常微分课后答案第一章

常微分方程第三版习题答案

常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题一

1.1 解：

首先，我们根据题意列出方程：

$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$

这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$

将上述结果代入原方程，得到：

$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$

化简得到：

$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$

两边同时除以$e^{2t}$，得到：

$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$

对上式两边同时积分，得到：

$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$

将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：

$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$

1.2 解： 首先，我们根据题意列出方程：

$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$

这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。

将方程变形，得到：

$ydy = tdt$

对上式两边同时积分，得到：

$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$

解得：

$y^2 = t^2 + C$

由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：

$1 = 0 + C$

解得：

$C = 1$

将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：

常微分课后答案第一章 精品文档

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第一章 绪论

§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型

§1.2 基本概念

习题1.2

1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：

（1）yxdxdy24；

（2）012222xydxdydxyd；

（3）0322ydxdyxdxdy；

（4）xxydxdydxydxsin3522；

（5）02cosxydxdy；

（6）xedxydy22sin．

解 （1）一阶线性微分方程；

（2）二阶非线性微分方程；

（3）一阶非线性微分方程；

（4）二阶线性微分方程；

（5）一阶非线性微分方程；

（6）二阶非线性微分方程．

2．试验证下面函数均为方程0222ydxyd的解，这里0是常数． 精品文档

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 （1）xycos；

（2）11(cosCxCy是任意常数)；

（3）xysin；

（4）22(sinCxCy是任意常数)；

（5）2121,(sincosCCxCxCy是任意常数)；

（6）BABxAy,()sin(是任意常数)．

解 （1）yxdxydxdxdy2222cos,sin，所以0222ydxyd，故xycos为方程的解．

（2）yxCyxCy2211cos,sin，所以0222ydxyd，故xCycos1为方程的解．

（3）yxdxydxdxdy2222sin,cos，所以0222ydxyd，故xysin为方程的解．

（4）yxCyxCy2222sin,cos，所以0222ydxyd，故xCysin2为方程的解．

（5）yxCxCyxCxCy2222121sincos,cossin，所以0222ydxyd，故xCxCysincos21为方程的解．

常微分方程第二版答案第一章

【篇一：常微分方程第一章】

程

1.1学习目标：

1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法. 2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.

3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.

4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.

5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.

6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.

7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型,

并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.

1.2基本知识： (一) 基本概念

1. 什么是微分方程:

联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是 指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:

(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,

dy2dyd2ydy

()?t?y?0. ?b?cy?f(t)例如 , dtdtdtdt2 (2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏

习题 1.2

1． dy =2xy, 并满足初始条件： x=0,y=1 的特解。 dx

2 特解为 y= e x .

2

2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解。

2 dy 1 解： y dx=-(x+1)dy 2 dy=- dx y x 1

1

两边积分 : - =-ln|x+1|+ln|c|

y

特解： y=

ln |c(x 1)|

2 3． dy 1 y2 3 dx

1 y2 dy=

dy=

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

1 y x 1 解：原方程为： dy=- dx yx

两边积分： ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。

5．( y+x) dy+(x-y)dx=0

yx 解： 原方程为： dy = 1 y2 dx

y

两边积分： x(1+x 2 )(1+y 2 )= 2 cx 解： dy =2xdx

y 2

两边积分有： ln|y|=x 2 +c

x2 c y=e +e =cex 另外 y=0 也是原方程的解， c=0 时， y=0

原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1

y= ln |c(x 1)|

另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e

3 xy x y

1

3 dx x 解：原方程为：

dx x y

u 1 1

- 2 du= dx

u2 1 x

22

ln(u +1)x =c-2arctgu

即 ln(y 2 +x 2 )=c-2arctg y2 .

x2

dy du

=u+ x dx dx

1 du=sgnx dx x

y arcsin =sgnx ln|x|+c x 7. tgydx-ctgxdy=0两边积分：

1

siny=

ccosx cosx

所以原方程的通解为 sinycosx=c.