匀速圆周运动习题及答案

匀速圆周运动习题及答案

1.半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静⽌着⼀个光滑⼩球，现给⼩球⼀个冲击使其在瞬间获得⼀个⽔平初v0,若⼩能够上升到圆规到的顶部,此时⼩球对轨道顶部压⼒为多少

解：到达顶部的动能E = 0.5mV0^2 - 2mgR = 0.5mV^2

设在顶部对轨道的压⼒位f

则f + mg = mV^2/R = (mV0^2 - 4mgR )/R = mV0^2/R - 4mg

所以f = mV0^2/R - 5mg2.若星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的⼀半；若从地球上⾼h处平抛⼀物体，不计阻⼒⽔平射程为60⽶，则在该星球上，以同样的初速度来平抛同⼀物体，⽔平射程应为——A.10

B.15

C.90

D.360

解：两个星球表⾯的重⼒加速度分别为g = GM/R^2 g' = 9GM/(0.5R)^2

⽔平射程⽐，等于下落时间⽐，根据h = 0.5gt^2 ，可知时间⽐，等于重⼒加速度反⽐值的开跟。

有60/s = 跟下（g'/g）= 跟下36= 6

求得s = 10

选A3. 地球⾚道处有⼀个观察者，在⽇落4⼩时后看到⼈造卫星从⾚道正上⽅经过，设地球半径为R，求⼈造卫星距⾚道的⾼度

解：是个⼏何题⽬，从⽇落到四个⼩时候，地球转了60°。（⼀天24⼩时）

卫星与地⼼的连线，同卫星与太阳的连线之间夹⾓为30°。卫星与太阳的连线恰好与地表相切。

有R/(R+H) = sin30

求得H = R4. 质量为M的⽆题沿半径为R的圆形轨道滑下，当物体通过最低点B时速度为V，已知物体与轨道间的动摩擦因数为µ求物体滑到B点时受到的摩擦⼒是多少。

解：先求最低点B对轨道的压⼒F

根据 F - mg = mV^2/R

解得F = mg + mV^2/R

由于是动摩擦

所以摩擦⼒f = uF = µm（g+v^2/R）

长L的绳⼦拴着球，绳⼦能承受的最⼤拉⼒为球重⼒的8倍，⼈拿着绳⼦的⼀段在竖直平⾯内使球圆周运动，使绳⼦不断，球在最⾼点的速度最⼩值和在最低点的速度最⼤值为多少？

解：设最⾼点速度最⼩值为V

重⼒恰好充当向⼼⼒，mg = mV^2/L ,所以V = 跟（gL）

这最低点速度最⼤值为v

则绳⼦拉⼒不能超过8mg有8mg -mg = mv^2/L，得v = 跟（7gL）6. ⼀车以10⽶每秒的速度通过⼀个半径为20⽶的圆形曲桥求汽车通过凸形最⾼点时桥所受的压⼒与汽车重⼒之⽐

解：汽车通过凸形最⾼点时，mg－F1＝m*V^2 /R ，得m*10－F1＝m*10^2 /20，F1＝5*m，由⽜顿第三定律知车压桥的压⼒是5*m，所求之⽐是F1：mg＝5m：10m＝1：2

汽车通过凹形最低点时，F2－mg＝m*V^2 /R ，得F2－m*10＝m*10^2 /20，F2＝15m，同理，所求之⽐是F2：mg＝15m：10m＝3：2

7.⼀个做匀速圆周运动的物体半径不变速率变为原来的三倍向⼼⼒增加了64⽜物体原来的向⼼⼒为多少

解：F1 = mV^2/R ,F2 = m(3V)^2/R

两式⼦相⽐得到F2 = 9F1

联⽴F2 - F1 = 64

求得F1 = 8N8.其探⽉卫星环⽉飞⾏的⾼度距离⽉球表⾯100km，所探测到的有关⽉球的数据将⽐环⽉飞⾏⾼度为200km的嫦娥⼀号更加详实，若两颗卫星环⽉运⾏均可视为匀速圆周运动，则，其探⽉卫星环⽉运⾏时线速度与轨道半径的乘积vr⽐嫦娥⼀号更⼩，为什么？

解：设半径分别为R1 ,R2 ，速率分别为V1，V2，⽉球质量为M，卫星质量为m

则根据GMm/R^2 = mV^2/R ,推出GMm = mV^2R

得到GMm = m V1^2*R1 = mV2^2*R2

有V1*V1*R1 = V2*V2*R2

由于V1 >V2

所以V1*R1 < V2*R29.当加速度系统在⽔平⽅向以加速度a做匀加速直线运动时,单摆的周期多⼤?

