指数函数与对数函数(讲义)

指数函数与对数函数(讲义)

指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。指数函数的一般形式是$y=a^x$，其中$a$是底数，$x$是指数。当$01$时，函数图像是上升的。对数函数的一般形式是$y=\log_a x$，其中$a$是底数，$x$是真数。当$01$时，函数图像是下降的。指数函数和对数函数有许多重要的性质，例如它们的定义域和值域，单调性等。

比较大小时，可以利用指数函数和对数函数的单调性。对于同底指数函数，可以直接比较大小。对于异底指数函数，可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。对于同底数对数函数，可以直接利用单调性求解，但如果底数是字母，需要分类讨论。对于异底数对数函数，可以采用化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，1），或者借助图象高低数形结合来比较大小。

换底公式是比较常用的公式之一，可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$，$log_a b^m=m\log_a b$，$a^{\log_a b}=b$等。

练题：

1.若$3a=4b=6c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（B）。

2.计算：

1）若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$，则$\log_8

(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$；

2）设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x

&(x>1)\end{cases}$，则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$；

3）若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq

6)\end{cases}$，则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。

3.（1）函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数；

2）设函数$f(x)$在定义域上是奇函数，则$f(0)=0$。

4.下列大小关系正确的是（A）.$0.43<3.4<\log_4 3$。 1.x-m-1（m为实数）是一个偶函数。已知定义在实数集上的函数f(x)=2-1/2，则a=f(log0.5 3)，b=f(log2 5)，c=f(2m)，则a、b、c的大小关系为（）。

答案：B。首先，我们可以发现f(x)是一个常数函数，其值为2-1/2.因此，a=f(log0.5 3)=2-1/2，b=f(log2 5)=2-1/2，c=f(2m)=2-1/2.因此，a、b、c相等，选项B正确。

2.已知函数f(x)=lg[(a-1)x+(a+1)x+1]/lg2，若f(x)的定义域为实数集，则实数a的取值范围是（）。

答案：a>0且a≠1.首先，我们可以发现(a-1)x+(a+1)x+1>0对于所有的x成立，因此，我们只需要考虑XXX[(a-1)x+(a+1)x+1]的定义域。由于对数函数的定义域是正实数，因此，(a-1)x+(a+1)x+1必须大于0，即a>0且a≠1.因此，答案为a>0且a≠1.

3.若函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)的值域为实数集，则实数a的取值范围是（）。

答案：a≤6.首先，我们可以将f(x)写成log0.5[(x-a/2)2+11a/4]的形式。由于对数函数的值域是实数集，因此，(x-a/2)2+11a/4必须大于0，即11a/4>(a/2)2，解得a≤6.因此，答案为a≤6.

4.已知函数f(x)=log2[ax2+(a-1)x+1]，若f(x)的定义域为实数集，则实数a的取值范围是（）。

答案：a>0.首先，我们可以发现ax2+(a-1)x+1>0对于所有的x成立，因此，我们只需要考虑log2[ax2+(a-1)x+1]的定义域。由于对数函数的定义域是正实数，因此，ax2+(a-1)x+1必须大于0，即a>0.因此，答案为a>0.

5.已知函数f(x)=logx(x+3a)/(5a)，若f(x)在实数集上是增函数，则实数a的取值范围是（）。

答案：a>0.首先，我们可以将f(x)写成logx(x/5a+3)，从而得到f(x)的导函数为1/(xln10(x/5a+3))。由于f(x)在实数集上是增函数，因此，其导函数大于0.因此，xln10(x/5a+3)>0，即x/5a+3>1，解得a>0.因此，答案为a>0.

6.已知函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，并且在区间(-∞，0)上单调递增。若实数a满足f(2a-1)>f(-2)，则a的取值范围是（）。

答案：a1/2.由于f(x)是偶函数，因此f(-2)=f(2)，因此，f(2a-1)>f(-2)等价于f(2a-1)>f(2)。由于f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，因此，2a-1>2，即a>3/2，或者2a-11/2.

7.已知函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，并且在区间[0，+∞)上单调递增。若实数a满足f(log2a)+f(log1/a)≤2f(1)，则a的取值范围是（）。

答案：1/2≤a≤2.由于f(x)是偶函数，因此f(log2a)+f(log1/a)=2f(log√a)，因此，不妨设x=log√a，则f(x)+f(-x)≤2f(0)，即f(x)+f(-x)-2f(0)≤0.由于f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，因此，f(x)+f(-x)-2f(0)的最小值为0，当且仅当x=0.因此，log√a=0，即a=1，或者f(x)+f(-x)-2f(0)在区间[0，+∞)上恒小于0.由于f(x)是单调递增的，因此，f(x)+f(-x)-2f(0)在区间[0，+∞)上恒小于0等价于f(x)在区间[0，+∞)上恒小于f(0)。因此，a的取值范围是1/2≤a≤2.

