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巧用判别式法解决数学问题

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巧用判别式法解决数学问题

作者：尹伦 童恺

学校：宁波外国语学校

形如02cbxax（0a）的方程叫做一元二次方程，其中cba,,为此方程的系数，而acb42叫做方程的判别式。判别式的基本功能是判断一个一元二次方程是否有实数根，以及实数根的个数。而在竞赛题中，判别式则适用于更多的领域，有着更多、更巧妙的应用。本文将探讨怎样用判别式法巧解竞赛题。

一、判断根的情况

这是判别式的基本功能，即判断一个一元二次方程是否有实数根，以及实数根的个数。在具体的题目中它的应用有许多变化，请看一下例题。

例1 已知rqp,,都是正数。求证：关于x的三个方程：082qxpx，082rxqx，082pxrx中至少有一个方程有两个不相等的正实数根。

——《初中数学培优教程·专题讲座》第五章

证明 从反面考虑：假设三个方程都没有不相等的实数根，则：

021qp

022rq

023pr

三式相加，得02rqp，与rqp,,为正数矛盾。故其中必有一个方程有不等的实数根。不妨设方程082qxpx的两根为x1，x2，根据韦达定理有8q x·x21>0，表明x1、x2同号。又0pxx21，所以x1，x2均大于0.综上所述，至少存在有一个方程有两个不等正实数根。

二、求字母系数的取值范围

这同样也是判别式的基本用法之一，在中考和竞赛题目中出现频率较高。而此时需要注意二次项系数的取值情况，并进行分类讨论，如例2：

例2 若关于x的方程01)2(2)1(22xmxm有实数根，求m的取值范围。

——2004年河北省初中数学竞赛试题

解 （1）当012m时，方程是一元二次方程

方程有实数根，则△0，则

12m≠0

△=)1(4)2(222mm≥0

解得145mm且

（2）若方程为一元一次方程，则

0)2(201m2m

解得m1

且当1m时，原方程为61,016xx有实根

当210121xxm，有实根时，原方程为

∴综上所述，当时，原方程有实数根。45m

三、利用判别式解决一元二次方程整数根问题

下面介绍一些判别式更高级的用法。利用判别式解决一元二次方程整数根就是一例。经过我们的研究发现，这类题型在初中竞赛中有极高的出现频率。下面选择了一道全国初中数学联赛的试题来说明一般的解法。

例3 已知方程0324n622nxx的根都是整数，求整数n的值.

