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GM(1_1)模型,灰色预测

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小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计

一、灰色系统的引入：

灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述.

灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。

目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。

特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。

灰色模型的优点

（一） 不需要大量的样本。

（二） 样本不需要有规律性分布。

（三） 计算工作量小。

（四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。

（五） 可用于近期、短期，和中长期预测。

（六） 灰色预测精准度高。

二、GM（1,1）模型（grey model一阶一个变量的灰微分方程模型）

灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。

GM（1,1）的具体模型计算式

设非负原始序列

nxxxX)0()0()0()0(,...,2,1

对)0(X作一次累加

kiixkx1)0()1( ; k=1,2,…,n

得到生成数列为

nxxxX)1()1()1()1(,...,2,1

于是kx)0(的GM（1,1）白化微分方程为

uaxdtdx)1()1( (1—1) 其中a,u为待定参数，将上式离散化，即得

ukxazkx11)1()1()1( （1—2）

其中1)1()1(kx为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，

)1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(kxkxkxkxkxkxr （1—3）

1)1(kxz为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x的取值）

kxkxkxz)1()1()1(1211 （1—4）

将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得

ukxkxakx]121[1)1()1()0( （1—5）

将（1—5）式展开得

uanxnxxxxxnxxx1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）

令nxxxY)0()0()0(:32，1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(nxnxxxxxB，Tua 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成

BY （1—7）

参数向量可用最小二乘法求取，即

YBBBuaTTT1ˆ,ˆˆ （1—8）

把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为

aueauxkxkaˆˆˆˆ11ˆ)1()1( （1—9）

还原到原始数据得

kaaeauxekxkxkxˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ （1—10） （1—9）、（1—10）式称为GM（1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM（1,1）模型灰色预测的具体计算公式。

建立灰色预测模型的一般步骤

第一步：级比检验，建模可行性分析。

第二步：数据变换处理。

第三步： 用GM(1,1)建模。

第四步：模型检验。

三、灰建模事例

北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据

序号 年份 Leq

1 1986 71.1

2 1987 72.4

3 1988 72.4

4 1989 72.1

5 1990 71.4

6 1991 72.0

7 1992 71.6

表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]

第一步：级比检验，建模可行性分析。

1、建立交通噪声平均声级数据时间序列：

)6.71,...,4,72,1.71(7,...,2,1)0()0()0()0(xxxX

2、求级比：kxkxk)0()0(1

0059.1,9917.0,0098.1,0042.1,0000.1,9820.07,...,3,2

3、级比判断： 1212,nneek

由于所有的284025417.1,778800783.0k，（k=2,3,…7），故可以用)0(X作满意的GM（1,1）建模。

（注：由此处可见，当样本数量增加时，GM模型能够接受的相邻两个样本的变化范围变小，正常情况上公司每天的上班人数基本恒定，因此可以在样本数量的选择和可能的变换范围之间作一个平衡：n取20时，允许的变化范围大致为（0.91 , 1.1）；n取40时，允许的变化范围大致是（0.95 ，1.05）…在进行预测时，只要使用最新的n组数据即可 ）

第二步：用GM（1,1）建模

1、 对原始数据)0(X作一次累加：

kmmxkx1)0()1()( （k=1,2,…,7）

得：

7,...,2,1)1(11)1(xxxX

=（71.1，143.5，215.9, 288, 359.4, 431.4, 503）

2、 构造数据矩阵B以及数据向量Y：

2.467)7()6(21)7(4.395)6()5(21)6(7.323)5()4(21)5(95.251)4()3(21)4(7.179)3()2(21)3(3.107)2()1(21)2()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(xxzxxzxxzxxzxxzxxz

于是可以得

6.710.724.711.724.724.72)7()6()5()4()3()2()0()0()0()0()0()0(xxxxxxY，12.46714.35917.323195.25117.17913.1071)7(1)6(1)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1()1()1(zzzzzzB

