《平面的法向量与平面向量表示》教学案1

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学习目标1．理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式．2．掌握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理．3．会证明两平面的平行和垂直．学习重、难点1．会求平面的法向量．(重点)2．熟练运用三垂线定理及其逆定理．(重点)3．利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的平行、垂直问题．(重点、难点) 知识梳理1.用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ______________；(2)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，直线l 1与l 2的夹角为θ，则l 1⊥l 2⇔________，cos θ＝______________.名师点拨：两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两直线所成的角．2．法向量的概念已知平面α，如果向量n 的______________与平面α________________，则向量n 叫做平面α的法向量，或说向量n 与平面α正交．3．平面的向量表示式设A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，适合条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的______________，_______________通常称为一个平面的向量表示式．4．利用法向量判断平面与平面平行与垂直设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则容易得到平面α∥平面β或α与β重合⇔n 1_________n 2； 平面α⊥平面β⇔_______________⇔_______________.名师点拨：(1)用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间已有的一些关于平行或垂直的定义．(2)用向量方法证明平行或垂直问题的步骤：①建立空间图形与空间向量关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建立)． ②通过向量运算研究垂直关系问题．③根据运算结果解释相关问题．5．三垂线定理及三垂线定理的逆定理三垂线定理如果在________的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的________垂直，则它也和这条________垂直．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条________垂直，则它也和这条斜线在平面内的________垂直．名师点拨：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题．典例精析例1已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中abc≠0，如图，求平面ABC的一个法向量.例2 已知：AB，AC分别是平面α的垂线和斜线，BC是AC在α内的射影，l ⊂α且l⊥BC(如图).求证：l ⊥AC .自我检测1.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交2．如果一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，那么l 与α的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．l ⊂αD ．不确定3．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________．4．已知v ＝(－2,2,5)，u ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，则α与β________.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的法向量．参考答案知识梳理1. (1)相等或互补(2)v 1⊥v 2 |cos<v 1，v 2>|2． 基线 垂直3． 平面 AM →·n ＝04．∥ n 1⊥n 2 n 1·n 2＝05． 平面内 射影 斜线斜线 射影典例精析例1 解 由已知可得AB →＝OB →－OA →＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a ，b,0)，AC →＝OC →－OA →＝(0,0，c )－(a,0,0)＝(－a,0，c ).n ·AB →＝(x ，y ，z )·(－a ，b,0)＝－ax ＋by ＝0，n ·AC →＝(x ，y ，z )·(－a,0，c )＝－ax ＋cz ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋by ＝0，－ax ＋cz ＝0 解得y ＝a b x ，z ＝a c x . 不妨令x ＝bc ，则y ＝ac ，z ＝ab .因此，可取n ＝(bc ，ac ，ab )为平面ABC 的一个法向量.例2 证明：取向量v ∥l ，则v ∥ α，且v ⊥ BC⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB ⊥ α ，l ⊂ α，所以v ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·v= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0. 因此v ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，得l ⊥AC. 自我检测1. B【解析】 ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥a .2． D【解析】 直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.3．±(33，33，33) 【解析】 设单位法向量为n ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．⎩⎨⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·AC →＝－x ＋z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，解得n ＝±(33，33，33)． 4． 垂直 【解析】 由v ·u ＝(－2)×6＋2×(－4)＋5×4＝0可得．5． 证明 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)．DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，DB 1→·AC →＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0，所以DB 1→⊥AC →.同理，DB 1→⊥AD 1→.又因为AD 1∩AC ＝A ，所以DB 1→⊥平面ACD 1，从而DB 1→是平面ACD 1的法向量．。

高二数学高效课堂资料教案：课题： 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示编写人：王传君教学目标：1．知识与技能掌握平面的法向量的概念及性质，并能用法向量证明相关的立体几何问题．理解平面的向量表示．2．过程与方法用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行或垂直问题．3．情感态度与价值观培养学生转化的数学思想，增强应用意识．重点：平面法向量的概念及性质．正射影的概念，三垂线定理及逆定理。

