二次函数与方程

1 二次函数专题

二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系

问题1：你能快速地求出一元二次方程2230xx的根吗？

问题2：请你画出函数223yxx图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230xx的根之间有某种联系，你有什么发现吗？

问题3：研究一元二次方程2230xx的根的个数及其判别式与二次函数223yxx的图像和x轴的交点个数，你能得到什么结论？

问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？

归纳：（1）对于二次函数cbxaxy2)0(a来说，当0y时，就得一元二次方程02cbxax)0(a，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程acb42的取值与二次函数图像与x轴的交点坐标的情况之间的关系：

①当042acb时，一元二次方程02cbxax有两个不相等的实数根，抛物线cbxaxy2与x轴有两个交点；

②当042acb时，一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根，抛物线cbxaxy2与x轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；

③当042acb时，一元二次方程02cbxax没有实数根，抛物线cbxaxy2与x轴没有交点（抛物线全部在x轴上方或全部在x轴下方）.

（2）当一元二次方程02cbxax有两个不相等的实数根1x、2x时，抛物线cbxaxy2与x轴交于两点A(1x,0)、B(2x,0)，此时有abxx21，1x·acx2.此时抛物线与x轴两交点的距离为：

AB=21xx=221)(xx212214)(xxxx224aacba

例1 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .

中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围

一、解答题

1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，

(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？

(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：

(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a

2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0

和3m,0

在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠

0)的图像上．

(1)当m=-1时，求a和b的值；

(2)若二次函数的图像经过点An,3

且点A不在坐标轴上，当-2

(3)求证：b2+4a=0．

·1·

3(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c(b，c是常数)．

(1)当b=2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．

(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,-3)时，求n关于m的函数解析式．

(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．

4(2023·浙江宁波·校考三模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1

，点B0,5

．

(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；

(2)点Cm,n

在该二次函数图像上，当m≤x≤4时，n的最大值为

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4，最小值为1，请根据图像直接写

出m的取值范围．

·2·

5(2023·浙江舟山·统考三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)经过点

A1，0

，点B0，3．点P在此抛物线上，其横坐标为m．

(1)求此抛物线的解析式．

(2)若-1≤x≤d时，-1≤y≤8，则d的取值范围是．

(3)点P和点A之间(包括端点)的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的

值．

6(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2ax+1(a是常数)．

二次函数与方程不等式的关系

一、知识点梳理

1、二次函数表达式的几种常见方法

（1）三点式（或一般式）：)0,,(2acbacbxaxy为常数且，表达式的右边是二次三项式的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于cba,,的三元一次方程组求解.

（2）顶点式：khxay2)()0,,(akha为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶点坐标为),(kh，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a的一次方程来求。当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其代入khxay2)(中求解.

2、二次函数 cbxaxy2与一元二次方程02cbxax的关系

抛物线：cbxaxy2与x轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02cbxax的实根.

因为x轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线cbxaxy2与x轴交点的横坐标，可利用函数表达式cbxaxy2来求，只需令0y,得一元二次方程02cbxax,方程的解即为交点的横坐标.

抛物线cbxaxy2与x轴的交点有三种情况：

（1）当042＞acb时，方程02cbxax有两个不相等的实数根21,xx，拋物线cbxaxy2与x轴有两个交点)0,(),0,(21xx；

（2）当042acb时，方程02cbxax有两个相等的实数根2a-21bxx，

抛物线cbxaxy2与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(ab;

（3）当042＜acb时，方程02cbxax没有实数根，抛物线与x轴没有交点.

3、二次函数的图像与一次函数图像的交点

一次函数0knkxy的图像L与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxy,nkxy2的解的个数来确定：

二次函数与一元二次方程、不等式洋葱数学

二次函数是数学中的一种函数形式，它的一般形式可以表示为f(x)

= ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。在二次函数中，x是自变量，f(x)是因变量。

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式可以表示为ax^2 + bx + c = 0。在解一元二次方程时，我们可以使用求根公式或配方法来求得方程的解。

不等式是数学中另一个重要的概念，它描述了两个数或两个表达式之间的大小关系。在不等式中，我们通常使用大于、小于、大于等于、小于等于等符号来表示不同的大小关系。

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二次函数和一元二次方程有着密切的关系。事实上，一元二次方程的解就是二次函数的零点。当我们求解一元二次方程时，实际上是在求解相应的二次函数在x轴上的交点。通过求解一元二次方程，我们可以确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标。

在解一元二次方程时，我们可以使用求根公式来求解。对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个解可以分别表示为x = (-b + √(b^2 - 4ac))/(2a)和x = (-b - √(b^2 - 4ac))/(2a)。这两个解可以帮助我们确定二次函数的零点。

除了求解一元二次方程，我们还可以利用二次函数的性质来解决一些实际问题。例如，我们可以利用二次函数的顶点来确定函数的最值。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的顶点的横坐标可以表示为x = -b/(2a)，纵坐标可以表示为f(-b/(2a))。通过求解顶点，我们可以确定二次函数的最值以及最值对应的自变量的取值。

二次函数还有许多其他的性质和应用。例如，二次函数的图像可以是抛物线，它的开口方向和抛物线的位置与二次函数的系数有关。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。通过分析二次函数的图像，我们可以研究函数的增减性、奇偶性、对称性等性质。