指数与对数讲义

第 1 页 共 3 页 第七节 指数函数与对数函数

1．理解指数函数和对数函数的概念，并理解指数函数和对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．

2．知道指数函数和对数函数是两类重要的函数模型．

3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)．

知识梳理

一、指数函数与对数函数的关系

同底的指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

二、指数函数与对数函数的图象所经过的定点

1．指数函数y＝ax的图象经过定点(0,1)，函数y＝ax－m的图象经过定点________，函数y＝ax－m＋n经过定点______．

2．对数函数y＝logax的图象经过定点(1,0)，函数y＝loga(x－m)的图象经过定点________，函数y＝n＋loga(x－m)经过定点________．

二、1.(m,1) (m,1＋n) 2.(m＋1,0) (m＋1，n)

基础自测

1．(2013·温州八校联考)已知函数f(x)＝ ex，x＜0，ln x，x＞0，则f(f(e1))＝( )

A.1e B．e C．－1e D．－e

第 2 页 共 3 页 解析：由题意得，f(f(e1)) ＝fln1e＝f(－1)＝e－1＝1e.

答案：A

2．(2013·山东滨州一模)“10a＞10b”是“lg a＞lg b”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：由10a＞10b得a＞b，由lg a＞lg b得a＞b＞0，所以“10a＞10b”是“lg a＞lg b”的必要不充分条件，故选B.

答案：B

3. 若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a＝______.

解析：由于互为反函数的关系，f(x)过点(－1,2)，代入得a－1＝2⇒a＝12.

1 第四章 指数函数与对数函数

4.4对数函数

第1课时对数函数的概念

【课程标准】

1. 理解对数函数的概念、图像及性质。

2. 会解与对数函数有关的定义域、值域、比较大小等问题

【知识要点归纳】

1. 对数函数的概念

一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)

2.对数函数的图像和性质

定义 形如logayx（a0且1a）的函数叫做对数函数

定义域 0,

值域 ,

图像

2

【经典例题】

242213log2log3log4log(1).(5)log1xyxyxyyxyx＝；＝；＝5；＝＋

[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为 。

（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )

A．y＝log2x B．y＝2log4x

C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定

注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须严格满足以下条件：

(1)系数为1. 性质 奇偶性 非奇非偶函数

单调性 在0,上是增函数 0,上是减函数

范围 当1x时，0y；

当01x时，0y 当01x时，0y；

当1x时，0y

定点 1,0

对称性 1loglogaayxyxx函数与的图像关于轴对称。 3 (2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

例2 求下列函数的定义域.

(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；

(2)y＝log2(16－4x).

[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．

(1)y＝3log2x；(2)y＝log0.54x－3；

(3)y＝log0.54x－3－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．

第三章幂、指数与对数【过关测试】

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知213loga，则32a=______．

2．已知17aa，则22aa______．

3．幂函数 f（x）=xα（α∈R）过点(2,√2)，则f（4）= ．

4．求值：28log3log9________.

5．若log21x，则x ___________

6．20243123(2018)1.5(3)log328=____________

7．计算 ．

8．43(22)__________．

9．已知实数a满足3322211aa，则实数a的取值范围是_________.

10．函数的定义域为 .

11．函数21yax在[0,2]上的最大值是7，则指数函数xya在[0,3]上的最大值与最小值之和为 ．

12．设3log18a，5log50b，7log98c，则,,abc的大小关系为__________（用“”连接）.

32272lg4lg32lg二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知集合40log1Axx，240Bxx，则AB（ ）

A．0,1 B．0,2 C．1,2 D．1,2

14．使对数log21aa有意义的a的取值范围为（ ）

A．1,11,2 B．10,2 C．0,11, D．1,2

15．2525（ ）

A．5 B．5 C．25 D．25

16．若幂函数322233mmxmmy的图象不过原点，且关于原点对称，则

1 第四章 指数函数与对数函数

4.2指数函数

第1课时指数函数的概念

【课程标准】

1. 了解指数函数的概念

2. 区分两类指数函数，了解不同点。

3. 掌握指数函数的性质

【知识要点归纳】

1.指数函数的定义

一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.

（2）要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.

②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.

④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.

2.指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 2 a>1 0

图象

定义域 R

值域 (0，＋∞)

性质 过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝1

函数值的变化 当x>0时， ；

当x<0时， 当x>0时， ；

当x<0时，

单调性 在R上是 在R上是

【经典例题】

判断一个函数是指数函数的方法

(1)形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征.

(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.

例1 下列函数中是指数函数的是________.(填序号)

[跟踪训练] 1 （1）函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.

（2）若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝( )

A.(2)x B.2x C.12x D.22x 3 2123231=________.xxfxaaafxaaaf例2.函数是指数函数，则的取值范围是________.函数是指数函数,则