难点：利用法向量法解决几何问题．三垂线定理的证明思路。

教学方法：讲练结合教学过程：一、导入新课问题1: 如何确定一个点在空间的位置?问题2: 在空间给定一个定点A 和一个定方向(向量), 能确定一条直线在空间的位置吗?问题3: 给一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗? 问题4: 给一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?二、形成概念概念1.平面的法向量已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则叫做平面的法向量或说向量与平面正交。

nnn 由平面的法向量的定义可知，平面的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面共面的所有向量。

a bc由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。

m模为1的法向量，叫做单位法向量，记作n n概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

abn已知：是平面内的两条相交的直线，且求证：,a b ,n a n bn概念3.平面的向量表示空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。

设A 是空间任意一点，为空间任意一个非零向量，适合条件的点M 的集合构成什么样的图形？n 0AM n nA MM 1M 2我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。

AM n 称此为平面的向量表达式。

概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直2n 1n 设分别是平面的法向量，则有12,n n ,1n 2n三、概念深化正方体AC 1棱长为1，求平面ADB 1的一个法向量。

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示教学设计研究空间几何问题时，为便于学生更加直观性地理解并掌握相关知识点，时常要借助图形，既数形结合。

本节为更好的导出法向量这一概念及相关应用，我把相关问题放在一空间长方体内来研究。

探究点一平面的法向量及平面的向量表示问题1请同学们回顾必修2所学线面垂直相关知识:线面垂直的定义，性质等。

（接下来，在直线上去有向线段记为其方向向量，引出法向量的定义。

）1．平面的法向量已知平面α，如果________________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．问题2 平面的法向量有何作用？是否唯一?又具有哪些性质？由此我们引入有关法向量的两个性质。

问题3 回顾必修2所学，如何判定线面垂直？（由线面垂直导入向量与平面垂直，经过层层推导得到平面的向量表示）2．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件_____________的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．（注意：在学习的过程中要学会将复杂的文字描述转化为易理解的数学符号语言。

）巩固练习：完成以下微体验：1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交2．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是()A．l⊥αB．l∥α C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α(以上问题为学生口答并说明理由，教师给予点评与评价。

)问题4怎样求一个平面的法向量？接下来通过一个例题来说明例1 已知正方体AC1的棱长为1，求平面CB1D1的一个法向量．跟踪1已知平面α经过三点A1 (1,0,1)，B(1,1，0)，D(0，0，0)，试求平面α的一个法向量．（注意：教师在黑板上板书例一，接着由学生板书跟踪1，之后教师给予点评等。

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示峡山中学 高二数学组 2010-12-23【课标点击】(一)学习目标：1、掌握平面的法向量；2、利用平面的法向量判定平面的位置关系；3、平面的向量表示；4、线面垂直的判定定理；5、三垂线定理.(二)教学重、难点：平面的向量表示、线面垂直的判定，面面垂直的判定【课前准备】（一）知识连接：1、 空间直线的向量参数方程：a t OA OP +=或OB t OA t OP +-=)1(2、 设P 为AB 之中点则)(21OB OA OP +=3、 直线1l 与2l 的方向向量为1v 和2v ，则2121////v v l l ⇔，212121v v v v l l ⋅⇔⊥⇔⊥=04、 两直线成的角，与两直线的方向向量成角的关系5、 p 与a ，b 共面（a ，b 不共线）⇔R y x ∈∃,使b y a x p +=6、 点A 、B 、C 不共线，则点A 、B 、C 、P 共面⇔∃x 、y R ∈使AC y AB x AP += （二）问题导引：如何证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直？【学习探究】（一）自学引导：自主学习课本102页至103页部分． 1、平面的法向量2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（用向量方法证明）3、平面的向量表示：4、设1n 、2n分别是平面α、β的法向量，那么：α//β或α与β重合⇔ 21//n n αβ⊥⇔21n n ⊥5、三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，O A 是P A 在平面α内的射影，a α⊂，且a O A ⊥求证：a P A ⊥；证明：∵P O α⊥ ∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥=∴a ⊥平面P O A ，∴a P A ⊥． 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a O A αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭6条斜线的射影垂直证明思路： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．（二）思考与讨论：⑴三垂线指： （PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a ）2）其实质是： （ 斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理）注意：要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用（三）典型例题:例1．在正方体111ABCD A B C D -中，求证：1D B是平面1AC D 的法向量．例2：已知正方体''''ABC D A B C D -.求证：平面''//A B D 平面'B D C .例3.如图，底面A B C D 是正方形，SA ⊥底面A B C D ，且SA AB =，E 是S C 中点. 求证：平面BD E ⊥平面A B C D .说明：一．证明垂直关系，可通过向量的数量积等于0来实现；二．要善于转化，即挖掘已知的垂直关系，将未知向已知转化（四）变式拓展：已知正方体1111ABC D A B C D -中，,E F 分别为1,BB C D 的中点， 求证：1D F ⊥平面A D E 。