解：相等于⼀个物体处在⼀个和加速度为g' = 跟下（a^2 + g^2）的星球上

那么周期T = 2π跟下 [L/g']62.在某星球表⾯以初速度V 0 竖直上抛⼀个物体，若物体只受该星球引⼒作⽤，忽略其他⼒的影响，物体上升的最⼤⾼度为H，已知该星球的直径为D，如果要在这个星球上发射⼀颗绕它的表⾯运⾏的卫星，其环绕速度为？

10. ⽤长为0.5m的细绳悬挂质量为2kg的⼩球,使它在竖直平⾯内作圆周运动。不计空⽓阻⼒，g取10m/s2

1 若⼩球在圆周最⾼点的速率为10m/s,求⼩球在最低点时绳⼦收到的拉⼒

2 若⼩球在圆周最低点获得4m/s的速率,试判断⼩球能否做完整的圆周运动

解：1.设⼩球在最低点的速率为V

那么有0.5mV^2 = 0.5m*10^2 + mgh

带⼊数据得到mV^2 = 240N

则有F - mg = mV^2/0.5

求得 F = 500N2.要恰好完成这个圆周运动，在最⾼点的速率满⾜

mg = mV^2/0.5，求得V= 跟下5由机械能守恒，这时对应最低点速率V'需满⾜0.5mV'^2 = 0.5mV^2 + mgh

求出V' = 5 ,⼤于题⽬的4

所以不能完成整个圆周运动11.地球半径R，还有飞船绕地球速度V ，绕地球匀速园周运动速度v ，地球表⾯重⼒加速度G求飞船⾼都H，飞船运⾏周期T

解：在地表有万有引⼒等于重⼒GMm/R^2= mg ,得到GM = gR^2

对于飞船来说，离地⾯⾼度是H

那么有GMm/(R+H)^2 = 4m*π^2*(R+H)/T^2

把GM = gR^2带⼊上式

可以求出 T = 跟下[4π^2*（R+H）^3/(gR^2)]12.把⼀个质量为m=2kg的⼩求，⽤长为L=0.9的不可伸长的轻线悬挂起来做成⼀个摆，其最⼤偏⾓&=60'.在A点静⽌释放⼩球，不计空间⽓阻⼒，取g=10m/s2,求⼩球运动到最低位置O点时的速度是多⼤？

解：从最⾼点到最低点⾼度变化为h = L（1-cos&）= L/2

根据机械能守恒得到mgh = 0.5mV^2

求出 V = 跟下（2gh） =跟下（gL）13.⼈造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星到地⼼的距离为r(r>R)时，卫星环绕地球运⾏的速度⼤⼩为v，若卫星到地⼼的距离变为3r时，卫星绕地球运⾏的速度⼤⼩变为_______，周期是原来的_______倍。

解：第⼀个空;

由GMm/R^2 = mV^2/R ,推出V^2正⽐于1/RV'^2/V^2 = r/(3r) ,得到V' = V*跟下（1/3）

填（跟3）/3

第⼆个

由GMm/R^2 = m4π^2R/T^2 得到T^2与R^3成正⽐T'^2/T^2 = (3r)^3/r^3 得到T' = T*3*跟3

14.如图，⼀根细的弯玻璃管，绕其对称轴以⾓速度w做匀速转动，为使⼩球在玻璃管中处处达到平衡，玻璃管应有什么形状

解：假设⽅程是Y= f（X）,我们在曲线上选⼀个点（X,Y）。那么这点曲线的斜率k 等于Y的导数。⼩球在该点受⼒弹⼒F的作⽤线，与曲线切线垂直，那么可以得到⼒作⽤线的斜率k' = -1/k 。⼩球如果达到平衡，那么⼀定有：竖直⽅向，F的分⼒等于重⼒，⽔平⽅向，F的分⼒等于向⼼⼒。假设F作⽤线与X轴夹⾓为β

列式⼦有，F*sinβ = mgF*cosβ = mXw^2

两式⼦相除，得到tanβ = k' = mg/mXw^2

则k = -1/k'= Xw^2/g ，⽽k是Y' （Y的导数）

上式两边对dx积分，可以得到曲线是x的⼆次⽅程，所以是抛物线15.如图，绳长为L，⼀端固定在A点，另⼀端栓⼀个带电荷量+q的⼩球，已知qE=3mg，要使⼩球能在竖直⾯内做圆周运动，则球在A点的最⼩速度为多少？

