2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期中数学试题(解析版)
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第 1 页 共 12 页 2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．在xy，轴上的截距分别是3，4的直线方程是
A．43120xx B．43120xy
C．4310xy D．4310xy
【答案】B
【解析】根据直线方程的截距式写出直线方程即可
【详解】根据直线方程的截距式写出直线方程134xy，化简得43120xy，故选B.
【点睛】本题考查直线的截距式方程，属于基础题
2．过原点且倾斜角为30的直线被圆2224xy所截得的弦长为
A．2 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】先根据题意求出直线方程，再由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，最后根据2222ldr求解出弦长的一半，乘以2得到结果
【详解】直线的倾斜角为30，则其斜率3tan303k
则过原点且斜率为33的直线方程为33yx
由圆2224xy可得:圆心坐标为02，，半径为2
则圆心02，到直线33yx的距离为：2232313
故所截得的弦长为222232
故选A
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，牢记弦长的计算公式及点到直线的距离公式，较为基础．
3．圆2240xxy与圆22430xyx的公切线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D 第 2 页 共 12 页 【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．
【详解】2240xxy 222(2)2xy 圆心坐标为（2，0）半径为2；
22430xyx222(2)1xy圆心坐标为(2,0)，半径为1，
圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．
故本题选D.
【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．
4．已知点2,3A，3,2B，若点,Pxy在线段AB上，则11yx的取值范围为（ ）
A．3,4,4 B．13,,44
C．34,4 D．3,44
【答案】A
【分析】11yx表示点,xy与1,1P与直线的斜率取值范围，先求出1,1与,AB点连线斜率，再结合题意即可得出答案.
【详解】解：∵1212yykxx，∴可得11yx为点,xy与1,1P与直线的斜率取值范围，
如图所示：
∴1,1与B点连线斜率为1123134k，
1,1与A点连线斜率为213412k，
∴可得斜率取值范围为3,4,4．
故选:A． 第 3 页 共 12 页 5．若圆226:80Mxyxy上至少有3个点到直线:1(3)lykx的距离为52，则k的取值范围是（ ）
A．[3,0)(0,3] B．[3,3]
C．(,3][3,) D．(,3)(3,)
【答案】C
【解析】首先将圆配成标准式，由题意则圆心到直线的距离不超过52，利用点到线的距离公式得到不等式，解得.
【详解】解：圆M的标准方程为：222(3)(4)5xy，圆心3,4M，半径为5，要满足题意，由圆的几何性质得圆心3,4M到直线:13lykx的距离不超过52，则2|5|521k，解得23k，即3k或3k．
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.
6．已知直线:210lxy及圆22:124Cxy，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则PA的最小值是（ ）
A．455 B．255 C．4705 D．2705
【答案】A
【分析】根据题意，由切线长公式可得2224PAPCrPC ，据此可得当PC取得最小值时， PA取得最小值，又由PC的最小值即点C到直线l的距离，计算可得答案.
【详解】根据题意，圆22:124Cxy的圆心C(-1，-2)，半径r= 2，
过直线:210lxy上任意一点P向圆引切线PA，切点为A
则2224PAPCrPC ，
当PC取得最小值时， PA取得最小值，
又由PC的最小值即点C到直线l的距离2212(2)16512d，
PA取得最小值为455.
故选：A 第 4 页 共 12 页
二、填空题
7．已知直线l过圆226260xyxy的圆心且与直线10xy垂直.则l的方程是__________．
【答案】20xy
【分析】根据题意，求出圆的圆心，由直线垂直与斜率的关系可得直线l的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案．
【详解】根据题意，因为226260xyxy，所以22(3)(1)4xy
所以圆226260xyxy的圆心为(3,1)，
直线l与直线10xy垂直，则直线l的斜率1k，
则直线l的方程为1(3)yx，变形可得20xy；
故答案为：20xy．
【点睛】、本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程，注意分析圆的圆心，属于基础题．
8．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，则实数F＝________．
【答案】－2
【解析】方程化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2－F，解方程222F即得解.
【详解】方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0可化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2－F，
因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，
所以222F，
所以F＝－2.
故答案为：-2
【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．圆22:4240Cxyxy关于直线=+1yx对称的圆C的标准方程为______．
【答案】2231xy
【分析】由题意，整理圆的一般方程为标准方程，明确圆心与半径，根据点关于直线对称，可得答案.
【详解】由224240xyxy，则22211xy，即2,1C，半径为1，
设C关于直线=+1yx的对称点,Cxy，可得1×1=12+1+2=+122yxyx，解得=0=3xy， 第 5 页 共 12 页 即0,3C，故圆C的标准方程为2231xy.
故答案为：2231xy
10．过圆x2+（y-2）2=4外一点A（3，-2），引圆的两条切线，切点为T1，T2，则直线T1T2的方程为______．
【答案】3x-4y+4=0
【分析】先根据切线长公式得T1、T2在以A为圆心，切线长为半径的圆上，再根据两圆公共弦方程求法得结果.
【详解】根据题意，圆x2+（y-2）2=4的圆心为（0，2），半径r=2，设该圆的圆心为C（0，2），
又由A（3，-2），|AC|=22345，
则|AT1|=|AT2|=2221ACr，
则T1、T2在以A为圆心，|AT1|=|AT2|=21为半径的圆上，
该圆的方程为（x-3）2+（y+2）2=21，
则直线T1T2的是圆C与圆A的公共弦，则两圆方程对应相减可得：3x-4y-4=0；
即直线T1T2的方程为3x-4y+4=0；
故答案为3x-4y+4=0．
【点睛】本题考查切线长公式以及两圆公共弦方程，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．关于x的方程29(3)4xkx有两个不同的实数解时，实数k的取值范围是_______
【答案】72,243
【解析】方程左边是圆心为原点，半径为3的上半圆，右边为恒过(3,4)的直线，当直线AB与半圆相切时，求出k的值，直线过点(3,0)时，求得k的值，利用图象即可确定出实数k的范围．
【详解】设219yx，2(3)4ykx，图象如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心O到直线AB的距离dr，即2|34|31kk，
解得：724k，
当直线过点(3,0)时，可求得4023(3)3k，
则利用图象得：实数k的范围为72(,]243， 第 6 页 共 12 页
故答案为：72(,]243.
【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
12．已知12FF，分别为椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，直线3lyx：与椭圆C的一个交点为M，若12MFMF，则椭圆的离心率为______.
【答案】31##13
【分析】由直线过原点及斜率，12MFMF，可得22MOOFFMc，再结合椭圆定义，在焦点三角形12FMF△通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率
【详解】由题可知，12FMF△为直角三角形，12OFOFc，直线l过原点O，260MOF，故22MOOFFMc，
又122FMFMa，则12FMac，
在12FMF△中，2221212FMFMFF，即222(2)(2)accc，
又cea，解得：31e或31e（舍去）.
故答案为：31. 第 7 页 共 12 页
三、解答题
13．如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，且12,4ABDD，点,EF分别是1,DBAD的中点．
(1)求直线CE与直线1DD所成角的正切值；
(2)求平面1DBF与平面1BCD的夹角的余弦值；
(3)求点A到平面1DBF的距离．
【答案】(1)22
(2)10535
(3)42121
【分析】建立空间坐标系，写出各个点的坐标，利用空间向量求出（1），（2），（3）问.
【详解】（1）
依题意，建立上图所示空间直角坐标系，其中D为原点，