（二）自学检测1.正方体AC 1的棱长为1，求平面AD 1B 1的一个法向量。

2.已知.:,,PC AB AB D BC AC ABC PO ⊥=⊥的中点，求证为平面3.已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，且PB BC AC PA ⊥⊥，如果底面, 求证：ABCD 是矩形。

4.已知四面体ABCD 的棱.,,BC AD BD AC CD AB ⊥⊥⊥求证：（三）合作探究探究一、已知点A （3，0，0），B （0，4，0），C （0，0，5），，如图所示，求平面ABC 的一个单位法向量。

练习、在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。

探究二、 已知：PA ⊥矩形ABCD ，M 、N 分别为AB 、PC 中点。

（1）求证：MN//平面PAD ；（2）求证：MN ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45°，求证MN ⊥平面PCD 。

（四）课堂检测：1、已知A （1，0，3），B （1，2，1），B （0，2，1），则平面ABC 的一个单位法向量为_________。

2、“直线l 垂直于a 内的无数条直线”是“l ⊥a ”的_________。

3、已知点A （1，1，1），平面α⊥，且点A 在平面α内，则点M （x ，y ，z ）在平面α内的条件为_________。

4、已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量； （2）求平行四边形ABCD 的面积．5、棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面PAC ？课堂小结本节课学了哪些重要内容？试着写下吧反思一下本节课，你收获到了什么啊本节课的数学思想有什么？。

人教版高中选修(B版)2-13.2.2 平面的法向量与平面的向量表示教学设计教学背景在高中数学的平面向量部分，平面的法向量与平面的向量表示是一个重要而基础的概念。

通过本节课的教学，让学生了解平面的法向量的概念及其应用，并提高学生对向量的理解与运用能力。

教学目标1.了解平面的法向量的概念，掌握求平面的法向量的方法；2.理解平面的向量表示的概念；3.学会用向量表示平面的方程；4.能够应用所学知识解决实际问题。

教学内容本节课的主要内容为平面的法向量与平面的向量表示。

具体包括以下内容：1.平面的法向量的概念；2.求平面的法向量的方法；3.平面的向量表示的概念；4.用向量表示平面的方程；5.应用题解析。

教学步骤第一步：导入教师进入教室后，先简单介绍一下本节课的内容，让学生有一个大致的了解。

第二步：概念解释1.平面的法向量：二维空间中，对于给定平面，其法向量是正好垂直于该平面的向量。

让学生理解这个概念。

2.求平面的法向量的方法：通过两个不共线的向量叉乘得到对应平面的法向量。

让学生通过实例演示理解这个方法。

3.平面的向量表示：一个平面上的所有向量可以用一个唯一的向量表示。

让学生了解这个概念并且和平面的法向量做出比较。

第三步：公式讲解1.向量叉乘：介绍向量叉乘的定义和求法，包括其运算规则和性质。

2.用向量叉乘求平面的法向量：演示如何通过两个不共线向量叉乘求平面法向量，并和学生一起进行练习。

第四步：例题演练1.给出一个平面方程，让学生用向量表示法表示该平面；2.给出一个由点构成的平面，让学生求出该平面的法向量。

第五步：拓展为了更好地让学生掌握本节课内容，教师提供一些拓展阅读材料，让学生自主阅读。

第六步：总结在课堂结束前，教师对本节课进行总结，强调重点和难点，提出本节课的思考题。

教学反思本节课的教学效果较为良好，学生对平面的法向量与平面的向量表示的概念有了更全面的了解，同时也会运用到实际的问题中。

在实际教学中，我们可以适当增加一些例题练习，提高学生的实际运用能力。

高中数学人教B版选修2－1第三章《3.2.2平面的法向量与平面的向量表示》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课
教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能:理解平面法向量的概念,并会求平面的法向量，了解平面法向量的应用,并能用法向量论证相关的立体几何问题
2.过程与方法:通过线线垂直和线面垂直判定以及直线方向向量的引入得到平面法向量的概念,通过实例,掌握如何求平面的法向量。

