砧七K Si (x (k) - x)为x 的万差， n k4

_ 1 n (k)为残差均值， n k 二

1 n

sf ( ；(k) -=)2为残差方差，

n k±

s2

1•称c -为均方差比值；对于给定的Co -0,当c Co时，称模型为 均方差比合格模 S1

型。

2.称p = pg(k)-司<0.6745S1 )为小误差概率，对于给定的Po >0,当p> Po时，称模 型为小误差概率合格模型。

表1精度检验等级参照表

精度等级 相对误差 关联度 均方差比值 小误差概率

一级 0.01 0.90 0.35 0.95

二级 0.05 0.80 0.50 0.80

三级 0.10 0.70 0.65 0.70

四级 0.20 0.60 0.80 0.60

般情况下，最常用的是相对误差检验指标

5. GM(1,1)预测应用举例

设原始时间序列为：X(0^'x(0) (1), x(0) (2), x(0) (3),x(0) (4),x(0) (5)' 二

2.874,3.278,3.337,3.390,3.679

建立GM(1,1)模型，并进行检验。

解：1)对 X (0)作 1-AGO，得

[D为X (0)的一次累加生成算子，记为1-AGO]

X ⑴二 X⑴(1), x(1) (2), x(1) (3), x(1) (4), x(1) (5))

F2874,6.152,9.489,12.579,16.558

2) 对X(1)作紧邻均值生成，令

Z⑴(k) =0.5x⑴(k) 0.5x⑴(k -1)

Z ⑴二 &⑴(1),z⑴(2),z⑴(3),z⑴(4),z⑴(5*

二 2.874,4.513,7.820,11.84,14.718

于是， _423.221 -38.235]

-1-38.235 4 一

(BTB)-1 _ 一423.221 -38.2351 __ "0.017318 0.165542]

(B B丿一 [[—38.235 4 一 — |0.1665542 1.832371

= ________ 1 _______ _ 4 38.235 [

-423.221x4-38.2352卩38・235 423・221」

_ 1 ■ 4 38.235]

=230.969 ^8.235 423.221」

召=(B B)」B Y

0.1655421

1.832371 一 「3.2781

"0.017318

|0.1665542 ■-4.513

1 1 -7.820 -11.184 -14.718]

1 1 1 3.337

3.390 3.679

3.278 -0.089344] 3.337

10.604076「3.390

-3.679

0.0371561

I 3.065318 J

3）确定模型

及时间响应式

?(1)(k 1) =(x(0)(1)-» b a a

0.037156k 85.3728e - 82.4986

4) 求X⑴的模拟值

烫⑴二炉①小⑵去1)©),?1)^),^1)(5) ?

=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)

5) 还原出X(0)的模拟值，由

?(0)(k 1) "(k 1) - ?(1) (k)

得刃(0)「彳0)(1),只0)(2),£(0)(3),?(0)(4),：?(0)(5)?

=(2.8740 , 3.2318, 3.3541 , 3.4811, 3.6128)■-z(1)⑵ 11 [ ■-4.513 们

-z()(3) 1 -7.820 1

-z⑴(4) 1 -11.84 1

:-z(1) (5) 1_ 1

< -14.718 1

3.278

3.337

3.390 3.679

BTB叮4严 -7.820 -11.184 1 1 -14.718

1 * 「一

4.513 I-7.820 -11.84 -14.718 11 1 1 1

0.087386 0.030115 -0.028143

1.085280 0.537833 -0.019051

dx⑴

dt (1) - 0.037156X -3.065318 B

二 \17 \17 2 3 4 5 /V /.V /.V /.V X7 X9 X7 X7 o o o O XXXX - Y

6 )误差检验

表2残差与相对误差计算结果

序号实际数据 模拟数据

X (0 ) ( k ) X(0)(k) 残差 相对误差

2 3.278 3.2318 0.0462 1.41%

3 3.337 3.3541 -0.0171 0.51%

4 3.390 3.4811 -0.0911 2.69%

5 3.679 3.6128 0.0662 1.80% ；(k) =x(0)(k) _0。)(約 ；(k)

x(0)(k) k =

①平均相对误差

’ 1 -

4 k 二

=1.0625% , 1

•:二一、：k (1.41% 0.51% 2.69% 1.80%)

■ 4

……(参考表1, 1级)

②计算X与刃的灰色关联度

4 1

S (x(k)—x(1)S(x(5)—x(1))

k =2 2 =(3.278 -2.874) +(3.337 -2.874) +(3.390-2.874) + 丄(3.679-2.874) 2

二 0.404 0.463 0.516 0.4025

=1.7855 4 >

罔=瓦(X(k^X(1)+1(X(5^?(1)

k =2 2 k =2

(3.2318 —2.874) +(3.3541 —2.874) +(3.4811 —2.874) + 1(3.6128—2.874) 2

0.3578 0.4801 0.6071 0.3694

=1.8144

S?-s 4 1

=Z (x(k) — x(1)) — (?(k) — x(1))】巧(x(5) — x(1)) —(x(5) —

x(1)) k =2

1 =(0.3 5 7召0.4 0 4 + (0.4 8 0斗0.4 6)3+(0.6 0 740.5 1 p+-(0.3 6 940.4 0 2)5 2

=-0.04620.0 1 7F0.0 9 10.0 1655

=0.04535

1+S + S? 1 +1.7855 +1.8144 4.5999

1+iSi+q+$—s 1 +1.7855 +1.8144 +0.04535 4.64525

=0.9902 > 0.90 ............. (参考表 1，为 1 级)