3、 用最小二乘法估计求参数列Tua

6572696.7200234379.0ˆ,ˆˆ1YBBBuaTTT

于是可以得到00234379.0ˆa，6572696.72ˆu

4、 建立模型 6572696.72)(00234379.0)()1()0(kzkx

解得时间响应序列为

aueauxkxkaˆˆˆˆ11ˆ)1()1(

=95259.3099985259.3092800234379.0ke

5、 求生成数列值1ˆ)1(kx及模型还原值1xˆ(0)k；

令k=1,2,…,6带入时间响应函数即可得到kx)1(ˆ

其中取1.71)1()1(ˆ)1(ˆ)1()0()1(xxx

由kaaeauxekxkxkxˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ，得到还原值

)7(ˆ),...,2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0(xxxX

=（71.1, 72.4, 72.2, 72.1, 71.9, 71.7, 71.6）

第三步：模型的误差分析

由此可见，该模型精确度较高，可以进行预报及预测。

备注：

灰色模型的创建者邓聚龙已经证明，只需要4个数据就可以建立GM（1，1）模型

经典GM（1,1）模型要求发展系数|a|<2，且a的值越接近0，预测的结果越精确。这一点对于预测公司每日上班人数等变化不大的数据无疑是有利的。

樊肇楠

2013.04.24

序号 年份 Leq原始值 Leq模型值 残差 相对误差

1 1986 71.1 71.1 0 0

2 1987 72.4 72.4 0 0

3 1988 72.4 72.2 0.2 0.28%

4 1989 72.1 72.1 0 0

5 1990 71.4 71.9 -0.5 0.70%

6 1991 72.0 71.7 0.3 0.42%

7 1992 71.6 71.6 0 0

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改进的灰色GM(1,1)模型在滑坡预测中的应用

改进的灰色GM(1,1)模型在滑坡预测中的应用

第２５卷第４期　２００８年８月　华东交通大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅａｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．２５　Ｎｏ．４　Ａｕｇ．，２００８　

文章编号：１００５—０５２３（２００８）０４—００１１—０４　

改进的灰色ＧＭ（１，１）模型在滑坡预测中的应用　

王祥，郑明新，张定邦　

（华东交通大学土木建筑学院，江西南昌３３００１３）　

摘要：滑坡形成机制复杂其变形受多种因素影响，具有相当的模糊性和灰色不确定性，因而利用灰色预测模型对滑坡进行预　测将是一条有效的途径．在介绍了灰色预测的基本原理及其精度检验方法后，针对传统灰色ＧＭ（１，１）模型中背景值的取法，提　出了一种自动寻优定权的改进措施，通过实例对比分析，表明其预测精度将得到有效提高．　关键词：滑坡；灰色预测；ＧＭ（１，１）模型；背景值　中图分类号：Ｐ６４２．２２　文献标识码：Ａ　

滑坡是一种常见而严重的地质灾害，常常给人民的生命财产和国家经济建设造成巨大的损失，对滑坡进　

行时间预测具有十分重要的作用．但由于工程地质因素的复杂性和岩体结构特征的特殊性，目前还难以通过　对其力学机制建立完全的力学模型来进行准确的位移预测．而滑坡地质灾害是一个十分复杂的过程，其滑动　

位移是特定的地质背景和多种因素共同作用的结果，具有相当的模糊性和灰色不确定性，利用灰色预测模型　对滑坡位移的发展过程进行模拟和预测将是一条有效的途径．　

运用传统的灰色ＧＭ（１，１）模型进行预测，有时精度较高，有时会出现较大偏差．为提高预测精度，对传统　模型进行改进并通过对具体实例的模型比较，说明改进的灰色ＧＭ（１，１）模型在滑坡预测具有更高的精度．　

１　ＧＭ（１，１）模型　

１．１基本原理［１，２］　设滑坡等间隔位移监测数据序列为　（。）　（。）＝｛ｘ（Ｏ　（１），　（。　（２），…，　（。　（凡）｝　（１）　

式中　（。’（ｋ）　０，ｋ＝１，２，…ｎ，ｋ为时间序号；ｎ为监测数据的总个数；　（。’（ｋ）为第ｋ个位移监测数　

基于灰色预测模型GM(1

基于灰色预测模型GM(1

市场论坛　区域经济　２０１１年第２期　

（总第８３期）　

基于灰色预测模型ＧＭ（１，１）　

的西部经济发展与环境污染关系研究　

胡中峰　

（桂林理工大学管理学院　丁延萍　

广西桂林５４１００４）　

【摘要】根据西部地区２００３￣２００８年间的相关数据，建立经济发展与环境污染的ＧＭ（１，１）￣Ｂ８，对西部未来经济发展与　环境污染进行预测，结果表明西部工业比重将持续上升，能源消耗继续增加，经济与环境关联度下降，耦合作用降低，这种“高增　

长、高污染”的经济增长方式是不符合可持续发展战略的。　【关键词】经济与环境灰色预测模型灰色关联分析　【中图分类］Ｆ１２７　【文献标识码】Ａ　【文章编号］１６７２－－８７７７（２０１１）０２－－００２５－－０３　

一、引言　

由世界各个国家或地区经济发展史看，环境恶化是经济　发展过程中面临的一个严重问题。工业化的过程中，由于污　染物的排放不断增加，经济增长导致环境下降，而环境恶化反　过来制约着经济的长期持续增长，可见经济增长和环境质量　之间有着紧密的联系。随着西部大开发战略的实施，西部经　济增长迅速，ＧＤＰ总量年增速在１Ｏ　以上，２００８年达５８２５７　亿元，人均１６０００．０７元。但人均能源消耗与人均工业固体废　物排放量也逐年上升，从２００１年的０．９８７吨标煤与０．５９６吨　增加为２００８年的２．Ｏ９吨标煤与１．５２４吨。为促进西部地区　经济与环境的协调发展，本文运用灰色关联分析和灰色预测　