通过图象可知,平面的法向量可以代表平面判断位置关系,利用两个平面的法向量判断平面的平行和垂直。

3.情感态度与价值观:经历概念的形成过程,解题的思维过程,体验数形结合的指导作用,体会向量处理几何问题的工具作用。

认识向量的科学价值、应用价值和文化价值,提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心。

2学情分析
学生在高一必修2中已经学习过线线、线面、面面的垂直关系判定。

时隔一年,在空间向量中再次提出,大部分学生对基础知识把握不是很牢固。

该班级学生数学基础比较偏弱,对知识的思考、灵活运用能力较差,但是有较强的上进心。

所以在教学中,偏重基础知识的掌握,补足他们的基础层次,通过向量的学习,减弱几何的逻辑性,减少学生处理几何问题的阻力,增强学生学习数学的兴趣和动力
3重点难点
1.重点:平面法向量概念及平面的法向量求法
2.难点:平面法向量的理解及灵活运用,用法向量论证平面的位置关系。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动。

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示教学目标知识与技能：了解平面的法向量的概念，并会求已知平面的法向量；了解平面的法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；掌握正射影的概念，并能做出简单图形在某一平面内的正射影,并说出其图形的形状；掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题。

过程与方法：经历数量积的应用过程，以及由数量积的运算法则得出求平面法向量的方法，体会知识的由来及应用过程，并能熟练的求出平面的法向量。

情感、态度与价值观：向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通过本节学习，体会他们之间的联系，并逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣。

教学重点、难点重点：平面的法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理。

难点：平面的法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及定理的应用。

教学方法：根据诱思探究学科教学论中提出的学习方式来设计教学过程，遵循“探索——研究——运用”规律，侧重学生的自主学习，让学生动脑思考，整个教学过程贯穿“体验为主线，思维为主攻”于始终，以达到本节的学习目的。