——2004年全国初中数学联赛

解 0n32n4x6x22

n12816n362=09n32n442）（

设）（0mm9n32n422

55m8n222）（

55m8n2m8n2））（（

m8n2m8n2

由两者奇偶性相同得到如下四组可能情况：

1m8n255m8n2 5m8n211m8n2 -55m8n2-1m8n2 -11m8n2-5m8n2

解得818010，，，n

四、利用判别式求最值

在竞赛题中，除将二次方程转化成二次函数顶点式来求最值以外，判别式是最常用的一种方法。下面举两例来具体说明。

例4 满足 的最大值。），求，的所有实数对（）（）（xyyx63y3x22

思路 这里可以令txy，然后将原方程表示为一个关于x的一元二次方程，利用△求出maxt

解 令txy，则012x1t6x1t22）（）（

△01t481t3622）（）（

即023t23t1t6t2））（（

此时t的解集为223t223

所以223txymaxmax）（

BCAED

例5 已知a、b、c满足4abc2cba，

（1）求a、b、c中的最大者的最小值

（2）求的最小值cba

——2003年全国初中数学联赛

思路 用b、c来表示a，根据韦达定理建立以b、c为两根的一元二次方程，利用△求mina

解 （1）因为条件中的两式都是关于a、b、c的对称式，a、b、c地位均等，不妨设cba、

∵cba,2ba、c

∴a>0, 且a4bca2cb，

∴b、c为一元二次方程0a4xa2x2）（‘的两实数根

则△0a44a22）（，

0)4)(4(0164a4a223aaa

∴4a

当4cba1cb4a中最大者的最小值为、、时，满足题意，故，

（2）∵2ba0abcc，

∴0,0,0cba

∴22)2(cbaaaacba

当a取最小值即得原式最小值，由（1）4mina得6)cba(min

五、判别式的综合应用问题

（1）判别式与三角形

在处理边与边关系时，我们通常会使用因式分解，而面对某些特定的问题，判别式也能发挥一定的作用。

例6 如图，AD为△ABC（AB>AC）的角平分线，AD的中垂线和BC的延长线交于点E，设CE=a，DE=b，BE=c.求证：关于x的二次方程有两个相等的实根0cbx2ax2。

解 连结AE

∵AD的中垂线和BC的延长线交于点E

∴EA=ED

∴∠EAD=∠ADE

∵∠BAD=∠DAC

∴CAEDAC-EADBAD-ADEB

∵∠AEC=∠BEA

∴△BAE∽△ACE

∴AEECBEAE

∴22DEECBEAE

∵CE=a，DE=b，BE=c.

∴0acbacb22，即

∴关于x的二次方程0cbx2ax2的判别式

0acb4ac4b222）（）（

∴关于x的二次方程有两个相等的实根0cbx2ax2

——《初中数学培优竞赛分类题典》

（2）判别式与整数问题

判别式在根为正整数的情况下，往往能与完全平方数联系起来，通过同余等方法解决问题，例如下题中的判别式应用使问题迎刃而解。

例7 设cbax，bcay，acbz，其中cba,,是待定的质数，如果yx2，2yz，试求积abc的所有可能的值。

解 由题意得2,2,2zyczxbyxa

2xy

22xxa，

022axx

)1(214418()12(1822nnannanna为自然数）

312nana，为质数

561109317113164225932062abccbcbacbazyxzyxyzxx不为质数，舍去），（，，或，，，，或，，又

（3）判别式与函数

判别式在函数这一数形结合问题中发挥着重要作用，它与系数的具体关系如下：

对于形如)0(2acbxaxy的二次函数：若函数值恒大于等于0，则0,0a；若函数值恒小于等于0，则0,0a（反之也成立）。试看下例。

例8 设nm,为正整数，且2m，如果对一切实数t，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求nm,的值.

—— 2007年全国初中数学联合竞赛

解 因为一元二次方程03)3(2mtxmtx的两根分别为mt和3，所以二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离为3mt.

由题意，32mttn，即22(3)(2)mttn，即222(4)(64)90mtmntn.

由题意知，042m，且上式对一切实数t恒成立，所以

,0)9)(4(4)46(,042222nmnmm

22,4(6)0,mmn,6,2mnm所以,2,3nm或.1,6nm

由上述各例题不难发现，判别式在各种题型中都能发挥其特殊的作用，促使问题的解决，让人感受到其中的奇妙与魅力。我们所总结的例题只是判别式应用中的一小部分，更多的还需要未来去更多地推敲与探索。※

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高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法.doc

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高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法

解析：分离参数法适用的题型特征：

当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，

并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，

则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，

将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，

若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min

方法二：变换主元法(也可称一次函数型)