8.已知函数f(x)=log2[ax2+(a-1)x+1]，若f(x)的值域为实数集，则实数a的取值范围是（）。

答案：a>1/2或a0对于所有的x成立，因此，我们只需要考虑log2[ax2+(a-1)x+1]的值域。由于对数函数的值域是实数集，因此，ax2+(a-1)x+1必须小于0或等于1/2.当ax2+(a-1)x+1=1/2时，解得a=1/2或a=-1/4.当ax2+(a-1)x+11/2或a1/2或a<0.

9.已知函数f(x)=x/(x-3a)(a>1且a≠2)，若f(x)在实数集上是减函数，则a的取值范围是（）。

答案：a>2.首先，我们可以将f(x)写成1/(1-3a/x)，从而得到f(x)的导函数为3a/(x-3a)2.由于f(x)在实数集上是减函数，因此，其导函数小于0.因此，3a/(x-3a)23a。因此，a>2.因此，答案为a>2.

10.若函数f(x)=logx(x+3)/(5a)是实数集上的增函数，则实数a的取值范围是（）。

答案：a>0.首先，我们可以将f(x)写成logx(x/5a+3)，从而得到f(x)的导函数为1/(xln10(x/5a+3))。由于f(x)在实数集上是增函数，因此，其导函数大于0.因此，xln10(x/5a+3)>0，即x/5a+3>1，解得a>0.因此，答案为a>0.

11.已知定义在实数集上的函数f(x)=2-1/2是一个偶函数，则a=f(log0.5 3)，b=f(log2 5)，c=f(2m)，则a、b、c的大小关系为（）。

答案：B。由于f(x)是一个常数函数，其值为2-1/2.因此，a=f(log0.5 3)=2-1/2，b=f(log2 5)=2-1/2，c=f(2m)=2-1/2.因此，a、b、c相等，选项B正确。

12.若函数f(x)=(3-a)x-4a(x≤1)，f(x)=3+loga(x)(x>1)是实数集上的函数，则实数a的取值范围是（）。

答案：a>0.由于f(x)在x≤1的区间上是线性函数，因此，f(x)在x≤1的区间上是单调递减的。由于f(x)在x>1的区间上是对数函数，因此，f(x)在x>1的区间上是单调递增的。因此，f(x)在实数集上是单调不降的。因此，a>0.因此，答案为a>0.

13.已知定义在实数集上的函数f(x)=ln(x2+1)+|x|，若f(2x-1)>f(x+1)，则x的取值范围是（）。

答案：x>0.首先，我们可以将f(x)写成ln(x2+1)+x，从而得到f(x)的导函数为(2x)/(x2+1)+1.因此，f(2x-1)>f(x+1)等价于(2(2x-1))/(4x2-4x+2)+1>(2(x+1))/(x2+2x+2)+1，即4x2-4x+20.因此，答案为x>0.

14.已知函数f(x)=x2-|x|，若f(log3(m+1))

答案：m>0.首先，我们可以将f(x)写成x2-x，因此，f(x)在区间[-1/2，0]上是单调递增的，在区间[0，+∞)上是单调递减的。因此，f(log3(m+1))0.因此，答案为m>0.

1.已知函数 $f(x)=\ln(ax-bx)$。

1) 求函数 $f(x)$ 的定义域 $I$；

2) 判断函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的单调性，并说明理由；

3) 当 $a,b$ 满足什么关系时，$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒取正值。

参考答案】

1) 当 $ax-bx>0$ 时，$\ln(ax-bx)$ 有意义。解得

$x<\frac{b}{a}$。

所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $I=(-\infty,\frac{b}{a})$。

2) 对于 $x_1,x_2\in I$，且 $x_1

f(x_2)-f(x_1)=\ln(ax_2-bx_2)-\ln(ax_1-bx_1)=\ln\frac{ax_2-bx_2}{ax_1-bx_1}

令 $t=ax_2-bx_2$，$s=ax_1-bx_1$，则 $t>s$，且

f(x_2)-f(x_1)=\ln\frac{t}{s}=\ln t-\ln s

因为 $a>1$，所以 $t=ax_2-bx_2>b(x_2-x_1)\geq b>0$，$s=ax_1-bx_1>b(x_2-x_1)\geq b>0$。

所以 $\ln t>\ln b$，$\ln s>\ln b$，即 $\ln t-\ln s>\ln b-\ln

b=0$。

所以 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上单调递增。

3) 当 $a,b$ 满足 $a>b>0$ 时，$ax-bx>0$，且 $f(x)=\ln(ax-bx)>0$，即 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒取正值。