教学过程一.自主学习，归纳总结1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．3．两平面平行或垂直的判定方法设n1，n2分别是平面α、β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.4．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．二.典例精析，方法形成例1已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中abc≠0，如图，求平面ABC的一个法向量．【解】由已知可得＝－＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a，b,0)，＝－＝(0,0，c)－(a,0,0)＝(－a,0，c)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝(x，y，z)·(－a，b,0)＝－ax＋by＝0，n·＝(x，y，z)·(－a,0，c)＝－ax＋cz＝0.由解得y＝x，z＝x.不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab.因此，可取n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量．反思与感悟求平面的法向量直接使用待定系数法即可．其中平面内的两个不共线向量可以任找，平面的法向量不唯一．跟踪训练1已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．【解】设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．∵n⊥且n⊥，∴令x＝1，得y＝z＝1.∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．例2在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.证明建系如图，设A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F(0，a，)，故＝(0,0，－a)，＝.设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即，取x1＝1，∴n1＝(1，－1,0)为平面ABC的一个法向量．同理可得，平面BEF的一个法向量为n2＝(1,1，－)，∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－)＝0.∴平面BEF⊥平面ABC.反思与感悟例题是利用向量法来完成证明的，并且给出了求平面法向量的方法．向量法证明线面关系的优越性体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”．跟踪训练2已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)∵＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥，n2⊥，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.例3在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO ⊥平面A1DB.证明方法一取F、G分别为DD1和AD的中点．连接EF、FG、GO、AC.由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1内的射影．又A1D⊥FG，∴A1D⊥EO(三垂线定理)．又AC⊥BD，CO为EO在平面ABCD内的射影，∴EO⊥BD(三垂线定理)．又A1D∩BD＝D，∴EO⊥平面A1BD.方法二连接AC、A1O、A1E，A1C1，设正方体棱长为2，由方法一已证BD⊥OE，又OE2＝()2＋12＝3.A1O2＝22＋()2＝6，A1E2＝(2)2＋12＝9.所以A1E2＝OE2＋A1O2.∴A1O⊥OE，又A1O∩BD＝O，∴OE⊥平面A1DB.反思与感悟利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法，其基本环节有三个．跟踪训练3如图，已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，求证：AB⊥PC.证明∵PO⊥平面ABC，O为垂足．∴PC在平面ABC内的射影为OC.又O为△ABC的垂心，∴AB⊥OC.据三垂线定理得AB⊥PC.三. 课堂小结，明确规律1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜率的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．四.当堂训练，及时反馈1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(2，3，8)，则() A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确【解析】u·v＝(1，2，－1)·(2，3，8)＝1×2＋2×3－1×8＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.【答案】B2．设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于() A．2 B．4C．－2 D．－4【解析】∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m (2，λ，4)，∴λ＝－4.【答案】D3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，它的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1)B ．(1，3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1，3，－32) 【解析】要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA 与平面的法向量n 是否垂直，即PA ·n 是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A ，PA ＝(1，0，1)，则PA ·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ＝(1，－4，12)，则PA ·n ＝(1，－4，12)·(3，1，2)＝0. 【答案】B4.如图，正方体AC 1中，平面A 1ACC 1的一个法向量可以是( )A ．BCB ．11A BC ．1BBD ．BD【解析】∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD 为平面A 1ACC 1的一个法向量．【答案】D5．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM ·n ＝0的点M 的轨迹是________．【答案】过点A 且与向量n 垂直的平面6.如图，已知PO ⊥平面ABC ，且O 为△ABC 的垂心，则AB 与PC 的关系是________．【解析】∵O 为△ABC 的垂心，∴CO ⊥AB .又∵OC 为PC 在平面ABC 内的射影，∴由三垂线定理知AB ⊥PC .【答案】垂直7.如图所示：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB .证明：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为a ，则A (a ，0，0)，A 1(a ，0，a )，D 1(0，0，a )，B 1(a ，a ，a )，B (a ，a ，0)，C 1(0，a ，a )．∴N (a 2，0，a )，M (a ，a 2，a )，E (a 2，a ，a )，F (0，a 2，a )， ∴AN ＝(－a 2，0，a )，NM ＝(a 2，a 2，0)， DB ＝(a ，a ，0)，DF ＝(0，a 2，a )，设平面AMN 与平面EFDB 的法向量分别为m ＝(x 1，y 1，z 1)和n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AN ＝0，m ·NM ＝0，∴⎩⎨⎧－a 2x 1＋0×y 1＋az 1＝0，a 2x 1＋a 2y 1＋0×z 1＝0， ∴y 1＝－x 1＝－2z 1，取z 1＝1，∴平面AMN 的一个法向量为m ＝(2，－2，1)，同理由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ＝0，n ·DF ＝0，可得x 2＝－y 2，y 2＝－2z 2， 令z 2＝1，∴平面EFDB 的一个法向量为n ＝(2，－2，1)， ∵m ＝n ，∴m ∥n ，∴平面AMN ∥平面EFDB .8.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点． 证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)． 则1AA ＝(0，0，1)，AC ＝(－2，2，0)，1AC ＝(－2，2，1)， AE ＝(－2，0，12)．设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA ＝0，n 1·AC ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0. 令x 1＝1，得y 1＝1，∴n 1＝(1，1，0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1＝0，n 2·AE ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1， ∴n 2＝(1，－1，4)．∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .。

3.2.2 平面法向量与平面的向量表示一、学习目标1.理解平面法向量的概念，会求平面法向量.2.掌握平面法向量的简单应用.3.掌握三垂线定理及其逆定理，并会应用.二、知识梳理1.已知平面α，如果一个向量n 的基线与平面α ，则向量n 叫做平面α的法向量或者说向量n 与平面α正交.2.设A 是空间任一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件·AM n =0的点M 构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的 ， 称作一个平面的向量表示式。