理论，建立灰色预测模型，对西部经济与环境的可持续发展进　行实证研究并提出相应的对策和建议。　

二、ＧＭ（１，１）灰色预测　

灰色预测模型是以“部分信息已知，部分信息未知”的“小　样本、贫信息”不确定性系统为研究对象，它既能凸现原始数　据变化的规律又能消除其波动性大及历史数据不足等问题，　是一种基于微分方程的预测。通过大量应用实践证明，ＧＭ　

（１，１）模型在预测实践中适应性较好，本文即是运用此模型进　行预测。　（一）ＧＭ（Ｉ，１）预测方法　１、模型的建立　设原始时间序列为：　‘　＝（　‘。　（１），　‘。　（２），…，　‘。　（　））　

灰色系统理论GM(1,1)预测模型的应用

灰色系统理论GM(1,1)预测模型的应用

第３８卷第６期　昆明理工大学学报（自然科学版）　２０１３年１２月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｋｕｎｍｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０ｌ＿３８　Ｎｏ．６　Ｄｅｃ．２０１３　

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—８５５ｘ．２０１３．０６．０２０　

灰色系统理论ＧＭ（１，１）预测模型的应用　

贾得海　，曾建初　

（１．昆明理工大学管理与经济学院，云南昆明６５００９３；　２．昆明理工大学管理与经济学院公共基础设施项目管理研究所，云南昆明６５０５００）　

摘要：提高奖励标准是计划生育“少生快富工程”能继续产生吸引性和时效性的关键．但是提高　

的幅度既要与国家的财政承受度相匹配，又不缺乏时效性和吸引性，而奖励标准与农民人均年纯　收入又有着紧密的联系，因此在两者之间建立模型．由于对农民人均年纯收入产生的影响因素有　

多种，并且它们中都具有明确信息和未明确信息的特征．所以很困难运用传统的结构法建立模型　

来进行预测和解析，而灰色系统理论则可以弥补传统结构法建立模型的不足．本文研究了灰色系　

统理在人均年收入预测中的应用，作为应用实例，对云南省德宏州农民人均年纯收入建立了ＧＭ　（１，１）模型，并进行了残差修正．根据检验结果可知，所建立的残差修正ＧＭ（１，１）模型对农民人　

均年纯收入的短期动态变化趋势有良好的预测效果．　

关键词：灰色系统理论；ＧＭ（１，１）模型；人均年纯收入；预测　中图分类号：Ｎ９４１．５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７～８５５Ｘ（２０１３）０６—０１１５—０６　

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ＧＭ（１，１）Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　Ｍｏｄｅｌ　

Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｇｒｅｙ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｔｈｅｏｒｙ　

ＪｌＡ　Ｄｅ—ｈａｌ　．ＺＥＮＧ　Ｊｉａｎ—ｃｈｕ　

（１．Ｆａｃｕｈｙ　ｏｆ　Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　６５００９３，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｉｎｆｒａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，　Ｋｕｎｍｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　６５０５００，Ｃｈｉｎａ）　

Matlab+灰色预测模型模型GM(1,1)

Matlab+灰色预测模型模型GM(1,1)

GM(1,1)灰色预测模型

Introduction

Initial

给定原始序列：

x(0) =(x(0)(1), x(0)(2), x(0)(3)…, x(0)(n))

Step 1

一次AGO(1-AGO)生成序列，以弱化原始序列的随机性和波动性：

x(1) =(x(1)(1), x(1)(2), x(1)(3)…, x(1)(n))

Matlab Program

clear

syms a b;

c=[a b]';

fid=fopen('.\Grey Model\test.txt');

x0=fscanf(fid,'%f');x0=x0';

fclose(fid);

x1=cumsum(x0); %原始数据累加

n=length(x0);

for i=1:(n-1)

z(i)=(x1(i)+x1(i+1))/2; %生成累加矩阵

end

%计算待定参数的值

Y=x0;Y(1)=[];

Y=Y';

B=[-z;ones(1,n-1)];B=B';

c=inv(B'*B)*B'*Y;

c=c';

a=c(1);b=c(2);

%预测后续数据

%预测之后10个时间单位的数据

xx1=[];xx1(1)=x0(1);

for i=2:(n+10)

xx1(i)=(x0(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;

end xx0=[];xx0(1)=x0(1); Step 2

(1) 𝑑𝑥(1)𝑑𝑡+𝑎𝑥(1)(𝑡)=𝑢，式中a, u为待定系数。

灰微分方程模型为：

𝑥(0)(𝑘)+𝑎𝑧(1)(𝑘)=𝑢，z为背景值

𝑧(1)(𝑘)=1/2(𝑥(1)(𝑘)+𝑥(1)(𝑘−1))

(2) 构造矩阵B和数据向量𝑌𝑛

𝑌𝑛=𝐵𝑎̂

𝑌𝑛=[ 𝑥(0)(2)𝑥(0)(3)⋮𝑥(0)(𝑛)]

, B=[ −1/2(𝑥(1)(1)+𝑥(1)(2)),−1/2(𝑥(1)(2)+𝑥(1)(3)),⋮−1/2(𝑥(1)(𝑛−1)+𝑥(1)(𝑛)), 1 1 ⋮ 1]