解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，

把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，

如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，

则可简便解题。

适用于变换主元法的题型特征是：

题目有两个变量，

且已知取值范围的变量只有一次项， 这时就可以将不等式转化为一次函数求解。

方法三：二次函数法

解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析

1，判断二次函数的开口方向

2，二次函数的判别式是大于0还是小于0

3，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性

方法四：判别式法

解析：不等式一边是分式，

且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，

利用判别式法可以快速的解题，

分离参数将会使解题变得复杂。

方法五：最值法

解析：不等式两边是两个函数，

且含有参数时，我们可以分出出参数，

构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。

总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。

判别式法_探源与应该注意的问题

判别式法_探源与应该注意的问题

１４中学数学杂志（高中）２００１年第３期“判别式法＂探源与应该注意的问题山东省沾化一中２５６８００刘梅柱“判别式法”常用来求形如ｙ＝差爹黼（其中该分式为既约分式，或者说触２＋Ｂｚ＋Ｃ，黜２＋如＋ｃ的最大公因式为１）的值域，其中包含着对函数值域的理解与转化思想的应用，理清弄透其原理是十分必要的。ｌ“判别式法”探源例１求ｙ＝≯铣函数的值域。分析记函数的值域为Ｐ．（１）先观察１∈Ｐ吗？１∈Ｐ是否成立，实际上是要回答的函数值是否能等于１，即１２≯‰是否有锯，即ｚ２＋ｚ＋ｌ＝ｚ＋１是否有解；不难发现该方程有实数解，所以１∈Ｐ．（２）观察一１∈Ｐ是否成立？一１∈Ｐ是否成立，实际上是要看一１２孑铣是否有实数解，即ｚ２＋ｚ＋２＝Ｏ是否有实数解；由于该方程的判别式△＝一４＜０，因此，该方程无解，一１告Ｐ．（３）由（１）（２）可见，要使ｍ∈Ｐ，需满足一定条件，这个条件就是，优使得方程≯铣２ｍ有实数解，即砌：２＋（ｍ一１）ｚ＋ｍ一１＝Ｏ①有实解：（ｉ）若卅＝０，则方程①变为ｚ＋ｌ＝０，该方程有实数解；（ｉＩ）若ｍ≠０，方程①有实数解甘ｍ≠ｏＩ研≠ｏ｛乍号ｌ（△≥０Ｉ（７７ｌ—１）２—４ｍ（，ｎ一１）≥Ｏ即一÷≤研＜０，或０＜，扎≤１．综上所述，ｙ＝≯昔能取到［一吉，１］内的所有值，并且取不到［一｛，１］之外的任何数值，所以该函数的值域为［一吉，１］．这一分析过程是一个完整的过程，它揭示了“判别式法”的来历，体现着转化思想的应用。把它概括为解题过程应是：解把ｙ＝熬变为够２＋妒＋ｙ＝２ｚ＋３，即弦２＋（ｙ一２）ｚ十ｊ，一３＝０②把它看作是关于ｚ的方程，依题意，该方程有实根，（ｊ）若ｙ＝０，②变为２ｚ＋３＝０，所以②有实根：（ｉｉ）若，≠０，②有实根ｙ≠ｏ甘ｆ△：（ｙ二１）２—４ｙ（ｙ一１）≥ｏｙ≠０筒１３ｙ２—２ｙ＋１≤ｏ铮一专≤ｙ＜ｏ，或ｏ＜ｙ≤１．综合（ｉ）（ｉｉ）知，函数的值域（即ｙ的取值范围）是［一寺，１］．例２求函数ｙ＝了‰的值域．解把ｙ＝≯‰变为、ｙ（ｚ２—６ｚ＋８）＝４ｚ一７，③即３比２—２（３ｙ＋２）ｚ＋８ｙ＋７＝０，④依题意，方程④有实根，所以（１）当ｙ＝０，④变为一４ｚ＋７＝０，该方程有实根；（ｉｉ）若ｙ≠０，④有实根ｙ≠０Ｉ△＝４（３ｙ＋２）２—４ｊ，（８ｙ＋７）≥Ｏｊ，≠ｏ筒１ｙ２＋５ｙ＋４≥ｏ铮ｙ≤一４或ｙ≥一１，且，≠０．即函数的值域为（一ｏ。，４］Ｕ［一ｌ，０）Ｕ（Ｏ，＋∞）．注严格地说，求该函数的值域应转化为④有不等于２、４的根（ｚ２—６ｚ＋８＝（ｚ一２）（ｚ一４）），但由③可见，不论取何值，２、４也不可能是④的根，

