第1章线性代数

1 第一章 矩阵

§1.2 Gauss消元法

1． 基本概念

一般的n元线性方程组：

)(

bxaxaxa bxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn22112222212111212111

未知数：nxxx,,,21

系数：),,2,1,,2,1( njmiaji；

常数项：mbbb,,,21

一个解：n元有序数组nccc,,,21，令

, , , ,2211nncxcxcx

使（*）的所有方程变为恒等式。

解集合：（*）的全部解的集合。

不相容线性方程组：解集合为空集。

一般解（通解）：解集合中全部元素的通项表 2 达式。

具体解（特解）：解集合中一个特定元素。

解的存在性：解集合是否为空集。

解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。

线性方程组同解：解集合相同。

非齐次线性方程组：mbbb,,,21不全为零

齐次线性方程组：mbbb,,,21全为零

一般的n元齐次线性方程组：

)(

xaxaxa xaxaxaxaxaxanmnmmnnnn000221122221211212111

零解：所有未知数均取零的解

非零解：未知数不全取零的解

2. Gauss 消元法 3

例 1 解线性方程组:

524314422321321321xxxxxxxxx

阶梯形方程组: 从上到下，方程中具有非零系数的第一个未知数的下标严格增大. 例如….

注:

(1) 它包含两个过程: 一是消元; 二是回代.

(2) 将方程组化为阶梯形时所做的操作有如下三种: (i) 交换某两个方程, 如第i个和第j个,

表示为jiRR. (ii) 用非零常数k乘某个方程,

线性代数知识点总结（第1、2章）

（一）行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

（三）按行（列）展开

9、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=kn|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|AT|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则

（7）若A与B相似，则|A|=|B|

（五）克莱姆法则

11、克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

（六）矩阵的运算

12、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

线性代数答疑安排

2012.2

周次 星期 教师

2 二 邱玉文、崔家峰

3 二 佘泽红、夏国坤

4 二 谢中华

5 二 贾学龙

6 二 张希彬

7 一 安明强

8 一 刘寅立

9 一 孙成功

10 一 杨华

11 一 李杰红

12 一 李玉峰、刘凤林

13 三 程建军、韩斌

14 三 李君

注：

1. 答疑时间：下午12：40----15：40。

2．答疑地点：泰达校区4—211。

3．请答疑教师务必准时到场，认真进行答疑。

4．请任课教师提醒学生珍惜答疑机会，踊跃参加答疑。

5．如遇全校大型活动及法定节假日，当日答疑取消。

1 / 28 第一章 行列式

线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。

本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法则。

本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。

§ 1 二阶、三阶行列式

一、内容提要

1．二阶行列式的定义

2112221122211211aaaaaaaa

其中ija称为行列式的元素，ija的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列。

二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：

2111 aa 2212aa=21122211aaaa

其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。

2．三阶行列式的定义

333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa

三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：

 333231232221131211aaaaaaaaa

其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得2 / 28 六项的代数和就是三阶行列式的展开式。

二、例题分析

例1 求解二元线性方程组