3.设21n ，n ，分别是平面βα,的法向量。

平面α∥平面β或α与β重合⇔1n 2n平面α⊥平面β⇔ ⇔4.如果在 内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的垂直，则它也和这条 垂直，反之，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。

三、重点难点1.重点：平面法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理2.难点：平面法向量的理解及灵活应用，三垂线定理的证明思路应用四、典型例题例1.已知A(a,o,o)B(o,b,o)C(o,o,c)，求平面ABC 的一个法向量.例2.正方体1AC 棱长为1，求平面1ACB 的一个法向量.五．课堂练习1. 已知直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，且v ·u =0，则l 与α的关系是（ ）A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l ⊂αD ．l ∥α或l ⊂α2. 已知平面α过点A （1，-1，2）法向量有n =（2，-1，2）则下列点在α内的是（ ）A ．（2，3，3）B ．（3，-3，4）C ．（-1，1，0）D ．（-2，0，1）3. 在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，点G 点P 在平面ABC 上的射影，则G 是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心4. 已知平面α和β的法向量分别为1u =（-1，3，4）和2u =（x ，1，-2），若α⊥β，则x= .5．已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），则平面ABC 的单位法向量坐标为 。

数学人教B选修2-1第三章3.2。

2 平面的法向量与平面的向量表示1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角．4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理．1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1）直线的方向向量．给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP＝t a，这时点P的位置被t的值完全________，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且________向量a的一条________，向量a称为该直线的________．一条直线有无数个方向向量．（2）空间直线的向量参数方程．点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量,点P 为直线l上任一点，t为一个任意实数，以A为起点作向量AP＝t a。

①对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP＝OA＋t a。

②如果在l上取AB＝a，则②式可化为OP＝OA＋t AB＝OA＋t(OB－OA），即OP＝(1－t)OA＋t OB。

③以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．（3)线段AB的中点M的向量表达式设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则OM＝__________。

【做一做1】若A（－1，0,1），B（1，4,7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（)A．(1,2，3）B．（1，3，2）C．(2，1，3）D．(3,2,1）空间三点P，A,B满足OP＝m OA＋n OB，且m＋n＝1,则P，A，B三点共线．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1）直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合⇔__________。

(2）直线与平面平行已知两个不共线向量v1,v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内⇔存在两个实数x,y，使__________．（3)平面与平面平行已知两个不共线的向量v1,v2与平面α共面,则α∥β或α与β重合⇔__________.【做一做2】l1的方向向量v1＝(1,2，3），l2的方向向量v2＝(λ，4,6），若l1∥l2，则λ＝__________。

平面的法向量教学目标1. 掌握平面的法向量的概念;2. 掌握利用平面的法向量解决一些简单的立体几何问题．教学过程一、课前准备复习：如何判断线面的垂直？复习2：设a＝，b＝，a·b＝；假设两个向量垂直，那么需满足什么条件？二、新课导学根底知识复习1、空间中任意一点P可以由一个定点O和一个位置向量来确定2、空间中任意一条直线可以由一个定点和它的方向向量来确定〔并且可以具体表示出直线上的任意一点〕3、空间中任意一个平面可以平面内的一定点和平面内两个不共线的向量确定〔并且可以具体表示出平面内的任意一点〕；还可以由平面内一定点和平面的一个法向量来确定4、用向量解决立体几何的三步曲：〔1〕、建立图形空间向量的联系，用空间向量表示问题涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题〔2〕、通过向量运算研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的夹角和距离问题〔3〕、把向量的运算结果“翻译〞成相应的几何意义。

1.平面：①空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，那么存在有序实数对,使得.②空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.2.平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称这个向量垂直于平面,记作⊥，那么向量叫做平面的法向量.试试：.1.如果都是平面的法向量，那么的关系.2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，那么与的关系是.反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？3.向量表示平行、垂直关系：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，那么①∥∥②∥③∥∥例：用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.三、总结提升1. 空间平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质.求平面的法向量步骤：1.设平面的法向量为；2.找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；3.根据法向量的定义建立关于的方程组；4.解方程组,取其中的一个解,即得法向量.。