二次函数恒成立问题洋葱数学

二次函数恒成立问题洋葱数学

二次函数恒成立问题洋葱数学

摘要：

I.二次函数的定义和性质

- 二次函数的定义

- 二次函数的图象和性质

II.二次函数恒成立问题的类型

- 二次函数恒成立问题的定义

- 常见二次函数恒成立问题的类型

III.解决二次函数恒成立问题的方法

- 判别式法

- 韦达定理法

- 完全平方公式法

IV.二次函数恒成立问题的应用

- 二次函数恒成立问题在实际生活中的应用

- 二次函数恒成立问题在考试中的常见题型和解题技巧

正文：

二次函数是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。洋葱数学为我们提供了一种解决二次函数恒成立问题的方法。

首先，我们需要了解二次函数的定义和性质。二次函数是指形如 f(x) =

ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。二次函数的图象是一个抛物线，其性质包括开口方向、对称轴、顶点等。 其次，我们需要了解二次函数恒成立问题的类型。二次函数恒成立问题是指在一定的条件下，二次函数的值恒为某个常数。常见的问题类型包括二次函数的值恒为正、恒为负、恒为零等。

解决二次函数恒成立问题的方法有多种，其中最常用的方法是判别式法。判别式法是根据二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac 来判断二次函数的值是否恒为某个常数。当Δ > 0 时，二次函数的值恒为正；当Δ < 0 时，二次函数的值恒为负；当Δ = 0 时，二次函数的值恒为零。

另外，韦达定理法和完全平方公式法也是解决二次函数恒成立问题的常用方法。韦达定理法是利用二次函数的韦达定理来求解二次函数的值；完全平方公式法是将二次函数化为完全平方的形式，从而求解二次函数的值。

二次函数恒成立问题在实际生活中有着广泛的应用，如物理、化学、工程等领域。在考试中，二次函数恒成立问题也是常见题型，掌握解决二次函数恒成立问题的方法和技巧，对于提高数学成绩具有重要意义。

判别式法求值域的适用范围

判别式法求值域的适用范围

判别式法求值域的适用范围

1. 引言

在数学中，判别式法是一种通过求解方程的判别式来确定方程的解集或函数的值域的方法。它在代数、几何和数论等领域有着广泛的应用。本文将深入探讨判别式法在求值域问题中的适用范围，并介绍其原理、应用案例以及优缺点。

2. 判别式法的原理

判别式法是通过计算方程或函数的判别式，从而确定解集或值域。对于一元二次方程 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，其判别式为 𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐。根据判别式 𝛥 的正负与零点个数之间的关系，可以得到方程不同类型解集的信息。

对于一元二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，如果 𝑎>0，则该函数开口向上；如果

𝑎<0，则该函数开口向下。通过计算判别式 𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐 的正负与零点个数之间的关系，可以确定该函数的值域。

3. 判别式法在一元二次方程求值域中的应用

3.1 求解一元二次方程的解集

通过计算一元二次方程的判别式，可以确定方程的解集。当判别式 𝛥>0 时，方程有两个不相等的实数解；当 𝛥=0 时，方程有两个相等的实数解；当 𝛥<0 时，方程没有实数解。

例如，对于方程 𝑥2−4𝑥+3=0，计算其判别式 𝛥=(−4)2−4×1×3=4>0，可知该方程有两个不相等的实数解。

3.2 确定一元二次函数的值域

对于一元二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，通过计算判别式 𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐 的正负与零点个数之间的关系，可以确定函数的值域。

当 𝑎>0 且 𝛥≤0 时，函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的值域为 [𝑐,+∞)。例如，对于函数 𝑦=𝑥2−4𝑥+3，由于 𝑎=1>0 且 𝛥=(−4)2−4×1×3=4>0，所以该函数的值域为 [𝑐,+∞)。

当 𝑎<0 且 𝛥≤0 时，函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的值域为 (𝑐,+∞)。例如，对于函数 𝑦=−𝑥2+4𝑥−3，由于 𝑎=−1<0 且 𝛥=(−4)2−4×(−1)×(−3)=4>0，所以该函数的值域为 (𝑐,+∞)。 4. 判别式法在其他求值域问题中的应用