【高中数学】函数模型及其应用

高中数学学科

函数模型及其应用

一、基础知识

1．常见的8种函数模型

(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；

(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；

(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．

(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：

①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.

(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内

单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减

性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化随x的增大，逐渐表

现为与y轴平行随x的增大，逐渐表

现为与x轴平行随n值变化而各有不

同

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax

幂函数模型y＝xnn>0可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小n≤1时，增长较慢；

当n值较大n>1时，增长较快.

考点一二次函数、分段函数模型高中数学学科

[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票

每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到

达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

[解](1)设每团人数为x，由题意得0

则y＝900，0

即y＝900，0

(2)设旅行社获利S元，

则S＝900x－15000，0

即S＝900x－15000，0

因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.

又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.

故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]

二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，

需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．

(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调

性求解最值．

[题组训练]

1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝C，0A.已

知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费

一月份4m34元

二月份25m314元高中数学学科三月份35m319元

若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元

C．10.5元D．10元

解析：选A根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)

＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0

4＋12x－5，x>5，所以f(20)＝4＋12×(20

－5)＝11.5.2．A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，

为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方

与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；

(2)把月供电总费用y表示成x的函数；

(3)核电站建在距A城多远，才能使月供电总费用y最少？

解：(1)由题意知x的取值范围为[10,90]．

(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．

(3)因为y＝5x2＋52(100－x)2

＝152x2－500x＋25000

＝152x－10032＋500003，

所以当x＝1003时，ymin＝500003.

故核电站建在距A城1003km处，能使月供电总费用y最少．

考点二指数函数、对数函数模型

[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药

后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．高中数学学科

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；

(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次

后治疗疾病有效的时间．

[解](1)由题图，设y＝kt，0≤t≤1，12t－a，t>1，

当t＝1时，由y＝4，得k＝4，

由121－a＝4，得a＝3.所以y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t>1.

(2)由y≥0.25得0≤t≤1，4t≥0.25或t>1，12t－3≥0.25，

解得116≤t≤5.

故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．

[解题技法]

1．掌握2种函数模型的应用技巧

(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，

在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、

银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析

式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．

(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．

[题组训练]

1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每

次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其高中数学学科

他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损

C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况

解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a

2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgI10－12给出，其中I为声强(单位：W/m2)．

(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？

解：(1)当声强为10－6W/m2时，

由公式Y＝10lgI10－12，

得Y＝10lg10－610－12＝10lg106＝60(分贝)．

(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lgI10－12，

得10lgI10－12＝0.

∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，

则最低声强为10－12W/m2.

[课时跟踪检测]

1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价

与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910

日均销售量/件400360320280240200160

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)

应为()A．4B．5.5

C．8.5D．10

解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销高中数学学科

售量就减少40件．设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，则y＝(x－3)·[400－(x－4)·40]

＝－40x－1722＋1210，故当x＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.

2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不

超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5

元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A．13立方米B．14立方米

C．15立方米D．16立方米

解析：选C设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝3x，0≤x≤10，30＋5x－10，x>10，即y＝3x，0≤x≤10，5x－20，x>10.易知该职工这个月的实际用水量超过10

立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝x210－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()

A．240吨B．200吨

C．180吨D．160吨解析：选B依题意，得每吨的成本为yx＝x10＋4000x－30，则yx≥2x10·4000x－30＝

10，

当且仅当x10＝4000x，即x＝200时取等号，

因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤

过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()

A.12小时B.59小时

C．5小时D．10小时

解析：选C由题意，前5个小时消除了90%的污染物．

∵P＝P0e－kt，

∴(1－90%)P0＝P0e－5k，

∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln0.1，

∴k＝－15ln0.1.