21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－p___，x1x2＝__q___．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－ba___，x1x2＝__ca___．
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax2＋bx＋c＝0___；(2)二次方程，即__a≠0___；(3)有根，即__b2－4ac≥0___．
知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值
1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的值是( C )
A．0 B．2 C．－2 D．4
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于( C )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
3．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D )
A．－8 B．－4 C．8 D．4
4．已知x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝__－6___．
5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋3x＋1＝0；
解：x1＋x2＝－3，x1x2＝1
(2)2x2－4x－1＝0；
解：x1＋x2＝2，x1x2＝－12
(3)2x2＋3＝5x2＋x.
解：x1＋x2＝－13，x1x2＝－1
6．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)x12＋x22； (2)1x1＋1x2.
解：(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11
(2)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝－3
知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
第1页 共4页 级
九
科目
数学
任课教师 张辉银 授课时间 9.12
课题 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 授课类型 新授
课标依据 了解一元二次方程的根与系数的关系
一、教材分析 本节课是新人教版教材九年级数学（上）P15—16页选学内容，学生是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，可以用来解决一元二次方程快速验根的问题，还可以解决其他一些相关的简单问题，是方程理论的重要组成部分。一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，也常与几何、二次函数等问题结合，利于数学问题的解决。
二、学情分析 多数学生基本熟练了一元二次方程的解法，并能正确地求出方程的根，为探索、验证一元二次方程的根与系数的关系奠定了基础。
三、教学目标 知识与
技能 1.了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用；
2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
过程与
方法 学生经历探索、尝试发现一元二次方程根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
情感态度与价值观 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.
四、教学重点难点 教学重点 一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用。
教学难点 发现一元二次方程根与系数的关系 编号：07
第2页 共4页 五、教法学法
引导发现、归纳推理
六、教学过程设计 师生活动 设计意图
一、复习引入
1. 复习一元二次方程一般形式及求根公式。
2. 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？
(出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题)
二、探究新知
思考1：
问题1：一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？
问题2：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系导学案
学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立；
2.会运用根与系数关系解决有关问题；
学习重点：根与系数的关系及推导
学习难点：正确理解根与系数的关系
一． 学前准备
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
二． 探究活动
（一）尝试探索，发现规律：
1．若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与a、b、c有何关系？请你直接写出关系式
2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程的系数有什么联系？
小结：
1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________________________．
注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________
（二）巩固练习
１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：
① x2 + 3x -1= 0 ② x2 + 6x +2= 0 ③ 3x2 －4x+1= 0 (4)4x2 -2x -7= 0
2.已知关于x的方程x2 + mx －3= 0的一个根是-1，求m的值及另一个根.
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
+6x-2=0
-2x-3=0
2-3x+2=0
5+4x-1=0 2x2x2x2x三.达标测试
1．如果一元二次方程0752xx的两个根为则.,的值为 。
第- 1 -页 共6页 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、【教材分析】
教
学
目
标 知识
目标 1.理解根系关系的推导过程.
2.掌握一元二次方程的根和系数的关系.
能力
目标 1.能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积 .
2.能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题.
情感
目标 体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路
教学
重点 根与系数的关系的推导、运用．
教学
难点 正确归纳、理解、运用根与系数的关系．
二、【教学流程】
教学环节 教学问题设计 师生活动 二次备课
情
景
创
设 前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：
郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？
董：什么秘密？
郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
董：哦？
郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2 – 12x +35 =0的两根的积，回去你把两根求出来就知道了.
董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x2 -35x -200=0的两根的和呢.
师：同学们，你们想知道董沐青不解方程，是怎样求出张老师年龄的吗？
老师创设一段情景对话，调动学生学习兴趣.
引导学生完成下面探究.
第- 2 -页 共6页
自
主
探
究 【探究1】
解下列方程，并填写表格：
观察上面的表格，你能得到什么结论？
若x1、x2为方程关于x的方程220(40)xpxqpqq、为常数，p的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与p，q有何关系？请你写出关系式
【探究2】
关于x的方程20(0)axbxca的两根x1+x2与x1·x2与系数a ，b ，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
引导学生利用求根公式给出证明。
证明：当△＞0时，由求根公式得：aacbbx2421 ， aacbbx2422
