人教课标版高中数学必修2典型例题：直线与平面垂直的判定

C. 2 D. 3

直线与平面垂直的判定

【知识梳理】

1. 直线与平面垂直的定义

(1) 自然语言：如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线

I与平面a互相垂

直，记作I丄a直线I叫做平面a的垂线，平面 a叫做直线I的垂面.直线与平面垂直时，它们

唯一的公共点P叫做垂足.

(2) 图形语言：如图.

画直线I与平面a垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一

边垂直.

(3) 符号语言：任意 a? a,都有I丄a? 1丄公

2. 直线与平面垂直的判定定理

(1) 自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该

直线与此平面垂直.

(2) 图形语言：如图所示.

(3)符号语言： a? a， b? a， a A b = P，1 丄 a，1 丄 b? 1

3.直线与平面所成的角

(1) 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，巴做这条直线和这个平面所成 的角.

如图，/ PAO就是斜线AP与平面a所成的角.

(2) 当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是 90°.

(3) 当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 0°.

(4) 线面角 B的范围：0 ° 90 °.

【常考题型】

题型一、线面垂直的定义及判定定理的理解

【例1】 下列说法中正确的个数是 ( )

① 如果直线I与平面a内的两条相交直线都垂直，则 I丄a；

② 如果直线I与平面a内的任意一条直线垂直，则 I丄a；

③ 如果直线I不垂直于a，则a内没有与I垂直的直线；

④ 如果直线I不垂直于a，则a内也可以有无数条直线与 I垂直.

A . 0 B . 1 /A1C11AD.

［解析］由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当

不垂直时，I可能与a内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.

［答案］D

【类题通法】

1 .对于线面垂直的定义要注意 "直线垂直于平面内的所有直线 ”说法与"直线垂直于平面

2.3.1直线与平面垂直的判定

〖知识导学〗掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；掌握判定直线和平面垂直的方法；培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论．

一、基础知识：

1、直线与平面互相垂直：如果直线l与平面内的__________直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥，直线l叫做平面的______，平面叫做直线l的______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做______．

lmPOA

2、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的______，

叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，成__________；

一条直线平行于平面，或在平面内，成___________。

直线和平面所成的角的范围：__________________。

3、直线与平面垂直的判定定理：

语言表示 图形表示 符号表示

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． aPnm amanmnpamn

注意：（1）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

（2）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互

转化的数学思想；

二、例题解析：

1、如图：=AB，PC⊥，PD⊥，C、D是垂足，

试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论。

2、求证：两条直线平行，如果其中一条直线与一个平面垂直，

则另一条直线也与该平面垂直。

BACDP应用：∵l⊥

m

∴lm

3、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

求直线A1B和平面A1B1CD所成的角。

三、达标训练：

1、平面外的一条直线l与内的两条平行直线垂直，那么（ ）

A．l B．//l C．lA D．l与的位置关系不能确定

2、如果直线a平面，直线l⊥直线a，则直线l与平面的位置关系是（ ）

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2.3.1 直线与平面垂直的判定

【例1】三棱锥P-ABC中， PA⊥BC，PB⊥AC， PO⊥平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.

【例2】如图， ABCD是正方形， SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分别于点E，F，G，求证： AE⊥SB，AG⊥SD.

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参考答案

例1

【分析】可证O为三角形ABC的两条高线的交点.

【证明】连接OA、OB、OC，∵ PO⊥平面ABC，

∴ .

又 ∵ ，

∴

，得,

∴ O为底面△ABC的垂心.

【点拨】此例可以变式为“已知，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.

例2:

【分析】本题考查线面垂直的判定与性质定理，

以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于

图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．

欲证，可证平面，为此须

证，，进而转化证明平面，平面． 3 / 3

【证明】∵SA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴．

又∵ABCD为正方形，

∴．

∴平面．

∵平面，

∴．

又∵平面，

∴．

∴平面．

又∵平面，

∴，同理可证．

【点拨】 (1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．

直线与平面垂直定义如果一条直线 和一个平面 相交，并且直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作 .直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面.直线 与平面垂直时，它们惟一的公共点 叫做垂足.

理解直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况.①.

直线与平面垂直是垂直于平面内任意一条直线，而不是无数条直线.②.

生活实例直线与平面垂直：1. 直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.符号语言 ， ， ，并且 ， 图形语言已知： ， ， ，

求证：

证明：平移直线 ， 使其交点 和垂足 重合，如图在直线 上取点 ，在直线 上分别任取点 ，以 为邻边作平行四边形 ，则 即为平面 内任一条不与 重合的直线. ， ①又 ② ③又 ④由③ ④得： 即： 即： 与平面 内的任意一条直线都垂直 直线与平面垂直的判定定理：2.

直线与平面垂直的相关结论：3.《2.3.1 直线与平面垂直的判定》+《2.3.3 直线与平面垂直的性质》知识点2020年4月24日10:48

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①过一点和已知平面垂直的直线只有一条.

求证：过点 与 垂直的直线只有一条.证明：不论点 在 内还是 外，设直线 垂足为 或 )假设另有一直线 则： 确定一个平面 ，且 即有：在平面 内有两条相交直线 且使 ， . 同一平面内两条相交直线都垂直于同一条直线是不可能的 假设不成立 过点 与 垂直的直线只有一条.②平面外的两条平行直线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面. 

已知直线 ， ，平面 ，且a//b， .求证： 证明：在平面 内作两条相交直线 ， . ， 又 a//b ， 又 ， ，且 ， 是两条相交直线. 直线与平面垂直的相关结论：3.

直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行

符号语言 ， a//b