第三章 线性回归分析
§3.1 一元线性回归模型
一、回归分析
变量之间的关系，大体分为两类：一类是函数关系；另一类是统计相关关系，或称随机关系。具有相关关系的变量间虽然不具有确定的函数关系，但可以根据大量的统计数据，找出变量之间在数量变化上的统计规律，这种统计规律称为回归关系。用以近似地描述具有相关关系的变量间的函数关系称为回归函数。有关回归关系的计算方法和理论称为回归分析技术。
回归分析的主要内容是：
1. 根据样本观察值对模型参数进行估计,求得回归方程;
2. 对回归方程、参数估计值进行显著性检验;
3. 利用回归方程进行预测与控制。
二、总体回归方程
1、例子
假设一个地区的人口总体由60户组成。我们要研究每月家庭消费支出Y与每月可支配家庭收入X的关系。也就是说知道了家庭的每月收入，要预测每月消费支出的（总体）平均水平。为此，将这60户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。表2.1给出了假定的数据.
表1.1 X,每月家庭收入(元)
X
Y
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
每月家庭消费支出 550
600
650
700
750
-
- 650
700
740
800
850
880
- 790
840
900
940
980
-
- 800
930
950
1030
1080
1130
1150 1020
1070
1100
1160
1180
1250
- 1100
1150
1200
1300
1350
1400
- 1200
1360
1400
1440
1450
-
- 1350
1370
1400
1520
1570
1600
1620 1370
1450
1550
1650
1750
1890
- 1500
1520
1750
1780
统计分析与SPSS的应用第五版课后练习答案第章
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
《统计分析与SPSS的应用（第五版）》（薛薇）
课后练习答案
第3章SPSS数据的预处理
1、利用第2章第7题数据，采用SPSS数据筛选功能将数据分成两份文件。其中，第一份数据文件存储常住地是“沿海或中心繁华城市”且本次存款金额在1000至5000之间的调查数据；第二份数据文件是按照简单随机抽样所选取的70%的样本数据。
第一份文件：选取数据 数据——选择个案——如果条件满足——存款>=1000&存款<5000&常住地=沿海或中心繁华城市。
第二份文件：选取数据 数据——选择个案——随机个案样本——输入70。
2、 利用第2章第7题数据，将其按常住地（升序）、收入水平（升序）、存款金额（降序）进行多重排序。
排序 数据——排序个案——把常住地、收入水平、存款金额作为排序依据分别设置排列顺序。
3、 利用第2章第9题的完整数据，对每个学生计算得优课程数和得良课程数，并按得优课程数的降序排序。
计算 转换——对个案内的值计数 输入目标变量及目标标签，把所有课程选取到数字变量，定义值——设分数的区间，之后再排序。
4、 利用第2章第9题的完整数据，计算每个学生课程的平均分以及标准差。同时，计算男生和女生各科成绩的平均分。
方法一：利用描述性统计，数据——转置 学号放在名称变量，全部课程放在变量框中，确定后，完成转置。分析——描述统计——描述，将所有学生变量全选到变量框中，点
击选项——勾选均值、标准差。先拆分 数据——拆分文件 按性别拆分，分析——描述统计——描述，全部课程放在变量框中，选项——均值。
方法二：利用变量计算，转换——计算变量 分别输入目标变量名称及标签——均值用函数mean完成平均分的计算，标准差用函数SD完成标准差的计算。数据——分类汇总——性别作为分组变量、全部课程作为变量摘要、（创建只包含汇总变量的新数据集并命名）——确定
第十三章 线性回归分析与路径分析
与相关分析一样，回归分析也是对变量依存关系的分析。一般说来，相关程度越高，回归分析的结果就越可靠，因此多数研究在做回归分析之前，先要做相关分析，以此作为判别回归分析结果的一个重要依据。相比而言，相关分析是探讨变量之间的共变关系，即非因果关系，而回归分析则要区分变量之间的因果关系。相关分析检验变量之间的关系的密切程度和变量的变化方向，而回归分析对具有相关关系的变量建立回归模型来描述变量之间的具体变动关系，通过控制或给定自变量的数值来估计或预测因变量的数值。根据各变量之间的关系，回归分析有线性回归和非线性回归之分。根据自变量的多少，回归分析有一元回归和多元回归之分。只有一个自变量的回归分析就是一元回归分析，多于一个自变量的回归分析称作多元回归分析。
13.1线性回归分析原理
13.1.1 一元线性回归方程
一元线性回归模型是用来分析一个自变量（X）和一个因变量（Y）之间的线性关系的数学方程。当一个自变量与一个因变量之间存在着线性相关关系时，可以建立回归模型来表示它们之间的关系：Y’=a + bX。回归方程在平面坐标系（即散点图）中表现为一条直线（见图13.1），这条直线被称之为回归直线。人们常用两个方程表示回归模型，第一个方程是对回归模型本身的描述，另一个方程为回归预测方程，它是描述自变量对因变量的预测：
回归模型：Y=a +bX +e
回归预测方程：Y’=a + bX
在回归模型中，Y为因变量，X为自变量，a和b为待估参数。a值表示截距（intercept），即当X值为0时Y的值，b值表示回归分析中的未经标准化的回归系数（regression
coefficient），表示回归直线的斜率（slope），它是表示当X变动一个单位时Y的平均变动量，e表示随机误差。也就是说，Y的实际值由两部分组成，一部分是X对Y的线性影响而形成的系统部分，由回归量a +bX来测定；另一部分是由e所代表的由各种偶然因素、测量误差以及被忽略的其他因素所带来的误差。在回归预测方程中，Y’是Y变量的估计值，也称理论值或预测值，X是自变量的数值，该方程中没有随机误差。
统计学第三次作业（第十章相关与回归分析）
计算题
1. 为研究年收入水平Y（单位：万元）与受教育程度X（单位：年）之间的关系，现抽取一个包括20个人的随机样本，得到：
22239, 72.61, ()422.95()34.83, ()()106.74ttttttXYXXYYXXYY
试根据以上数据：
(1) 计算年收入水平与受教育程度的样本相关系数；
(2) 拟合简单线性回归方程，并对回归系数的经济意义作解释；
(3) 预测受教育年限为16年时，平均年收入是多少？
2. 为研究零食中脂肪含量X（单位：克）与热量Y（单位：卡路里）之间的关系，随机抽查了16种点心食品，得到的数据如下：
22189, 3461, 2799907717, 49526, 16ttttttXYXYXYn
试根据以上数据：
（1）计算热量与脂肪含量的样本相关系数；
（2）拟合热量与脂肪含量的简单线性回归方程，并计算回归方程的决定系数以反映拟合效果；
（3）若某糖果条包装上标明含有3克脂肪，预测其含有的热量。
3. 有8个同类企业的生产性固定资产年均价值和工业增加值的资料如下：
企业编号 生产性固定资产价值（万元） 工业增加值（万元）
1
2
3
4 318
910
200
409 524
1019
638
815 5
6
7
8 415
502
314
1210 913
928
605
1516
要求：（计算必须有公式和过程）
（1）计算相关系数，说明两变量相关的方向和程度；
（2）建立以工业增加值为因变量的直线回归方程，说明方程参数的经济意义；
（3）在0.05的显著性水平下，用F检验检验线性回归效果是否显著？（0.05(1,6)5.987F）
（4）确定生产性固定资产为1100万元时，工业增加值的估计值。