解：和重⼒场进⾏类⽐。这题应该是O点固定

若只受到重⼒，那么最⾼点的速度应该是重⼒完全充当向⼼⼒，在最⾼点有mV^2/L = mg ，得到，最低点的动能E=0.5mV0^2 = 0.5mv^2 + 2mgL = 0.5mgL + 2mgL. 得到最低点速度最⼩为跟下（5gL）

现在加上电场，物体受到向上的⼤⼩为2mg的合⼒。相当于“换了个地球”，重⼒加速度g…=2g，⽅向向上。运动的时候A就相当于最低点了。有最⼩速度V0 = 跟下（5g'L）=跟下（10gL）16. ⼀种通信卫星需要“静⽌”在⾚道上空的某⼀点，因此它的运⾏周期必须与地球⾃转周期相同。请你估算：通信卫星离地⼼的距离⼤约是⽉⼼离地⼼距离的⼏分之⼀？

解：开普勒⾏星运动定律之⼀：只要围绕同⼀天体运动的所有卫星，满⾜T^2/R^3 = 同⼀个常数

⽉球运⾏周期是27.3天，同步卫星周期是1天，

有27.3^2/R1^3 = 1^3/R2^3

得到R2^3/R1^3 = 1/27.3^2R2/R1⼤约是1/9

100. 在半径为R的洗⾐机圆筒内，有质量为m的⼀件⾐服贴着内壁跟随桶以⾓速度w做匀速圆周运动，求：（1）此时桶壁受到的压⼒（2）若此时⾐服向下滑动，⾐服与桶壁之间的动摩擦因数是多⼤？

解：1.压⼒等于桶壁的弹⼒，弹⼒充当向⼼⼒F = mRw^2

2.如果是匀速滑动

那么摩擦⼒f =F*u= mg

得到摩擦因数u = mg/F = g/Rw^217. ⼀质量为m的⼩球P与穿过光滑⽔平板中央⼩孔O的轻绳相连，⽤⼿拉着绳⼦的另⼀端使⼩球在⽔平板上绕O做半径为a、⾓速度为ω1的匀速圆周运动，若将绳⼦从这个状态迅速放松，后⼜拉紧，使⼩球绕O改做半径为b的匀速圆周运动，则：（1）从绳⼦放松到拉紧经过多长时间？

（2）⼩球改做半径为b的匀速圆周运动时的⾓速度ω2多⼤？

如图

解：当绳⼦松开后⼩球的线速度不变

位移为（b^2-a^2）^(1/2)所以时间为：t=（b^2-a^2）^(1/2)/（w1*a）

⾓速度w2=V2/bV2=V1*cosθ←⼒的三⾓⽮量分析

θ为途中a、b的夹⾓

w2=V1*cosθ/b

cosθ=a/b；V1=w1*a；

带⼊可得：w2=w1*a^2/b^2

18. 质量为m的⼩球被系在轻绳的⼀端，在竖直平⾯内作半径为R的圆周运动。

运动过程中，⼩球受到空⽓阻⼒的作⽤，在某⼀时刻⼩球通过轨道最低点

时绳⼦的拉⼒为7mg，此后⼩球继续做圆周运动，转过半个圆周恰好通过最⾼点，

则此过程中⼩球克服阻⼒所做的功为？A、mgR

B、mgR/2

C、mgR/3

D、mgR/4

解：选B ，设⾼点速率为V，地点速率为v（⼩写）

最⾼点有mV^2/R = mg ，得到mV^2 = mgR

最低点有mv^2/R = 7mg - mg =6mg，得到mv^2 = 6mgR

设摩擦⼒做功为W，由能连关系初动能= 末动能+摩擦⼒功+重⼒势能增加量有0.5*mv^2 = 2mgR + W + 0.5mV^2 ，带⼊上边的关系式计算得到0.5*6mgR = 2mgR +W +0.5*mgR, 求得W = mgR/2 。选B

19. 长度L=0.4m的细线，栓着⼀个质量m=0.3kg的⼩球，在竖直平⾯内作圆周运动，⼩球运动到最低点时

离地⾯⾼度h=0.8m,此时细线受到的拉⼒F=7N。g取10m/s*s，求：(1)⼩球在最低点速度的⼤⼩;

(2)若⼩球运动到最低点是细线恰好断裂，则⼩球着地是速度为多⼤？

解：1.设最低点速率为V，由mV^2/L = F - mg 得到V = 跟下（16/3）2.设落地速率为V' 由能量关系末动能= 初动能+ 重⼒势能改变量

有0.5*mV'^2 = 0.5mV^2 + mgh