综合：精度为一级，可以用

>?(1) (k 1) =85.3728e0.037156k -82.4986 其中，0)(k 1) =0)(k 1)-0)(k)预测。

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灰色预测GM(1, 1)模型实现过程

灰色预测GM(1, 1)模型实现过程

灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程

灰色系统预测模型GM(1,1)

1. GM(1,1)的一般形式

设有变量X(0)＝{X(0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X(0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：

X(1)＝{X(1)(k)，k＝1，2，…，n}

其中

X(1)(k)＝ki1X(0)(i)

＝X(1)(k－1)+ X(0)(k) (1)

对X(1)可建立下述白化形式的微分方程：

dtdX)1(十)1(aX＝u (2)

即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为(离散响应)：

X(1)(k+1)＝(X(0)(1)－au)ake＋au (3)

或

X(1)(k)＝(X(0)(1)－au))1(kae＋au (4)

式中：k为时间序列，可取年、季或月。

2. 辩识算法

记参数序列为a, a＝[a,u]T,a可用下式求解:

a＝(BTB)-1BTYn (5)

式中:B—数据阵；Yn—数据列

B＝ 1 (n))X1)-(n(X 21 ... 1 (3))X(2)X(211 (2))X(1)X(21(1)1(1)(1)(1)(1)）（－－ (6)

灰色预测GM(1,1)

灰色预测GM(1,1)

南昌市民用汽车保有量灰色GM(1,1)模型预测

灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色模型适合于小样本情况的预测，当然对于大样本数据，灰色模型也可以做，并且数据个数的选择有很大的灵活性。

原始序列X(0)：

表1 南昌市民用汽车保有量

年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

南昌市民用汽车保有量(万辆) 24.4109 26.7307 30.3878 36.3807 41.0161 43.73 48.41 61 57

63.1

第一步：构造累加生成序列X(1)；

第二步：计算系数值；

通过灰色关联分析软件GM进行灰色模型拟合求解，得到：

α= -0.101624 ， μ=25.290111 ， 平均相对误差为4.685749%

第三步：得出时间响应预测函数模型为：

858996.248269896.2731101624.01kekX

第四步：进行灰色关联度检验。

真实值：

{24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000}

预测值：

{24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056}

计算得到关联系数为：

{1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986}

灰色预测模型GM(1-1)(精)

灰色预测模型GM(1-1)(精)

数学建模案例分析

灰色预测模型GM(1,1)及其应用

蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。

为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。

一、灰色预测模型GM（1,1）

建模步骤如下：

（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：

dX(1)

+aX(1)=u （1） dt

式中，a,u是需要通过建模来求得的参数；X(1)是原始数据X(0)的累加生成（AGO）值。

（2）将同一数据列的前k项元素累加后生成新数据列的第k项元素，这就是数据处理。表示为：

X

不直接采用原始数据X(0)(1)(k)=∑X(0)(n) （2） n=1k建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。

（3）对GM（1,1），其数据矩阵为

⎛-0.5[X(1)(1)+X(1)(2)] -0.5[X(1)(2)+X(1)(3)]B= -0.5[X(1)(N-1)+X(1)(N)]⎝

向量YN=[X(0)(2),X(0)(3), ,X(0)(N)]T

（4）作最小二乘估计，求参数a,u 1⎫⎪1⎪ （3） ⎪ ⎪1⎪⎭

T-1Tˆ= ⎪α=(BB)BYN （4） u⎪⎝⎭⎛a⎫

（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为

实验1 基于灰色模型GM(1,1)的污染物排放量预测2012

实验1 基于灰色模型GM(1,1)的污染物排放量预测2012

1 实验一 基于灰色模型GM(1,1)的污染物排放量预测

一、实验目的

1.掌握GM(1,1)的建模步骤；

2.掌握GM(1,1)模型精度的检验方法。

二、实验设备与器材

1. PC机一台；

2. Office2003软件。

三、实验内容

已知2007年～2011年某区能耗和污染物排放量数据（见下表），建立GM(1,1)模型，并利用该模型预测2012年~2015年的能耗量和污染物排放量。

2007 2008 2009 2010 2011

耗煤量（万吨） 2.9 3.78 4.19 5.07 5.1

废气排放量（亿m3）

21.0 28.2 32.3 54.7 76.8

SO2排放量（t） 215 247.7 301.6 316.7 306.5

COD（t/年） 398 453 500 507 567

工业固废产生量（万t） 4.35 4.69 5.18 6.29 6.78

四、实验步骤

1.建立一次累加生成数列

设原始数列为ninxxxxx,,2,1)},(,),3(),2(),1({)0()0()0()0()0(

按下式进行一次累加，得到生成数列(n维样本空间)：

(1)(0)1()(),imxixm 1,2,,in

2.利用EXCEL求参数ua、。设

1)]()1([211)]3()2([211)]2()1([21)1()1()1()1()1()1(nxnxxxxxB，

Tnn，xxxy)(),3(),2()0()0()0( 2 参数辨识ua、：nTTyBBBuaa1)(ˆ

3.建立GM(1,1)的模型

aueauxixai))1(()1(ˆ)0()1(

niixixixxx,,3,2),1(ˆ)(ˆ)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0()1()0(

4.模型精度的检验--后验差检验方法